高二数学12月月考试题理扫描版

开始3,1,2S n T ===3S S =+2?T S >是否T 输出结束+1n n =+3T T n=2021年12月 绵阳南山中学2021年秋季高2021届12月月考数学试题命题人：吴川满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题：本题共12题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一个正确答案，把正确答案填涂在机读卡上。

1．已知点A (0,4)，B (4,0)在直线l 上，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －4＝0 B ．x －y －4＝0 C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝02. 质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点消灭在该区间各点处的概率相等，那么质点落 在区间[0,1]上的概率为( )A.14B.13C.12 D ．以上都不对 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估平均数与中位数分别是( ) A ．12.5、12.5 B ．12.5、13 C ．13、12.5 D ．13、135．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设大事A 表示“向上的一面消灭的点数不小于3”，大事B 表示“向上的一面消灭奇数点”，大事C 表示“向上的一面消灭的点数不超过2”，则( ) A ． A 与B 是互斥而非对立大事 B ． A 与B 是对立大事 C ． A 与C 是互斥而非对立大事 D ． A 与C 是对立大事6．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 7. 假如方程11222=+++m ym x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A. )1,2(-- B. ),1()2,(+∞---∞ C. )1,1(- D. )2,3(--8．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：x (单位：c ︒)1714 10 1-y (单位：度)2434 3864由表中数据得线性回归方程：a x y +-=∧2.当气温为c ︒20时，猜测用电量约为( ) A. 5 B ．10 C. 16 D. 20 9. 执行如图所示的程序框图，输出的T =( ) A ．29 B ．44 C ．52 D ．62 10.已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则 该抛物线的准线方程为( )A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ， 若21512m T -=，则m 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．712.我们把由半椭圆)0(1)0(122222222<=+≥=+x cx b y x b y a x 与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中0,222>>>+=c b a c b a ）。

一、填空题1．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是__________. 【答案】##0.512【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出现一次正面向上的概率:.21=42P =故答案为：.122．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积ABC 1B O C O ''''==ABC 为2，则______． A O ''=【答案】1【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.ABC 【详解】由直观图可还原,如下图所示, ABC其中,又因 1,2OB O B OC O C BC B C ¢¢¢¢¢¢======,2OA BC AO A O ¢¢^=所以 11222222ABC S BC A O A O ¢¢¢¢=´=´´=即得1A O ¢¢=故答案为: .13．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：.1r =故答案为：14．已知事件A 与事件B 相互独立，若，，则______．()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=【答案】0.42## 2150【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案.【详解】.()()()()10.30.60.42P A B P A P B ⋂=⨯=-⨯=故答案为：0.425．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条1111ABCD A B C D -1AB 【答案】6【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：1AB ，共条，111111,,,,,A D BC CD DD D C C C 6故答案为：66．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有______条鱼【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼【详解】设水库里大概有x 条鱼，则，解之得 10005200x =40000x =故答案为：400007．正四面体ABCD 的各棱长均为2，则点A 到平面BCD 的距离为______．【分析】设是底面的中心，则的长是点A 到平面BCD 的距离，由勾股定理计算可O BCD △AO 得．【详解】如图，是底面的中心，则平面，平面，，O BCD △AO ⊥BCD BO ⊂BCD AO BO ⊥正四面体ABCD 的棱长均为2，则， 223BO ==． AO ===8．下列说法中正确的是______．①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多；②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量；③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量．【答案】②③【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断.【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小1,2,3,4,4,5,6,7,844的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定344一样多，故①说法错误；对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确；对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确，故答案为：②③.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm ．若不计容器的厚度，则球的体积为______3cm【答案】## 1256π1256π【分析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD 水面是过点的虚数，它与圆相切，然后根据圆（球）的性质计算出球半径，从而得体积．E 【详解】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD ，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径4AB =AB 431EF =-=为，则，， R 1OE R =-122AF AB ==由勾股定理得，即，解得， 222OA AF OF =+2222(1)R R =+-52R =所以球体积为． 33445125()3326V R πππ==⨯=故答案为：． 1256π10．甲、乙两人进行某项比赛，采用三局两胜模式，假定甲每一局比赛赢的概率都为0.6，则甲最终赢得比赛的概率为______．【答案】0.648【分析】分析试验过程，分别求出两局比赛后甲获胜和三局比赛后甲获胜的概率，即可求解.【详解】甲、乙两人进行某项比赛，每局比赛相互独立.两局比赛后甲获胜的概率为：；0.60.60.36⨯=三局比赛后甲获胜的概率为：；20.60.40.60.288⨯⨯⨯=所以甲最终赢得比赛的概率为：.0.360.2880.648+=故答案为：0.64811．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______． 【答案】##0.6 35【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解.【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，123,124,125,134,135,145,234,235,245,345共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算10124,125,134,145,235,2456公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：. 63105=故答案为： 3512．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 侧面BCC 1B 1的交线长为________．.【分析】根据已知条件易得侧面，可得侧面与球面的交线上的点1D E 1D E ⊥11B C CB 11B C CB到与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结E 11B C CB EFG FG果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，11B C E 1BB F 1CC G 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以BAD ∠=1111ABCD A B C D -111D B C，1D E 111D E B C ⊥又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 111BB B C ⊥因为，所以侧面，1111BB B C B = 1D E ⊥11B C CB 设为侧面与球面的交线上的点，则，P 11B C CB 1D E EP ⊥，所以1D E =||EP ===所以侧面与球面的交线上的点到，11B C CB E因为与球面的交线是扇形的弧， ||||EF EG ==11B C CB EFG FG因为，所以， 114B EF C EG π∠=∠=2FEG π∠=所以根据弧长公式可得. 2FGπ==. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.二、单选题13．平面与平面相交于直线l ，点A 、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线αβαβAB 与直线l 相交于点D ．设A 、B 、C 三点确定的平面为，则与的交线是（ ）γβγA ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC【答案】C【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.D C 、βγ【详解】因为直线AB 与直线l 相交于点D ，，所以平面，D ∈l D ∈β又点C 在平面上，所以平面，βCD ⊂β因为平面，点在直线AB 上，所以平面，AB ⊂γD D ∈γ又平面，所以平面，C ∈γCD ⊂γ所以与的交线是直线.βγCD 故选：C.14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件A B ：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互C 3D 4斥事件的为（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与A B B C A D C D 【答案】B【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.【详解】对于A ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A 不正确；A B ⋂=∅A B 对于B ，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点3数是”，6∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B 正确；B C ⋂=6B C 对于C ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，4∴，事件与事件互斥，故选项C 不正确；A D ⋂=∅A D 对于D ，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， 34∴，事件与事件互斥，故选项D 不正确.C D ⋂=∅C D 故选：B.15．某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（ ）A ．估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时B ．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业C ．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%D ．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A ，根据直方图中平均数的公式计算，可判断A;对B ，利用直方图中2小时至小时2.5之间的频率判断B;对C ，计算超过3.5小时的频率可判断C;对D ，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A ，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.250.05 1.750.152.250.25 2.750.203.250.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3.750.104.250.05 4.750.05+⨯+⨯+⨯，所以A 正确；2.75 2.7=>对B ，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有2.5()2.520.50.25-⨯=25人在2小时至小时之间完成作业，故B 正确；1000.25⨯= 2.5对C ，由直方图得超过3.5小时的频率为,所以C 正确；0.5(0.20.10.1)0.2⨯++=对D ，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D 错误. 0.5(0.50.4)0.450.5⨯+=<故选：D16．在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面内的动点，若1111ABCD A B C D -11B BCC 平面，则点F 轨迹的长度为（ ）1//A F 1AD EA B C D ．【答案】B【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F 的轨1BB M 11B C N MN 1//A MN 1AD E 迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.MN 1//A F 1AD E 【详解】如图所示：取中点，中点，连接，1BB M 11B C N MN 因为，，//MN 1BC 1//BC 1AD 所以，//MN 1AD 平面，平面，MN ⊄1AD E 1AD ⊂1AD E 所以平面，//MN 1AD E 同理可证明平面，1//A N 1AD E 又因为，平面，1MN A N N = 1,MN A N ⊂1A MN 所以平面平面，1//A MN 1AD E 当F 的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，MN 1A F ⊂1A MN 1//A F 1AD E此时. 11122MN BC ==⨯=故选：B.三、解答题17．某校共有在校学生200人，为了了解该校学生的体能情况，对该校所有学生进行体能测试，然后采用分层抽样的方法随机抽取了20名学生的成绩，整理得到如下茎叶图：(1)求该校女学生人数、样本中女生成绩的极差、25百分数；(2)已知全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，求该校全体学生的平均成绩．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用样本与总体的关系即可求得该校女学生人数；依据极差定义即可求得样本中女生成绩的极差；依据百分位数定义即可求得样本中女生成绩的25百分数；（2）利用平均数定义即可求得该校全体学生的平均成绩．【详解】（1）样本中女生有8人，则该校女学生人数为 20880200÷=样本中女生成绩由小到大排列为 5659656873747788，，，，，，，则样本中女生成绩的极差为885632-=由，可得样本中女生成绩的25百分数为 80.252⨯=5965622+=（2）由（1）可得该校女学生人数为，则该校男生人数为120 80又全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，则该校全体学生的平均成绩为 80701207271.2200⨯+⨯=18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线．1AA(1)若AB ＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB 与CD 是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC 与所成角的大小．1A B 【答案】(1)；4π(2). π3【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出； r l （2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.AB DC 1AA AC 1A B u u u r 【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，1r =12l AA ==所以圆柱的侧面积.2π4πS rl ==（2）由已知可得，两两垂直，且相等，1,,AB CD AA设，则，. 2AB =1OA OC ==AC =1A B ==又， ， 1122AC OC OA DC AB =-=+u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 11A B AB AA =-u u u r u u u r u u u r 则. ()111122AC A B DC AB AB AA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111112222DC AB DC AA AB AB AA =⋅-⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2122AB ==u u u r所以，11cos ,2AC A B =u u u r u u u r 又，所以， 10,πAC A B ≤≤u u u r u u u r 1π,3AC A B =u u u r u u u r 所以异面直线AC 与所成角的大小为. 1A B π319．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC 是边长为2的正三角形．111ABC A B C -(1)求四棱锥的体积；111A BBCC -(2)若，求证：侧面为矩形．11A B A C =11B BCC 【答案】(2)证明见解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，因此用三111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -棱柱的体积减三棱锥的体积就能得到四棱锥的体积； 111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -（2）由棱柱定义知，四边形为平行四边形，因此只需借助空间中直线、平面的垂直关系，11B BCC 证明其中一个角为直角即可.【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，111ABC A B C -1A ABC-111A B BCC -三棱柱的体积， 111ABC A B C -1111=22sin 6022ABC A B CABC V S h -=⨯⨯⨯︒⨯= 三棱锥的体积 1A ABC -11=3A ABC ABC VS h -= ∴四棱锥的体积. 111A B BCC -1111111A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-==（2）取中点，连接，， BC M AM 1A M ∵是等边三角形，是边上的中线，ABC AM BC ∴也是边上的高，即，AM BC AM BC ⊥又∵，∴是等腰三角形，11A B A C =1A BC ∴是边上的中线，也是边上的高，即，1A M BC BC 1A M BC ⊥又∵，平面，平面，1AM A M M ⋂=AM ⊂1AMA 1A M ⊂1AMA ∴平面，BC ⊥1AMA ∵平面，1AA ⊂1AMA ∴，1BC AA ⊥由棱柱定义知，，，111AA BB CC ∥∥111AA BB CC ==∴，四边形为平行四边形，1BC BB ⊥11B BCC ∴侧面四边形为矩形.11B BCC 20．掷黑、白两枚骰子．(1)设事件A 为：两枚骰子的点数和为7，事件B 为：白色骰子的点数是1．判断事件A 和事件B 是否独立，并说明理由；(2)设事件C 为：两枚骰子中至少有一枚的点数是1且两枚骰子点数之和不是7．求事件C 的概率．【答案】(1)是，理由见解析 (2)14【分析】（1）写出所有的基本事件，再求出A ，B 发生的概率，根据概率公式 ()()()·P AB P A P B =来判断A ，B 事件是否独立；（2）根据事件C 包含的基本事件数，按照古典概型概率计算公式可求出事件C 的概率.【详解】（1）投掷黑、白两枚骰子一次的点数记作，所有基本事件如下： (),x y ，()2:1,1 ，()()3:1,2,2,1 ，()()()4:2,2,1,3,3,1 ，()()()()5:1,4,4,1,2,3,3,2 ，()()()()()6:3,3,1,5,5,1,2,4,4,2 ，()()()()()()7:1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3 ，()()()()()8:4,4,2,6,6,2,3,5,5,3 ，()()()()9:3,6,6,3,4,5,5,4 ，()()()10:5,5,4,6,6,4 ，()()11:5,6,6,5 ，()12:6,6共36个，事件包含6个基本事件，即，A ()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3事件包含6个基本事件，即，B ()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1事件只包含，C ()6,1所以， ，所以A ，B 是独立事件； ()()()()()61611,,36636636P A P B P AB P A P B ======（2）根据（1）所列出的基本事件，事件包含9个基本事件，即C ，所以，. ()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,4,1,1,5,5,1()91364P C ==综上，A ，B 是独立事件， . ()14P C =21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AB BC ⊥分别为棱中点．2AB AD BC AB E F ==，，、BC BP 、(1)求证：平面平面；AEF ∥DCP (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角PBC ⊥ABCD AP PBC 45 CP PB ⊥的大小．P AB D --【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；//EF PCD //AE PCD （2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可45APB ∠= AB PB =PC ⊥ABP 得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平PBC 60PBC ∠= PBC ∠P AB D --面角求解即可.【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，E F 、BC BP 、所以，在中，，PBC //EF PC 因为平面，平面，EF ⊄PCD PC ⊂PCD 所以，平面，//EF PCD 因为，为棱中点．AD BC ∥2BC AB E =，BC 所以，，//,AD CE AD CE =所以，四边形是平行四边形，ADCE 所以，//CD AE 因为平面，平面，AE ⊄PCD DC ⊂PCD 所以，平面，//AE PCD 因为平面，,,AE EF E AE EF ⋂=⊂AEF 所以，平面平面AEF ∥DCP （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =AB BC ⊥AB ⊂，ABCD 所以，平面AB ⊥PBC 所以，是直线与平面所成的角，APB ∠AP PBC 因为，直线与平面所成的角为，AP PBC 45所以，，45APB ∠= 所以，AB PB =因为平面，,PC PB ⊂PBC 所以，，AB PC ⊥AB PB ⊥因为，，平面， CP PB ⊥AB BP B = ,AB BP ⊂ABP 所以平面，PC ⊥ABP 因为平面，PB ⊂ABP 所以，即为直角三角形，PC PB ⊥PBC所以，在中，由可得， PBC 22BC AB PB ==PC所以，， tan PC PBC PB∠==60PBC ∠= 因为，，AB PB ⊥AB BC ⊥所以，是二面角的平面角， PBC ∠P AB D --所以，二面角的大小为.P AB D --60。

