高中数学 选修1-2 同步练习 专题3.1 数系的扩充和复数的概念(原卷版)

一、选择题1．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1-2．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 3．已知复数13ai z i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．134．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p 6．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 7．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0或1D ．-1 8．设(2)34,i z i +=+ 则z =（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 9．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）A ．1BC ．2D ．310．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 11．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i + 二、填空题13．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.14．若复数i 2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 15．设复数z 1=1，z 2=23i 34i --∣∣，z=z 1+z 2，则z 在复平面内对应的点位于第__________ 象限． 16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．19．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________．20．复数i 1iz =+，则z =______. 三、解答题21．已知复数z 满足|z |=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.23．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.24．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围.25．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数. （1）求212z z ⨯的模；（2）求复数2z .26．已知复数21(56)z m m m i =++++（1）当实数m 为何值时，z 为实数；（2）当实数m 为何值时，z 为纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．A解析：A【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()131********10ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-. 故选：A.本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.4．C解析：C【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负.【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.5．A解析：A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ，4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．6．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=， 因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．B解析：B【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B. 点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.8．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法法则求z ，再根据共轭复数定义得.z详解：因为()234,i z i +=+所以3410522,25i i z i z i i ++===+∴=-+ 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi9．B解析：B【解析】分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .详解：由题()()()2121,111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B. 点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.10．D解析：D【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或 所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.11．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论. 详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故 解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值.【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y，所以z =(),x y 到原点()0,0的距离； 当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3.【点睛】 本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.14．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能 解析：12【解析】 分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2a i i +-，又已知复数 2a i i +-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 详解：()()()()()2212212 222555a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+===+--+， 又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105 205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．15．一【解析】由题意所以则则在复平面内对应的点为位于第一象限 解析：一【解析】由题意，223232334555i i z i i --===--，所以127255z z z i =+=-， 则7255z i =+，则z 在复平面内对应的点为72(,)55位于第一象限． 16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -18．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=，所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 19．3【解析】由于为纯虚数则得故故答案为3解析：3【解析】由于()()21z m m i ++＝－为纯虚数，则20{10m m -=+≠，得2m =，3i z =， 故3z =，故答案为3.20．【解析】试题分析：考点：解析：2【解析】试题分析： ()()()i 1i i 1i ,1i 1i 1i 22z z -+====++-. 