学人教版高中数学选修模块综合测评修订稿

模块综合质量测评一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在复平面内，复数(－)对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵＝(－)＝－＝＋，∴复数在复平面内的对应点为()，在第一象限．答案：．设有一个回归方程＝－，变量每增加一个单位时，变量平均( )．增加个单位．增加个单位．减少个单位．减少个单位解析：＝－的斜率为－，故每增加一个单位，就减少个单位．答案：．下列框图中，可作为流程图的是( )解析：流程图具有动态特征，只有答案符合．答案：．下列推理正确的是( )．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．因为>，>，所以－>－．若，均为正实数，则＋≥．若为正实数，<，则＋＝－≤－＝－解析：中推理形式错误，故错；中，关系不确定，故错；中，正负不确定，故错．答案：．设，是复数，则下列命题中的假命题是( )．若－＝，则＝．若＝，则＝．若＝，则·＝·．若＝，则＝解析：结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解．，－＝⇒－＝⇒＝⇒＝，真命题；，＝⇒＝＝，真命题；，＝⇒＝⇒·＝·，真命题；，当＝时，可取＝，＝，显然＝，＝－，即≠，假命题．答案：．已知数列{}满足＋＝－－(≥，且∈)，＝，＝，记＝＋＋…＋，则下列选项中正确的是( )．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝－解析：＝－＝－，＝＋＋＝；＝－＝－，＝＋＝－；＝－＝－，＝＋＝－；＝－＝－，＝＋＝；＝－＝，＝＋＝.通过观察可知，都是项一重复，所以由归纳推理得＝＝－，＝＝－，故选.答案：．三点()，()，()的线性回归方程是( )＝－＝－＋＝－＝＋解析：由三点()，()，()，可得＝＝，＝＝，即样本中心点为()，∴＝＝，＝－×＝，所以＝＋.答案：．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )．②①③．③①②．①②③．②③①解析：①是结论形式，③是小前提．答案：．阅读如下程序框图，如果输出＝，那么空白的判断框中应填入的条件是( )。

模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．{4}B ．{14}C ．{4,6}D ．{14,2}解析：选C 由C x 14＝C 2x －414得x ＝2x －4或x ＋2x －4＝14，解得x ＝4或x ＝6.经检验知x ＝4或x ＝6符合题意．2．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能成为X 的概率分布列的一组数据是( ) A ．0，12，0,0，12 B ．0.1,0.2,0.3,0.4C ．p,1－p (0≤p ≤1) D.11×2，12×3，…，17×8解析：选D 利用分布列的性质推断，任一离散型随机变量X 的分布列都具有下述两共性质：①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝1.选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36. 3．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( ) A ．0.32 B ．0.68 C ．0.36 D ．0.64解析：选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36.4．已知x ，y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80解析：选B 依题意得，x －＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y －＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a 必过样本中心点(x －，y －)， 即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ， 由此解得a ＝1.45.5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 解析：选D 目标被击中P 1＝1－0.4×0.5＝0.8， ∴P ＝0.60.8＝0.75. 6．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法有( ) A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种解析：选A 直接法：选出3名志愿者中含有1名女生和2名男生或2名女生和1名男生，故共有C 12C 26＋C 22C 16＝2×15＋6＝36种选法；间接法：从8名同学中选出3名，减去全部是男生的状况，故共有C 38－C 36＝56－20＝36种选法．7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的开放式中只有第6项二项式系数最大，则开放式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360 解析：选A 由已知得，n ＝10，T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r ·C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180.8．(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种解析：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 44种．故不同的排法共有A 55＋C 14A 44＝9×24＝216种．9．箱子里有5个黑球和4个白球，每次随机取出一个球．若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C.35×14D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49解析：选B 记“从箱子里取出一球是黑球”为大事A ，“从箱子里取出一个球是白球”为大事B ，则P (A )＝59，P (B )＝49，在第4次取球后停止，说明前3次取到的都是黑球，第4次取到的是白球，又每次取球是相互独立的，由独立大事同时发生的概率公式，在第4次取球后停止的概率为59×59×59×49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.10．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079.则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误． 11．对两个变量y 和x 进行线性相关检验，已知n 是观看值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝10，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④D ．③和④解析：选B 相关系数r 的确定值越接近1，变量x ，y 的线性相关性越强．②中的r 太小，④中观看值组数太小．12．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，接受独立性检验法抽取3 000人，计算发觉k ＝6.023，则依据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )P (K 2≥k )… 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 … k…1.3232.0722.7065.0246.6357.879…A.90% B ．95% C ．97.5%D ．99.5%解析：选C ∵k ＝6.023＞5.024，∴可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担当语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必需担当语文科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担当4个学科的科代表，共有A 47＝840(种)选法． 答案：84014．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的均值是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，P (ξ＝0)＝0.4×0.4×0.4＝0.064，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.37615．抽样调查表明，某校高三同学成果(总分750分)X 近似听从正态分布，平均成果为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________.解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.316．某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些同学状况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业 男 13 10 女720为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，计算得到K 2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．解析：依据供应的表格得 K 2＝50×13×20－7×10223×27×20×30≈4.844>3.841.所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系． 答案：4.844 能三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫6x ＋16x n开放式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值．(2)此开放式中是否有常数项？为什么？解：(1)T k ＋1＝C k n·⎝⎛⎭⎫6x n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16x k ＝C kn ·x n －2k 6，由题意可知C 1n ＋C 3n ＝2C 2n ，即n 2－9n ＋14＝0， 解得n ＝2(舍)或n ＝7.∴n ＝7. (2)由(1)知T k ＋1＝C k7·x 7－2k6. 当7－2k 6＝0时，k ＝72，由于k ∉N *， 所以此开放式中无常数项．18．(本小题满分12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场竞赛，每场均决出胜败，设这支篮球队与其他篮球队竞赛胜场的大事是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了2场的概率； (2)求这支篮球队在6场竞赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场竞赛中胜场数的均值和方差．解：(1)这支篮球队首次胜场前已负2场的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.(2)这支篮球队在6场竞赛中恰好胜3场的概率为P ＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.(3)由于X 听从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝43.故在6场竞赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.19．(本小题满分12分)某商场经销某商品，依据以往资料统计，顾客接受的付款期数X 的分布列为商场经销一件该商品，接受250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求大事：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位接受1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及E (Y )．解：(1)由A 表示大事“购买该商品的3位顾客中至少有1位接受1期付款”知，A 表示大事“购买该商品的3位顾客中无人接受1期付款”．P (A )＝(1－0.4)3＝0.216， P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元．P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P (Y ＝300)＝1－P (Y ＝200)－P (Y ＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2， Y 的分布列为E (Y )20．(本小题满分12分)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)． 解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－12×1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512. (2)由题意得，ξ全部可能的取值为0,40,80,120,160.P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124， ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×12＋120×4＋160×24＝80.21．(本小题满分12分)甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，接受分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量．(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175，且y ≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估量乙厂生产的优等品的数量．(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值． 解：(1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35. (2)样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.(3)ξ＝0,1,2，P (ξ＝i )＝C i 2C 2－i3C 25(i ＝0,1,2)，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P31035110均值E (ξ)＝1×35＋2×110＝45.22．(本小题满分12分)某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区(如下图)，L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，35.(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及均值E (X )，并依据“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你挂念救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：(1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为大事A ，则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920，所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P110920920E (X )＝0×110＋1×920＋2×920＝2720.法一：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3，P (Y ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (Y ＝1)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (Y ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38， P (Y ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， 所以，随机变量Y 的分布列为Y0 1 2 3 P18383818E (Y )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝2，由于E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．法二：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， 所以，E (Y )＝3×12＝32，由于E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．。