2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。

2017年下期宁远一中高二月考理科数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）1．命题 “若ABC ∆不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ） A. 若ABC ∆有两个内角相等,则它是等腰三角形 B. 若ABC ∆任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C. 若ABC ∆是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 D. 若ABC ∆任何两个角相等,则它不是等腰三角形2．将389化成四进位制数的末位是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.33．命题“若0m >，则20x x m +-=有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是 （ ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.4个4．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为 ( ) A ．5，10，15 B ．3，9，18 C ．5，9，16 D ．3，10，17 5．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中 心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A.30 B ．45 C ．60 D ．906.执行右面程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )A ．B ．6C ．D ．128.设函数()x f x xe =，则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点9.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'3()2(2)f x xf x =+，则'(2)f 等于（ ） A ． 8B ．12C. 9D ．-1210.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 （ ） A ．12 B ．13 C ．112π- D ．16π-11．过抛物线2:4C y x =的焦点F ,的直线交C 于点M (M 在的x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为( )AB ．C ．D ．12. 定 义 ： 如 果 函 数()f x 在[,]a b 上 存 在1x 、212()x a x x b <<<, 满 足''12()()()()(),()f b f a f b f a f x f x b a b a--==--，则称函数()f x 是[,]a b 上的“双中值函 数”。

2022-2023学年北京市第二十中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，，复数的共轭复数为（ ）i 12z i =-z A ．B ．12i +12i --C ．D ．12i -+12i-【答案】A【分析】根据共轭复数的定义求解.【详解】由共轭复数的定义知： 的共轭复数为： ；12i =-z 12i z =+故选：A.2．已知圆的圆心的横坐标为，则等于（ ）22:0C x y ax ++=C 1-a A ．1B ．2C ．D ．1-2-【答案】B【分析】由圆的一般方程得圆心坐标,从而得参数值.a 【详解】圆的标准方程为，，圆心为,22:0C x y ax ++=222()24a a x y ++=0a ≠(,0)2a C -∴，．12a-=-2a =故选：B ．3．已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（ ）()5,0()3,0A ．B ．221169y x -=221259x y -=C ．D ．2262511x y -=221916x y -=【答案】D【分析】根据双曲线中的关系求解.,,a b c 【详解】由题可知，双曲线的焦点在轴上，所以可设方程为，x 22221x y a b -=且，所以，5,3c a ==22216b c a =-=所以双曲线方程为，221916x y -=故选:D.4．已知直线和圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）:l y x m =+22:4C x y +=m A ．B ．()2,2-[]22-,C ．D ．(-⎡⎣-【答案】C，即得.2【详解】因为圆的圆心为，半径为2，22:4C x y +=()0,0又直线和圆有两个不同的交点，:l y x m =+22:4C x y +=，2解得m -<<即实数的取值范围是.m (-故选：C.5．已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（ ）2221(0)3y x a a -=>28y x =a A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标，再根据题意可求出的值.a 【详解】抛物线的焦点为，28y x =(2,0)因为双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，2221(0)3y x a a -=>28y x =所以，2a =故选：B6．“”是“直线与直线互相平行且不重合”的（ ）1a =260ax y +-=()()2110x a y a +++-=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用直线与直线平行化简求出，再由范围大小判断充分与必要条件.a【详解】若直线与直线互相平行且不重合，则，260ax y +-=()()2110x a y a +++-=()112a a +=⨯解得或，经检验，时，符合题意，时，两直线重合，故，所以“”是“1a =2-1a =2a =-1a =1a =”的充要条件.1a =故选：C7．已知双曲线的右焦点，则其离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>(),0Fc （ ）A ．2B ．CD 12【答案】A【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线22221x y a b -=0a >0b>(),0Fc b y x a = 可得 ，即b ==22234c a c-=2c a =所以双曲线的离心率为： .2c e a ==故选：A.8．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是l 28y x =F A B C F 的中点，则线段的长为AC BC A ．B ．C ．D ．8331636【答案】C【分析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得.(6,AAF 所在直线方程为.AF k ∴==)2y x =-联立方程：可得：，)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=，则.264,3B B x x ∴==28233BF BH ==+=故.816833BC CF BF AF BF =-=-=-=故选C .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．设椭圆的两个焦点分别为F 1､､F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若F 1PF 2为等腰直角 三角形，则椭圆的离心率是（）A BC ．D21【答案】D【解析】解法一：根据方程，令，求得的纵坐标，利用为等腰直角三角形可得x c =P 12F PF △的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，,,a b c b 2220a ac c --=注意取舍.解法二：不妨设椭圆的焦距为1，利用等腰直角三角形的性质得到另外两边的长度，根据12F PF △椭圆的定义求得长轴的值，进而得到离心率.2a 【详解】解法一：不妨设椭圆的标准方程为，()222210x y a b a b +=>>半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则.c 12,F F P ()2,0F c 在椭圆方程中，令，则，解得，故.x c =22221c y a b +=2P b y a =2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直角三角形且，故即，12F PF △122F F P π∠=22b c a =2220a ac c --=故，解得2210e e +-=1e =-解法二：如图，不妨设,则,1221c F F ==21PF =1PF =于是,1221a PF PF =+=,212c c e a a ∴====故选：D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系；而利,,a b c 用定义方法求离心率常常能起到快速解答的作用.10．已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为，点222:1(06x y G b b +=<12F F ､12B B ､在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题：P G 1212PB PB PF PF +=+b ①点的轨迹关于轴对称；P y ②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；b G P ③的最小值为2．OP其中，所有正确命题的序号是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C 【分析】由题可知同时也在以为焦点，长轴长为12PB PB +=P 12B B ､其椭圆方程为：，而点则是两椭圆交点，根据椭圆的几何性质即可对选222:1(066y x C b b +=<<-P 项进行判断.【详解】由题可知同时也在以为焦点，长轴长为1212=2PB PB PF PF +=+P12B B ､222:1(066y x C b b +=<<-对于①，将x 换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确；x -P y 对于②，由椭圆方程可知椭圆的长轴顶点，短轴长度小于的长轴顶点G ()C ，短轴长度小于与椭圆有4个交点，对应的点有4个，故②错误；(0,G C P 对于③，代数法：联立，即，即22222216166x y b y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩()()22222222666666b x y b x b y b ⎧+=⎪⎨+-=-⎪⎩，两式相加可得，则()()22222222222222666666666b b b b x y b bb b x b y b ⎧⋅+=⋅⎪---⎨⎪+-=-⎩()()4422222266666636b b b x y b b b =+--+--+，当时，的最小值为4，()44442222422261221636722116636636622161236bb b b x y b b b b b b -+-++-+---=+=+-=23b =22x y +即当的最小值为2；OP几何法：如图所示因为椭圆与椭圆长轴确定，所以当点靠近坐标轴时（或，即其中一个椭圆更G C P 0b →b 接近圆时，此时会越接近，会越大；反之点远离坐标轴时，即两个椭圆离心率逐渐OPOPP接近时，越小，所以当，即时最小OP226b b =-23b =OP此时，，两式相加得，即的最小值为2，故③22:163x y G +=22:163y x C +=222222y x +⇒==OP 正确.故选：C二、填空题11．椭圆的长轴长为__________．2244x y +=【答案】4【分析】根据椭圆方程转化为标准方程确定，即可得长轴长.24a =【详解】解：椭圆，化为标准方程为，则，即2244x y +=2214x y +=24a =2a =所以椭圆的长轴长为.24a =故答案为：4.12．双曲线的渐近线方程为等于____________．2214x y -=【答案】12y x=±【解析】根据双曲线的方程，求得的值，进而求得双曲线的渐近线的方程.,a b 【详解】由题意，双曲线的焦点在上，且，2214x y -=y 1,2a b ==所以双曲线的渐近线的方程为.12a y x xb =±=±故答案为：.12y x=±13．已知椭圆（）的左顶点为，上顶点为为坐标22221x y a b +=0a b >>A B O 原点），则该椭圆的离心率为__________．【分析】由椭圆的性质得出，进而得出离心率.,a c，，所以离心率为.a c ==c a ==三、双空题14．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为__________，__________．i z i 3i z ⋅=-z z =【答案】 3-【分析】根据复数的除法法则计算，然后根据复数的概念及复数模的计算公式即得.z 【详解】因为，i 3i z ⋅=-所以3i13i iz -==--所以的虚部为z 3-=故答案为：.3-15．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区1111ABCD A B C D -P ABCD域由所有满足组成，则的面积是__________，四面体的体积的最大W 1A P P W 1P A BC -值是__________．【答案】 4π43【详解】由题意可知，满足是以1A P ≤P 1A 又因为点在正方形的边界及其内部运动，P ABCD 所以平面区域是以为圆心，1为半径的圆的，所以可知的面积是；W A 14W 4π设点到平面的距离为，1A PBC 2h =所以四面体的体积为,1P A BC -1233PBC PBC h S S ⋅⋅=⋅ 所以当点是的中点时，取得最大值为，四面体的体积最大值是.P AD PBC S 21P A BC -43四、解答题16．已知圆．22:2410C x y x y +--+=(1)求圆的圆心坐标和半径；C (2)直线交圆于两点，求的值．:1l y x =-C A B ､AB【答案】(1)圆心坐标，半径()1,2C 2r =(2)【分析】（1）首先将圆的一般方程配方整理成标准方程，根据圆的标准方程即可求得圆心坐标及半径；（2）首先求解圆心到直线的距离，然后直接根据圆的弦长公式进行求解即可.l d 【详解】（1）已知圆，22:2410C x y x y +--+=配方整理得：，()()22:124C x y -+-=故得圆的圆心为，半径.C ()1,2C 2r =（2）由（1）可知圆的圆心坐标为，半径，C ()1,2C 2r =则圆心到直线的距离，d则.AB ===17．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E CD(1)求证：平面；BD ⊥PAC(2)若点是棱的中点，求证：平面．F AB CF PAE 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，PA ⊥ABCD ABCD BD ⊥PAC 则可证得平面.BD ⊥PAC (2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明.,E F //CF AE 【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥ABCD 形，则，，平面，所以平面.BD AC ⊥PA AC A = ,PA AC ⊂PAC BD ⊥PAC （2）连接，如图所示：CF AE因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以,E F ,CD AB //AF CE AF CE =AFCE ，平面，平面，所以平面.//AE CF AE ⊂PAE CF ⊄PAE //CF PAE 18．半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限．C ()1,1A -C 2y x =(1)求圆的方程；C (2)过点作圆的切线，求切线的方程．()4,3C 【答案】(1)()()22129x y -+-=(2)或40x -=43250x y +-=【分析】（1）通过圆心在直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程.（2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程.【详解】（1）设圆心为，则，()(),20C a a a >3r ==解得，则圆的方程为.1a =C ()()22129x y -+-=故答案为：.()()22129x y -+-=（2）点在圆外，()4,3①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为,满足条件.4x =413d r =-==②切线斜率存在时，设切线，即,():34l y k x -=-430kx y k --+=则圆心到切线的距离，解得，3d 43k =-则切线的方程为：.43250x y +-=故答案为：或.40x -=43250x y +-=19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①､条111ABC A B C -11AA C C 43AB =件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.（1）求证：平面；AB ⊥11AA C C （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 11A BC 条件①：；条件②：；条件③：平面平面.5BC =1AB AA ⊥ABC ⊥11AA C C 【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）.1225【分析】选择①②：（1）根据勾股定理可得，再由，利用线面垂直的判定定AB AC ⊥1AB AA ⊥理可得平面；选择①③：（1）根据勾股定理可得，再由面面垂直的性质定AB ⊥11AA C C AB AC ⊥理可得平面.AB ⊥11AA C C （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据A A xyz -11A BC sin |cos ,|BC n θ=<>【详解】解：选择①②：（1）因为，，，4AC =3AB =5BC =所以.AB AC ⊥又因为，，1AB AA ⊥1AC AA A =∩所以平面.AB ⊥11AA C C 选择①③：（1）因为，，，4AC =3AB =5BC =所以.AB AC ⊥又因为平面平面，ABC ⊥11AA C C 平面平面，ABC ⋂11AAC C AC =所以平面.AB ⊥11AA C C （2）由（1）知，.AB AC ⊥1AB AA ⊥因为四边形是正方形，所以.11AA C C 1AC AA ⊥如图，以为原点建立空间直角坐标系，A A xyz -则，，，(0,0,0)A (3,0,0)B (0,0,4)C ，，1(0,4,0)A 1(0,4,4)C ，，.1(3,4,0)A B =- 11(0,0,4)A C = (3,0,4)BC =- 设平面的一个法向量为，11A BC (,,)n x y z =则即1110,0,n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 340,40.x y z -=⎧⎨=⎩令，则，，所以.3y =4x =0z =(4,3,0)n = 设直线与平面所成角为，BC 11A BC θ则.||12sin |cos ,|25||||BC n BC n BC n θ⋅=<>== 所以直线与平面所成角的正弦值为.BC 11A BC 1225【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20．已知椭圆的长轴长为的直线与椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>e =()2,0M -l 交于不同的两点．G ,A B(1)求椭圆的方程；G (2)若点关于轴的对称点为，求线段长度的取值范围．B x B 'AB '【答案】(1)；2212x y +=(2).AB '∈【分析】（1）由题意得可求出，从而可求出椭圆的方程；2c a a =222b a c =-b （2）设，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，由1122(,),(,)A x y B x y l (2)y k x =+可得0∆>212k <简，再由可求出其范围.2102k ≤<【详解】（1）由题意得，2c a a =1a c ==所以，222211b a c =-=-=所以椭圆方程为；2212x y +=（2）设，1122(,),(,)A x y B x y 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，l l (2)y k x =+由，得，22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()k x k x k +++-=2222218820由，得，得，422644(21)(82)0k k k ∆=-+->2120k ->212k <所以，22121222882,2121k k x x x x k k --+==++因为，22(,)B x y '-因为，2222221212122222882816()()442121(21)k k k x x x x x x k k k ⎛⎫----=+-=-⋅= ⎪+++⎝⎭，212122284()442121k k y y k x x k k k k k -+=++=⋅+=++，=因为，所以，2102k ≤<21212k≤+<所以.AB '∈21．设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自A x A ∈1x A -∈1x A +∈A 邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.{}1,2,,n A n = (2,)n n N ≥∈n a （1）直接写出的所有自邻集；4A （2）若为偶数且，求证：的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；n 6n ≥n A 5（3）若，求证：.4n ≥12n n a a -≤【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析；（3）证明见{1,2,3,4}{1,2,3}{2,3,4}{1,2}{2,3}{3,4}解析.【分析】（1）每个自邻集中至少有两个元素，然后按相邻元素规则确定；（2）利用配对原则证明，对于集合的含有5个元素的自邻集，n A 12345{,,,,}B x x x x x =不妨设，构造集合，它们是不相等的集合，也是5个54321{1,1,1,1,1}C n x n x n x n x n x =+-+-+-+-+-元素的自邻集，这样可得证结论；（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.k k b 2,3,4,,k n = 当时，，，得.4n ≥1231n n a b b b --=+++ 231n n n a b b b b -=++++ 1n n n a a b -=+下面只要证明即可，对自邻集进行分类确定自邻集的个数：①含有这三个元素，1n n b a -≤2,1,n n n --②含有两个元素，不含有这个元素，且不只有，两个元素.③只含有这两,1n n -2n -n 1-n ,1n n -个元素，可得与的关系，完成证明．n b 1n a -【详解】解：（1）.的子集中的自邻集有：4A ，，，，，.{1,2,3,4}{1,2,3}{2,3,4}{1,2}{2,3}{3,4}（2）.对于集合的含有个元素的自邻集，n A 512345{,,,,}B x x x x x =不妨设.12345x x x x x <<<<因为对于任意，都有或，.i x B ∈1i x B -∈1i x B +∈1,2,3,4,5i =所以，，或.211x x =+451x x =-321x x =+341x x =-对于集合，54321{1,1,1,1,1}C n x n x n x n x n x =+-+-+-+-+-因为，所以，.123451x x x x x n <<<<≤≤11i n x n +-≤≤1,2,3,4,5i =且.5432111111n x n x n x n x n x +-<+-<+-<+-<+-所以.n C A ⊆因为，，或.121x x +=541x x -=321x x =+341x x =-所以，，211(1)1n x n x +-=+--451(1)1n x n x +-=+-+或.341(1)1n x n x +-=+-+321(1)1n x n x +-=+--所以，对于任意，都有1i n x C +-∈或，.(1)1i n x C +-+∈(1)1i n x C +--∈1,2,3,4,5i =所以集合也是自邻集.C 因为当n 为偶数时，，331x n x ≠+-所以.B C ≠所以，对于集合任意一个含有个元素的自邻集，在上述对应方法下会n A 5存在一个不同的含有个元素的自邻集与其对应.5所以，的含有个元素的自邻集的个数为偶数.n A 5（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.k k b 2,3,4,,k n = 当时，，.4n ≥1231n n a b b b --=+++ 231n n n a b b b b -=++++显然.1n n n a a b -=+下面证明.1n n b a -≤①自邻集中含，，这三个元素.2n -n 1-n 记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以n D 2,1n n D --∈D仍然是自邻集，且集合中的最大元素是，所以含这三个D n 1-2,1,n n n --元素的自邻集的个数为.1n b -②自邻集中含有，这两个元素，不含，且不只有，两个n 1-n 2n -n 1-n 元素.记自邻集中除，之外的最大元素为，则.n n 1-m 23m n -≤≤每个自邻集去掉，这两个元素后，仍然为自邻集，n 1-n 此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为类：m 4n -含最大数为的集合个数为.22b 含最大数为的集合个数为.33b含最大数为的集合个数为.3n -3n b -则这样的集合共有个.233n b b b -+++ ③自邻集只含，两个元素，这样的自邻集只有1个.n 1-n 综上可得23311n n n b b b b b --=+++++ 23312n n n b b b b b ---+++++ ≤.1n a -=所以，1n n b a -≤所以当时，.4n ≥12n n a a -≤【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义，并能利用新定义求解．特别是对新定义自邻集的个数的记数：记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.然k k b 2,3,4,,k n = 后求得与的关系．n a n b ．。