考点：三、解答题21．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.22．（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【分析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果；（2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围.【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n = （2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴=== 其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈即PQ 的取值范围为[]4,6【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.23．-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 【解析】分析：将z=1+i ,z 1i =-代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.详解：∵z=1+i,∴az+2()()bz a 2b a 2b i,=++-(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a 2+4a)+4(a+2)i.∵a,b ∈R,∴由复数相等,22a 4,-24(2).a b a a b a ⎧+=+⎨=+⎩得∴两式相加整理,-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得或 ∴所求实数-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩为或 点睛：（1）本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.24．（1）8=3a -；（2）8|233a a ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭。

3.1 数系的扩充和复数的概念(包括3.1.1 数系的扩充和复数的概念,3.1.2 复数的几何意义)姓名:___________班级:______________________1.复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为( )A.0或－1B.0C.1D.－12.下列说法正确的是( )A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等B.ai是纯虚数(a∈R)C.如果复数x＋yi(x、y∈R)是实数,则x＝0,y＝0D.复数a＋bi(a、b∈R)不是实数3.若复数z1＝sin2θ＋icosθ,z2＝cosθ＋θ( ∈R),z1＝z2,则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ＋πk(k∈Z)C.2kπ±πk(k∈Z) D.2kπ＋π6(k∈Z)4.已知复数z的模为2,则|z－i|的最大值为( )A.1B.25.下列命题中,正确命题的个数是( )①若x,y∈C,则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1;②若a,b∈R且a＞b,则a＋i＞b＋i;③若x2＋y2＝0,则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.36.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为－1＋2i,若点A关于直线y＝－x的对称点为点B,则向量OB对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i7.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件8.两个不相等的复数z1＝a＋bi(a,b∈R),z2＝c＋di(c,d∈R),若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则a,b,c,d之间的关系为( )A.a＝－c,b＝dB.a＝－c,b＝－dC.a＝c,b＝－dD.a≠c,b≠d10.i 为虚数单位,复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于原点对称,若z 1＝2－3i,则z 2＝________.11.已知z －|z|＝－1＋i,则复数z ＝______.12.已知复数z ＝22761a a a -+-＋(a 2－5a －6)i(a∈R ).试求实数a 分别为什么值时,z 分别为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？13.设复数z ＝2m ＋(4－m 2)i,当实数m 取何值时,复数z 对应的点:(1)位于虚轴上？(2)位于一、三象限？(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上？14.已知z 为复数,若z 在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上,且z =(1)求复数z ;(2)若复数z 满足1z ω-=,求ω的最小值.参考答案【答案】D【解析】∵z 为纯虚数,∴20,0,m m m ⎧+=⎨≠⎩∴m ＝－1,故选D.考点:复数的有关概念.【答案】A【解析】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部的差与虚部的差都为0,故A 正确;B 中当a ＝0时,ai 是实数0;C 中x ＋yi 是实数,只需y ＝0就可以了;D 中当b ＝0时,复数a ＋bi 为实数.考点:复数的有关概念.【答案】D【解析】由复数相等的定义可知,sin 2cos ,cos ,θθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩∴cos θ＝2,sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π,k ∈Z,故选D. 考点:复数的有关概念.【答案】D【解析】|z|＝2,复数z 对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离,则|z －i|的最大值为2＋1＝3.考点:复数的几何意义.5.A【解析】对①,由于x,y ∈C,所以x,y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部,故①是假命题; 对②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题;③是假命题,如12＋i 2＝0,但1≠0,i≠0.考点:复数的有关概念.6.B【解析】复数－1＋2i 对应的点为A(－1,2),点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B(－2,1),所以OB 对应的复数为－2＋i.考点:复数的几何意义.7.B【解析】ab ＝0时,a ＝0或b ＝0,复数a －bi 为纯虚数时,a ＝0且b≠0,那么“ab＝0”是“复数a －bi 为纯虚数”的必要不充分条件,故选B.考点:复数的有关概念.8.A【解析】设z 1＝a ＋bi(a,b∈R )的对应点为P(a,b),z 2＝c ＋di(c,d∈R )的对应点为Q(c,d).∵P 与Q 关于y 轴对称,∴a＝－c,b ＝d.考点:复数的几何意义.9.1【解析】因为x,y∈R,所以利用两复数相等的条件有3,219,x y xx y y+=--⎧⎨-=-⎩解得4,5,xy=-⎧⎨=⎩所以x＋y＝1.考点:复数的有关概念.10.－2＋3i【解析】在复平面内,复数z＝a＋bi与点(a,b)一一对应.∵点(a,b)关于原点对称的点为(－a,－b),∴复数z2＝－2＋3i.考点:复数的几何意义.11.i【解析】解法一:设z＝x＋yi(x,y∈R),由题意,得x＋yi＝－1＋i,即(x)＋yi＝－1＋i.根据复数相等的条件,得1,1,xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得0,1,xy=⎧⎨=⎩∴z＝i.