【金版学案】2016-2017学年高中数学 模块综合评价 新人教A 版选修4-1(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图所示，已知AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，那么下列比例式成立的是( )A.OA ′OA ＝OCOC ′ B.A ′B ′AB ＝B ′C ′BC C.A ′C ′AC ＝OCOC ′ D.AB A ′B ′＝OCCC ′解析：因为AB ∥A ′B ′， 所以OA ′OA ＝OB ′OB .同理OC ′OC ＝OB ′OB . 所以OA ′OA ＝OC ′OC，所以A 不成立． A ′B ′AB ＝OB ′OB ＝B ′C ′BC ，所以A ′B ′AB ＝B ′C ′BC， 所以B 成立． 由于OA ′OA ＝OC ′OC .所以AC ∥A ′C ′. 所以A ′C ′AC ＝OC ′OC，所以C 不成立． AB A ′B ′＝OB OB ′＝OC OC ′，所以D 不成立． 答案：B2．在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线，AC ∶BC ＝3∶1，则S △ABC ∶S △ACD 为( ) A ．4∶3 B ．9∶1 C ．10∶1D ．10∶9解析：因为AC∶BC＝3∶1，所以S△ACD∶S△CBD＝9∶1，所以S△ABC∶S△ACD＝10∶9.答案：D3.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB中点，BF⊥CE于F，那么S△BFC∶S正方形ABCD＝( )A．1∶3 B．1∶4C．1∶5 D．1∶6解析：因为S△BEC∶S正方形ABCD＝1∶4，又S△BEF∶S△BCF＝(BE∶BC)2＝1∶4，所以S△BFC∶S正方＝1∶5.形ABCD答案：C4.如图所示，在△ABC中，EE1∥FF1∥MM1∥BC，若AE＝EF＝FM＝MB，则∶∶∶为( )A．1∶2∶3∶4B．2∶3∶4∶5C．1∶3∶5∶7D．3∶5∶7∶9解析：因为∶＝1∶4，所以∶＝1∶3，又因为∶＝1∶9，所以∶＝1∶5，又因为∶S△ABC＝1∶16，所以∶＝1∶7.答案：C5．如图所示，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC＝( )A ．150°B ．130°C ．120°D ．60° 解析：由条件可知，∠AOB ＝60°， 所以∠BOC ＝120°. 答案：C6．圆内接四边形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 的度数比是2∶3∶6，则∠D ＝( ) A ．67.5° B ．135° C ．112.5°D ．110°解析：因为∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°，∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶6，所以∠B ∶∠D ＝3∶5，所以∠D 的度数为58×180°＝112.5°.答案：C7.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AC ∶BC ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：因为AC ∶BC ＝1∶2，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，所以AD ∶DB ＝1∶2， 所以可设AD ＝t ，DB ＝2t ，又因为CD 2＝AD ·DB ，所以36＝t ·2t ， 所以2t 2＝36，所以t ＝32(cm)， 即AD ＝3 2 cm. 答案：B8.如图所示，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.32D ．非上述结论解析：用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e ＝cos 60°＝12.答案：A9.如图所示，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°解析：如图所示，连接OC .由AB 为切线，有OB ⊥AB .因为OB ＝BD ，所以∠AOB ＝∠D ，∠OAB ＝∠DAB ，而∠CAO ＝∠OAB ， 所以∠OAB ＝13∠CAD ＝13×78°＝26°.所以∠AOD ＝∠ADO ＝64°. 答案：B10.如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°解析：因为AB 是⊙O 的直径，所以ACB ︵的度数是180°， 因为BC ＝CD ＝DA ， 所以BC ︵＝CD ︵＝DA ︵，所以∠BCD ＝12(180°＋60°)＝120°.答案：C11.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r ＝32，AC ＝2，则cos B 的值是( )A.32B.53C.52D.23解析：cos B ＝cos D ，又因为AD 为直径，所以cos D ＝DC AD ＝32－223＝53.答案：B12．如图所示，AB ＝2，BC ＝2，CD ＝1，∠ABC ＝45°，则四边形ABCD 的面积为( )A.3＋33 B.3＋224 C.3＋222 D.3＋34解析：如图所示，连接AC ，OD ，则△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝2，S △ABC ＝12×2×2＝1.又因为OD ＝OC ＝CD ，所以△OCD 为等边三角形，所以∠OCD ＝60°，所以∠ACD ＝60°－45°＝15°，S △ADC ＝12·AC ·DC sin 15°＝3－14， 因此四边形ABCD 的面积为3＋34.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图所示，点E 、F 分别在AD 、BC 上，已知CD ＝2，EF ＝3，AB ＝5，若EF ∥CD ∥AB ，则CF FB等于________．解析：如图所示，过点C 作CH ∥DA 交EF 于点G ，交AB 于点H ，则EG ＝AH ＝DC ＝2，GF ＝1，BH ＝3.因为GF ∥HB ，所以CF CB ＝GF HB ＝13，所以CF FB ＝12.答案：1214.如图所示，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan2θ2＝__．解析：设半径为r ，则AD ＝32r ，BD ＝12r ，由CD 2＝AD ·BD 得CD ＝32r ，从而θ＝π3，故tan 2θ2＝13. 答案：1315.如图所示，PA 与圆O 相切于点A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点．已知∠BPA ＝30°，AD ＝2，PC ＝1，则圆O 的半径等于________．解析：因为PA 为切线，所以AE 垂直于PA ，又因为∠BPA ＝ 30°，且AD ＝2，所以PD ＝4，由切割线定理得PA 2＝PC ·PB ， 所以(23)2＝1×PB ⇒PB ＝12， 所以CD ＝3，BD ＝8，所以CD ·DB ＝AD ·DE ⇒3×8＝2×DE ，所以DE ＝12，所以圆的直径为14，所以圆的半径为7. 答案：716．如图所示，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．答案：1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E ，求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：如图所示，过D 作DG ∥AB ，交CF 于点G ， 所以△AEF ∽△DEG ，△CDG ∽△CBF ，所以AE AF ＝DE DG ，DG BF ＝CDCB.因为D 为BC 的中点，CD ＝12CB ，DG BF ＝12，DG ＝12BF ，AE AF ＝2DE BF， 即AE ·BF ＝2DE ·AF18.(本小题满分12分)如图所示，⊙O 与⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 引直线CD ，EF 分别交两圆于点C 、D 、E 、F ，EC 与DF 的延长线相交于点P ，求证：∠P ＋∠CBD ＝180°.证明：如图所示，连接AB ，因为∠E 与∠CBA 是圆O 中AC ︵所对的圆周角， 所以∠E ＝∠CBA .又四边形ABDF 内接于⊙O ′，所以∠PFA ＝∠ABD ， 所以∠E ＋∠PFE ＝ ∠CBA ＋∠ABD ＝∠CBD .又因为∠E ＋∠P ＋∠PFE ＝180°， 所以∠P ＋∠CBD ＝180°.19.(本小题满分12分)如图所示，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.20.(本小题满分12分)如图所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：如图所示，连接OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .21．(本小题满分12分)如图所示，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切， 得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2.又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2.从而∠FEB ＝∠EAB . 故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 类似可证Rt △ADE ≌Rt △AFE ， 得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ， 所以EF 2＝AD ·BC .22.(本小题满分12分)如图所示，直线PQ 与⊙O 切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点．(1)求证：QC ·AC ＝QC 2－QA 2；(2)若AQ ＝6，AC ＝5，求弦AB 的长．(1)证明：因为PQ 与⊙O 相切于点A ， 所以∠PAC ＝∠CBA ，因为∠PAC ＝∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CBA ，所以AC ＝BC .由割线定理得：QA 2＝QB ·QC ＝(QC －BC )QC ， 所以QC ·BC ＝QC 2－QA 2，所以QC ·AC ＝QC 2－QA 2.(2)解：由AC ＝BC ＝5，AQ ＝6及(1)知，QC ＝9， 由∠QAB ＝∠ACQ 知△QAB ∽△QCA ，所以AB AC ＝QA QC ，所以AB ＝103.。