高二数学十二月份月考试卷时间:120分钟 满分：150分第I 卷（选择题共50分）一．选择题（每小题5分，共50分）1. 在△ABC 中，下列等式总能成立的是……………………………………………………（ ）A. acosC=ccosAB.bsinC=csinAC.absinC=bcsinBD.asinC=csinA2.在△ABC 中，a 2+b 2－c 2+2ab=0,则C 等于…………………………………………（ ）A ．︒30B ．45°C ．︒120D ．︒135 3. 12+与12-两数的等比中项是…………………………………………………………( )A. 1B. 1-C. 1±D. 21 4. ,已知{}n a 是一个等差数列,{}n a 的前n 项和为s n .若s 2=4,s 4=20,则该数列的公差d=( )A.7B.6C.3D.25.不等式x(1－x) ＞0的解集是……………………………………………………………………（ ）A .(－∞，－1)⋃ (0，+∞) B. (－1，0) C. (0，1) D. (－∞，0)⋃ (1，+∞)6.有下列四个命题：①“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤1,则2x +2x+q=0有实数根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中是真命题的是………………………………………………………………………………（ ）A ．①② B. ②③ C.①③ D.③④7．当0a ≠时，“1a >”是“11a<”………………………………………………………………( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若抛物线y=a 2x 的焦点是F(0，2)，则a 的值为 ………………………………………………( ) A. 81 B.-81 C. 8 D. -89. 与椭圆1422=+y x 有相同两焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是…………………………（ ） A. 1422=-y x B. 1222=-y x C. 13322=-y x D. 1222=-y x10. ①(文)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是………………………………………………………………（ ）A C ．21 ②（理）已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为…………………………………………………………………………………………( )A ．BC ．56D ． 65第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（每小题5分，共20分）11.在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项和S 8等于 ___ ;12.设R y x ∈,，且4=+y x ，则 y x 55+的最小值为13.抛物线2x y -=的焦点坐标为 ___ ; 14.若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m= ___ ; 三．解答题（共80分，要有必要文字说明和解题过程）15（12分）.在△ABC 中，已知b=2, c=1, B=45°，求边长a,角A,C.16（12分）. 在等差数列{}n a中，a2=－20，a1+a9=－28(1)求{}n a的通项公式；（2）求{}n a的前n项和s n并求其最小值。

2023-2024学年青海省西宁市城西区高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．本题考点为共轭复数，为基础题目．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，若BE =1xAA +y AB +z AD，则（）．A ．x ＝1，12y ＝，12z ＝－B ．x ＝1，12y ＝－，12z ＝C ．12x ＝，y ＝1，12z =-D ．12x ＝－，y ＝1，12z ＝【正确答案】B【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题.【详解】由题意得：()11111111112BE BB B A A E AA AB A B A D =++=-++1111112222AA AB AB AD AA AB AD =-++=-+ ，所以111,,22x y z ==-=故选：B3．设非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b> 【正确答案】A【详解】由a b a b +=- 平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故选A.本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．A ．1415B ．115C ．29D．【正确答案】A【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求(P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101(15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A.本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.5．已知向量()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，则有（）．A ．23a c b=- B ．a b c+= C ．()b a c⊥- D ．a b b c c a⋅=⋅=⋅ 【正确答案】C【分析】对于A ，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解；对于B ，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C ，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解；对于D ，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以242,0,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2140,1,33c b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，所以23a c b ≠- ，故A 不正确；对于B ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，所以1,a ==b == ，c == ，所以a b c +≠ ，故B 不正确；对于C ，因为()0,1,0a = ，()2,1,3c =- ，所以()2,0,3a c -=-，又()3,0,2b = ，所以()()3200320b a c ⋅-=⨯-+⨯+⨯= ，即()b ac ⊥-，故C 正确.对于D ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以0310020a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，()3201230b c ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，()2011301c a ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以a b b c c a ⋅=⋅≠⋅，故D 不正确.故选：C.6．已知sin cos αα-=α∈(0,π)，则tan α=A ．-1B ．2C ．2D ．1【正确答案】A 【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=-故选A 7．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．34πB ．4πC ．23πD ．3π【正确答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π.故选：A.8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=【正确答案】A【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A9．四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，N 为BA 中点，则MN为（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-r r r D ．221332a b c++ 【正确答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，()2111232223MN MO ON OC OA OB a b c =+=-++=+-.故选：C.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．,12⎤⎢⎥⎣⎦B．⎣⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎣⎦【正确答案】B【分析】确定四边形1AFBF为矩形，得到1π4e α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质得到离心率范围.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形，则12sin 2cos 2AF AF AF BF c c a αα+=+=+=，故11πsin cos 4e ααα=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,，则ππ32π,4α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，23e ∈⎣⎦.故选：B.11．已知a<0，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（）A．4B．2CD4【正确答案】A【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．【详解】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=，解得2a =-或1a =，又a<0，所以2a =-，当2a =-时，直线1:2210l x y -+=与直线2:2280l x y -+=距离为4=.故选：A12．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．(-⋃B ．(-C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-【正确答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2121-<+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-<+，解得0a -<<或0a <<所以实数a 的取值范围为(-⋃，故选：A ．二、填空题13．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________.【正确答案】220x y +-=【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--，∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故220x y +-=．14．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【正确答案】1x =或3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线:1l x =，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k ，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离1d r ==，即可求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故1x =或3450x y -+=15．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF △的周长是___.【正确答案】16根据椭圆的定义求解．【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故16．16．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d =，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．三、解答题17．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【正确答案】（1）32a =；（2【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离.【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =．（2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离d =本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【正确答案】（1）B =60°（2）a c ==【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为1AD 、1CD 中点.(1)求证：EF BD ⊥;(2)求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小.【正确答案】(1)见解析(2)3π【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可；（2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】（1）如图,建立空间直角坐标系D xyz -则(0,0,0),(2,2,0),(1,0,1),(0,1,1)D BEF (1,1,0),(2,2,0)EF BD =-=--因为2200EF BD ⋅=-+=所以EF BD ⊥,即EF BD⊥（2）11(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)C D CD =-1111cos ,2||BD CD BD CD BD CD ⋅==设异面直线BD 与1CD 所成角为θ,则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以3πθ=,即异面直线BD 与1CD 所成角的大小为3π20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2CC 1＝2，点E 是DC的中点．(1)求点D 到平面AD 1E 的距离；(2)求证：平面AD 1E ⊥平面EBB 1．【正确答案】(2)证明过程见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；（2）利用空间向量的数量积为0证明出1,EA EB EA BB ⊥⊥，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,2,1D A E D B B ，设平面1D AE 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,1,0,10,,1,1,00m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以()1,1,1m = ，则点D 到平面AD 1E 的距离为DA m d m⋅= ；（2）()()11,1,0,0,0,1EB BB == ，所以()()1,1,01,1,0110EA EB ⋅=-⋅=-= ，()()11,1,00,0,10EA BB ⋅=-⋅= ，所以1,EA EB EA BB ⊥⊥，因为1EB BB B =，1,EB BB ⊂平面1EBB ，所以EA ⊥平面1EBB ，因为EA ⊂平面1D AE ，所以平面1D AE ⊥平面1EBB .21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；(3)从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.【正确答案】(1)0.006a =；(2)中位数为5357，均值为76.2；(3)110【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a 的值;（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，故0.006a =.（2）由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018950.022650.022850.02875)1076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.前3组的频率和为0.0040.0060.022)100.32++⨯=，前3组的频率和为0.0040.0060.0220.028)100.6+++⨯=，故中位数在[)70,80，设中位数为x ，则700.320.280.510x -+⨯=，故5357x =.故中位数为5357.（3）评分在[)40,60的受访职工的人数为()0.0040.00610505+⨯⨯=，其中评分在[)40,50的受访职工的人数为2，记为,a b在[)50,60的受访职工人数为3，记为,,A B C ，从5人任取2人，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，基本事件的总数为10，而2人评分都在[)40,50的基本事件为{},a b ，故2人评分都在[)40,50的概率为110.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线:1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【正确答案】(1)2214x y +=(2)2【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++，计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点，所以||2OA =，即2a =.因为椭圆C经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=，解得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得()224230,0t y ty +--=∆>恒成立，则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED ===又因为点B 到直线l 的距离d =所以11||22S ED d =⨯⨯==令m =26611m m m m==++，因为1y m m=+，m 时，2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当m时，min 13m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，故max 2S =.即S的最大值为方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。