解法二:由已知可得z＝(|z|－1)＋i,等式两边取模,得|z|.两边平方,得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.把|z|＝1代入原方程,可得z＝i.考点:复数的有关概念.12.(1)a＝6(2)a∈(－∞,－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6,＋∞)(3)实数a不存在【解析】(1)当z为实数时,有a2－5a－6＝0, ①且22761a aa-+-有意义, ②解①得a＝－1或a＝6,解②得a≠±1,∴a＝6,即a＝6时,z为实数.(2)当z为虚数时,有a2－5a－6≠0, ③且22761a aa-+-有意义, ④解③得a≠－1且a≠6,解④得a≠±1,∴a≠±1且a≠6,∴当a∈(－∞,－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6,＋∞)时,z为虚数.(3)当z 为纯虚数时,2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，， 无解,∴不存在实数a 使z 为纯虚数.考点:复数的有关概念.13.(1)m ＝0(2)m ＜－2或0＜m ＜2(3)m ＝0或m ＝±2【解析】(1)复数z 对应的点位于虚轴上,则220,40m m =⎧⎨-≠⎩⇒m ＝0.∴m＝0时,复数z 对应的点位于虚轴上.(2)复数z 对应的点位于一、三象限,则2m·(4－m 2)＞0⇒m(m －2)(m ＋2)＜0⇒m ＜－2或0＜m ＜2.∴m＜－2或0＜m ＜2时,复数z 对应的点位于一、三象限.(3)复数z 对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上,则|z|4⇒m ＝0或m ＝±2.∴m＝0或m ＝±2时,复数z 对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.考点:复数的几何意义.14.(1)=44i z -(2)1【解析】(1)依题意设=i(,0)z a a a a -∈>R ,因为z =所以2232a a +=, 则4,a =±又0a >,所以4a =,故=44i z -.(2)由(1)知=44i z -,设i(,)x y x y ω=+∈R ,因为1z ω-=,所以22(4)(4)1x y -++=,又ω＝故ω的最小值为原点到圆22(4)(4)1x y -++=上的点距离的最小值,因为原点到点(4,4)-=圆的半径1r =,原点在圆外,所以ω的最小值即为1.考点:待定系数法,复数的几何意义,数形结合法.。

第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

课时作业19 数系的扩充和复数的概念时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．设集合A ＝{虚数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，则A ，B ，C 间的关系为( B ) A ．A B C B ．B A C C ．B C AD ．A CB解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( A )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－5＋5iD.5＋5i解析：－5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，若b ＝0，则a ＋b i 是实数，不是纯虚数，因此“a ＝0”不是“复数a ＋b i 是纯虚数”的充分条件；而若a ＋b i 是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可以得到a＝0，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要条件．故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．4．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 5．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( D ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， ∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.6．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.7．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( B ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i解析：由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.8．给出以下命题：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋n i(m ，n ∈C )，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1. 其中正确命题的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小，故(1)错误； (2)当m ＝0，n ＝i 时，z ＝0＋i 2＝－1∈R ，故(2)错误；(3)当z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i 时满足条件，而结论不成立，故(3)错误； (4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确，故(4)错误．故选A. 二、填空题9．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z <0，则k ＝2.解析：因为z <0，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0，k 2－5k ＋6＝0，所以k ＝2.10．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝94，y ＝32.解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝32.11．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝1.解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 三、解答题12．已知复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(2m 2－3m －2)i ，当实数m 取什么值时，复数z 满足下列条件：(1)为零； (2)为纯虚数．解：(1)因为一个复数为0的充要条件是实部为0且虚部等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，或m ＝2，m ＝－12，或m ＝2，所以m ＝2.(2)因为一个复数为纯虚数的充要条件是实部等于0且虚部不等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，或m ＝2，m ≠－12，且m ≠2，所以m ＝1.13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y －3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解：∵方程组有实数解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，y －3＝1，2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.——能力提升类——14．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为0.解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy ，a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法1：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．方法2：令⎩⎨⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。