人教版高中数学选修修订模块综合检测卷含答案解析GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0) D ．(－2π，0) 1．A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12（1＋sin θ）(θ为参数，0≤θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，122.B3．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2 D.|t 1＋t 2|23.B4．设r ＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 4.B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3 5.A6．若双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2sec θ(θ为参数)，则它的渐近线方程为( )A ．y －1＝±12(x ＋2)B ．y ＝±12xC ．y －1＝±2(x ＋2)D ．y ＝±2x 6.C7．原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)上各点的最短距离为( )A.13－2B.13＋2 C ．3＋13 D.13 7.A8．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－5，5π3 8.A 9．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A.12B.22 C ．1 D. 2 9．D10．若曲线ρ＝22上有n 个点到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2的距离等于2，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10.C11．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ（θ是参数，0<θ<π），N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若集合M ∩N ≠Ø，则b 应满足( )A ．－32≤b ≤3 2B ．－32<b <－3C ．0≤b ≤3 2D ．－3<b ≤3 211．解析：集合M 表示x 2＋y 2＝9的圆，其中y ＞0，集合N 表示一条直线，画出集合M 和N 表示的图形，可知－3＜b ≤3 2.答案：D12．点P (x ，y )是曲线3x 2＋4y 2－6x －8y －5＝0上的点，则z ＝x ＋2y 的最大值和最小值分别是( )A ．7，－1B ．5，1C ．7，1D ．4，－112．解析：将原方程配方得（x －1）24＋（y －1）23＝1，令⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，则x ＋2y ＝3＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1时，(x ＋2y )max ＝7，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，(x ＋2y )min ＝－1.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．设点p 的直角坐标为(1，1，2)，则点P 的柱坐标是________，球坐标是________．13.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π414．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________．14．－115．(2015·深圳市高三第一次调研考试，理数)在极坐标系中，曲线C 1：ρcos θ＝2与曲线C 2：ρ2cos 2θ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 15．216．(2013·广东卷)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．16．ρcos θ＋ρsin θ＝2三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆的位置关系．17．解析：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为 (x －1)2＋y 2＝1.所以圆心为(1，0)，半径r ＝1， 则圆心到直线l 的距离d ＝22<1，所以直线l 与圆C 相交． 18．(2015·全国卷Ⅱ，数学文理23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，且t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3: ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |最大值．18．解析：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y2－23x ＝0，联立两方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32，所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π，因此点A 的极坐标为(2sin α，α)，点B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，当α＝5π6时|AB |取得最大值，最大值为4.19．(本小题满分14分)已知直线l 经过P (1，1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 19．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t代入x 2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4，∴t 2＋(3＋1)t －2＝0，∴t 1t 2＝－2，故点P 到A ，B 两点的距离之积为2.20．(本小题满分14分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 20．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2. 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得：ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)解法一 由 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (t 为参数，－3≤t ≤3)．解法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ⇒y ＝1cos θ·sin θ＝tan θ， 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，－π3≤θ≤π3.21．(本小题满分14分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 21．解析：(1)由已知可得 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1, 3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．22．(本小题满分14分)分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ化为普通方程．(1)θ为参数，t 为常数； (2)t 为参数，θ为常数．22．解析：(1)当t ＝0时，y ＝0，x ＝ cos θ，即|x |≤1，且y ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝x12（e t ＋e －t ），sin θ＝y12（e t －e －t ），而x 2＋y 2＝1，即x 214（e t ＋e －t ）2＋y 214（e t －e －t ）2＝1.(2)当θ＝k π，k ∈Z 时，y ＝0，x ＝±12(e t ＋e －t )，即|x |≥1，且y ＝0；当θ＝k π＋π2，k ∈Z 时，x ＝0，y ＝±12(e t －e －t)，即x ＝0；当θ≠k π2，k ∈Z 时，有⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋e －t＝2x cos θ，e t－e－t ＝2y sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧2e t＝2x cos θ＋2y sin θ，2e －t＝2x cos θ－2y sin θ，得 2e t·2e －t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x cos θ＋2y sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x cos θ－2y sin θ，即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·北京高考)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >bD ⇒/a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2D ⇒/a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．【答案】 D2．过点P (1，－3)的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝13y 或x 2＝－13y B ．x 2＝13y C ．y 2＝－9x 或x 2＝13yD ．x 2＝－13y 或y 2＝9x【解析】 P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)，代入P (1，－3)得y 2＝9x 或x 2＝－13y .故选D.【答案】 D3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( ) ①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”；②“p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的充分不必要条件；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；④对命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①正确；②由p ∨q 为真可知，p ，q 至少有一个是真命题即可，所以p ∧q 不一定是真命题；反之，p ∧q 是真命题，p ，q 均为真命题，所以p ∨q 一定是真命题，②不正确；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】 B4．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)<f (1)C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定【解析】 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2.∴f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x ，f (1)＝－3，f (－1)＝5.∴f (－1)>f (1)．【答案】 C5．(2014·福建高考)命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( )A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0【解析】 故原命题的否定为：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.故选C.【答案】 C6．已知双曲线的离心率e ＝2，且与椭圆x 224＋y 28＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33xC ．y ＝±3xD ．y ＝±23x【解析】 双曲线的焦点为F (±4,0)，e ＝c a ＝2，∴a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .【答案】 C7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( ) 【导学号：26160107】A ．1 B.32 C ．2 D ．3【解析】 因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.【答案】 C8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋3上移动，过点P 的切线的倾斜角的取值范围为( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 f ′(x )＝3x 2－1≥－1，即切线的斜率k ≥－1，所以切线的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D10．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 【解析】 f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0，即kx ＋2k －2≤0在(0,4)上恒成立，得k ≤2x ＋2，x ∈(0,4)，又13＜2x ＋2＜1，∴k ≤13. 【答案】 D11．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1, 5)B ．(5，＋∞)C ．(1, 5]D ．[5，＋∞)【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有b a >2，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2> 5. 【答案】 B 12．(2014·湖南高考)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2【解析】 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x －1x ＝x e x－1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象，可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴x 2e x 1>x 1e x 2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．【解析】 a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3.【答案】 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<314．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________. 【导学号：26160108】【解析】 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.【答案】 3x －y ＋1＝015.如图1为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式xf ′(x )＜0的解集为________________．图1【解析】 当x ＜0时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数，由图象可知x ∈(－∞，－3)；当x ＞0时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数，由图象可知x ∈(0, 2)． ∴xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0, 2)．【答案】 (－∞，－3)∪(0, 2)16．若O 和F 分别是椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 【解析】 由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6. 【答案】 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设命题p ：方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线；命题q ：∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0.若命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．【解】 对于命题p ，因为方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m )(m ＋4)<0，解得m <－4或m >12，则命题p ：m <－4或m >12.对于命题q ，因为∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0，即不等式3x 2＋2mx ＋m ＋6<0在实数集R 上有解，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m ＋6)>0，解得m <－3或m >6.则命题q ：m <－3或m >6.因为命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以命题p 与命题q 有且只有一个为真命题．若命题p 为真命题且命题q 为假命题，即⎩⎨⎧ m <－4或m >12，－3≤m ≤6，得12<m ≤6；若命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎨⎧ －4≤m ≤12，m <－3或m >6，得－4≤m <－3.综上，实数m 的取值范围为[－4，－3)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，6. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R )，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．【解】 (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .从而g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋bx 2＋cx －(3x 2＋2bx ＋c )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c∵g (x )是奇函数，∴－x 3＋(b －3)x 2－(c －2b )x －c＝－[x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ]得(b －3)x 2－c ＝0对x ∈R 都成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝0，c ＝0，得b ＝3，c ＝0. (2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2， 2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42，g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋b 所得的弦长为|AB |＝3 5.(1)求b 的值； 【导学号：26160109】(2)在x 轴上求一点P ，使△APB 的面积为39.【解】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋b ，消去y ，得方程：4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，|AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5(1－b )2－b 2＝35，解得b ＝－4.(2)将b ＝－4代入直线y ＝2x ＋b ，得AB 所在的直线方程为2x －y －4＝0，设P (a,0)，则P 到直线AB 的距离为d ＝|2a －4|5. △APB 的面积S ＝12×|2a －4|5×35＝39，则a ＝－11或15， 所以P 点的坐标为(－11,0)或(15,0)．20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )极小值极大值故x ＝12时，f (x )取到极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 21．(本小题满分12分)(2016·大连高二检测)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a <0)．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 由题意，x >0.(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2－ln x ， f ′(x )＝x －1x ，令f ′(x )＝x －1x >0，解得x >1， 所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)；f ′(x )＝x －1x <0，得0<x <1， 所以f (x )的单调减区间为(0,1)， 所以函数f (x )在x ＝1处有极小值f (1)＝12. (2)因为a <0，f ′(x )＝x ＋ax . 令f ′(x )＝0，所以x ＝－a ， 列表：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值这时f (x )min ＝f (－a )＝－a2＋a ln －a ， 因为∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立， 所以－a2＋a ln －a ≥0，所以a ≥－e ， 所以a 的取值范围为[－e,0)．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围.【导学号：26160110】【解】 (1)由题意e ＝12，即e ＝c a ＝12，∴a ＝2c . ∴b 2＝a 2－c 2＝(2c )2－c 2＝3c 2. ∴椭圆C 的方程可设为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 代入A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，得14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1.解得c 2＝1，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，(2)由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由题意，Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， 整理得：3＋4k 2－m 2＞0，① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为P (x 0，y 0)， x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2.由已知，MN ⊥GP ，即k MN ·k GP ＝－1， 即k ·3m3＋4k 2－0－4km 3＋4k 2－18＝－1，整理得：m ＝－3＋4k 28k .代入①式，并整理得：k2＞120，即|k|＞510，∴k∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝⎛⎭⎪⎫510，＋∞.。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为()A．i B．－iC．1D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为()A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值()【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i－1)2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了() A．直接求出回归直线方程B．直接求出回归方程C．根据经验选定回归方程的类型D．估计回归方程的参数【解析】散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()图1 A．5 B．6 C．7 D．8【解析】运行第一次：S＝1－12＝12＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形 【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4，所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)．【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba＋b ＝1858，dc＋d＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论________．【解析】由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝...＝b11b20，∴10b11b12...b20＝30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z＝(1－4i)(1＋i)＋2＋4i3＋4i，求|z|.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2. 18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】 学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病 患其他病 总计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得 k ＝110×(20×50－10×30)230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】假设1a，1b，1c能构成等差数列，则2b＝1a＋1c，因此b(a＋c)＝2ac.而由于a，b，c构成等差数列，且公差d≠0，可得2b＝a＋c，∴(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，即1a ，1b，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.分析法：要证ax＋by≤1成立，只要证1－(ax＋by)≥0，只要证2－2ax－2by≥0，又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x2，a^＝y－b^x－.【解】(1)散点图如图，(2)x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i＝15x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i＝15x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以b^＝∑i＝15x i y i－5x－y－∑i＝15x2i－5x－2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a^＝y－b^x－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是林老师网络编辑整理y^＝0.625x＋22.05.(3)x＝96，则y^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．林老师网络编辑整理。