太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考(12月)高 二 数学（理）一．选择题(本题共10个小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)1．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）Ａ．k ＜１ Ｂ．k＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２2、已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 ( )A.a 2B.a 4C.a 8D.b a 22+ 3、一动圆与圆221x y +=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆 的圆心在（ ）A. 一个椭圆上B.一条抛物线上C.双曲线的一支上D. 一个圆上 4、抛物线y 2=4px （p ＞0）上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( ) A.a - p B.a + p C.a －2pD.a+2p 5. 设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ）A.41 B.31 C.91 D.536. 设F 1、F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F 1PF 2=90°，那么△F 1PF 2的面积是（ ）A ． 1 B.25C. 2D. 5 7. 椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A. （0（0，121，1） D. [12，1）8. 已知抛物线y 2=2px （p>0）与双曲线 x 2a - y 2b =1（a>0,b>0）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，AF ⊥x 轴,若直线L 是双曲线的一条渐近线，则直线L 的倾斜角所在的区间可能为( )A. (0, π6 )B. ( π6 ,π4 )C. ( π4 ,π3 )D. ( π3 ,π2 )9. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线mx y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ）A ．23 B ．2 C ．25D ．310. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =( )二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）11.已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y 2= 16相切，则p 的值为 . 12.已知圆C:(x+1)2+ y 2=16及点A （1，0），Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线交C Q 于M则点M 的轨迹方程为 .13. 双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为 ___________14. 已知椭圆C:x 22 + y 2 =1的两焦点为12,F F , 点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+ 2PF |的取值范围为____ ___ .15. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分）16. (10分) 在直角坐标系中，o 为坐标原点，如果一个椭圆经过点P(3, 2 ),且以点F(2,0)为它的一个焦点.（1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点F(2,0)的弦AB 的中点M 的轨迹方程. 17．已知抛物线y 2= - x 与直线y=k(x+1)交于A 、B 两点. (1) 求证：OA ⊥OB ；（2）当∆AOB 的面积等于10 时，求k 的值.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>3x =,(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在以双曲线C 的实轴长为直径的圆上，求m 的值.19．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考(12月)高二数学参考答案一．选择题CBAAB ADDAB二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）11. 2 ； 12. x 24 + y 23 =1 ；13. 165 ； 14. [ 2, 2 2 )；15. 2三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分） 解：(1)设所求椭圆方程为：x 2a 2 + y2b2 =1,则有：22224921a b ab ìï=+ïïíï+=ïïî 解得：22128a b ìï=ïíï=ïî ， 故所求椭圆方程为：x 212 + y28 = 1----------5分；（2）设A(x 1,y 1)、B(x 2，y 2), M(x,y)则有：221222211281128x yx y ìïï+=ïïïíïïï+=ïïî当x 1≠x 2时， y 1-y 2x 1-x 2 = - 8(x 1+x 2)12(y 1+y 2) = - 23 ⋅ 2x 2y = - 23 ⋅ xy ;又因为k AB = k MF = y-0x-2 , 所以: - 23 ⋅ x y = y-0x-2 ,整理得：2x 2+3y 2-4x=0 ；当x 1=x 2时，中点M(2,0)满足条件总上可知：所求轨迹方程为：2x 2+3y 2-4x=0 -------10分 17.解：(1)由方程组2(1)y x y k x ìï=-ïíï=+ïî得：ky 2+y-k=0 ,令A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）, 由韦达定理得：y 1+ y 2 = - 1k , y 1y 2 = -1∴ OA OB = x 1x 2+ y 1y 2 = (-y 12)( -y 22)+ y 1y 2 = 1-1 = 0 ∴ OA ⊥OB , 即：OA ⊥OB ；--------------4分 （2）设直线与x 轴交于N 点，则N(-1,0) S ∆AOB = S ∆OAN + S ∆OBN = 12 ⎢ON ⎢y 1 + 12 ⎢ON ⎢y 2= 12⎢ON ⎢ y 1- y 2⎢ ∴ S ∆AOB = 12 ⨯1⨯(y 1+y 2)2-4y 1y 2 = 12(- 1k)2+4 = 10∴ k = ± 16 --------------------------------------------1018．解：(1) x 2- y22=1 ---------4分（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x 2+y 2= 1, 把y=x+m 代入双曲线方程得： x 2-2mx-m 2-2 = 0, 令A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) ,AB 的中点M(x 0,y 0) 则有：221221244(2)022m m x x mx x m ìïD =--->ïïï+=íïïï=--ïî, x 0= x 1+x 22 = m , y 0= y 1+y 22 = x 1+x 22 + m = 2m , 代入圆方程x 2+y 2 = 1中得：m 2= 15 , 所以： m = ± 55.19．（1）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得111113y y x x -+=-+- ，化简得：2234(1)x y x +=≠±.故动点P 的轨迹方程为：2234(1)x y x +=≠±-------------4分（2）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y .则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=-- 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-.于是∆PMN 的面积，2000020||(3)1||(3)2|1|PMNM N x y x Sy y x x +-=--=- 又直线AB 的方程为0x y +=，||AB = 点P 到直线AB的距离d =.于是∆PAB 的面积 001||||2PABS AB d x y ==+ 当PABPMN SS =时，得20000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=- 又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得05|3x =. 因为220034x y +=，所以09y =±故存在点P 使得∆PAB 与∆PMN 的面积相等，此时点P的坐标为5(,3.---10分 解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠. 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB =，所以000|1||3||3||1|x x x x +-=-- 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53= 因为220034x y +=，所以0y =故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为5(,3.。

高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。

2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔x i，y i〕〔i＝1，2，…，10〕得到的点图，由这些点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图〔〕A．①②B．①④C．②③D．③④2．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4＜0〞的否认为〔〕A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x0∈R，x02﹣2x0+4≥0C．∀x∉R，x02﹣2x0+4≥0D．∃x0∉R，x02﹣2x0+4≥03．顶点在原点，焦点是〔0，3〕的抛物线的方程是〔〕A．y2＝12x B．x2＝12y C．D．4．为了理解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为100的样本，那么每名学生成绩人样的时机是〔〕A．B．C．D．5．阅读程序框图，假如输出的函数值在区间内，那么输入的实数x的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2] D．[2，+∞〕6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么(nà me)恰好选中2名女生的概率为〔〕A．B．C．D．7．假设直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+〔a﹣1〕y+5＝0垂直，那么实数a的值是〔〕A．B．1 C．D．28．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为根据可以估计椭圆的面积为〔〕9．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的间隔为〔〕A．B．C．D．10．圆与圆的位置关系是〔〕A．外离B．相交C．外切D．内切11．三棱锥A﹣BCD中，，假设该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，那么此球的体积为〔〕A．B．24πC．D．6π12．直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，假设，那么该椭圆的离心率是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．圆与圆．求两圆公一共弦所在直线的方程．14．如图，矩形O'A'B'C'是程度放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中(qízhōng)O'A'＝6，C'D'＝2，那么原图形面积是．15．如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，那么以下结论中正确的选项是．①EF∥平面ABCD；②△AEF的面积与与△BEF的面积相等③平面ACF⊥平面BEF；④三棱锥E﹣ABF的体积为定值；16．如图，己知椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点〔不在坐标轴上〕，Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，假设|QF2|＝2|OQ|，那么椭圆离心率的范围是．三．解答题〔一共6小题，一共70分〕17．(本小题满分是10分〕命题P：关于x的方程x2+〔m﹣3〕x+m＝0的一个根大于1，另一个根小于1．命题q：∃x∈〔﹣1，1〕，使x2﹣x﹣m＝0成立，命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆〔1〕假设命题s为真，务实数m的取值范围；〔2〕假设p∨q为真，￢q为真，务实数m的取值范围．18．〔本小题满分是12分〕某需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩〔分〕80 85 71 92 87乙的成绩〔分〕90 76 75 92 82〔1〕假设从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为(rènwéi)选谁适宜？请说明理由．〔2〕假设数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，假设答对，那么可参加复赛，否那么被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，假设至少答对其中2道，那么可参加复赛，否那么被润汰．学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．19．〔本小题满分是12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，∠ABC＝60°，E是BC中点，假设H为PD上的点，AH＝．〔1〕求证：EH∥平面PAB；〔2〕求三棱锥P﹣ABH的体积．20．〔本小题满分是12分〕1．点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕．〔1〕求以AB为直径的圆C的方程；〔2〕假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，求m值．21．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F一共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．〔1〕假设平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；〔2〕问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，假设存在，求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比．22．〔本小题满分是12分〕椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕假设在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．数学〔理〕试卷答案1-6：B B B A B C 7-12：A C D B C A11、解：三棱锥A﹣BCD中，，∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成(gòuchéng)〔如图〕设长方体的棱长分别为a，b，c，那么a2+b2＝5，b2+c2＝4，a2+c2＝3，那么该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R＝＝．V=＝．选：C．12、解：由，取y＝0，得x＝﹣，取x＝0，得y＝1，∴F〔，0〕，C〔0，1〕，设A〔x0，y0〕，那么，，由，得，∴，即，即A 〔〕．把A的坐标代入椭圆，可得，即．又b2＝a2﹣3，解得，又c2＝3，∴，∴e＝．应选：A．13、x﹣y﹣1＝0 14、24．15、解：①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1∥BD，且BD⊂平面ABCD，B1D1∉平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故①正确；②点A到EF的间隔大于BB1，∴△AEF的面积与与△BEF的面积不相等，故②错；③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D，又面BB1D1D与面BEF是同一面，AC⊂面ACF，∴平面ACF⊥平面BEF，故③正确；④△BEF 中，EF＝，EF边上的高BB1＝1，∴△BEF的面积为定值，∵AC⊥面BDD1B1，∴AO⊥面BDD1B1，∴AO为三棱锥A﹣BEF底面BEF上的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④．16、解：∵|QF2|＝2|OQ|，∴|QF2|＝，|QF1|＝，∵PQ是∠F1PF2的角平分线，∴，那么(nà me)|PF1|＝2|PF2|，由|PF1|+|PF2|＝3|PF2|＝2a，得|PF2|＝，由a﹣c，可得e＝＞，由0＜e＜1，∴椭圆离心率的范围是〔，1〕．17、解：〔1〕命题s为真时，即命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真；∴4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2；故命题s为真时，实数m的取值范围为：〔0，2〕；（2）当命题p为真时，f〔x〕＝x2+〔m﹣3〕x+m满足f〔1〕＜0，即2m﹣2＜0，所以m＜1．命题q为真时，方程m＝x2﹣x在〔﹣1，1〕有解，当x∈〔﹣1，1〕时，x2﹣x∈[，2〕，那么m∈[，2〕，由于p∨q为真，￢q为真；所以q为假，p为真；那么，得；∴m＜；故p∨q为真，￢q为真时，实数m的取值范围为〔﹣∞，〕．18、解：〔1〕解法一：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲的成绩方差，乙的成绩方差为，由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比拟适宜，乙适宜．解法二：派甲参赛比拟适宜，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上〔含85分〕的概率，乙获得8〔5分〕以上〔含85分〕的概率．因P1＞P2派甲参赛比拟适宜，〔2〕5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F．方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F一共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，一共3种．所以学生乙可参加复赛的概率．方案二：学生甲从5道备选题中任意(rènyì)抽出3道的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔a，E，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕，〔b，E，F〕，〔c，E，F〕，一共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕一共7种，所以学生乙可参加复赛的概率因为P1＜P2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．19、解：〔1〕证明：∵PA＝AD＝2，AH＝，∴H为PD的中点，取PA的中点M，连结HM，MB，那么HM AD，BD，∴HM BD，∴四边形DHMB是平行四边形，∴EH∥BM，又EH⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，∴EH∥平面PAB．（3）解：由〔1〕可知，EH∥平面PAB，（4）∴三棱锥P﹣ABH的体积：V P﹣ABH＝V H﹣PAB＝V E﹣PAB＝V P﹣ABE＝＝＝．∴三棱锥P﹣ABH的体积为．20、解：〔1〕根据题意，点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕，那么线段AB的中点为〔0，2〕，即C的坐标为〔0，2〕；圆C是以线段AB为直径的圆，那么其半径r＝|AB|＝＝，圆C的方程为x2+〔y﹣2〕2＝2，〔2〕根据题意，假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，那么(nà me)点C到直线x﹣my+1＝0的间隔d＝＝，又由d＝，那么有＝，变形可得：7m2﹣8m+1＝0，解可得m＝1或者．21、解：〔1〕证明：∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，∴BC⊥平面AEBF，又∵AF⊂平面AEBF，∴BC⊥AF．∵∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC、BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，∴AF⊥平面BCF．又∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面BCF．〔2〕解：∵BC∥AD，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠FAB＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF．延长EB到点H，使得BH＝AF，又BC AD，连CH、HF，由题意能证明ABHF是平行四边形，∴HF AB CD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF．过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，〔DF⊂平面CDF〕∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点．又BE＝＝2AF＝2BH，∴EG＝，又S△ABE＝2S△AEF，V G﹣ABE＝＝＝＝＝，故＝．22、解：〔1〕由题意可得：a﹣b＝，＝，a2＝b2+c2．联立解得：a＝2，c＝1，b ＝∴椭圆C的HY方程为：+＝1．〔2〕设M〔t，0〕，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕．①当直线(zhíxiàn)l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．联立，化为：〔3m2+4〕y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＝48〔3m2﹣t2+4〕＞0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．|PM|2＝+＝〔1+m2〕，同理可得：|PQ|2＝〔1+m2〕．∴＝＝＝•＝．∵为定值，∴必然有3t2+12＝16﹣4t2，解得t＝．此时＝为定值，M〔，0〕．②当直线l的斜率为0时，设P〔2，0〕，Q〔﹣2，0〕．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．此时＝+＝，把t2＝代入可得：＝为定值．综上①②可得：＝为定值，M〔，0〕．内容总结（1）2021-2021学年高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔xi，yi〕〔i＝1，2，。

