江苏省涟水中学2020学年高二数学5月月考试题 理(含解析)

江苏省淮安市涟水县蒋庵中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点P（m，n）在椭圆上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由点P在椭圆上得到m，n的关系，把n用含有m的代数式表示，代入圆心到直线的距离中得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，则答案可求．解答：解：∵P（m，n）在椭圆+=1上，∴，，圆x2+y2=的圆心O（0，0）到直线mx+ny+1=0的距离：d==，∴直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为相交或相切．故选：D．点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线和圆的位置关系，是基础题2. 定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +参考答案：B【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．3. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．4. 关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊥M，a∥N，则M⊥ND．若a?M，b?M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A．由线面平行的性质即可判断；B．由线面平行的性质和线面垂直的判定即可判断；C．由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可得到；D．运用线面垂直的判定定理即可得到．【解答】解：A．同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错；B．当a∥M，b⊥a时b与M可平行、b?M，b⊥M，故B错；C．若a⊥M，a∥N，则过a的平面K∩N=b，则a∥b，即有b⊥M，又b?N，故M⊥N，故C正确；D．根据线面垂直的判定定理，若a?M，b?M，且a∩b=O且l⊥a，l⊥b，则l⊥M，故D错误．故选C．5. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A6. 已知△ABC，若对任意，，则△ABC一定为A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定参考答案：C解析：令，过A作于D。

江苏省五市十一校2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（）A．共计有360种不同的排法B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种C．男生甲、乙相邻的排法总数为240种D．男女生相间排法总数为72种10．已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（）A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1D．若共进行5次射门，则至少有0.95450.81862=选择条件②：由012C C C C 64n n n n n ++++=L ，得264n =，解得6n =.选择条件③：令1x =得()()2012111160n n a a a a +-+=++++=L ，即264n =，解得6n =.（2）方法一：由（1）得()()6226012611x x a a x a x a x +-+=++++L ，令1x =得62012345622a a a a a a a -=++++++，令=1x -得01234560a a a a a a a =-+-+-+，两式相减得()135264460a a a ++=-=，所以13530a a a ++=，所以展开式中x 的奇数次幂项的系数和为30.方法二：由（1）得()()6226012611x x a a x a x a x +-+=++++L ，由题得()22112x x x +=++中x 项为2x ，()61x +中x 项为16C x ，3x 项为363C x ，5x 项为556C x，所以135135666C 2C C 6220630a a a ++=-++=-++=，所以展开式中x 的奇数次幂项的系数和为30.。

2020年江苏省淮安市涟西中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（为虚数单位）的共轭复数为（）A． B． C．D．参考答案：A略2. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．3. 下列直线中倾斜角为的是（）A. B. C. D.参考答案：A4. 已知圆上有且只有两点到直线3x+4y-5=0的距离为1.则半径r的取值范围是( )A．(0，3) B．(3，5) C．(4，5) D．(5，+∞)参考答案：B5. 已知实数，满足，则的最小值是（）A． B． C．D．0参考答案：B作出不等式组所满足的平面区域如图阴影部分所示，其中，，，作出直线，平移直线，当其经过点时，有最小值，为．故答案为B．6. 已知函数，则( ) A. －e B. e C.－1 D. 1参考答案：C由题得，所以.故答案为：C.7. 下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“”与“ ”不等价C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真参考答案：D8. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ( )A． B． C． D．参考答案：A9. 公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A．1：6：4 B．：12：16 C．：1：D．：6：4参考答案：A【考点】F3：类比推理．【分析】求出正四面体、正方体、正八面体的体积，类比推力即可得出．【解答】解：由题意，正四面体的体积V==a3；正方体的体积V=a3；正八面体的体积V=2×=a3，∴m：n：t=1：6：4，故选A．10. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．正视图侧视图俯视图（A）（B）（C）（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数z=（3﹣2i）2+2i（i为虚数单位），则z虚部为．参考答案：﹣10【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z=（3﹣2i）2+2i=9﹣4﹣12i+2i=5﹣10i，则z虚部=﹣10．故答案为：﹣10．12. 从(其中)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为______．参考答案：【分析】根据圆锥曲线的标准方程列出、取值的所有可能情况，从中找出符合条件情况，根据古典概型的概率公式即可求得结果.【详解】由题意，、取值表示圆锥曲线的所有可能分别是，，，，，，共七种情况，其中符合焦点在轴上的双曲线有，，，共四种情况，所以此方程焦点在轴上的概率为.所以本题答案为.【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程和古典概型概率公式，解题关键是确定基本事件的个数，属基础题.13. 若对任意的恒成立，则的取值范围为_______参考答案：14. “a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，先判断p?q与q?p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．由a与b都是偶数我们可以得到a+b是偶数，但是由a+b是偶数，a 与b都是偶数不一定成立，根据定义不难得到结论．【解答】解：∵a与b都是偶数?a+b是偶数为真命题，但a+b是偶数时，a与b都是偶数不一定成立，故a+b是偶数?a与b都是偶数为假命题故“a与b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．15. 若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，c在R增函数，则a，b，c的关系式为是 .参考答案：b2－3ac≤016. 已知命题: 对任意的，则是．参考答案：17. 如右图，该程序运行后输出的结果为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。