⾼中数学选修1-2（⼈教A版）第三章数系的扩充与复数的导⼊3.1知识点总结含同步练习及答案描述：⾼中数学选修1-2(⼈教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章数系的扩充与复数的引⼊ 3.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习任务1. 了解数系的扩充过程．2. 理解复数的基本概念、代数表⽰法以及复数相等的充要条件；了解复数的⼏何意义．⼆、知识清单复数的概念复数的⼏何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进⼀步扩充，⼈们引⼊了⼀个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进⾏四则运算，且原有的加、乘运算律仍成⽴．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常⽤字母表⽰，即（，），这⼀表⽰形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数（，）可以分类如下： i =?1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d ia =cb =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)⾮纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的⼏何意义根据复数相等的定义，任何⼀个复数，都可以由⼀个有序实数对唯⼀确定．因为有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点⼀⼀对应，所以复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可⽤点表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表⽰实数；除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数．设复平⾯内的点表⽰复数，连结，显然向量由点唯⼀确定；反过下列命题中，正确的个数是（）①若，则的充要条件是；②若，则；③若，则，．A． B． C． D．解：A①由于，所以不⼀定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能⽐较⼤⼩，所以②不正确；③当，时，成⽴，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知，，若，则______．解：根据复数相等的充要条件，得整理得，所以，将其代⼊，得，所以，所以．=?3?4i z 1=(?3m ?1)+(?m ?6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{?3m ?1=?3,n 2?m ?6=?4,n 22m =4m =2?3m ?1=?3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数为何值时，复数分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数可整理为．（1）当时，，即或．（2）当时，是虚数，即且．（3）当时，是纯虚数，解得．（4）当时，，解得．k (1+i)?(3+5i)k ?2(2+3i)k 2z z =(?3k ?4)+(?5k ?6)i k 2k 2?5k ?6=0k 2z ∈R k =6k =?1?5k ?6≠0k 2z k ≠6k ≠?1{?3k ?4=0,k 2?5k ?6≠0,k 2z k =4{?3k ?4=0,k 2?5k ?6=0,k 2z =0k =?1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ ?→Z →OZ说成向量，并且规定，相等的向量表⽰同⼀个复数．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学/doc/bf12554970.html）⾼考不提分，赔付1万元，关注快乐学/doc/bf12554970.html了解详情。

实用文档3. 1 数系的扩充和复数的概念典型例题:1．设z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是（ A ） A.3 B.－5C.3或－5D.－3或52．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根______________________________________.解：0)1(2tan 2=+---i x x x θ原方程可化为，4,10102tan 2ππθθ+=-=⎩⎨⎧=+=--k x x x x 解得 3．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限解：是实数时，或－。

即或－解得Z m m m m m m 1212023022)1(22-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++>--。

是纯虚数时，。

即解得＝Z m m m m m m 33023122)2(22==⎪⎩⎪⎨⎧≠++--。

时，－或。

即－或解得2323023122)3(22<=><>⎪⎩⎪⎨⎧>++>--m m m m m m m m Z 对应的点位于复平面的第一象限。

练习:一．选择题：1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四 个顶点对应的复数是（ ）实用文档（A ）i 21- （B ）i +2 （C ）i -2 （D ）i 21+-2．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足 （ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠63．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二．填空题：4．复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有__________________.5．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =三．解答题：6．已知复数1Z ，2Z 满足2122212510Z Z Z Z =+，且212Z Z +为纯虚数，求证：213Z Z - 为实数。

一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>2．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110 C ．2110D ．2110-3．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -4．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）． A ．220y xy x +-= B ．220y xy x -+= C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=5．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ．42i -+ 6．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 7．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．抛物线 9．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==；②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >. 