田阳高中(gāozhōng)2021-2021学年高二12月月考数学〔理〕试题一、选择题：〔一共12题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的〕1.抛物线的准线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线方程即为，故准线方程为选A．2.某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为理解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进展调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100,10B. 200,10C. 100,20D. 200,20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解(xiánɡ jiě)】由图1得样本容量为〔3500+2000+4500〕×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人数为2000×2%＝40人，那么近视人数为40×0.5＝20人，应选：D．【点睛】此题主要考察分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此题的关键．转化为十进制数为〔〕A. 524B. 774C. 256D. 260【答案】B【解析】试题分析：∵．应选B．考点：排序问题与算法的多样性.4.一组数据的平均数是，方差是，假设将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数和方差分别是〔〕A. B. 55.2， C. D.【答案】D【解析】【分析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两局部进展比拟，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为，由其平均数为，方差是，那么有，方差，假设将这组数据(shùjù)中每一个数据都加上，那么数据为，那么其平均数为，方差为，应选D.【点睛】此题主要考察了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.5.以下结论错误的选项是( )A. 命题“假设p，那么q〞与命题“假设非q，那么非p〞互为逆否命题B. 对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C. 命题“直棱柱的每个侧面都是矩形〞为真D. “假设am2<bm2，那么a<b〞的逆命题为真【答案】D【解析】【分析】写出命题“假设p，那么q〞的逆否命题判断A，通过四种命题的关系和真假判断，即可判断B，由直棱柱的性质可知C成立．命题“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2”，当m＝0时，该命题为假来判断D．【详解】命题“假设p，那么q〞的逆否命题为：“假设非q，那么非p〞，故A正确；一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性一样，∴这四个命题中真命题个数为0、2或者4，故B正确；由直棱柱的性质可知，直棱柱每个侧面都是矩形，故C成立；命题(mìng tí)“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2”，很显然当m＝0时，该命题为假．故D不成立．应选：D．【点睛】此题考察命题的真假判断与应用，考察四种命题间的互相关系，考察了直棱柱的性质，属于综合题.6.是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，且，那么面积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆的HY方程可得：c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10，再根据余弦定理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，再联立两个方程求出t1t2＝12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．【详解】由椭圆的HY方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝〔2c〕2＝64，整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③所以(suǒyǐ)③﹣②得t1t2＝12，∴∠F1PF2＝3．应选A．【点睛】此题考察椭圆的几何性质与椭圆的定义，考察理解三角形的有关知识点，以及考察学生的根本运算才能与运算技巧，属于中档题．7. 如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔〕A. 34B. 55C. 78D. 89【答案】B【解析】试题分析：由题意，①②③④⑤⑥⑦⑧，从而输出，应选B.考点：1.程序框图的应用.【此处有视频，请去附件查看】8.双曲线过点〔，4〕，那么它的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】利用条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线过点〔，4〕，可得，可得a＝4，那么该双曲线的渐近线方程为：．应选：A．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察计算才能．9.如图，长方体中，，，分别是的中点，那么异面直线与所成角为〔〕A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D【解析】如图：连接B1G，EG∵E，G分别(fēnbié)是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形，∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G=∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°，应选 D10.两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，假如两人出发是各自HY的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，那么他们两人在约定时间是内相见的概率为〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设事件A为“甲乙两人能会面〞，求出试验包含的所有事件，并且事件对应的集合表示的面积是s＝1，再求出满足条件的事件，并且得到事件对应的集合表示的面积是，进而根据几何概率模型的计算公式可得答案．【详解】由题意知此题是一个几何概型，设事件A为“甲乙两人能会面〞，试验包含的所有事件是Ω＝{〔x，y〕|}，并且事件对应的集合表示的面积是s＝1，满足条件的事件(shìjiàn)是A＝{〔x，y〕|，|x﹣y|}所以事件对应的集合表示的面积是1﹣2，根据几何概型概率公式得到P．那么两人在约定时间是内能相见的概率是．应选：B．【点睛】此题考察了几何概型的定义与概率计算公式，而几何概率模型一般通过事件的长度、面积或者者体积之比来求事件发生的概率，此题属于中档题，11.直线过椭圆：的左焦点和上顶点，与圆心在原点的圆交于两点，假设，那么椭圆离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解(xiánɡ jiě)】椭圆的焦点在轴上，,，故直线的方程为，即，直线〔即〕的斜率为，过作的垂线，那么为的中点，，，是的中点，直线的斜率，，不妨令，那么，椭圆的离心率，应选D.【点睛】此题主要考察直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.与抛物线相交于两点,公一共弦恰好过它们的公一共焦点,那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】试题分析：由抛物线和双曲线的对称性可知垂直与轴．因为过焦点,那么可令．因为抛物线和双曲线一共焦点,那么,所以,将代入双曲线方程可得,那么,将代入上式并整理可得,即,解得,因为,所以．故B正确．考点：1抛物线的定义;2双曲线的离心率．二．填空题：〔每一小题5分，一共20分〕13.假设向量=〔4, 2，-4〕,=〔6, -3，2〕,那么_____________【答案】4【解析】【分析】由坐标运算可得2和2的坐标，进而可得其数量积．【详解】∵〔4，2，﹣4〕，〔6，﹣3，2〕，由向量的坐标运算可得22〔4，2，﹣4〕-〔6，﹣3，2〕＝〔2，7，﹣10〕，2〔4，2，﹣4〕+2〔6，﹣3，2〕＝〔16，-4，0〕∴6×2﹣4×7﹣0×〔﹣10〕＝4【点睛】此题考察空间向量的数量积的坐标运算，属于根底题．14.命题p:，,假设“非p〞为真命题，m的取值范围为____________【答案(dá àn)】【解析】【分析】由题意知， x2+mx+20恒成立，即，即可得到结果.【详解】由题意知，命题p:，为假，即x2+mx+20恒成立，即，所以<0，得到，故答案为.【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，考察转化思想以及计算才能．15.过原点的直线与圆相交于A、B两点，那么弦AB中点M的轨迹方程为_____________【答案】【解析】【分析】根据圆的特殊性，设圆心为C，那么有CM⊥AB，当斜率存在时，k CM k AB＝﹣1，斜率不存在时加以验证．【详解】设圆x2+y2﹣6x+5＝0的圆心为C，那么C的坐标是〔3，0〕，由题意，CM⊥AB，①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，那么有k CM k AB＝﹣1，∴〔x≠3，x≠0〕，化简得x2+y2﹣3x＝0〔x≠3，x≠0〕，②当x＝3时，y＝0，点〔3，0〕合适题意，③当x＝0时，y＝0，点〔0，0〕不合适题意，解方程组得x，y，∴点M的轨迹(guǐjì)方程是x2+y2﹣3x＝0〔〕．故答案为【点睛】此题主要考察轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，防止增解．16.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A〔-1,1〕的间隔与点P到直线x= - 1的间隔之和的最小值为M，假设B〔3,2〕，记|PB|+|PF|的最小值为N，那么M+N= ______________【答案】【解析】【分析】当P、A、F三点一共线时，点P到点A〔-1,1〕的间隔与点P到直线x= - 1间隔之和最小，由两点间的间隔公式可得M；当P、B、F三点一共线时，|PB|+|PF|最小，由点到直线的间隔公式可得．【详解】可得抛物线y2＝4x的焦点F〔1，0〕，准线方程为x＝﹣1，∴点P到点A〔﹣1，1〕的间隔与点P到直线x＝﹣1的间隔之和等于P到点A〔﹣1，1〕的间隔与点P到焦点F的间隔之和，当P、A、F三点一共线时，间隔之和最小，且M=|AF|，由两点间的间隔公式可得M=|AF|；由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x＝﹣1的间隔，故|PB|+|PF|等于|PB|与P到准线x＝﹣1的间隔之和，可知(kě zhī)当P、B、F三点一共线时，间隔之和最小，最小间隔 N为3﹣〔﹣1〕＝4,所以M+N=，故答案为.【点睛】此题考察抛物线的定义，涉及点到点、点到线的间隔，利用好抛物线的定义是解决问题的关键，属于中档题．三．解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.p:,q:,假设p是q的充分不必要条件，务实数的取值范围【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，由p是q的充分不必要条件，可知p⇒q，从而求出a的范围.【详解】解得，解得：，假设p是q的充分不必要条件，那么，∴，解得：【点睛】此题考察充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，是一道根底题；18.对某校高一年级学生参加(cānjiā)社区效劳次数进展统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区效劳的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15〕10[15，20〕25 n[20，25〕m p[25，30〕 2合计M 1〔1〕求出表中M，p及图中a的值；〔2〕假设该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区效劳的次数在区间[15，20〕内的人数；〔3〕在所取样本中，从参加社区效劳的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有根本领件，并求至多1人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率．【答案】〔1〕0.125；〔2〕5；〔3〕【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕由频率=，能求出表中M、p及图中a的值．〔2〕由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区效劳的平均次数．〔3〕在样本中，处于[20，25〕内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率．【详解】〔1〕由分组[10，15〕内的频数是10，频率是知，，所以M=40．因为频数之和为40，所以．因为a是对应分组[15，20〕的频率与组距的商，所以．〔2〕因为该校高三学生有360人，分组[15，20〕内的频率是0.625，所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．〔3〕这个样本参加社区效劳的次数不少于20次的学生一共有3+2=5人设在区间[20，25〕内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30〕内的人为{b1，b2}．那么任选2人一共有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a2，a3〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a3，b1〕，〔a3，b2〕，〔b1，b2〕10种情况，〔9分〕而两人都在[20，25〕内一共有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a2，a3〕3种情况，至多一人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率为．【点睛】此题考察频率分布表和频率分布直方图的应用，考察概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.直线与双曲线．〔1〕当时，直线与双曲线的一渐近线交于点，求点到另一渐近线的间隔；〔2〕假设直线与双曲线交于两点，假设，求的值．【答案】〔1〕；〔2〕或者.【解析(jiě xī)】【分析】〔1〕写出双曲线渐近线方程，渐近线方程与直线方程联立可求得，利用点到直线间隔公式即可得结果；〔2〕直接联立直线与双曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点的横坐标的和与积，由弦长公式列方程求解即可.【详解】〔1〕双曲线渐近线方程为由得那么到的间隔为；〔2〕联立方程组，消去得直线与双曲线有两个交点，，解得且，〔且〕.，解得，或者，.【点睛】此题主要考察双曲线的渐近线方程、点到直线间隔公式以及弦长公式的应用，属于中档题.求曲线的弦长的方法：〔1〕利用弦长公式；〔2〕利用；〔3〕假如交点坐标可以求出，利用两点间间隔公式求解即可.20.某种产品(chǎnpǐn)的广告费用支出〔万元〕与销售额〔万元〕之间有如下的对应数据：2 4 5 6 830 40 60 50 70〔1〕求回归直线方程；〔2〕据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程；〔2〕根据所给的变量的值，把值代入线性回归方程，得到对应的的值，这里的的值是一个预报值.试题解析：〔1〕求回归直线方程，，，，∴因此回归直线方程为；〔2〕当时，预报的值是万元，即广告费用为12万元时，销售收入的值大约是万元.21.如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点.〔1〕求证(qiúzhèng)AF PC〔2〕BD//平面PEC〔3〕求二面角D-PC-E的大小【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕150°.【解析】【分析】〔1〕依题意，PA⊥平面ABCD．以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥PC．〔2〕取PC的中点M，连接EM．推导出BD∥EM，由此能证明BD∥平面PEC．〔3〕由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小．【详解】〔1〕依题意，平面ABCD，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。