模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z)解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.答案：C2．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线解析：由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线． 答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝π4对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点是N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ，从而所求曲线方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.答案：A4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，所以t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，所以x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1. 答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B. 2 C ．5 D. 5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为()0，2，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是 5.答案：D7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意易知圆的圆心M (1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|3×1－4×2－5|32＋42＝2. 答案：B8．点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝⎛⎭⎪⎫1，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3.答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)化为普通方程为y 24－x 2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝a 2t －1(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧at ＝1＋cos θ，a 2t －1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a 2t －1)2＝4，即a 2(a 2＋4)t 2－2a (a ＋4)t ＋1＝0， Δ＝4a 2(a ＋4)2－4a 2(a 2＋4)＝16a 2(2a ＋3)． 直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0， 即a ≥－32.答案：C11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF 2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3B ．ρcos θ－3ρsin θ＝ 3 C.3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3 D.3ρcos θ－ρsin θ＝ 3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F 2的坐标为(1，0)，直线AF 2的直角坐标方程是x ＋y3＝1，即3x ＋y ＝3，化为极坐标方程就是3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3.答案：C12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝22t (t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0， 即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝22t 的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－2×3＋1|12＋（－2）2＝5，所以直线l 与圆C 相交所得弦长为2r 2－d 2＝ 29－5＝4. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，π414．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝π4时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y ＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝322＋32π8，y ＝322－32π8，所以当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8.答案：⎝⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π815．若直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.答案：32＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a >b >0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －3＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝3，所以c ＝3，b ＝1，所以a 2＝3＋1＝4，所以a ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0， 由l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22，ρsin θ－ρcos θ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，得ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t得x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0，所以直线l 的普通方程为x －3y －m ＝0. (2)设圆心到直线l 的距离为d ， 由(1)可知直线l ：x －3y －2＝0， 曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l 的距离为d ＝|1－3×0－2|1＋（3）2＝12. 所以|AB |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.因此|AB |的值为 3.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2， 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t为参数)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.(2)直线l 的普通方程为22x －y －1＝0， 圆心到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|3＝223，所以|AB |＝22－89＝2103，点P 到直线AB 距离的最大值为2＋223＝523，故最大面积S max ＝12×2103×523＝1059. 22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。

模合价(二 )(： 120 分分：150分)一、 (本大共12 小，每小 5 分，共 60 分．在每小出的四个中，只有一是切合目要求的 )1＋z＝ i， |z|＝ ()1．复数 z 足1－zA． 1 B. 2C.31＋ z分析：由＝ i，得答案： A－1＋ iz＝1＋ iD． 2（－ 1＋ i）（ 1－ i）＝＝ i，因此 |z|＝ 1，故 A.（ 1＋ i）（ 1－ i）2．如所示的框是构的是()A. P? Q1→ Q1? Q2→ Q2? Q3→ ⋯→ Q n? Q获取一个明B.Q? P1→ P1? P2→ P2? P3→⋯→建立的条件C.D.入→找→→借→出→分析： C 构，其他流程．答案： C3．用反法明命：“若 a，b∈ N，ab 能被 3 整除，那么 a，b 中起码有一个能被 3 整除” ，假()A． a， b 都能被 3 整除B． a， b 都不可以被3 整除C． a， b 不都能被 3 整除D． a 不可以被 3 整除分析：因“起码有一个”的否认“一个也没有”．答案： B4．下边几种推理中是演推理的是()A．因 y＝ 2x是指数函数，因此函数y＝ 2x定点 (0， 1)B．猜想数列1，1，1 ，⋯的通公式an＝1( n∈ N * )1× 22× 3 3× 4n（ n＋ 1）22C ．由圆 x 2＋ y 2＝ r 2 的面积为 π r 2猜想出椭圆xa 2＋ yb 2＝ 1 的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x － a)2＋ (y －b) 2＝ r 2，推断空间直角坐标系中球的方程为 (x － a)2＋ (y － b)2＋ ( z － c)2＝ r 2分析：选项 B 为概括推理，选项 C 和选项 D 为类比推理，选项A 为演绎推理．答案： A5．以下推理正确的选项是 ()A ．把 a(b ＋ c)与 log a (x ＋ y)类比，则有： log a (x ＋ y)＝ log a x ＋ log a yB ．把 a(b ＋ c)与 sin(x ＋ y)类比，则有： sin(x ＋ y)＝ sin x ＋ sin yn n n n nD ．把 (a ＋ b)＋ c 与 (xy)z 类比，则有： (xy)z ＝ x(yz)π分析： A 中类比的结果应为log a (xy)＝ log a x ＋ log a y ，B 中如 x ＝ y ＝ 2 时不建立， C 中如 x＝ y ＝ 1 时不建立， D 中关于随意实数联合律建立．答案： D（ 1－ i ） 26．已知 ＝ 1＋ i(i 为虚数单位 )，则复数 z ＝ ()z A ． 1＋ iB ． 1－ iC ．－ 1＋ iD ．－ 1－ i（ 1－ i ） 2分析：因为z＝ 1＋ i ，（ 1－ i ） 2（ 1－ i ） 2（ 1－ i ） （ 1＋ i 2－ 2i ）（ 1－ i ） － 2i （ 1－ i ）＝－ 1－ i. 因此 z ＝ ＝ （ 1＋ i ）（ 1－ i ） ＝ 2＝ ＋i－ i 21 1答案： D^7．依据以下样本数据获取的回归方程为y ＝ bx ＋ a ，则 ( )x 3 4 56 7 8 y4.02.5－ 0.50.5－ 2.0－ 3.0A.a ＞ 0， b ＞ 0 B ． a ＞ 0， b ＜ 0 C ． a ＜ 0， b ＞ 0D ． a ＜ 0， b ＜ 0分析：作出散点图以下：^察看图象可知，回归直线y＝ bx＋ a 的斜率 b＜ 0，^当 x＝0 时， y＝ a＞ 0.故 a＞ 0，b＜ 0.答案： B8．以下推理正确的选项是()C．若 a， b 均为正实数，则 lg a＋ lg b≥ 2lg a· lg ba b－ a－ b－ a－ bD．若 a 为正实数， ab<0，则b＋a＝－b＋a≤－ 2b·a＝－ 2分析： A 中推理形式错误，故 A 错； B 中 b， c 关系不确立，故 B 错； C 中 lg a， lg b 正负不确立，故 C 错． D 利用基本不等式，推理正确．答案： D9．若复数 (x2＋ y2－ 4)＋ (x－ y)i 是纯虚数，则点 (x， y) 的轨迹是 ()A．以原点为圆心，以 2 为半径的圆B．两个点，其坐标为(2， 2)， (－ 2，－ 2)C．以原点为圆心，以 2 为半径的圆和过原点的一条直线D．以原点为圆心，以 2 为半径的圆，而且除掉两点( 2， 2)， (－ 2，－ 2)分析：因为复数 (x2＋ y2－ 4)＋ (x－ y)i 是纯虚数，因此x2＋ y2－ 4＝ 0，且 x≠y，由可解得 x2＋ y2＝ 4(x≠y)，故点 (x，y)的轨迹是以原点为圆心，以 2 为半径的圆，而且除掉两点 (2，2)，(－ 2，－ 2)．答案： D10．实数 a， b， c 知足 a＋ 2b＋ c＝ 2，则 ()A． a， b， c 都是正数B． a， b， c 都大于 1C． a， b， c 都小于 21D． a， b， c 中起码有一个不小于2分析：假定 a ， b ， c 中都小于 1，21 1 1 则 a ＋2b ＋ c< ＋ 2× ＋ ＝ 2，与 a ＋ 2b ＋ c ＝2 矛盾22 21因此 a ， b ， c 中起码有一个不小于2.答案： D11．某班主任对全班50 名学生进行了以为作业量多少的检查，数据以下表所示．则以为“喜爱玩电脑游戏与作业的多罕有关系 ”的掌握大概为 ( )分类以为作业多以为作业不多总计喜爱玩电脑游戏 18 9 27不喜爱玩电脑游戏815 23总计26 2450A.99% B ． 95% C ． 90%D ． 97.5%分析： K 2 的观察值为 k ＝50（18×15－9×8）2≈ 5.059>5.024.27× 23× 26× 24又 P( K 2≥ 5.024)＝ 0.025，因此以为 “喜爱玩电脑游戏与作业的多罕有关系”的掌握为 97.5%.答案： D12．履行以下图的程序框图， 假如输入的 x ＝ 0，y ＝ 1，n ＝ 1，则输出 x ，y 的值知足 ( )A ． y ＝ 2xB ． y ＝ 3xC ． y ＝ 4xD ． y ＝ 5x分析：输入 x ＝ 0，y ＝ 1，n ＝ 1，得 x ＝ 0， y ＝ 1， x 2＋ y 2＝ 1<36，不知足条件；履行循环：1， y ＝ 2， x 2＋ y 2＝ 1＋ 4<36 ，不知足条件；履行循环： n ＝ 3， x ＝ 3， y ＝ 6， x 2＋ y 2n ＝ 2， x ＝ 242＝9＋ 36>36，知足条件，结束循环，输出x＝3， y＝ 6，因此知足 y＝ 4x.42答案： C二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上)13．设 (1＋ 2i)(a＋ i)的实部与虚部相等，此中 a 为实数，则 a＝ ________．分析：因为 (1＋ 2i)( a＋ i)＝ (a－ 2)＋ (2a＋ 1)i，且 a∈ R，由题意得 a－ 2＝2a＋ 1，因此 a＝－ 3.答案：－ 314．已知圆的方程是x2＋ y2＝ r2，则经过圆上一点M (x0， y0)的切线方程为 x0x＋ y0y＝ r2.类比上述性质，能够获取椭圆x2y2＝1 近似的性质为a2＋b2______________________________________________ ．分析：圆的性质中，经过圆上一点M (x0， y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与 y分别用 M (x0，y0)的横坐标与纵坐标替代．故可得椭圆x2y2x2y2 2＋ 2＝1近似的性质为：过椭圆a2＋ 2 a b b＝ 1 上一点 P(x0， y0)的切线方程为x0x y0ya2＋b2＝ 1.x2y2x0x y0y答案：经过椭圆2＋2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为 2 ＋ 2 ＝1a b a b15．现有爬行、哺乳、飞翔三类动物，此中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞翔动物，请你把以下构造图增补完好：①为______，②为 ______，③为 ________．分析：依据题意，动物分红三大类：爬行动物、哺乳动物和飞翔动物，故可填上②，然后细分每一种动物包含的种类，填上①③.答案：地龟哺乳动物长尾雀^ ^ ^16．已知线性回归直线方程是 y＝ a ＋ bx，假如当 x＝ 3 时， y 的预计值是17，x＝ 8 时， y 的预计值是 22，那么回归直线方程为 ______．分析：第一把两组值代入回归直线方程得^ ^^3b＋ a＝ 17，b＝ 1，解得^^ ^8b＋ a＝ 22， a ＝ 14.^因此回归直线方程是y＝ x＋ 14.^答案： y＝x＋ 14三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分 10 分 )已知 a∈R ，问复数 z＝ (a2－ 2a＋4)－ (a2－ 2a＋ 2)i 所对应的点在第几象限？复数 z 对应点的轨迹是什么？解：由 a2－ 2a＋ 4＝ (a－ 1)2＋ 3≥3，－ (a2－ 2a＋ 2)＝－ (a－ 1)2－ 1≤－ 1.知 z 的实部为正数，虚部为负数，因此复数z 的对应点在第四象限．x＝ a2－ 2a＋ 4，设 z＝ x＋ yi(x， y∈R) ，则y＝－（ a2－ 2a＋ 2），因为 a2－ 2a＝ (a－ 1)2－ 1≥－ 1，因此 x＝ a2－ 2a＋ 4≥3，消去 a2－ 2a，得 y＝－ x＋ 2(x≥3)，因此复数 z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为 y＝－x＋2－ (x≥ 3)．18． (本小题满分12 分 )设 a， b， c 为一个三角形的三边，S＝1(a＋ b＋ c)，且 S2＝ 2ab，2求证： S<2a.证明：因为S2＝ 2ab，因此要证S<2a，2S只要证 S<，即b<S.1因为 S＝2(a＋ b＋ c)，只要证2b<a＋ b＋ c，即证 b<a＋ c.因为 a， b， c 为三角形三边，因此 b<a＋ c 建立，因此S<2a 建立．19． (本小题满分12 分 )察看以下各等式：tan 30°＋ tan 30 ＋°tan 120 ＝°tan 30 ·°tan 30 ·°tan 120 ，°tan 60°＋ tan 60 ＋°tan 60 ＝°tan 60 ·°tan 60 ·°tan 60 ，° tan30°＋ tan 45 ＋°tan 105 ＝°tan 30 ·°tan 45 ·°tan 105 .°剖析上述各式的共同特色，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明．解：表示一般规律的等式是：若A＋ B＋ C＝π，则 tan A＋ tan B＋ tan C＝ tan A· tan B· tan C.tan A＋ tan B证明：因为tan(A＋ B)＝，因此 tan A＋ tan B＝ tan(A＋ B)(1－ tan Atan B)．而 A＋ B＋ C＝π，因此 A＋ B＝π－ C.于是 tan A＋ tan B＋ tan C＝ tan(π－ C)(1－ tan Atan B)＋ tan C＝－ tan C＋ tan Atan BtanC＋ tan C＝ tan A· tan B· tan C.故等式建立．20． (本小题满分－z 12 分 )已知 (2＋ i) z＝ 7＋ i，求 z 及 .z－解：设 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，则 z ＝ a－ bi.因此 (2＋ i)(a－ bi)＝ 7＋ i，因此 (2a＋ b)＋ ( a－ 2b)i＝ 7＋ i，2a＋ b＝ 7，a＝ 3，因此解得a－ 2b＝ 1.b＝ 1，因此 z＝3＋ i.－3＋ i（ 3＋ i）23因此 z ＝ 3－ i，因此z＝＝＝4＋z－105i.3 i521． (本小题满分12 分 )等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n， a1＝ 1＋2， S3＝ 9＋ 3 2.(1)求数列 {a n}的通项 a n与前 n 项和 S n；(2)设 b n＝S n*)，求证：数列 {b n}中随意不一样的三项都不行能成为等比数列．n(n∈ N(1)解：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＝ 1＋2，联立得 d＝ 2，3a1＋ 3d＝ 9＋ 32，故 a n＝ 2n－ 1＋ 2，S n＝ n(n＋ 2)．(2)证明：由 (1)得 b n＝S n＝ n＋ 2. n假定数列{b n}中存在三项 b p， b q， b r (p， q， r 互不相等 )成等比数列，则2b q＝ b p b r，进而 (q＋2)2＝ (p＋ 2)(r＋ 2)，因此 (q2－ pr)＋ (2q－ p－ r)2＝ 0.因为 p， q， r∈ N*，因此q2－ pr＝ 0，2q－ p－ r＝ 0，因此p＋ r22＝ 0，2＝ pr，(p－ r)因此 p＝ r，这与 p≠r 矛盾．因此数列 {b n}中随意不一样的三项都不行能成为等比数列．22．(本小题满分 12分 )从某居民区随机抽取10 个家庭，获取第 i 个家庭的月收入x i(单位：千元 ) 与月积蓄y i( 单位：千元) 的数据资料，算得.^ ^^ (1)求家庭的月积蓄y 对月收入 x 的线性回归方程y＝ bx＋ a；(2)判断变量x 与 y 之间是正有关仍是负有关；(3)若该居民区某家庭月收入为7 千元，展望该家庭的月积蓄．－180解： (1) 由题意知n＝ 10， x ＝10i＝10＝ 8，＝ 2－0.3 ×8＝－ 0.4，故所求回归方程为(2)因为变量y 的值随 x 值的增添而增添^y＝ 0.3x－ 0.4.^(b＝ 0.3>0)，故 x 与 y 之间是正有关．^(3)将 x＝ 7 代入回归方程能够展望该家庭的月积蓄为y＝ 0.3× 7－0.4＝ 1.7(千元 )．。