其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2- B ．2i - C ．3 D ．3i 11．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-12．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____． 14．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；15．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．16．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________． 17．复数212iz i-=+的虚部为__________． 18．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．19．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.20．设复数z 满足(2)1z i i i +=-，其中i 为虚数单位，则z =__________．三、解答题21．已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0． （1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值． 22．已知2z i =+，a ，b 为实数. （1）若2312z z ω=+-，求ω； （2）若522az bzi z+=--，求实数a ，b 的值. 23．已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z. (2)求|z-4|的取值范围.24．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭（1）设复数121m iz i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.25．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数. 26．已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ． 【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．A【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．3．C解析：C 【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．C解析：C 【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y =-⎧⎨=⎩ ┄② 将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++= 故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.5．C解析：C 【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数. 【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒- 22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.6．B解析：B 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．8．A解析：A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．9．B解析：B 【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确. 只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误. 综上,真命题有1个. 故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.10．A解析：A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-， 故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.11．C解析：C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.12．B解析：B 【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1 【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩ 14．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误解析：④ 【分析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.15．【分析】根据系数方程有虚根则可得设方程的虚根为:则另一个虚根为:其模为1可得即可求得的取值范围【详解】设方程的虚根为:另一个虚根为:由韦达定理可得:故:实系数方程有一个模为1的虚根故若方程有虚根则可 解析：22a -<<【分析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围. 【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =- 由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m am n b =-⎧⎨+=⎩实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<.【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用.16．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求解析：4 【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+-()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =， 0,0a b >>，24a b ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误 解析：1-【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数212iz i-=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.18．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】 设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.19．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.20．【解析】分析：由题意首先求得复数z 然后求解其模即可详解：由复数的运算法则有：则故答案为点睛：本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力【解析】分析：由题意首先求得复数z ，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有：121iz i i i-+==--，则13z i =--，z ==．点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i （2）m ＝0，或m ＝8 【分析】（1）根据求根公式可求得结果；（2）根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，根据韦达定理以及|x 1﹣x 2|＝2，可解得结果. 