青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.122. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7B. 12C. 15D. 314. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34132160a a a ++=，则1165S a -=（ ）A. 240B. 180C. 120D. 606. 若数列{}n a 满足()()()1112n n n a n a n --=+≥，12a =，则满足不等式930n a <的最大正整数n 为（ ）A. 28B. 29C. 30D. 317. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C 左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）AB.C. 2D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为404711. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1.的的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nn ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于3212. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l .若m =，则k l -=_________16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.为.（1）求直线AC 的方程：（2）求ABC 的面积.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为NAB λ，求实数λ的取值范围.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，求λ的取值范围.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .的（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直线垂直列方程，从而求得m 的值.【详解】由于12l l ⊥，所以()()22212210m m m m m m ⨯+⨯-=-=-=，解得0m =或12m =.故选：C2. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先设出双曲线方程，求出c 的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出,a b 的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为22221x y a b-=，则3c ==，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为()()12,,,0330F F -，由双曲线的定义可知12226a c F F==<==，所以3,a c b ====，所以所求双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：C.3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7 B. 12C. 15D. 31【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列，等差中项等知识求得等比数列{}n a 的首项和公比，从而求得5S .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，依题意2324222a a a a =⎧⎨=+-⎩，则123111222a q a q a q a q =⎧⎨=+-⎩，()()211122a q q a q a q q ⋅=+⋅-，224222,240q q q q ⋅=+⋅--=，解得2q =，则11a =，所以()551123112S ⨯-==-.故选：D4. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先由题意可知圆心也在直线20x y --=上，联立即可得圆心坐标，进而得半径，从而即可得解.【详解】由题意圆心也在过点(0,2)-且与直线20x y ++=垂直的直线上，而该直线方程为()()020x y ----=⎡⎤⎣⎦，即20x y --=，联立20210x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得1,1x y==-，即圆心坐标为()1,1-，半径为点(0,2)-与圆心()1,1-的距离=，故所求圆的方程为()()22112x y-++=.故选：A.5. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，34132160a a a++=，则1165S a-=（）A. 240B. 180C. 120D. 60【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及前n项和公式的基本量计算来求得正确答案.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，311143422160,540a a a da d a++=+==+，()()1161111511555563065640240S a a d a d a d a d-=+-+=+=+=⨯=.故选：A6. 若数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，则满足不等式930na<的最大正整数n为（）A. 28B. 29C. 30D. 31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得n a，由此解不等式930na<,求得正确答案.【详解】依题意，数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，()1121nna nna n-+=≥-，所以3211213451212321nnna aa n na aa a a n n-+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--()1n n=+，1a也符合，所以()1na n n=+，{}n a是单调递增数列，由()()()930,301310na nn n n<+-=<+，解得3130n-<<，所以n的最大值为29.故选：B7. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=【答案】D 【解析】【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.【详解】已知外圈两个圆的圆心都为O ，令最外面圆半径为R ，花瓣所在圆半径为r ，对于A ：因为大圆与小圆内切且切点为D ，所以切点与两个圆心共线，即,,O C D 在同一条直线上，A 正确；对于B ：由两圆内切可知OC R r =-为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B 正确；对于C ：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以3603012AOB ︒∠==︒，C 正确；对于D ：由CA CB OC OC OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩得OAC OAB ≅△△，所以130152COB ∠=⨯︒=︒，又120ACB ∠=︒，所以()13601201202OCB ∠=︒-︒=︒，所以45OBC COB ∠=︒≠∠，所以OC BC ≠恒成立，D 错误，故选：D8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意首先根据对称性得出2122F PO F PO S S a ==△△，又OA a =，所以可依次求得12,PF PF ，又2OF c =，再由平方关系可得2AF b =，又122FF c =，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程()()()222422242a c a b a cc+-=⨯⨯，结合平方关系离心率公式运算即可求解.【详解】如图所示：2OA PF ⊥，垂足为点A ，由题意OA a =，又2OF c =，所以2AF b ==，21cos b PF F c∠=，又因为原点O 是12F F 的中点，所以212221222F PO F PO aPF OA PF S S a ⋅====△△，解得2124,2422PF a PF PF a a a a ==-=-=，又122FF c =，所以由余弦定理()()()22221422cos 242a c a b PF F a cc+-∠==⨯⨯，整理得2234a c ab +=，又222c a b =+，所以22440a b ab +-=，即2440b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b a =，从而所求离心率为e ==故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解，综合性比较强.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，若n C 为圆，则11n n a a a +==，求出q 得出结果；对于B ，n C 为等轴双曲线，求其离心率即可；对于C ，当01q <<时，曲线n C 是焦点在x 轴上的椭圆，求其离心率即可；对于D ，故曲线n C 为双曲线，求其渐近线方程.【详解】对于A ，首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线221:1n n n x y C a a ++=，若n C 为圆，则11n n a a a +==，所以221:0n C x y a +=>，所以1q =，即曲线n C 为圆心为()0,0A 正确；对于B ，当1q =-时，11(1)n n a a -=-，所以n a 与1n a +互为相反数且不为0，故221:1n n n x y C a a ++=为等轴双曲线，故曲线n C，故B 错误；对于C ，01q <<，数列为递减数列，10n n a a +<<，所以曲线221:1n n n x y C a a ++=焦点在x 轴上的椭圆，.=，故C 正确；对于D ，当0q <时，n a 与1n a +异号，故曲线221:1n n n x y C a a ++=为双曲线，其渐近线为2210n n x y a a ++=，即=y ，故D 错误.故选：AC .10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为4047【答案】BD 【解析】【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，10,0,01n a q a >><<，由于()()20232024110a a --<，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩或20242023011a a <<⎧⎨>⎩.若20242023011a a <<⎧⎨>⎩，则01q <<，则202212023011a qa <<⇒<矛盾，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩，则1q >，所以A 选项错误.()20232025220241a a a =>，B 选项正确.由于20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以n T 的最小值为2023T ，即2023n T T ≥，所以C 选项错误.()()()()40474047140472404620232025202420241T a a a a a a a a =⨯⋅⨯⋅⋅⨯⋅=> ，由于202320242a a +<，所以202320242a a +>>，所以202320241a a <⋅，所以()()20232023404614046202320241T a a a a =⨯=⨯<，由于1q >，且20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以当4046n ≤时，40461n T T ≤<，综上所述，使得1n T >的最小正整数n 为4047，所以D 选项正确.故选：BD11. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 为奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nnϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于32【答案】ACD 【解析】【分析】根据“欧拉函数()()*n n ϕ∈N ”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】n不超过正整数n ，且与n 互质的正整数()n ϕ21131,2241,3251,2,3,4461,5271,2,3,4,5,6681,3,5,7491,2,4,5,7,86101,3,7,94161,3,5,7,9,11,13,158271,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,2618A 选项，()()()4622410ϕϕϕ⋅=⨯==，A 选项正确.B 选项，()9691ϕ=≠-，B 选项错误.C 选项，由列表分析可知，对于2n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：不超过2n的奇数，则()12222n nn ϕ-==，则()112222n n n ϕ++==，()()1222n nϕϕ+=，所以(){}2nϕ 是等比数列，所以C 选项正确.D 选项，有列表分析可知，对于3n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：从1到3n中，除掉3的倍数，则()1333233nn nn ϕ-=-=⨯，则()()111221223233n n n n n ϕϕ---⎛⎫==⨯ ⎪⨯⎝⎭，12312231223nn -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⎪⎭= ⎝，所以()()23n n ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列，前n 项和为112123332323222323213nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以D 选项正确.故选：ACD12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D. 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的定义可判断A 项，联立直线AB 方程与抛物线方程求得1y 、2y ，进而可求得12AF y BFy =可判断B 项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C 项，设出点M 坐标，计算可得1MF AB k k ⨯=-，可得MF AB ⊥，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D 项.【详解】对于选项A ：如图所示，由抛物线定义可知，若AM AF =，则AM l ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：如图所示，当AM AF MF ==时，AMF 为正三角形，所以直线AB 的倾斜角为π3，设直线AB的方程为()()1122,,,,2p y x A x y B x y ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得220y y p --=，12,y y ==，所以123AF yBF y ==，故选项B 错误；对于选项C ：过点,A B 作直线垂直于l ，垂足分别为,A B ''，作AB 的中点N ，如图所示，由选项B 可知12,,,22p p A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，又因为M A M B ⊥，所以12MN AB =，由抛物线定义可知AB AF BF AA BB '=++'=，所以()12MN AA BB =+''，所以M 为A B ''的中点，所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：如图所示，设0,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MF 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则00122y yk p p p ==---，由B 项可知1212222121212222y y y y pk y y x x y y p p--===-+-，由选项C 可知1202y y y +=，所以21202p pk y y y ==+，所以01201y pk k p y =-⋅=-，所以MF AB ⊥，又因M A M B ⊥，所以AM BM MF AB ⋅=⋅，且2||MF AF BF =⋅，由基本不等式可得()2AM BM MF AB AF BF AF BF ⋅=⋅=+⋅⋅，当且仅当||||AF BF =时等号成立.故选项D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．【答案】222n n n a ++=【解析】【分析】将11n n a a n +=++变为11n n a a n +-=+，利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可知数列{}n a 中，12a =，11n n a a n +=++，故11n n a a n +-=+，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)(222)22322n n n n n -+=++=+=++++ ，为故答案为：222n n n a ++=14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.【答案】【解析】【分析】先求得直线l 所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线()():311420l m x m y m +++--=，即()3420x y m x y +-++-=，由34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==，设()1,1D ，由于()()221112525++-=<，所以D 在圆C 内，圆()()22:1225C x y ++-=的圆心为()1,2C -，半径=5r ，当CD AB ⊥时，AB 最短，CD ==，所以AB 的最小值为=.故答案为：15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m=，则k l-=_________【答案】400【解析】【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音频率为1a，所以(11nna a-=，故((1111,k lm a n a--==，因为m=，所以(31120022kk llmn--====，所以112003k l -=，解得400k l -=.故答案为：400.16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.【答案】y x =【解析】【分析】设()0,Mx y 是AB 的中点，先求得M 点的坐标，然后利用点差法求得b a，进而求得正确答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，依题意120,0y y >>，设AB 的中点为()000,,0M x y y >，由于22AF BF =，所以2⊥MF AB ，所以1212OM F F c ==，22OM c =，由于12y y +=，所以120425y y c y +==，所以035c x ==，所以34,55c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于()()1122,,,A x y B x y 在双曲线的渐近线上，所以22112222222200x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并化简得22012122121201AB OM MFy y y y y b k k a x x x x x k ⎛⎫+-=⋅=⋅=⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭，()2,0F c ，若34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则224184330535b c a cc ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-⋅-=- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭不符合题意，舍去.若34,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭，则224124330535b c a cc ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以b a =，所以渐近线方程为y x =.故答案为：y x =±【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是22AF BF =，则2F 在线段AB 的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.（1）求直线AC 方程：（2）求ABC 的面积.【答案】（1）60x y +-= （2）20【解析】【分析】（1）利用点斜式求得直线AC 的方程.（2）先求得,C B 两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，的直线60x y -+=的斜率为1，所以直线AC 的斜率为1-，所以直线AC 的方程为()33,60y x x y -=--+-=.【小问2详解】边AB 上中线CM 所在的直线方程为53140x y --=，由6053140x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2C .设(),B a b ，则33,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以60335314022a b a b -+=⎧⎪⎨++⨯-⨯-=⎪⎩，解得2026a b =⎧⎨=⎩，即()20,26B.AC ==B 到60x y +-==，所以三角形ABC的面积为1202=.的18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.【答案】（1）535n a n =-（2）n S 的最小值为105-，对应6n =或7【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a .（2）利用0n a ≤，求得n S 取得最小值时对应n 的值，进而求得n S 的最小值.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，4109015S a =-⎧⎨=⎩，114690915a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得130,5a d =-=，所以()3015535n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由5350n a n =-≤，解得*17,≤≤∈n n N ，所以当6n =或7n =时n S 取得最小值，且n S 的最小值为6161518075105S a d =+=-+=-.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*22N ,3nn a n ⋅∈=+（2）()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅【解析】【分析】（1）由题意直接由11a S =以及*2,N n n ≥∈时，1n n n a S S -=-即可求解.（2）发现数列{}n c 是“差比数列之积”的形式，所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.【小问1详解】由题意111132138a S +==+⨯-=，当*2,N n n ≥∈时，()()11323322523n n n n n n a S S n n +-=+-+-=-=⋅+-，当1n =时，也有118322a ⨯=+=成立，综上所述，数列{}n a 的通项公式为()*22N,3nn a n ⋅∈=+.【小问2详解】由（1）可知()*22N,3nn a n ⋅∈=+，所以由题意()()*23N 2n n nn a cn n -==⋅∈，所以1213233nn T n =⨯+⨯++⨯ ，231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()121131323333313n n n n n T n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅- ，所以数列{}n c 的前n 项和为()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为N ，设DN AB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24y x = （2）12λ≥【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线DN 的方程并与准线方程求得D ，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数λ的取值范围.【小问1详解】根据抛物线的定义有23,22pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】()1,0F ，抛物线准线为=1x -，依题意可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121212124,4,242y y m y y x x m y y m +==-+=++=+，()21212116y y x x ==，所以()221,2N m m +，由于DN 垂直平分AB ，所以直线DN 的方程为()23221,230y m m x m mx y m m -=---+--=，令=1x -得33230,24m y m m y m m -+--==+，则()31,24D m m -+，DN AB λ=，()()()22223222122222m m m DN x x p ABλ+++==++()()()()()()22222322222222222414144161m m m m m m m m ++++++==++()22111114444m m =+=+≥，所以12λ≥.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有的73m n b c ->成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明详见解析，11232n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭（2）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得数列{}2n a -是等比数列，先求得2n a -，进而求得n a .（2）利用二次函数的性质求得m b 的最小值，利用商比较法求得n c 的最大值，从而列不等式来求得λ的取值范围.【小问1详解】依题意，15a =，且122n n a a +=+，所以1112n n a a +=+，则()11121222n n n a a a +-=-=-，所以12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是首项为123a -=，公比为12的等比数列，所以111123,2322n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】1111244331323323n n n n n n a c n n n λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⨯= ⎪⎝⎭，依题意，0λ>，且对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，所以()()min max 73m n b c ->，()()222min ,3m m b m b λλ-+==，当3m =时取得最小值.12344,,33c c c λλλ===，当2n ≥时，()11223223121332n n n n c n n n n c n n n λλ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭==⨯=-+-，当2n =时，2143c c =，当3n ≥时，11n n c c -≤，所以()max 43n c λ=，则24733λλ->，解得73λ>或1λ<-（舍去），综上所述，λ的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题的关键点在于“转化”，将不等式恒成立问题，转化为()()min max 73m n b c ->来进行求解.要求数列的最大值，可以根据数列的单调性、函数的性质、商比较法等知识来进行求解.根据递推关系式求数列的通项公式，可考虑利用构造法来进行求解.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）0x y +-=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求,,a b c ，进而可得方程；（2）由题意结合面积关系分析可知：22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，可得23m P ⎫⎪⎪⎭，代入椭圆方程运算求解即可；（3）分别设切线方程求点,M N 的坐标，进而根据垂直关系整理可得21211⋅-=k k k ，结合直线与圆的位置关系可得121k k ⋅=，解方程分析判断即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为0c >，由题意可得：2c b ==，则a ==，所以椭圆方程为22184x y +=.【小问2详解】由题意可知：1222==-A A F ，可知点12,A F 到直线2A P 的距离之比122221=A A A h F h ，由题意可知：2211122222212212⋅===⋅△A PQ A F Ph PQ S A A PQ S A F A P h A P △，可得22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，且()2A，则23m P ⎫⎪⎪⎭，可得28499184m +=，解得m =(0,Q ，所以直线2A P1+=，即0x y +-=.【小问3详解】由题意可知切线KM KN ,的斜率存在且均不为0，且MKN ∠不是直角，设切线1:2=+KM y k x ，联立方程1222184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22111280k x k x ++=，解得0x =或121812=-+k x k ，当121812=-+k x k 时，2111221182421212⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭k k y k k k ，即2112211824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k M k k ，同理可设切线2:2=+KN y k x ，可得2222222824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k N k k ，则直线MN 的斜率2212221212121222122424121288121212---+++==-⋅-+++MNk k k k k k k k k k k k k ，不妨设MN PM ⊥，则121112112+⋅=⋅=--⋅MN k k k k k k k ，整理得21211⋅-=k k k ，设圆()()2221:20++=>F x y r r ，若过K 的直线20kx y -+=与圆1F2r ，整理得()2224840r k k r -++-=，可知12,k k 即为方程()2224840r k k r -++-=的两根，则121k k ⋅=，可得2111-=k ，即10k =，与题意相矛盾，所以不存在.【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．。