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选B.【答案】 B2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是() 【导学号：97270068】A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6【解析】由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.【答案】 B3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c)＝P(ξ<c－2)，则c的值是()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，∴曲线关于x＝2对称，∵P(ξ>c)＝P(ξ<c－2)，∴c ＋c －22＝2，∴c ＝3.故选C. 【答案】 C4．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32＋1，则A －B 的值为( )A ．128B ．129C ．47D ．0【解析】 A －B ＝37－C 17·36＋C 27·35－C 37·34＋C 47·33－C 57·32＋C 67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.【答案】 A5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120【解析】 ∵C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n＝64，∴n ＝6. T r ＋1＝C r 6x 6－r x －r ＝C r 6x6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3， 常数项T 4＝C 36＝20，故选B. 【答案】 B6．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )A.19B.29C.13D.23【解析】 由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23. 【答案】 D7．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25【解析】 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C 28A 26，故选C.【答案】 C8．一个电路如图1所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )图1A.164B.5564C.18D.116【解析】 开关C 断开的概率为12，开关D 断开的概率为12，开关A ，B 至少一个断开的概率为1－12×12＝34，开关E ，F 至少一个断开的概率为1－12×12＝34，故灯不亮的概率为12×12×34×34＝964，故灯亮的概率为1－964＝5564，故选B.【答案】 B9．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )自然状况概率 方案盈利(万元)S i P i A 1 A 2 A 3 A 4 S 1 0.25 50 70 －20 98 S 2 0.30 65 26 52 82 S 30.45261678－10A.A 1234【解析】 利用方案A 1，期望为 50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7； 利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6； 因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C. 【答案】 C10．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)【解析】 设事件A 发生一次的概率为p ，则事件A 的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，即可得4(1－p )≤6p ，p ≥0.4.又0<p <1，故0.4≤p <1.【答案】 A11．有10件产品， 其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( )A.715B.815C.1415 D ．1【解析】 由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.【答案】 C12．已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1等于( )A ．－10B ．9C ．11D ．－12 【解析】作出y＝a|x|(0<a<1)与y＝|log a x|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C1011＝－2＋11＝9.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25614．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________. 【导学号：97270069】【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.【答案】1815．某市工商局于2016年3月份，对全市流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的X饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶X饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的X饮料的概率是________．【解析】 “第一瓶X 饮料合格”为事件A 1，“第二瓶X 饮料合格”为事件A 2，P (A 1)＝P (A 2)＝0.8，A 1与A 2是相互独立事件，则“甲喝2瓶X 饮料”都合格就是事件A 1，A 2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8×0.8＝0.64. 【答案】 0.6416．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．【解析】 根据题意，每个部门都有3种情况可选，则4个部门选择3个景区有34＝81种不同的选法，记“3个景区都有部门选择”为事件A ，如果3个景区都有部门选择，则某一个景区必须有2个部门选择，其余2个景区各有1个部门选择，分2步分析：(1)从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C 24＝6种分法；(2)每组选择不同的景区，共有A 33＝6种选法．所以3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6＝36种．则P (A )＝3681＝49.【答案】 49三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·河南周口)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．【解】 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n 2，18n (n －1)，∴2·n 2＝1＋18n (n －1)，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8x 8－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 82－k x 4－34k ， 当4－34k ∈Z 时，T k ＋1为有理项． ∵0≤k ≤8且k ∈Z ，∴k ＝0,4,8符合要求．故有理项有3项，分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2. ∵n ＝8，∴展开式中共9项．中间一项即第5项的二项式系数最大，则为T 5＝358x .18．(本小题满分12分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )．【解】 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝420＝15，∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (A )＝C 25C 36＝12，P (AB )＝C 14C 36＝15，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25. 19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值．【解】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝ i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝l xy l xx＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明) 【解】 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”， 事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2，…，7. 由题意知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6，因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.21．(本小题满分12分)(2016·广州综合测试)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不被聘用的概率是625，乙、丙两人同时被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望). 【导学号：97270070】【解】 记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A 1，A 2，A 3，由已知A 1，A 2，A 3相互独立，且满足⎩⎪⎨⎪⎧P (A 1)＝25，[1－P (A 1)][1－P (A 3)]＝625，P (A 2)P (A 3)＝310，解得P (A 2)＝12，P (A 3)＝35.所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为12，35. (2)ξ的可能取值为1,3.因为P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2 A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋ [1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)] ＝25×12×35＋35×12×25＝625，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝3)＝1－625＝19 25，所以ξ的分布列为E(ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.22．(本小题满分12分)(2016·辽宁抚顺月考)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为2 7.(1)请完成上面的能否认为“成绩与班级有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，【解】(1)k≈12.2，所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关．(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，27，且P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫27k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫573－k(k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为E (ξ)＝0×125343＋1×150343＋2×60343＋3×8343＝67.。