【详解】（1）当m ＝2时，x 2﹣mx +（2m +1）＝x 2﹣2x +5＝0，∴x =∴x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ． ∴方程E 在复数范围内的解为x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ； （2）方程E 有两个虚数根x 1，x 2，根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，∴x 1+x 2＝2a ＝m ，221221x x a b m =+=+，∴221214b m m =-++ ∵|x 1﹣x 2|＝|2bi |＝2，∴b 2＝1，∴212114m m -++=， ∴m ＝0，或m ＝8． 【点睛】本题考查了求根公式，考查了实系数多项式虚根成对定理，考查了韦达定理，属于中档题.22．（1；（2）-3，2 【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将522az bzi z+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，从而可得结果.详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-.∴2312z z ω=+- ()()2232123i i i =++--=-+，∴ω==（2）∵2z i =+，∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()222i a b a b i a b a b iii⎡⎤++-++-⎣⎦==--()252b a a b i i =-++=-. ∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩，∴a ，b 的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分23．（1）z=2+3i 或z=2-3i ；（2）(1,5). 【解析】试题分析：（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠，根据2z -为纯虚数求得x 的值，再由92z z +-为实数求出y 的值，即可得到复数z ； （2）由92z z +-为实数且0y ≠可得22(2)9x y -+=，由此求得x 的范围，根据复数的，从而求得范围. 试题(1)设z=x+yi(x,y ∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+9z 2-=2+yi+9yi =2+9y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭i ∈R,得y-9y =0,y=±3,所以z=2+3i 或z=2-3i. (2)因为z+9z 2-=x+yi+9x yi 2+-=x+()229x 2(x 2)y --++229y y (x 2)y ⎡⎤-⎢⎥-+⎣⎦i ∈R, 所以y-229y(x 2)y -+=0, 因为y≠0,所以(x-2)2+y 2=9, 由(x-2)2<9,得x ∈(-1,5),所以==(1,5).点睛：本题主要考查了复数的基本概念，复数的乘法与除法运算及复数的模等知识点，其中解答中熟记有关复数的实部、虚部、复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，此类问题的解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算.24．（I ；（Ⅱ）133a -<<.【详解】分析：根据复数的概念及其分类，求解13z i =-．（1）求得15122z i =--，再根据复数的模的计算公式，即可求解1z ； （2）由（1）可求得2(3)(31)10a a iz ++-=，根据复数2z 对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数a 的取值范围． 详解：∵z=1+mi ，∴．∴*(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i +=-+=++- 又∵为纯虚数， ∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i ． （Ⅰ），∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i ， ∴．又∵复数z 2所对应的点在第1象限， ∴，．30310a a +>⎧⎨->⎩∴．13a >点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -． 25．（1）0a >；（2）1z i =-+ 【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）=，由题意得解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z iz i z z i i i--+---====--+-+++1.z i =-+26．（1）32a =-；3b =-；（2）34m << 【分析】（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-； （2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果. 【详解】（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-， 因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数， 所以32a =-． （2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的分类，复数在复平面内对应点的位置，属于简单题目.。

3．1.1数系的扩大与复数观点填一填1.复数(1)定义：把会合C＝ { a＋ bi|a， b∈ R} 中的数，即形如a＋ bi(a， b∈R )的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位．知足i 2＝－ 1， a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数往常用字母z 表示，即z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所成的会合叫做复数集．(2)表示：往常用大写字母 C 表示．3．两个复数相等的充要条件在复数集C＝ { a＋ bi|a， b∈ R} 中任取两个数a＋ bi， c＋ di( a， b， c， d∈R )，我们规定：a＋bi 与 c＋ di 相等的充要条件是a＝ c 且 b＝ d.4．复数的分类实数 b＝ 0(1)复数 (a＋bi ， a， b∈ R)纯虚数 a＝ 0虚数 b≠ 0非纯虚数 a≠ 0(2)会合表示：判一判1.若 a， b 为实数，则z＝ a＋ bi 为虚数． (× )分析：当 b＝0 时， z 是实数，故错误．2．复数 z＝ bi 是纯虚数． (× )分析：当 b＝0 时， z 是实数，故错误．3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√ )分析：由复数相等的充要条件可知正确．4．－ 1 没有平方根． (× )分析：－ 1 的平方根为±i，所以错．5．若 a， b∈R 且 a>b，则 a＋ i> b＋ i.(× )分析：因为两个虚数不可以比较大小，所以错．6．若 x ， y ∈ C ，则 x ＋ yi ＝ 1＋ i 的充要条件是 x ＝y ＝ 1.(× ) 分析：因为 x ，y ∈ C ，所以 x ＋ yi 不必定是复数的代数形式，不切合复数相等的充要条件，故错误．想想1.复数 m ＋ ni 的实部、虚部必定是m 、n 吗？提示： 不必定．只有当 m ∈ R ， n ∈ R 时， m ， n 才是该复数的实部、虚部． 2．对于复数 z ＝ a ＋ bi(a ， b ∈R )，它的虚部是 b 仍是 bi? 提示： 虚部为 b.3．复数 z ＝ a ＋bi 在什么状况下表示实数？ 提示： 当 b ＝0 时 z 表示实数．4．复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？ 提示： R 是 C 的真子集．5．我们知道 0 是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示： 它的实部和虚部都是 0.6．a ＝ 0 是 z ＝a ＋ bi 为纯虚数的充要条件吗？提示： 不是．