武钢高二数学12月月考试题（2023/12/14）（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（）A.18B.12C.14D.4【答案】C 【解析】【分析】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，由焦点和准线方程即可得解.【详解】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，所以抛物线的焦点为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，所以焦点到准线的距离为14.故选：C.2.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，椭圆C的面积为，且离心率为12，则C 的标准方程为（）A.22143x y += B.22112x y +=C.22134x y += D.221163x y +=【答案】A 【解析】【分析】由题意得πab =，然后列出方程组222π12ab c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，从而求解.【详解】由题意得：πab =，离心率：12c e a ==，从而可得方程组：222π12ab c e a a b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故椭圆C 的标准方程为：22143x y +=，故A 项正确.故选：A.3.与曲线2211636x y +=共焦点，且与双曲线22146x y -=共渐近线的双曲线的方程为（）A.221128y x -= B.221812y x -= C.221128x y -= D.221812x y -=【答案】A 【解析】【分析】先由与椭圆共焦点得到220c =，且焦点在y 轴上，从而巧设所求双曲线为()22046x yλλ-=<，利用222c a b =+即可得解.【详解】因为曲线2211636x y +=为椭圆，焦点在y 轴上，且2361620c =-=，又因为所求双曲线与双曲线22146x y -=共渐近线，所以设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，即22164y x λλ-=--，则26420c λλ=--=，解得2λ=-，所以所求双曲线为221128y x -=.故选：A.4.已经点M 在抛物线24y x =上运动，过点M 引圆22:(4)1C x y -+=的切线，切点为N ，则MN 的最小值为（）A.3B.4C.1-D.【答案】D【解析】【分析】先利用距离公式及二次函数性质求出2MC 的最小值，然后利用切线长公式求得最值即可.【详解】由圆22:(4)1C x y -+=，可得圆心为(4,0)C ，半径为1r =，设()00,Mxy ，则2222220000000(4)(4)4416(2)12MC x y x x x x x =-+=-+=-+=-+，当02x =时，2MC 取得最小值，最小值为12，在直角MNC 中，可得MN ==所以minMN ==.故选：D5.已知F 是双曲线221412y x -=的下焦点，(4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A.9B.8C.7D.6【答案】A 【解析】【分析】求出上焦点1F F1的坐标，由双曲线的定义可得1122PF PA a PF PA a AF +=++≥+，从而求得12a AF +的值，推出结果．【详解】解：∵F 是双曲线221412y x -=的下焦点，∴2,a b ==，c ＝4，F （0，−4），上焦点为1F （0，4），由双曲线的定义可得112249PF PA a PF PA a AF +=++≥+=+=，当A ，P ，H 三点共线时，PF PA +取得最小值9．故选：A ．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．6.在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，从一个焦点1F 发出的一条光线经椭圆C 内壁上一点P 反射后经过另一个焦点2F ，若1260F PF ∠=︒，且132PF a =，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.32C.34 D.74【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆的定义得212PF a =，132PF a =，进而结合余弦定理得22716c a =，再求离心率即可.【详解】解：由椭圆的定义得：122PF PF a +=，因为132PF a =，所以212PF a =．所以，在12PF F △中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，所以22229131742442224a a c a a a =+-⨯⨯⨯=，整理得22716c a =，所以74c a =，74e =．故选：D7.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MF MP +的最小值为（） A.522B.322C.5D.3【答案】A 【解析】【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF MP +的最小值.【详解】∵抛物线C 的方程为24y x =，∴(1,0)F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，∵方程()1210a x y a -+-+=可化为()1(1)2y a x -=--，∴()1210a x y a -+-+=过定点(2,1)B ，设(,)P x y ，设,F B 的中点为A ，则31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为FP BP ⊥，P 为垂足，∴122PA FB ==，所以22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点P 的轨迹为以A 为圆心，半径为2的圆，过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为1M ，则1MM MF =,∴1=MF MP MM MP ++,，又2MP MA ≥-，当且仅当,,M P A 三点共线且P 在,M A 之间时等号成立，∴12MF MP MM MA +≥+-，过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，则115=2MM MA AA +≥,当且仅当1,,A M A 三点共线时等号成立，∴52MF MP +≥，当且仅当1,,,A M P A 四点共线且P 在,M A 之间时等号成立，所以MF MP +的最小值为522-，故选：A.8.已知直线0)20(x y n n -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，点P 的坐标为(),0n ，若PA PB =，则该双曲线的离心率是()A.B.C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】联立直线20x y n -+=与双曲线的渐近线22220x ya b-=的方程组，求出线段AB 中点Q 坐标，由PQ ⊥AB 列式求解而得.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为：22220x y a b-=，由222222222220(4)400x y n b a y b ny b n b x a y -+=⎧⇒--+=⎨-=⎩，设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，线段AB 中点Q (x 0,y 0)，2122244b ny y b a+=-，2212000222222244y y b n a ny x y n b a b a +===-=--，因PA PB =，则PQ ⊥AB ，所以直线PQ 斜率为-2，即：222222022022224223234b ny b b a b a a n x n a nb a -=-⇒=-⇒=⇒=---，双曲线的离心率e 有222251511333b e e a =+=+=⇒=.故选：C【点睛】利用所给条件建立a ，b ，c 的关系等式是求双曲线的离心率的关键.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.对于方程2214x y m m+=-，下列说法中正确的是（）A.当04m <<时，方程表示椭圆B.当24m <<时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆C.存在实数m ，使该方程表示双曲线D.存在实数m ，使该方程表示圆【答案】BCD 【解析】【分析】由m 与4m -之间的关系，以及圆、椭圆、双曲线标准方程的特征，逐个进行判断.【详解】方程2214x ym m +=-，当0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即24m <<或02m <<时表示椭圆，故A 不正确；当24m <<时，40m m >->，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；当()40m m -<，即4m >或0m <时，方程表示双曲线，故C 正确；当4m m =-，即2m =时，方程为222x y +=，表示圆，故D 正确.故选:BCD10.已知直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =->的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点，若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则（）．A.抛物线C 的方程是28y x =-B.抛物线的准线方程是2y =C.直线l 的方程是20x y -+=D.MON △的面积是【答案】AD 【解析】【分析】根据已知可得,M N 横坐标和，再由焦半径公式，求出p ，判断选项A ；求出抛物线的准线方程，判断选项B ；设直线方程为2px my =+，与抛物线方程联立，设()()1122,,,M x y N x y 得到12,y y 关系，进而求出12x x +的值，建立m 的方程求解，可判断选项C ；利用121||2MON S OF y y =⋅-△利用12,y y 关系，即可求解，判断选项D.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，根据抛物线的定义可知()12||16MN x x p =-++=，又MN 的中点到y 轴的距离为6，∴1262x x +-=，∴1212x x +=-，∴4p =．∴所求抛物线的方程为28y x =-．故A 项正确；抛物线C 的准线方程是2x =，故B 项错误；设直线l 的方程是2x my =-，联立282y xx my ⎧=-⎨=-⎩，消去x 得28160y my +-=，则1212816y y my y +=-⎧⎨⋅=-⎩，所以2128412x x m +=--=-，解得1m =±，故直线l 的方程是20x y -+=或20x y ++=．故C 项错误；1211||22MON S OF y y =⋅-=⨯△2==．故D 项正确．故选：AD ．【点睛】本题考查抛物线方程和性质、直线与抛物线的位置关系，注意根与系数关系设而不求的方法求解相交弦问题，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M，若2MF =，则（）A.OM a=B.12MF F △的面积为ab C.直线1F M 与圆222x y a +=相交D.C的离心率e =【答案】ABD 【解析】【分析】先计算出1MF b =，再计算OM 即可判断A ，C ；由1212MF F F MO S S = 可判断B ；在12MF F △中，由余弦定理可得,,a b c 的齐次式，计算可得C 的离心率e .【详解】设C 的半焦距为(0)c c >，则()1,0F c -，222c a b =+，不妨设双曲线C 的一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，由点到直线的距离公式，得1bcMF b c===，在Rt 1OMF △中，OM a ==，所以1F M 与圆222x y a +=相切，则A 正确，C 错误；因为O 为12F F 的中点，所以12111222MF F F MO S S OM F M ab ==⨯⋅= ，则B 正确；在Rt 1OF M △中，111cos MF b OF M OF c∠==，在12MF F △中，由余弦定理，得222211211212cos MF MF F F MF F F OF M ∠=+-⋅，即2223422bb bc b c c=+-⋅⋅，化简得2223c b =，又222c a b =+，所以223c a =，解得e =D 正确.故选：ABD .12.已知抛物线28x y =的焦点为,F P 为抛物线上一动点，直线l 交抛物线于,A B 两点，点()2,4M ，则下列说法正确的是（）A.存在直线l ，使得,A B 两点关于20x y +-=对称B.PM PF +的最小值为6C.当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切D.若分别以,A B 为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则,A B 两点的纵坐标之和的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】由于抛物线28x y =的焦点(0,2)F ，对于A ，假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线20x y +-=对称，设直线l 的方程为0x y m -+=，联立抛物线的方程，由△0>得2m >-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，求出线段AB 的中点为Q 坐标，再代入直线20x y +-=上，解得m ，即可判断A 是否正确；对于B ：设l '为抛物线的准线，则准线l '的方程为=2y -，过点P 作PN l ⊥'于点N ，6PM PF PM PN +=+≥，当且仅当P ，M ，N 三点共线时等号成立，即可判断B 是否正确；对于C ：当直线l 过焦点时，设1(A x ，1)y ，由抛物线的定义可得||AF 为点A 到准线的距离，即1||2AF y =+，求出以AF 为直径的圆心为AF 的中点坐标，进而可得圆心到x 轴的距离，即可判断C 是否正确；对于D ：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，求导得4xy '=，写出切线AT 的方程，BT 的方程，联立解得交点T 的坐标，又点T 在准线=2y -上，得1228x x =-，再计算12y y +，即可判断D 是否正确．【详解】解：由于抛物线28x y =的焦点(0,2)F ，对于A ，假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线20x y +-=对称，则设直线l 的方程为0x y m -+=，联立280x yx y m ⎧=⎨-+=⎩，所以2880x x m --=，所以△2(8)41(8)64320m m =--⨯⨯-=+>，即2m >-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点为Q ，所以128x x +=，所以1242Q x x x +==，4Q Q y x m m =+=+，因为点Q 在直线20x y +-=上，所以4420m ++-=，解得6m =-，与2m >-矛盾，故A 不正确；对于B ：设l '为抛物线的准线，则准线l '的方程为=2y -，过点P 作PN l ⊥'于点N，则6PM PF PM PN +=+≥，当且仅当P ，M ，N 三点共线时等号成立，所以||||PM PN +的最小值为6，故B 正确；对于C ：当直线l 过焦点时，设1(A x ，1)y ，则以AF为直径的圆心为AF的中点，1(2x ，12)2y +，所以圆心到x 轴的距离为122y d +=，由抛物线的定义可得||AF 为点A 到准线的距离，即1||2AF y =+，所以||2AF d =，所以当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切，故C 正确；对于D ：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由28x y =，即28x y =，所以4x y '=，则切线AT 的方程为111()4x y y x x -=-，即21148x x y x =-，同理切线BT 的方程为22248x x y x =-，联立2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122x x x +=，128x x y =，由题意，点T 在准线=2y -上，则1228x x =-，所以1216x x =-，所以22222121212121212121111()[()2]()()488848x x y y x x x x x x x x x x +=+=+-=+-=++，所以当120x x +=时，12y y +取得最小值4，故D 正确；故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角形面积公式，即可求出点()4,4P ，然后抛物线定义，求出PF 长度，根据等面积法即可求出.【详解】()1,0F ，设()24,4P t t ，因为1422OFP S OF t =⋅= ，所以1t =，不妨取()4,4P ，则5PF =,122OFPS PF h =⋅= ,则45h =，故O 到PF 距离为45.故答案为：4514.已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，B 为椭圆的上顶点，若12BF F △内切圆半径为2c ，则椭圆的离心率为__________．【答案】17【解析】【分析】利用椭圆的定义求出三角形的周长，结合三角形内切圆的性质可得答案.【详解】由题意可知12BF F △的周长为22a c +，12BF F △的面积为()11222222c b a c c ⨯⋅=+⨯，解得()32b ac =+，平方可得()222324b a ac c =++，由222b a c =-，整理可得()()70a c a c -+=，解得7a c =，即17c e a ==.故答案为：17.15.已知双曲线22148x y -=的左右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线与双曲线右支交于A ，B 两点，且1,3F AB π∠=则12F AF 的面积为_____.【答案】【解析】【分析】设12,AF m AF n ==，由余弦定理得出,m n 的一个关系式，然后由双曲线的定义又得一个，两者结合可求得mn ，从而得三角形面积．【详解】由已知224,8a b ==，所以c ==，即12(F F -，设12,AF m AF n ==，∵1,3F AB π∠=所以22222122cos 483F F m n mn m n mn π=+-=+-=，而24m n a -==，所以2()48m n mn -+=，248432mn =-=，1211sin 322322AF F S mn π==⨯⨯=△故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由于涉及到焦点三角形问题，可设焦半径为,m n ，利用余弦定理，双曲线的定义可求得,m n （只要求得mn ），然后由面积公式计算出面积．16.已知椭圆229x y t +=，点()0,1P ，设椭圆上不同的两点A B 、满足3BP PA = ，则实数t 的取值范围是______.【答案】(]1,4【解析】【分析】当直线AB 的斜率不存在时，通过向量坐标运算求得4t =，当直线AB 的斜率存在时，设直线方程，与椭圆联立，韦达定理，结合向量坐标运算得23419t k =-+，利用不等式性质求范围即可.【详解】当直线AB 的斜率不存在时，()0,1P ，(A ，(0,B ，因为3BP PA =(1113-=，解得4t =；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆2299x y t +=，得()221918990kxkx t +++-=，()()()22Δ18419990k k t =-+->，则1221819k x x k -+=+，1229919t x x k -=+，又3BP PA = ，所以123x x =-，所以()2121243x x x x +=-，所以()222281331919k t k k -=-++，所以23419t k =-+，因为20k >，所以230319k <<+，所以()2341,419t k=-∈+，又点()0,1P 在椭圆229x y t +=内部，所以22019t +<，即1t >，所以()1,4t ∈，综上可得，(]1,4t ∈.故答案为：(]1,4四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．（1）求C 的离心率和渐近线方程；（2）若15MF =，求2MF ．【答案】（1）2e =，y =（2）29MF =【解析】【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -.【小问1详解】由题知：b =4c =所以2a ==所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为y =.【小问2详解】由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF = 29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18.已知圆C 的圆心在直线220x y --=上，且与直线l ：34280x y +-=相切于点()4,4P .（1）求圆C 的方程；（2）求过点()6,15Q -与圆C 相切的直线方程.【答案】（1）()22125x y -+=；（2）6x =或43210x y ++=.【解析】【分析】（1）先得到过点()4,4P 且与直线l ：34280x y +-=垂直的直线方程，与220x y --=联立求得圆心即可；（2）若过点()6,15Q -的直线斜率不存在，即直线是6x =判断，若过点()6,15Q -的直线斜率存在，设直线方程为()156y k x +=-，再根据直线与圆相切求解.【详解】（1）过点()4,4P 与直线l ：34280x y +-=垂直的直线m 的斜率为43k =，所以直线m 的方程为()4443y x -=-，即4340x y --=.由4340220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得()1,0C .所以5r =.故圆C 的方程为：()22125x y -+=.（2）①若过点()6,15Q -的直线斜率不存在，即直线是6x =，与圆相切，符合题意；②若过点()6,15Q -的直线斜率存在，设直线方程为()156y k x +=-，即6150kx y k ---=，若直线与圆C 5=，解得43k =-.此时直线的方程为4703x y ---=，即43210x y ++=.综上，切线的方程为6x =或43210x y ++=.19.已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()240y x x =≥（2）存在，()2,0M -【解析】【分析】（1）由动点P 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，可得点P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，从而可得点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，即可求得轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线:2l x my =+，代入24y x =可得2480y my --=，由根与系数的关系可得124y y m +=，128y y =-，由AMQ BMQ ∠=∠，可得AM BM k k =，计算可求得t 的值，即可得结论．【小问1详解】动点()(),0Px y x ≥到定点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，又0x ≥ ，P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，∴动点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，∴轨迹C 的方程()240y x x =≥；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线l 过点()2,0Q，∴设直线l 方程：2x my =+，代入24y x =，可得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，则124y y m +=，128y y =-，AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又 124y y m +=，128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=2t ∴=-，即()2,0M -.故在x 轴上存在点()2,0M -使得AMQ BMQ∠=∠20.已知双曲线C 和椭圆22141x y +=．（1）求双曲线C 的方程．（2）经过点M （2，1）作直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程并求弦长．【答案】（1）x 222y -=1（2）y ＝4x ﹣7，弦长7【解析】【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合离心率，联立求解a ,b ,c 得到双曲线的方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆方程，用点差法求出直线斜率，弦长公式求弦长即可.【详解】（1）由题意得椭圆22141x y +=的焦点为F 1（，0），F 2（0），设双曲线方程为222x y a b-=1，a ＞0，b ＞0，则c 2＝a 2+b 2＝3，∵e ca ==∴c =，解得a 2＝1，b 2＝2，∴双曲线方程为x 222y -=1．（2）把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）分别代入双曲线x 1212-y 12＝1，x 2212-y 22＝1，两式相减，得（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）12-（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，把x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝2代入，得4（x 1﹣x 2）﹣（y 1﹣y 2）＝0，∴k AB 1212y y x x -==-4，∴直线L 的方程为y ＝4x ﹣7，把y ＝4x ﹣7代入x 222y -=1，消去y 得14x 2﹣56x +51＝0，∴x 1+x 2＝4，x 1x 2＝5114，k ＝4，∴|AB|==7=．【点睛】本题考查了直线和椭圆的中点弦和弦长问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.21.试问是否能找到一条斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆2213x y +=交于两个不同的点,M N ，且使,M N到点()0,1A 的距离相等?若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】存在，()()1,00,1k ∈-⋃【解析】【分析】设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出MN 中点P 坐标，欲满足条件则AP MN ⊥，利用斜率关系结合判别式列不等式求解即可.【详解】设直线l 为y kx m =+，联立椭圆2233x y +=，得()222136330kxkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122613km x x k -+=+，21223313m x x k -=+，设P 为线段MN 的中点，若满足条件，则AP MN ⊥，故1223213P x x km x k +-==+，213P P my kx m k =+=+，所以213103P AP P y k m k x mk --+==-，由AP MN ⊥得1AP k k ⋅=-，所以()231103k m k mk k -+=-≠，所以2312k m +=-由()()2222Δ36413330k m km=-+->得22310k m -+>，所以()222313104k k +-+>，所以2314k +<，即21k <，所以11k -<<，又0k ≠，所以10k -<<或01k <<.所以当()()1,00,1k ∈-⋃时，存在满足条件的直线l.22.已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC 面积的最小值.【答案】（1）22y x =（2）8【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线MN 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得2a =，进而得到抛物线方程；（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，直线PB 的方程为00y by b x x --=，由直线与圆相切的条件：d r =，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.【详解】（1）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-，联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=，由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，所以抛物线的方程为2:2y xΓ=（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=化简得：()0000y b x x y x b --+=，圆心()1,0到直线PB 的距离为1，1=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，所以,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -⇒+=-，()()220002020042()22x y x x bc b c x x +--=⇒-=--，由条件：2002y x =()22020042()22x x b c b c x x ⇒-=⇒-=--()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--，当且仅当04x =时取等号.∴PBC 面积的最小值为8.。