江苏省淮安市涟水中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，以上推理错误的是（A）大前提（B）小前提（C）推理形式（D）以上都错参考答案：A2. 已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2). 若P(ξ>2)=0.023，则P(－2≤ξ≤2) =A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977参考答案：C3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，＋＝－6，则当S n取得最小值时，n等于 ( )A．6 B．7C．8 D．9参考答案：4. 已知数列的通项公式，设的前项和为，则使成立的自然数A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31参考答案：B 5. 以下给出的是计算的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是（）A. i>10？B. i<10 ？C. i<11 ？D. i>11？参考答案：A6. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重为58.79kg参考答案：D略7. 设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）（A）(－∞,－1)∪(1,+∞)（B）(－∞,－1)∪(0,1)（C）(－1,0)∪(0,1) （D）(－1,0)∪(1,+∞)参考答案：D8. 已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若a m=8，则m是( ) A．8 B．6 C．4 D．2参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等差中项的性质可知a3+a6+a10+a13=4a8求得a8，进而可知a8=a m求得m的值．【解答】解：a3+a6+a10+a13=4a8=32∴a8=8∵a m=8∴m=8故选A【点评】本题主要考查了等差中项的性质．属基础题．9. 已知的取值如下表所示，若与线性相关，且，则（）A． B． C． D．参考答案：B10. 椭圆的焦距为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=_______参考答案：-212. 设P是直线y=2x﹣4上的一个动点，过点P作圆x2+y2=1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|取最小值时P点的坐标为．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设直线y=2x﹣4为直线l，过圆心O作OP⊥直线l，此时|PQ|取最小值，由直线OP：y=﹣x，与直线y=2x﹣4联立，可得P的坐标．【解答】解：设直线y=2x﹣4为直线l，过圆心O作OP⊥直线l，此时|PQ|取最小值，由直线OP：y=﹣x，与直线y=2x﹣4联立，可得P．故答案为：．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的切线性质，勾股定理，点到直线的距离公式，解题的关键是过圆心作已知直线的垂线，过垂足作圆的切线，得到此时的切线长最短．13. 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正（主）视图中的值为.参考答案：614. 设a＞b＞0，则a2++的最小值是．参考答案：4【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】变形可得a 2++=ab++a（a﹣b ）+，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2++=a2﹣ab+ab++=ab++a（a﹣b）+≥2+2=4，当且仅当ab=且a（a﹣b）=即a=且b=时取等号．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式求最值，添项并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．15. 曲线在点（1,0）处的切线方程为 .参考答案：16. （3x2+k）dx=10，则k= ．参考答案：1【考点】69：定积分的简单应用．【分析】欲求k的值，只须求出函数3x2+k的定积分值即可，故先利用导数求出3x2+k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分．最后列出等式即可求得k值．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx =（x3+kx）|02=23+2k．由题意得：23+2k=10，∴k=1．故答案为：1．【点评】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．17. 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．参考答案：8【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