模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2 D．2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】 B2．已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】 B3．观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A．a＋b＝22 B．a＋b＝21C．ab＝20 D．ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】 B4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝() 【】A．－e B．－1C．1 D．e【解析】 ∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， ∴f ′(1)＝－1. 【答案】 B5．由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③②①C ．①②③D ．③①②【解析】 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．【答案】 D6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则( )图1A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点【解析】 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值．由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点．【答案】 A7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8．已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A ．a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k D ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项．故选D. 【答案】 D9．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01 x 3d x 则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32； b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44| 10＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1增加的项数是()A．1 B．2k＋1 C．2k－1 D．2k【解析】∵f(k)＝1＋12＋13＋……＋12k－1，又f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1.从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．【答案】 D12．已知函数f(x)＝x3－ln(x2＋1－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则f?a?＋f?b?a＋b的值为()A．恒正B．恒等于0C．恒负D．不确定【解析】可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(x2＋1－x)＋(－x)3－ln(x2＋1＋x)＝0，所以函数为奇函数，同时，f′(x)＝3x2＋1x2＋1>0，f(x)是递增函数，f?a?＋f?b?a＋b＝f?a?－f?－b?a－?－b?，所以f?a?＋f?b?a＋b>0，所以选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．复数3＋ii2(i为虚数单位)的实部等于________．【解析】∵3＋ii2＝－3－i，∴其实部为－3.【答案】－314．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________. 【】 【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎜⎛π65π6∫⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x＝3－π3.【答案】3－π316．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ . 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 【答案】 11三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝?1＋i ?2＋3?1－i ?2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b的值．【解】 z ＝?1＋i ?2＋3?1－i ?2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝?3－i ??2－i ?5＝5－5i5＝1－i.因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－?2＋a ?＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由． 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1?2n －1－1?2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1?2n －1－1?2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列． 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列．20．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围. 【】【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根． 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2,2]． 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2,2]．21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立． 则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．某校教学大楼共有6层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( )A ．25种B ．52种C ．12种D ．36种解析：因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有25种不同走法．答案：A2．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ＜3)等于( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：由正态分布的图象知，x ＝μ＝3为该图象的对称轴， 则P (ξ＜3)＝12.答案：D3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.5由其散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a ＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25解析：— x＝2.5，— y＝3.5，b ^＝0.7，所以a ^＝3.5＋0.7×2.5＝5.25. 答案：D4．(2015·陕西卷)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：二项式的展开式的通项是T r ＋1＝C r n x r ，令r ＝2，得x 2的系数为C 2n ，所以C 2n ＝15，即n 2－n －30＝0，解得n ＝－5(舍去)或n＝6.答案：C5．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1解析：画出散点图(图略)，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1＞0，U与V是负相关，相关系数r2＜0，所以r2＜0＜r1.答案：C6．若随机变量X～B(n，0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64解析：因为X～B(n，0.6)，所以E(X)＝np＝0.6n＝3，所以n＝5，所以P(X＝1)＝C15×0.61×0.44＝3×0.44.答案：C7．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为()A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.06解析：A，B，C三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P＝1－(1－0.9)×(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.答案：B8．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是()A．0.01×0.992B．0.012×0.99C．C130.01×0.992D．1－0.993解析：设A＝“三盒中至少有一盒是次品”，则—A ＝“三盒中没有次品”，又P (— A)＝0.993，所以P (A )＝1－0.993. 答案：D9．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4. 所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1. 答案：A10．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为( )A.17 B.132 C.434D.542解析：设A 表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A 1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A 2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A ＝A 1＋A 2，且A 1，A 2互斥，P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 56·C 14C 610＋1C 610＝542. 答案：D11．(2015·湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ，σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，(P (μ－2σ ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772解析：设X 服从标准正态分布N (0，1)，则P (0＜X ＝1)＝12P (－1＜X ≤1)＝0.341 3，故所投点落入阴影部分的概率P ＝S 阴S 正方形＝0.341 31＝n10 000，得n ＝3 413. 答案：C12．考查正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A.175B.275C.375D.475解析：如题图所示，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，不同取法共有C 26·C 26＝15×15＝225(种)，其中所得的两条直线相互平行但不重合有AC ∥DB ，AD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED，共12对，所以所求概率为P＝12225＝475.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________.ξ012p x2x 1 4解析：由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋14＝1且0≤x≤1，解得x＝12.答案：1 214．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．解析：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．答案：3715．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．解析：小明和小勇都有C25种选购方法，根据乘法原理，选购方法总数是C25C25＝100.选购的两本读物都相同的方法数是C25＝10.故所求的选法种数为100－10＝90.答案：9016．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(— x ，— y )；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误．答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)两台车床加工同一种机械零件如下表：分类合格品 次品 总计 第一台车床加工的零件数 35 5 40 第二台车床加工的零件数50 10 60 总计8515100从这100个零件中任取一个零件，求： (1)取得合格品的概率；(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．解：(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A ，因为在100个零件中，有85个为合格品，则P (A )＝85100＝0.85.(2)从100个零件中任取一个零件是第一台加工的概率为P 1＝40100＝25，第一台车床加工的合格品的概率为P 2＝3540＝78， 所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P ＝P 1·P 2＝25×78＝720. 18．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式中第三项的系数比第二项系数大162，求：(1)n 的值；(2)展开式中含x 3的项．解：(1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n x n －62， T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n x n －32，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81.所以n 2＝81，n ＝9. (2)设第r ＋1项含x 3项，则T r ＋1＝C r 9(x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝(－2)r C r 9x9－3r 2，所以9－3r2＝3，r ＝1.所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 19．(本小题满分12分)(2015·山东卷)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)所有个位数字是5的“三位递增数”是：125，135，145，235，245，345；(2)X的所有取值为－1，0，1.P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝C14·C14＋C24C39＝1142，甲得分X的分布列为：X 0－1 1P 231141142E(X)＝0×23＋114×(－1)＋1142×1＝421.20．(本题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：X 900 1 000 1 100P 0.10.80.1Y 950 1 000 1 050P 0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？解：由期望的定义，得E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．21．(本小题满分12分)某5名学生的总成绩与数学成绩如下表：学生A B C D E总成绩x/分482383421364362数学成绩y/分7865716461(1)画出散点图；(2)求数学成绩对总成绩的回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩．(参考数据：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819 794，482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137 760)解：(1)散点图如图所示：(2)设回归方程为≈0.132，a ^＝— y －b ^— x ≈3395－0.132×2 0125＝14.683 2， 所以回归方程为y ^＝0.132x ＋14.683 2.(3)当x ＝450时，y ^＝0.132×450＋14.683 2＝74.083 2≈74，即数学成绩大约为74分．22．(本小题满分12分)在一次物理与化学两门功课的联考中，备有6道物理题，4道化学题，共10道题可供选择．要求学生从中任意选取5道作答，答对4道或5道即为良好成绩．设随机变量ξ为所选5道题中化学题的题数．(1)求ξ的分布列及数学期望与方差；(2)若学生甲随机选定了5道题，且答对任意一道题的概率均为0.6，求甲没有取得良好成绩的概率(精确到小数点后两位)．解：(1)依题意，得ξ＝0，1，2，3，4.则P (ξ＝0)＝C 56·C 04C 510＝142，P (ξ＝1)＝C 46·C 14C 510＝521， P (ξ＝2)＝C 36·C 24C 510＝1021，P (ξ＝3)＝C 26·C 34C 510＝521，P (ξ＝4)＝C 16·C 24C 510＝142. 所以E (ξ)＝0×142＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2. 所以D (ξ)＝(0－2)2×142＋(1－2)2×521＋(2－2)2×1021＋(3－2)2×521＋(4－2)2×142＝221＋521＋521＋221＝23. (2)“甲没有取得良好成绩”的对立事件是“甲取得良好成绩”，即甲答对4道或5道．甲答对4道题的概率为P 1＝C 45×0.64×(1－0.6)＝0.259 20；甲答对5道题的概率为P 2＝C 55 ×0.65×(1－0.6)0＝0.077 76.故甲没有取得良好成绩的概率是P ＝1－(P 1＋P 2)＝1－(0.259 20＋0.077 76)≈0.66.。