因为当 a ＝0 且 b ≠ 0 时， z ＝ a ＋bi才是纯虚数，所以a ＝ 0 是复数 z ＝ a ＋ bi为纯虚数的必需不充足条件．121－ 3i ，z 3 12 31 2? 7．z ＝ 3＋ 2i ，z ＝2＝－ 0.5i ，则 z ，z ，z 的实部和虚部各是什么？可否说z >z提示： z 121，虚部为－3；z 3的实部为 0，虚部为－ 0.5，的实部为 3，虚部为 2；z的实部为 2因为两个虚数不可以比较大小，所以不可以说z >z .1 28．若 (a － 2)＋ bi>0 ，则 a ， b 应知足什么条件？b ＝ 0， 提示： 要使 (a － 2)＋ bi>0 建立，则 (a － 2) ＋ bi 应为实数，且 a － 2>0，即故a － 2>0 ，a>2，b ＝ 0.思虑感悟：练一练1．给出以下四个命题：①若 z ∈ C ，则 z 2≥ 0；②2i － 1 的虚部是 2i ；③复数 3－ 4i 的实部与复数 4－3i 的虚部相等；④若 a ∈R ，则 (a ＋ 1)i 是纯虚数．此中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3分析： 对于 ① ，当 z ∈ R 时， z 2 ≥0 建立，不然不必定建立，如 z ＝ i ， z 2＝－ 1<0，所以 ①为假命题．对于②， 2i－ 1＝－ 1＋ 2i，其虚部为 2，不是 2i，所以②为假命题．对于③，复数3－4i 的实部为 3，复数 4－ 3i 的虚部为－ 3，所以③为假命题．对于④，当 a＝－ 1 时， (a＋ 1)i 为实数，所以④为假命题，所以四个命题都是假命题．答案： A2．以下命题：①1＋ i 2＝ 0；②若 x2＋ y2＝ 0，则 x＝ y＝ 0；③两个虚数不可以比较大小．是真命题的为 ________． (填序号 )分析：②当 x＝ i ，y＝ 1 时， x2＋y2＝0，所以②错．所以①③正确．答案：①③3．已知 i 是虚数单位， m∈ R，复数 z＝m2－m－ 6＋ (m2－ 2m－ 15)i ，则当 m＝________ m＋3时， z 为纯虚数．m2－ m－ 6＝0，分析：由题意知m＋ 3m2－ 2m－ 15≠ 0，解得 m＝ 3 或－ 2.答案：3或－2知识点一复数的观点1.复数 2－3i 的虚部为 () 23A．2B．－23C．2－2D．0分析：由复数定义知 C 项正确．答案： C2．设会合 A＝{ 实数 } ，B＝{ 纯虚数 } ，C＝ { 复数 } ，若全集 S＝ C，则以下结论正确的选项是() A．A∪B＝C B． A＝BC． A∩(?S B)＝? D． (?S A)∪ (?S B)＝ C分析：会合 A， B， C 的关系如图，可知只有( ?S A)∪ (?S B)＝ C 正确．答案： D知识点二复数的分类3.若复数 z＝ (m＋ 2)＋ (m2－9)i( m∈R )是正实数，则实数m 的值为 ()A．－ 2 B ． 3C．－ 3D．±3分析：依题意应有m2－ 9＝ 0，解得 m＝ 3. m＋ 2>0 ，答案： B4．设 m∈ R ，m2＋ m－ 2＋( m2－ 1)i 是纯虚数，此中i 是虚数单位，则m＝ ________.m2＋m－2＝ 0，分析：复数 m2＋ m － 2 ＋ (m2－ 1)i 是纯虚数的充要条件是解得m2－1≠ 0，m＝1或 m＝－ 2，m≠ ±1，即 m＝－ 2.22故 m＝－ 2 时， m ＋ m－ 2＋ (m － 1)i 是纯虚数．5．实数 m 为什么值时， z＝ lg(m2＋ 2m＋ 1)＋ (m2＋3m＋2)i 是(1) 实数； (2)虚数； (3)纯虚数．分析： (1) 若 z 为实数，则m2＋ 2m＋ 1>0，m≠－ 1，m2＋ 3m＋ 2＝ 0，即m＝－ 2或 m＝－1，解得 m＝－ 2.∴当 m＝－ 2 时， z为实数．m2＋ 2m＋ 1>0 ，(2)若 z 是虚数，则m2＋ 3m＋ 2≠ 0，m≠ － 1，即m≠ － 2且 m≠ － 1，解得 m≠ － 2 且 m≠ － 1.∴当 m≠ － 2 且 m≠ － 1 时， z 为虚数．(3)若 z 为纯虚数，则lg m2＋ 2m＋1 ＝ 0，m2＋ 3m＋ 2≠0，m2＋ 2m＋ 1＝ 1，m＝ 0或＝－ 2，即即m2＋ 3m＋ 2≠ 0，m≠ － 1且m≠ －2.解得 m＝ 0.∴当 m＝ 0 时， z 为纯虚数 .知识点三复数相等的充要条件6.若 a， b∈R ， i 是虚数单位，且b＋ (a－ 2)i＝ 1＋ i，则 a＋ b 的值为 () A．1 B．2C．3 D．4分析：由 b＋(a－2)i ＝ 1＋ i，得 b＝ 1， a＝ 3，所以 a＋ b＝4.答案： D7．若 (x＋ y)i ＝ x－ 1(x， y∈ R)，则 2x＋y的值为 ()1A.2 B．2C．0 D．1分析： 由复数相等的充要条件知，x ＋ y ＝0，x ＝ 1，解得x － 1＝ 0，y ＝－ 1，∴ x ＋y ＝ 0.∴ 2x ＋ y＝ 20＝ 1.答案： D8．已知 M ＝{2 ，m 2－ 2m ＋ (m 2＋m －2)i} ， N ＝ { －1,2,4i} ，若 M ∪ N ＝ N ，务实数 m 的值．分析： 因为 M ∪N ＝ N ，所以 M? N ，所以 m 2－ 2m ＋ (m 2＋ m －2)i ＝－ 1 或 m 2－ 2m ＋(m 2＋ m － 2)i ＝4i. 由复数相等的充要条件得m 2－ 2m ＝－ 1， m 2－ 2m ＝ 0， m 2＋ m －2＝ 0或m 2＋m － 2＝4，解得 m ＝ 1 或 m ＝ 2.所以实数 m 的值是 1 或 2.基础达标一、选择题1．已知复数 z ＝ 1＋ i ，则以下结论中正确的个数是 ()①z 的实部为 1；② z>0；③ z 的虚部为 i.A ．1B ．2C ．3D ．0分析： 易知 ① 正确， ②③ 错误，应选 A. 答案： A2．以下各数中，纯虚数的个数是( )2－ 7， 1i ，i 2,5i ＋ 8，i 2＋ 1＋ 3i,0.618 ＋ ai(a ∈ R)．7A ．0B ．1C ．2D ．3分析： 由纯虚数的定义知，1i ， i 2＋ 1＋ 3i ＝ 3i 是纯虚数．7答案： C3．以－ 5＋ 2i 的虚部为实部，以 5i ＋2i 2 的实部为虚部的复数是()A ． 2－ 2iB ． 2＋2iC ．－ 5＋ 5iD. 5＋ 5i分析： － 5＋ 2i 的虚部为 2， 5i ＋ 2i 2＝－ 2＋ 5i ，其实部为－ 2，故所求复数为 2－2i.答案： A4．若复数 2－ bi( b ∈ R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为 ()2 A ．－ 2B. 32C ．－ 3D ．2分析： 复数 2－ bi 的实部为 2，虚部为－ b ，由题意知 2＝－ (－ b)，即 b ＝ 2.答案： D5．复数 z ＝ sin 2θ＋ icos θ，z ＝ cos θ＋ i 3sin θ(θ∈ R )，若 z ＝ z ，则 θ等于 ()12 1 2πA ． k π(k ∈ Z)B ． 2k π＋ 3(k ∈ Z)π πC ． 2k π±(k ∈ Z)D ． 2k π＋ ( k ∈ Z)26sin 2θ＝ cos θ，分析： 由复数相等的充要条件可知，cos θ＝ 3sin θ，31 ∴cos θ＝2 ， sin θ＝ 2，π∴θ＝ ＋ 2k π，k ∈ Z ，应选 D.6答案： D1＋ (a 2－ 1)i 是实数，则实数 a 的值为 ()6．复数 z ＝ a － 1A ．1 或－ 1B ． 1C ．－ 1D ．0 或－ 1a 2－ 1＝ 0，分析： 因为复数 z ＝ 1 ＋ (a 2－ 1)i 是实数，且 a 为实数，则解得 a ＝－ 1，a － 1a － 1≠0，应选 C.答案： C7．若复数 (a 2－ 3a ＋ 2)＋ ( a － 1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 ( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－1a 2－ 3a ＋ 2＝ 0，a ＝ 1或a ＝ 2，分析： 依据复数的分类知，需知足解得即 a ＝ 2.a － 1≠ 0，a ≠ 1，答案： B 二、填空题8．3i 2＋ 7i 的实部为 ________，虚部为 ________． 分析： 3i 2＋ 7i ＝－ 3＋ 7i ，实部为－ 3，虚部为 7. 答案： －379．已知复数 z ＝ m ＋ ( m 2－ 1)i( m ∈ R)知足 z<0，则 m ＝ ________.m 2－ 1＝ 0，分析： ∵ z<0，∴ z 为实数且小于 0，∴解得 m ＝－ 1.m<0，答案： －110．知足 x － 3i ＝ (8x －y)i 的实数 x ， y 的值分别为 ________，________.x ＝ 0，x ＝ 0， 分析： 依题意得解得－ 3＝ 8x － y ，y ＝ 3.