【关键字】数学江苏省淮安市涟水县2016-2017学年高二数学下学期第一次阶段性检测试题说明：1．本试卷满分160分，考试时间120分钟；2．请将所有答案按照题号顺序填写在答题纸相应的答题处，否则不得分．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．1. 化简= ▲．2. 在数列中，=1，，则的值为▲.3、一个三角形的两个内角分别为和，如果所对的边长为8，则角所对的边长是__ ▲__.4. 设数列则是这个数列的第▲项.5. 若，则= ▲6. 已知等差数列的9，则前13项的和为▲7. 在中，角,,的对边分别为a,b,c，若，则等于▲8．在中，若，，三角形的面积，则▲9. 已知均为锐角，则▲10. 设数列是等差数列，为其前项和.若，,则▲11. 若，则_▲_________ ．12. 设,分别是等差数列,的前项和,已知,,则= ▲．13. 已知，，则的值为_____▲_____．14，在中，所对的边分别是．当钝角△ABC的三边是三个连续整数时，则外接圆的半径为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）已知.（1）求的值；（2）若，求.16、（本小题满分14分）设等差数列满足，，（1）求的通项公式；（2）设的前项和为，求满足成立的值。

17.（本小题满分14分）为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得同时测得海里。

（1）求AD 的长度;（2）求，之间的距离.18．(本小题满分16分)在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，的面积为，求.19. (本小题满分16分)设，满足．（1）求的值； （2）求的值．20. (本小题满分16分)已知数列的各项为正数，其前项和为满足，设.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最大值.（3）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t ，使得成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.参照答案1、 2、77 3、 4、 14 5、6、 397、8、9、 10、-2611、 12、 13、 14、15、解：（1） …………………………………2分.1034354235321sin 6cos cos 6sin 6sin +=⋅+⋅=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπ………7分（2）由（1）知道4tan 3α=……………………………………9分 因为tan()3αβ+=，所以[]tan tan ()βαβα=+-……11分.=431343133-=+⨯…………………………………14分 16. 解：（1）因为111a =-，466a a +=-，所以2d =……………………3分 故213n a n =-……………………………………………………6分（2）由（1）得212n s n n =-……………………………………10分由189k s =得212189k k -=21,9k k ==-（舍），………………………………12分 21k ∴=……………………………………14分17、解：（1）如图所示,在ABD ∆中由正弦定理可得，ABDAD ADB AB ∠=∠sin sin ，260sin 45sin 3=︒︒=AD …………5分 （2）︒=︒+︒=∠+∠=∠1207545DBC ABD ABC ，︒=∠=∠30BCA BAC 3==∴AB BC 3=∴AC …………………………9分在ACD ∆中，由余弦定理得，5cos 2222=∠⋅-+=DAC AD AC AD AC CD 即5=CD （海里）……………………………………13分 答：2AD =， C ，D 间的距离为5海里.………………………………14分18、解：（1）由正弦定理得：2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C B A B A B --==⇒， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，……………………………2分 ∴()2sin cos sin cos 2sin 3sin cos A B B A C C A +==，………………………4分∵sin 0C ≠，∴2cos 3A =，则5sin 3A =，……………………………6分 ∵5sin b B =，∴由正弦定理得：5sin sin 3b a A B =⋅=.……………………8分（2）∵ABC △的面积为52， ∴15sin 22bc A =，得3bc =，…………………………10分 ∵6a =，∴22463b c bc +-=，…………………………12分 ∴()21063b c bc +-=，即()216b c +=，……………………14分 ∵0 0b c >>，，∴4b c +=.………………………16分19、解：（1）∵6sin 2cos 3αα+=，∴6sin 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．4分 ∵0,3a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴10cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．7分 （2）由（1）可得22101cos 22cos 1213644ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∵0,3a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,33a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴15sin 234πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ∴302cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 123434348πππππππαααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分20、解：（1）当1n =时，21111()2a a S +==，∴11a =……………………2分 当2n ≥时，221111()()22n n n n n a a a S S --++=-=-，即2211220n n n n a a a a -----= ∴22112121n n n n a a a a ---+=++，∴221(1)(1)n n a a --=+，∴111n n a a --=+ ∴12n n a a --=，所以{}n a 是等差数列，21n a n =-…………………………5分（2）10211n n b a n =-=-+，19b =，∵12n n b b --=-，∴{}n b 是等差数列…………7分 ∴21()102n n n b b T n n +==-+，当5n =时，2max 510525n T =-+⨯=………………10分 （3）由（1）知2121n n b n t -=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，…….整理得431m t =+-， …………………………12分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =. 故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. …………………………………………16分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