模块综合质量测评一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限． 答案： A2．设有一个回归方程y ∧＝6－6.5x ，变量x 每增加一个单位时，变量y ∧平均( ) A ．增加6.5个单位 B ．增加6个单位 C ．减少6.5个单位D ．减少6个单位解析： y ∧＝6－6.5x 的斜率为－6.5，故x 每增加一个单位，y ∧就减少6.5个单位． 答案： C3．下列框图中，可作为流程图的是( )解析： 流程图具有动态特征，只有答案C 符合． 答案： C4．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋b a＝－⎝⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2解析： A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．答案： D5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析： 结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解． A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题． 答案： D6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，且n ∈N )，a 1＝a ，a 2＝b ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列选项中正确的是( )A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －aB ．a 100＝－b ，S 100＝2b －aC ．a 100＝－b ，S 100＝b －aD ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析： a 3＝a 2－a 1＝b －a ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2b ；a 4＝a 3－a 2＝－a ，S 4＝S 3＋a 4＝2b －a ； a 5＝a 4－a 3＝－b ，S 5＝S 4＋a 5＝b －a ； a 6＝a 5－a 4＝a －b ，S 6＝S 5＋a 6＝0； a 7＝a 6－a 5＝a ，S 7＝S 6＋a 7＝a .通过观察可知a n ，S n 都是6项一重复，所以由归纳推理得a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a ，故选A. 答案： A7．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程是( )A.y ∧＝5－17x B.y ∧＝－5.75x ＋1C.y ∧＝17－5x D.y ∧＝5.75＋1.75x解析： 由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)，可得x ＝3＋7＋113＝7，y ＝10＋20＋243＝18，即样本中心点为(7,18)，∴b ＝3×10＋7×20＋11×24－7×18×332＋72＋112－72×3＝1.75， a ＝18－1.75×7＝5.75，所以y ∧＝1.75x ＋5.75. 答案： D8．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①解析： ①是结论形式，③是小前提． 答案： D9．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11解析： 根据程序框图，i ＝2，S ＝2×2＋1＝5，不满足条件；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8，不满足条件；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时输出i ＝4，所以填S <9.答案： B10．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n·b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n”解析： 对于A ：“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B ：“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C ：将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c”是正确的；对于D ：“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n”是错误的，如(1＋1)2＝12＋12.答案： C11．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体形与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320 B ．15 C.14D ．25解析： 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (AB )＝25，故选D.答案： D12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：A ．0.5%B ．1%C ．2%D ．5%附表：解析： 代入公式得K 2k ＝－272×228×122×178≈4.514＞3.841查表可得．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上) 13．完成反证法证题的全过程．已知：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列． 求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：假设p 为奇数，则____________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝_______________＝_______________＝0. 但奇数≠偶数， 这一矛盾说明p 为偶数．解析： 由反证法的一般步骤可知．关键推出矛盾．答案： a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7) 14．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析： 由复数相等的定义求得a ，b 的值，即得复数．由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i.答案： 1＋2i15．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.答案： 知识 并集 交集 补集16．把正偶数数列{2n }的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M (r ，t )表示该数阵中第r 行的第t 个数，则数阵中的数2 012对应于________．解析： 设由每一行的第一个数构成数列{a n }，则4－2＝2×2－2,8－4＝2×3－2,14－8＝2×4－2，…，a n －a n －1＝2n －2. 以上各式相加可得a n ＝n 2－n ＋2.令n 2－n ＋2≤2 012，解不等式可得n 的最大值为45，所以2 012在第45行，第45行的第一个数为a 45＝452－45＋2＝1 982.因为2 012－1 982＝30,30÷2＝15，所以2 012为第16个数． 答案： (45,16)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i＋2，求： (1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解析： 因为z2＝15－5i ＋2＝15－5i3＋4i＝－－＋－＝25－75i25＝1－3i ，所以 (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝－＋－＋＝11＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)某自动化仪表公司组织结构如下： (1)董事会下设总经理；(2)总经理分管甲、乙两副总经理、办公室、财务部、开发部；(3)副总甲负责销售部，副总乙负责生产部、品管部、采购部，而品管部又下设三个车间． 试绘出该公司组织的结构图． 解析： 结构图如图所示：19．(本小题满分12分)若a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 为非负实数， 求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 证明： 要证a ＋b ＋c ≤3， 只需证(a ＋b ＋c )2≤3，展开得a ＋b ＋c ＋2(ab ＋bc ＋ca )≤3， 又因为a ＋b ＋c ＝1，所以即证ab ＋bc ＋ca ≤1. 因为a ，b ，c 为非负实数， 所以ab ≤a ＋b2，bc ≤b ＋c2，ca ≤c ＋a2. 三式相加得ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c2＝1，所以ab ＋bc ＋ca ≤1成立． 所以a ＋b ＋c ≤3.20．(本小题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表：利用2×2是多少？解析： 由题意知，a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113.所以k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－230×83×23×90≈39.6＞10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.21．(本小题满分13分)已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin 5°cos 35°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos 45°＝34，sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，…，由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．解析： sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°) ＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ2＋sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－12sin 2θ＝34.22．(本小题满分13分)某市5年中的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：(1)(2)求回归方程；(3)若市政府下一步再扩大两千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少？ 解析： (1)作出散点图(如图)，观察呈线性正相关．(2)x ＝1＋1.1＋1.5＋1.6＋1.85＝75，y ＝6＋7＋9＋11＋125＝9，∑i ＝15x 2i ＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26， ∑i ＝15x i y i ＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝66.4－5×75×910.26－5×4925＝17023，a ＝y －b x ＝9－17023×75＝－3123， ∴回归方程为y ＝17023x －3123.(3)当x ＝1.8＋0.2＝2时， 代入得y ＝17023×2－3123＝30923≈13.4.∴煤气量约达13.4万立方米．。