答案：0311．已知 (3x ＋ y)＋ (2x － y)i ＝ (7x － 5y)＋ 3i ，则实数 x ＝ ________， y ＝ ________.分析： ∵ x ， y 是实数， ∴依据两个复数相等的充要条件，93x ＋ y ＝ 7x －5y ，x ＝ 4，可得解得32x － y ＝3，y ＝ 2.93答案： 4 212．若 sin 2θ－ 1＋ i( 2cos θ＋ 1)是纯虚数 (此中 i 是虚数单位 )，且 θ∈ [0,2π)，则 θ＝________. 解 析 ： 因 为 sin 2θ－ 1 ＋ i( 2 cos θ＋ 1) 是 纯 虚 数 ， 所 以sin 2θ－1＝ 0， 所 以2cos θ＋ 1≠ 0，sin 2θ＝ 1，2cos θ≠ － 2 ，πθ＝k π＋ 4 k ∈ Z ，π即3π又 θ∈ [0, 2 π)，所以 θ＝4.θ≠2k π± k ∈ Z ，4答案：π4三、解答题13．已知 A ＝ {1,2 ，(a 2－ 3a －1)＋ ( a 2 －5a － 6)i} ，B ＝{ － 1,3} ，A ∩B ＝ {3} ，务实数 a 的值．分析： 由题意，得 (a 2－ 3a －1) ＋( a 2－ 5a － 6)i ＝ 3，∴a 2 －5a － 6＝ 0， 解得 a ＝－ 1.a 2－ 3a － 1＝ 3，14．依据以下条件，分别务实数 x ， y 的值．(1)x 2－ y 2＋ 2xyi ＝ 2i ；(2)(2x － 1)＋ i ＝ y － (3－ y)i.分析： (1) ∵ x 2－ y 2＋ 2xyi ＝ 2i ，且 x ， y ∈R ，x 2－ y 2＝ 0，x ＝1，x ＝－ 1，∴解得或2xy ＝ 2，y ＝1y ＝－ 1.(2)∵ (2x － 1)＋ i ＝ y － (3－ y)i ，且 x ，y ∈ R ，2x － 1＝ y ，x ＝ 52，∴解得1＝－ 3－ y ，y ＝ 4.能力提高15.若对于 x 的方程 (1＋ i)x 2－2(a ＋ i) x ＋5－ 3i ＝ 0(a ∈ R)有实数解，求 a 的值． 分析： 将原方程整理，得 (x 2－ 2ax ＋ 5)＋ (x 2－ 2x － 3)i ＝ 0. 设方程的实数解为x 0，代入上式得2 2 － 3)i ＝ 0.(x － 2ax＋ 5)＋ (x － 2x2x0－ 2ax0＋ 5＝0，由复数相等的充要条件，得2x0－ 2x0－ 3＝ 0，7得 a＝3或 a＝－ 3.m2－m－ 616．求当实数m 为什么值时， z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：m＋3(1)虚数； (2)纯虚数； (3)实数．分析： (1) 复数 z 是虚数的充要条件是m2＋ 5m＋ 6≠ 0，解得 m≠ － 3 且 m≠－ 2.m＋ 3≠ 0，∴当 m≠ － 3 且 m≠ － 2 时，复数z是虚数．(2)复数 z 是纯虚数的充要条件是m2－m－ 6m＝－ 2或 m＝ 3，＝ 0，m＋3解得即 m＝ 3.m≠－ 3且 m≠ － 2，m2＋ 5m＋ 6≠0，∴当 m＝ 3 时，复数z 是纯虚数．m2－ m－ 6(3)由已知得，复数z 的实部为，m＋3虚部为m2＋5m＋6.复数z 是实数的充要条件是m2＋ 5m＋ 6＝ 0，m＝－ 2或m＝－ 3，解得即 m＝－ 2. m＋ 3≠ 0，m≠ － 3，∴当 m＝－ 2 时，复数z 是实数．。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A ∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1} D．∅解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i，1}, 又B＝{1，－1}故A∩B＝{1，－1}．答案：C2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是() A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0解析：因为z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以a＋|a|＝0，因此a≤0.答案：D3．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1 B．±iC．±2i D．±2i答案：C4．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m －6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z ＝m 2(1－i)－m (m ＋i)(m ∈R)，若z 是实数，则m 的值为________．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或m ＝1.答案：0或17．已知M ＝{1，(m ＋3)i}，N ＝{1，2，3i}，若M ∩N ＝M ，则实数m 的值为________．解析：由M ∩N ＝M ，得M ⊆N ，所以(m ＋3)i ＝3i ，即m ＋3＝3，m ＝0.答案：08．设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R)有一实根为n ，则m ＝________．解析：关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R)有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎨⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1. 答案：1三、解答题9．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)由⎩⎨⎧m 2＋m －6＝0，m ＋3≠0，得m ＝2.所以当m ＝2时，z 是实数．(2)由⎩⎨⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎨⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3.所以当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.所以当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数．10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎨⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.B 级 能力提升1．若sin 2θ－1＋(2cos θ＋1)i 是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z) B ．k π＋π4(k ∈Z) C ．2k π±π4(k ∈Z ) D.k 2π＋π4(k ∈Z) 解析：由题意，得⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z)，所以θ＝k π＋π4，k ∈Z. 答案：B2．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的取值范围是________．解析：由log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，且x ∈R ，所以⎩⎨⎧log 2（x 2＋2x ＋1）＝0， ①log 2（x 2－3x －2）＞1.②由①得x ＝0或x ＝－2， 当x ＝0时，代入②式不成立，舍去．当x ＝－2时，代入②式，有log 2(4＋6－2)＝3＞1成立， 因此x ＝－2.答案：{x |x ＝－2}3．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围． 解：由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916. 因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，所以sin θ∈[0，1]．则当sin θ＝38时，λ取最小值－916.当sin θ＝1时，λ取最大值1. 因此，实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1.。