江苏省涟水中学2016—2017学年度第二学期高二年级第二次检测数学试卷(理科）考试时间120分钟，满分160分一、填空题（14×5分=70分)1.已知复数121212,1()z i z ai i z z =+=+⋅是虚数单位，若为纯虚数,则实数a =___2。

若向量60||6||4,(2)(-3)a b a b a b a b ==+⋅=与夹角为，，则_____ 3。

矩阵123,12A A -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则_______4.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为：21010.512XP q q --，则q =_______5。

在极坐标系中，点,A B 的坐标分别为2(5,),(8,)33ππ,则线段AB 的长度为_______ 6。

已知(2,1,3),(1,2,1),(),a b a a b λλ=-=-⊥-=若则________7.用数学归纳法证明命题：“2021n n n n >+≥对任意恒成立”时，起始值0n 为_______ 8.已知双曲线22221(0)x y a a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a =______ 9。

设二项式53(x x 的展开式中常数项为A ，则A=_______ 10.正方体1111ABCD A BC D -中，直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为______11。

已知10件商品中有3件假货，从中抽取3件检查，至多一件假货的抽取方法有____种。

（填具体数字，填表达式不得分）12。

设(5n x x 的展开式中的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M —N=240，则展开式中含x 的项的系数为__________________（填具体数字，填表达式不得分）13.平面内有n 条直线，最多可以将平面分成()()f n f n =个区域，则_______14。

共有7个不同的小球，放入4个不同的盒子中,要求所有盒子都不空,共有________种不同的放法. （填具体数字，填表达式不得分）二、解答题：（第15、16、18题每题14分，第17、19、20题16分)15.(1）已知矩阵21aMc⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵M；（2）在极坐标系中，求直线sin()14πρθ⋅+=被圆4ρ=截得的弦长。