学人教高中数学选修新编模块综合测评Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z ＝a ＋i 的实部与虚部相等，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2【解析】 z ＝a ＋i 的虚部为1，故a ＝1，选B. 【答案】 B2．已知复数z ＝11＋i ，则z ·i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝11＋i ＝1－i 2，∴z ＝12＋12i ， ∴z ·i＝－12＋12i.【答案】 B 3．观察：6＋15<211，错误!＋错误!<2错误!，错误!＋错误!<211，…，对于任意的正实数a ，b ，使a ＋b <211成立的一个条件可以是( )A ．a ＋b ＝22B ．a ＋b ＝21C ．ab ＝20D ．ab ＝21【解析】 由归纳推理可知a ＋b ＝21.故选B. 【答案】 B4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) 【导学号：】A ．－eB ．－1C．1 D．e 【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．【答案】D6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则( )图1A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．【答案】A7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )e 2 B ．2e 2 C ．e 2【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8．已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( )A ．a k ＋a k ＋1＋…＋a 2kB ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1C ．a k －1＋a k ＋…＋a 2kD ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项．故选D.【答案】 D9．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01 x 3d x 则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13； c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44| 10＝14.综上，a >b >c .【答案】 A11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k ＋1C ．2k －1D ．2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项． 【答案】 D12．已知函数f (x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则fa ＋fba ＋b的值为( ) A ．恒正 B ．恒等于0 C ．恒负D ．不确定【解析】 可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )＋(－x )3－ln(x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时，f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，fa ＋fb a ＋b ＝fa －f －ba －－b ，所以fa ＋fba ＋b>0，所以选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________． 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3. 【答案】 －314．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________. 【导学号：】【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6∫⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos x －12x＝3－π3.【答案】3－π316．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ .【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得⎩⎨⎧f －1＝－13＋3m －12＋n －1＋m 2＝0，f ′－1＝3×－12＋6m －1＋n ＝0，∴⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾，当⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 【答案】 11三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝1＋i 2＋31－i2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．【解】 z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝3－i2－i 5＝5－5i 5＝1－i. 因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－2＋a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列请说明你的理由． 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d .当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －12n －1－12d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －12n －1－12d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0，S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列． 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列．20．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围. 【导学号：】【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根． 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2]．21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想到数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【解】(1)由S1＝a1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a1＋1a1，得a21＝1，因为a n>0，所以a1＝1.由S2＝a1＋a2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1，由S3＝a1＋a2＋a3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－ 2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N*)．证明：①当n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，ak＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1ak，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－k，所以a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0.所以a k＋1＝k＋1－k，则n ＝k ＋1时，命题成立．则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e xln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1. 由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2xe x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·山西大学附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．3 024种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.【答案】 A2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】 B3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)^＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身对年龄(单位：岁)的线性回归方程y高，有关叙述正确的是()A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右^＝7.19x＋73.93，得y^＝145.83，但这种预测不一定【解析】将x＝10代入y准确．实际身高应该在145.83 cm 左右．故选D.【答案】 D4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()A.16 B ．11 C ．2.2 【解析】 由表格可求E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】 A5．正态分布密度函数为f (x )＝12 2πe －(x －1)28，x ∈R ，则其标准差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 根据f (x )＝1σ 2πe －(x －μ)22σ2，对比f (x )＝12 2πe －(x －1)28知σ＝2.【答案】 B6．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (K 2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%【解析】 由题意知变量X 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量X 与Y 有关系的概率为99%.【答案】 D7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有( ) A ．18种 B ．24种 C ．45种 D ．90种【解析】 不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C 26·C 24·C 22＝90(种)． 【答案】 D8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20【解析】 由题意知n ＝6，T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r ·(－x )r＝(－1)r C r 6x 32r －6，由32r －6＝0，得r ＝4， 故T 5＝(－1)4C 46＝15，故选A. 【答案】 A9．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( ) 【导学号：97270066】A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】 由二项分布的均值与方差性质得 ⎩⎨⎧ np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4，故选B. 【答案】 B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是( )A.16B.18C.112D.124【解析】 由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A 44A 22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P ＝112.【答案】 C 11．有下列数据：A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2【解析】 当x ＝1,2,3时，代入检验y ＝3×2x －1适合．故选A. 【答案】 A 12.图1(2016·孝感高级中学期中)在如图1所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )A.551720B.29144C.2972D.2936【解析】 “左边并联电路畅通”记为事件A ，“右边并联电路畅通”记为事件B .P (A )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝56.P (B )＝1－15×16＝2930.“开关合上时电路畅通”记为事件C . P (C )＝P (A )·P (B )＝56×2930＝2936，故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2016·石家庄二模)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0无实根的概率为________．【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴a >14， ∴所求概率为34. 【答案】 3414．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400<X <450)＝0.3，则P (550<X <600)＝________.【解析】 由下图可以看出P (550<X <600)＝P (400<X <450)＝0.3.【答案】 0.315．(2015·重庆高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．【解析】 ∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x 30－7r 2(r＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r 2＝8，得r ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.【答案】 52 16.图2将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为________. 【导学号：97270067】【解析】 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.【答案】 34三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法： (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【解】 (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800(种)不同排法．(2)法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18A 88)＝2 943 360(种)排法．法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎨⎧甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360(种)排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800(种)．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400(种)排法．18．(本小题满分12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例； (2)成绩在80～90分内的学生人数占总人数的比例．【解】 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分数在60～80之间的学生的比例为P (70－10<X ≤70＋10)＝0.683， 所以不及格的学生的比例为12×(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生人数占总人数的15.85%. (2)成绩在80～90分内的学生的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－12[P (70－10<X ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5.即成绩在80～90分内的学生人数占总人数的13.55%.19．(本小题满分12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率是多少？ 【解】 记事件A ：第一次取出的是红球； 事件B ：第二次取出的是红球． (1)第一次取出红球的概率 P (A )＝4×56×5＝23. (2)第一次和第二次取出的都是红球的概率P (A ∩B )＝4×36×5＝25.(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝2523＝35.20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．(1)求n ；(2)求展开式中x 的一次项的系数．【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，展开式的第k ＋1项为 T k ＋1＝C k 11(x )11－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 11x 11－3k 2. 令11－3k2＝1，得k ＝3.此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ， 所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320. 21．(本小题满分12分)对于表中的数据：x 1 2 3 4 y1.94.16.17.9(1)(2)求线性回归方程．【解】 (1)如图，x ，y 具有很好的线性相关性． (2)因为x ＝2.5，y ＝5，∑4i ＝1x i y i ＝60，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1y 2i ＝120.04. 故b^＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，a ^＝y －b ^x ＝5－2×2.5＝0， 故所求的回归直线方程为 y ^＝2x .22．(本小题满分12分)(2016·丰台高二检测)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是8 15.(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．【解】(1)k＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.158<3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．(2)X的取值可能为0,1,2.P(X＝0)＝C28C214＝413，P(X＝1)＝C16C18C214＝4891，P(X＝2)＝C26C214＝1591.所以X的分布列为：X的数学期望为E(X)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.。

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模块综合测评(时间:120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分）1.若a>b〉c，则的值(）A。

大于0B。

小于0C。

小于或等于0D.大于或等于0解析因为a>b>c,所以a—c〉b-c〉0.所以,所以〉0，故选A.答案A2.不等式|x+3｜+｜x-2|〈5的解集是（)A。

{x｜—3≤x〈2} B。

RC.⌀D.｛x|x〈—3或x>2｝解析令f（x）=｜x+3｜+|x-2|=则f（x)的图象如图,由图可知，f(x)〈5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.答案C3.若P=（x>0,y〉0，z>0),则P与3的大小关系是()A.P≤3B.P<3C.P≥3D。

P>3解析因为1+x〉0，1+y>0,1+z〉0,所以=3,即P〈3.答案B4.不等式〉a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为(）A.B。

C.D。

解析由已知2∉M，可得2∈∁R M,于是有≤a，即-a≤≤a，解得a≥,故应选B。

答案B5。

某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时,环境不满意程度为，则此人应选（)A。

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模块综合测评（一)（时间12０分钟,满分1５0分）第Ⅰ卷（选择题 共48分)一、选择题(每小题６分，共48分）1。

如图1,AB ∥EM ∥D Ｃ,AE =E Ｄ，EF ∥ＢC,E Ｆ =12 cm,则ＢC 的长为( ）A 。

6 ｃmﻩ B.1２ cmﻩ C.18 cmﻩD 。

24 cm图1思路解析：根据AE ＝ＥＤ,AB ∥EM ∥DC ,有BM ＝M Ｃ.又EF ∥ＢＣ,所以EF =ＭC ,于是BC EF 21. 答案：D2.顺次连结等腰梯形的两底中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是( )A 。

菱形 B.矩形C.正方形思路解析：因为等腰梯形的两条对角线相等,所以得到的四边形对边平行,并且四条边都相等,由此该四边形为菱形。

答案:A3。

如图２,在AB ＣD 中,E 是AD 的中点,AC 、BD 交于O ,则与△ABE 面积相等的三角形有…（ ) A 。

5个ﻩﻩ Ｂ．6个ﻩ ﻩC 。

7个ﻩﻩﻩ D.8个ﻩ D.梯形图2思路解析：利用三角形面积公式,等底等高的两个三角形面积相等,再利用平行四边形的面积为中介,建立面积相等关系。

答案:Ｃ４．如图3,△AB Ｃ的底边BC ＝a,高AD ＝ｈ,矩形EFGH 内接于△ABC ,其中Ｅ、F 分别在边ＡC 、AB 上,G 、Ｈ都在ＢＣ上,且EF ＝2ＦG ，则矩形EFGH 的周长是( ）图3Ａ。

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模块综合评价(一）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．设直线的方程是Ax＋By＝0,从1，2，3，4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则所得不同直线的条数是( )A．20 B．19C．18 D．16解析：考虑有两种重复情况,易得不同直线的条数N＝A错误!－2＝18.答案：C2．某商品销售量y(件）与销售价格x（元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.错误!＝－10x＋200 B。

错误!＝10x＋200C。

错误!＝－10x－200 D。

错误!＝10x－200解析：由于销售量y与销售价格x负相关，故排除B,D.又当x＝10时，A中的y＝100，而C中y＝－300,故C不符合题意．答案:A3．从A,B，C，D,E5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A．24 B．48 C．72 D．120解析：A参加时参赛方案有C错误!A错误!A错误!＝48(种），A不参加时参赛方案有A错误!＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C。

答案：C4．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2｝和｛y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b ＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%,则c＝（)A．4 B．5 C．6 D．7解析:列2×2列联表可知：当c＝5时，K2＝错误!≈3.024>2。