2025届江苏省涟水中学高考数学五模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 2．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±3．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A ．64B ．104C ．55D ．1554．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i6．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 7．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．28．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．810C ．24D ．39．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．510．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则|||||FA FB FC ++=（ ）. A ．9B ．6C ．38D ．31611．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．412．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省涟水中学2020学年高二数学5月月考试题 理（含解析）一、填空题：不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知i 是虚数单位，若复数z 满足1zi i =+，则z 的共轭复数z =_________. 【答案】1i + 【解析】 【分析】1zi i =+化简为1z i =-，然后，直接求z 的共轭复数z 即可【详解】1zi i =+，得1i z i +=()21i i i+=1i =-，则z 的共轭复数1z i =+ 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题2.已知矩阵2103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的逆矩阵为_________.【答案】11126103A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据逆矩阵公式得结果.详解：因为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为db ad bc ad bc ca ad bc ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦， 所以矩阵A 的逆矩阵为31116626=.0210663-⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦点睛：求逆矩阵方法：（1）公式法：a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为d b ad bc ad bc ca ad bc ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，（2）定义法：11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.3.江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有_________种不同的选课组合.（用数字作答） 【答案】13 【解析】 【分析】先从物理和历史中选择一门学科，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，再根据题意求解.【详解】先从从物理和历史中选择一门学科有12C 种，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合有246C =种，所以共有1224113C C +=种.故答案为：13【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，若X 表示抽到的二等品件数，则()V X =_________. 【答案】1.96 【解析】 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可【详解】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，0.02p =，100n =，则()()1V x np p =-1000.020.98=⨯⨯ 1.96=，故答案为1.96【点睛】本题考查二项分布模型的方差问题，属于基础题5.在ABC ∆中，若D 为BC 的中点，则有1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，将此结论类比到四面体中，在四面体A BCD -中，若G 为BCD ∆的重心，则可得一个类比结论：_________.【答案】1()3AG AB AC AD u u u r u u u r u u u r u u u r=++【解析】试题分析：三角形类比三棱锥，底边中点类比底面重心，中线性质类比重心性质：1()3AG AB AC AD u u u r u u u r u u u r u u u r =++考点：类比6.已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为sin()6m πρθ+=，若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则实数m 的值为_________.【答案】12m =-或32m = 【解析】 【分析】由曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转化为222x y x +=，然后求出表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，将6in m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为20x m +-=，然后，由题意可知|12|12m -=，然后求解即可 【详解】曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，又由直线l 的极坐标方程是sin()6m πρθ+=，即6in m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为20x m +-=，由直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，|12|12m -∴=，解得12m =-或32m =，所以，答案为12m =-或32m = 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题7.已知直线l 的方向向量为(1,1,2)e =-v ，平面α的法向量为1(,,1)()2n R λλ=-∈v，若l α⊥，则实数λ的值为_________.【答案】12- 【解析】 【分析】由l α⊥，得出e v 与n v平行，利用向量的共线关系求解即可【详解】由题意得，l α⊥，所以e v 与n v 平行，则存在实数m 使得=e m n ⋅v r ，即1(1,1,2)(,,1)2m λ-=-，可得1212m m mλ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以，12λ=-，2m =-，答案为：12-【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题8.已知6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则曲线320x y +-=在M 的作用下得到的新曲线方程_________. 【答案】240x y -+= 【解析】 【分析】设对应点()''',P x y ，根据题意，得到''6244x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求解即可【详解】设原曲线上任一点(),P x y 在M 作用下对应点()''',P x y ，则''6244x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即6244x x y y x y =+⎧⎨=+''⎩，解得28238x y x x y y '''-⎧=⎪⎪⎨-+='⎪⎪⎩， 代入320x y +-=得''240x y -+=，则曲线320x y +-=在M 的作用下得到的新曲线方程为240x y -+= 答案：240x y -+=【点睛】本题考查变换前后坐标之间的关系，属于基础题9.已知5125335(7)3n n n n C n C A -+++=++，则n =_________.【答案】2 【解析】 【分析】 根据二项式定理，()512533573n n n n C n C A -+++=++，推导出()()()()()5417132424n n n n n n +++++=+，由*n N ∈，能求出n ．【详解】解：()512533573n n n n C n C A -+++=++Q ，()()()()()54321554321n n n n n +++++∴⨯⨯⨯⨯⨯()()()()()()32173324321n n n n n n n +++=+⨯+⨯++⨯⨯⨯，()()()()()5417132424n n n n n n +++++∴=+，由*n N ∈，解2n =． 故答案为：2．【点睛】本题考查实数值的求法，考查组合数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为l .现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积.则概率(3)P X =的值_________. 【答案】635【解析】 【分析】该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3735C =种取法，然后再找到在正六棱锥中三角形的面积为3的三角形个数，即可求解【详解】如图，从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3735C =种取法，其中三角形的面积3X =ABF ∆，这类三角形共有6个，3766(3)35P X C ∴===， 答案是635【点睛】本题考查组合的计算，属于基础题11.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为_________. 【答案】96 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①选出的4人没有甲；②选出的4人有甲；分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案详解】根据题意，从5名学生中选出4人分别参加竞赛，分2种情况讨论：①选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有4424A =种情况；②选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有3424A =，则此时共有324=72⨯种选法；综上，总共有24+72=96种不同的参赛方案； 答案选D【点睛】本题考查分类计数原理，属于基础题12.52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为_________. 【答案】-25 【解析】 【分析】把原式展开成243x xx ⎛⎫-+⎪⎝⎭21051x x ⎛⋅++ ⎝，然后求解即可 【详解】52431x xx ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝Q 243x xx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭21051x x ⎛⋅++ ⎝ ∴其展开式中的常数项为22510325x x x x⋅-⋅=-， 答案：-25点睛】本题考查二项展开式求常数项问题，属于基础题13.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】 【分析】根据题意，作出立体图像，得到半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，然后直接求体积即可【详解】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b +=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π【点睛】本题考查圆柱与圆锥的体积问题，结合立体几何的图像求解即可，属于中档题14.设A ，B 是集合{}12345,,,,a a a a a 的两个不同子集，若使得A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，则不同的有序集合对(,)A B 的组数为_________. 【答案】570【解析】分析：分类依次讨论有序集合对（A ，B ）的组数，根据子集元素个数分类讨论，最后根据加法原理求组数.详解：不同的有序集合对（A ，B ）的组数为1142233324415555(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)570.C C C C --+--+--+--=点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.已知复数()21211az a i a =+--，2(1)z m m i =+-（i 是虚数单位，a R ∈，m R ∈） （1）若1z 是实数，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若12z z <，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =-；（2）01m <<. 【解析】 试题分析：(1)满足题意时，虚部为零，分母不为零即可，据此求得1a =- ； (2)利用题意得到关于实数m 不等式，求解不等式即可求得m 的取值范围.试题解析：（1）因为1z 是实数，所以210{10a a -=-≠，解得：1a =-；（2）由第（1）问可得：11z =，因为2z =21z z <，1>， 解得：01m <<16.已知1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，17β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求4M β.【答案】4321327M β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先列出矩阵M 的特征多项式212()2321f λλλλλ--==----， 然后求出对应的特征向量，111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦和211α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 令12m n =+βαα，然后直接求()()()444412124343M M M M βαααα=-=-即可【详解】解：（1）矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得13λ=，21λ=-，解得属于1λ的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于2λ的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 令12m n =+βαα，即111711m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以17m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得4m =，3n =-.所以()()()444412124343M MM M βαααα=-=-()()444411221132143433(1)11327λαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⨯-⨯-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【点睛】本题考查特征多项式与特征向量的问题，属于中档题17.已知()*1111()111114732f n n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，)*()g n n N =∈. （1）当1,2,3n =时，分别比较(n)f 与()g n 的大小（直接给出结论）； （2）由（1）猜想(n)f 与()g n 的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】 【分析】（1）根据题意，直接代入函数，比大小即可 （2）猜想：()*()()f n g n n N>∈，利用数学归纳法证明，①当1n =时，成立；②假设当n k=时，猜想成立；③当1n k =+时，证明()()11f k g k +>+成立即可【详解】证明（1）当1n =时，(1)2f =，(1)g =(1)(1)f g >，当2n =时，5(2)2f =，(2)g =(2)(2)f g >，当3n =时，20(3)7f =，(3)g =，(3)(3)f g >.（2）猜想：()*()()f n g n n N >∈，即1111111114732n L⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++> ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，上面已证.②假设当n k =时，猜想成立，即1111111114732k L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++> ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则当1n k =+时，11111(1)111111473231f k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1131k ⎫>+⎪+⎭==.<(1)g k >=+，所以，当1n k =+时猜想也成立. 综上可知：对*n N ∈，猜想均成立.【点睛】本题考查数学归纳法，解题的关键在于证明()()11f k g k +>+，属于难题18.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投.（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望. 【答案】（1）62125；（2）分布列见解析，数学期望为3125【解析】试题分析：（1）本题考查互斥事件的概率，设甲第i 次投中获胜的事件为A i （i ＝1，2，3），则A 1，A 2，A 3彼此互斥，分别计算出123,,A A A 的概率（可用相互独立事件同时发生的概率公式计算），然后相加即得；（2）甲的投篮次数X 的取舍分别1，2，3，注意这里事件X i =含甲第i 次投中和第i 次投不中而接着乙投中，结合（1）的过程可很快求和各事件概率，从而得分布列，并依据期望公式可计算出期望值．试题解析：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i （i ＝1，2，3），则A 1，A 2，A 3彼此互斥． 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3．P （A 1）＝25； P （A 2）＝312253525⨯⨯=；P （A 3）＝（35）2×（13）2×25＝2125． 所以P （A 1＋A 2＋A 3）＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）＝25＋225＋2125＝62125． 答：甲获胜的概率为62125． （2）X 所有可能取的值为1，2，3． 则 P （X ＝1）＝25＋35×23＝45； P （X ＝2）＝225＋35×13×35×23＝425；P （X ＝3）＝（35）2×（13）2×1＝125．即X 的概率分布列为P45425125所以X的数学期望E（X）＝1×45＋2×425＋3×125＝3125．考点：互斥事件的概率，随机变量的概率分布列和数学期望．19.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且2AB BP==，1AD AE==，AE AB⊥，且//AE BP.（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）252）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于25。