上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．两条相交直线的夹角的取值范围是________2．直线2310x y +-=的一个法向量为__________.3．向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，则向量b 在a 上的投影向量的坐标为______．4．已知直线过点()1,5P ，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________.5．设αβ､是两个不同的平面，直线m α⊂，则“m β ”是“αβ∥”的__________条件.6．若空间中三点()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 共线，则m n +=__________.7．若直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，则=a ___________．8．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_____.9．正三棱柱1111,2,ABC A B C AB AA D -==为ABC 内（包括边界）的动点，则11A DB △的面积的取值范围是__________.10．下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是________．11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD △是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．12．已知函数()()131f x a x b =+++，若关于x 的方程()0f x =在[]6,12上有解，则22a b +的取值范围是__________.二、单选题13．在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是（）A ．()6,6,6-B ．()6,6,6C ．()6,6,6-D ．()6,6,6--14．已知定点.()1,0P .和直线l ：()()133620x y λλλ++--+=，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（）ABC D ．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，八个顶点按红蓝间隔染色，使得每条棱上的两个顶点各不同色，则由红色顶点连成的四面体与蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积为（）A ．12B ．14C ．16D ．1816．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是122⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②三、解答题17．若直线l 经过()()21,4,2,3A x B x +两点，斜率为k ，倾斜角为α.(1)用x 分别表示直线l 的斜率k 和倾斜角α；(2)求α的取值范围.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===.(1)求异面直线AC 和1BC 所成角的大小；(2)求点1B 到平面11A BC 的距离.19．已知ABC 的顶点()4,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.求(1)顶点C 的坐标；(2)求点B 到直线AC 的距离.20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,BCD O 是BD 的中点，AB AD =.OCD 是边长为1的等边三角形，E 在射线DA 上.(1)证明：OA CD ⊥；(2)若2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求二面角A BC D --的大小；(3)若1AO =，求直线CE 与平面BCD 所成角的正弦的最大值.21．过点()2,1P 的直线l 分别交()0y x x =≥与()0y x x =-≥于A B ､两点.(1)若直线l 的倾斜角为π4，求直线l 的一般式方程.(2)当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程；(3)已知O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，讨论这样的直线l 的条数.参考答案：1．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据两条相交直线的夹角的概念即得.【详解】两条相交直线的夹角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.2．()2,3(答案不唯一)【分析】根据直线的法向量的求法写出一个即可.【详解】解:由题知直线2310x y +-=的一个方向向量为()3,2-,故该直线的一个法向量可为:()2,3.故答案为:()2,3(答案不唯一)3．33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】向量b 在a 上的投影向量为||||a b a a a ⋅ ，利用公式求解.【详解】因为向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，所以()()1,0,1,1,220x x ⋅=+=，解得2x =-，所以()2,1,2b =- ，所以333(1,0,1)()222||||a b a a a ⋅== ,则向量b 在a 上的投影向量的坐标为33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．60x y +-=或50x y -=【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x y a +=，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【详解】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x y a +=，把(1,5)代入所设的方程得：6a =，则所求直线的方程为6x y +=即60x y +-=；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把(1,5)代入所求的方程得：5k =，则所求直线的方程为5y x =即50x y -=．综上，所求直线的方程为：60x y +-=或50x y -=．故答案为：60x y +-=或50x y -=【点睛】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．5．必要非充分【分析】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β ，得到答案.【详解】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β .故“m β ”是“αβ∥”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分6．3【分析】A 、B 、C 三点共线，则AB AC ∥ ，求出AB 与AC 的坐标，用空间向量共线的坐标表示进行运算即可.【详解】∵()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 三点共线，∴AB AC ∥ ，即AC AB λ= ，()1,1,1AB =-- ，()1,2,2AC m n =--- ∴()()()1,2,21,1,1,,m n λλλλ---=--=--∴122m n λλλ-=⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得230m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3m n +=.故答案为：3.7．3【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，所以()()()1611261a a a ⎧-⨯=⨯⎪⎨-⨯≠⨯-⎪⎩，解得3a =，故答案为：3.8．2【分析】先求底面圆的半径，判断出母线夹角的范围，利用截面三角形面积公式求最值即可．【详解】底面圆的周长为23π，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积1S 222sin α=⨯⨯⨯，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为2π时，截面面积最大为2【点睛】本题是易错题，先求出面积的函数表达式进而判断最大值，学生容易误认为垂直截面为面积的最大值．9．⎡⎣.【分析】D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，证明11A B HD ⊥，11A DB S =△，计算得到范围.【详解】如图所示：D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，1DD ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，故111DD A B ⊥，111D H A B ⊥，111D H DD D = ，11,D H DD ⊂平面1DD H ，故11A B ⊥平面1DD H ，HD ⊂平面1DD H ，故11A B HD ⊥，111112A DB S A B HD =⨯=△当D 在AB 上时，10HD =，11A DB △的面积最小，为2；当D 和C 重合时，1HD =11A DB △；所以11A DB △的面积的取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣10．①④【分析】证明AB 所在的平面与平面MNP 平行可判断①；若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB 可判断②；由AB ⋂面PMN B =可判断③；证明//AB NP 可判断④，进而可得正确答案.【详解】在①中：如图：因为,,M N P 分别为其所在棱的中点，所以//MN AC ，//NP BC ，因为MN ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以//MN 面ABC ，同理可得//PN 面ABC ，因为MN NP N ⋂=，所以面//ABC 面MNP ，因为AB ⊂面ABC ，所以//AB 平面MNP ，故①成立；在②中，若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB ，NO ⋂面MNP N =，所以AB 与平面MNP 不平行，故②不成立；在③中：如图：平面PMN 即为平面PNBC ，因为AB ⋂面PNBC B =，所以AB 与面MNP 不平行，故③不成立；在④中：如图：//AC BD 且AC BD =，所以四边形ACDB 是平行四边形，可得//AB CD ，因为//NP CD ，所以//AB NP ，因为AB ⊄面MNP ，NP ⊂面MNP ，所以所以//AB 平面MNP ，故④成立．故答案为：①④.113【分析】2AB R =，BC R =，AC =，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，ABC AMB ∆∽，45AM AC =，类似有45AN AD =，24(5A BMN AMN A BCD ABCV S V S -∆-∆==，由此能求出三棱锥A BMN -的体积．【详解】2AB R = ，BC R =，AC =，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，ABC AMB ∴∆∆∽，∴AB AC AM AB =，AM R ∴，∴45AM AC =，类似有45AN AD =，∴2416()525A BMN AMN A BCD ABC V S V S -∆-∆===，∴三棱锥A BMN -的体积：231612253A BMN V R R -=⨯⨯⨯=．3R．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据()0f x =得到310xa b x +++=，故222a b +≥，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】()()131310f x a x b xa b x =+++=+++=，转化为关于,a b 的直线方程，其中[]6,12x ∈，22a b +表示直线上一点到原点距离的平方，所以()2222222421199x x x a b x x -+++≥==+++，设4x t -=，[]6,12x ∈，则[]2,8t ∈，()()222422111259498x t y x t t t -=+=+++++++，函数()25g t t t=+在[]2,5t ∈上单调递减，在(]5,8上单调递增，故()()(){}max 298929max 2,8max ,282g t g g ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，249125458y t t=+≥++，所以22a b +的取值范围为49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13．B【分析】根据点的对称直接求解.【详解】在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是()6,6,6.故选：B 14．C【分析】确定直线过定点()0,2A ，故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA =，计算得到答案.【详解】直线()():133620l x y λλλ++--+=，整理得()()32360x y x y λ-+++-=，由320360x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，故直线过定点()0,2A故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA ==故选：C 15．C【分析】画出几何体，找到多面体，根据棱锥体积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：多面体EFGHMN 即为四面体11D ACB -与四面体11A DBC -的公共部分，其中,,,,,E F G H M N 均为各个面的中心，且平面FGHM //面ABCD ，EN ⊥面FGHM ，故2EFGHMN E FGHM V V -=，又四边形FGHM 的面积与其投影在底面ABCD 所得四边形1111F G H M 的面积相等，如下所示：故四边形FGHM 的面积111122S =⨯⨯=，又点E 到平面FGHM 的距离为12，故1111223226EFGHMN E FGHM V V -==⨯⨯⨯=.故选：C.16．D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴，又1PE C D ⊥ ，1AD C D D = ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦.以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a << ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，212PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确；对于命题②，2CQ β⊥ ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=-⎝⎭ ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-== ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎝⎭ ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+= ，整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.17．(1)243k x x =-+，()2arctan 43x x α=-+或()2πarctan 43x x α=--+-(2)π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）计算243k x x =-+，根据0k ≥和0k <两种情况得到倾斜角.（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，得到倾斜角范围.【详解】（1）22344321x x k x x +-==-+-，当1x ≤或3x ≥时，0k ≥，()2arctan 43x x α=-+；当13x <<时，0k <，()2πarctan 43x x α=--+-；（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，所以π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.18．(1)arccos 4【分析】（1）作辅助线找到异面直线AC 和1BC 所成角，利用余弦定理进行求解；（2）结合第一问的求解结果，利用等体积法求解点1B 到平面11A BC 的距离.【详解】（1）连接1BC ，1BA ，因为AC ∥11A C ，所以异面直线AC 和1BC 所成角即为11A C 与1BC 所成角，即11BC A ∠，因为120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===，所以由余弦定理可得：222cos 1202AC AB BC AB BC =+-⋅∠︒=，所以11AC =，由勾股定理得：11BC A B ==所以11cosBC A ∠设异面直线AC 和1BC 所成角为θ，则θ=.（2）由（1）可知：111122sin1202A B C S =⨯⨯⨯︒= 故11111111122333B A BC A B C V S BB -=⋅=⨯= ，又11cos BC A ∠=11sin BC A ∠=111111111sin 22BC A S BC A C BC A =⨯⨯⨯∠=⨯ ，设点1B 到平面11A BC 的距离为h ，则11111111133BC A B BC A B A B C S h V V --⋅=== ，解得：5h =，点1B 到平面11A BC 的距离为.19．(1)()3,0C【分析】（1）首先设出C 点坐标，代入CM 的直线方程，再利用AC 边上的高BH ，建立斜率之积为-1的关系式，再解方程组，即可求得坐标.（2）先设B 点坐标，代入BH 所在直线方程，再利用AB 中点满足CM 所在直线方程，得到方程组，解出B 点坐标,再利用点线距离公式，即可求解.【详解】（1）解：设(),C m n ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.∴3021142m n n m --=⎧⎪-⎨⎛⎫⨯-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩，解得30m n =⎧⎨=⎩∴()3,0C （2）设(),B a b ，则220423022a b a b +-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得10323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴102,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭2AC k =， ()4,2A ∴直线AC 的方程为260x y --=∴点B 到直线AC的距离15d ==20．(1)证明见解析(2)arctan 2【分析】（1）证明AO ⊥平面BCD 得到答案.（2）确定EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，根据角度计算1AO =，再确定AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，计算得到答案.（3）过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，确定ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，sin ECF ∠=.【详解】（1）AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，故AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD⊥（2）过E 作EF BD ⊥，交BD 于点F ，过F 作FG BC ⊥于点G ，连结EG，由题意得//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF BC ⊥，又,BC FG FG EF F ⊥⋂=，,FG EF Ì平面EFG ，故BC ⊥平面EFG ，又EG ⊂平面EFG ，所以BC EG ⊥，则EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，即45EGF ∠=︒，又1====CD DO OB OC ，所以120BOC ∠=︒，则30OCB OBC ∠=∠=︒，故90BCD ∠=︒，所以//FG CD ，因为23===DE DF EF AD OD AO ，则312,,233AO EF OF DF ===，所以23BF GF BD CD ==，则23GF =，23==EF GF ，321==AO EF ，过点O 作OM BC ⊥与M ，连接AM ，AO ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，故AO BC ⊥，又OM BC ⊥，OM AO O = ，,OM AO ⊂平面OMA ，故BC ⊥平面OMA ，AM ⊂平面OMA ，故BC AM ⊥，故AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，1122MO CD ==，tan 2AOAMO OM∠==，故arctan 2AMO ∠=，即二面角A BC D --的大小为arctan 2（3）如图所示：过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，则//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，设()0EF a a =≥，1AO OD ==，AOD △为等腰直角三角形，故DF a =，在CFD △中，22222cos 1FC DF DC DF DC FDC a a =+-⋅⋅∠=-+，所以222221EC FC EF a a =+=-+，则sin EFECF EC∠====当2a =时，sin ECF ∠最大为721．(1)10x y --=(2)2x =(3)答案见解析【分析】（1）直接根据点斜式得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到2631PA PB k =+-，得到最值和直线方程.（3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算()22211k S k -=-，得到()24410S k k S --++=，()43S S ∆=-，讨论得到答案.【详解】（1）若直线l 的倾斜角为π4，则直线l 的方程为()112y x -=-，即10x y --=；（2）法一：当直线l 的斜率不存在时，3PA PB =；当直线l 的斜率存在时，设直线():12l y k x -=-，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，()12y x y k x =⎧⎨-=-⎩得2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，()12y x y k x =-⎧⎨-=-⎩得2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，PA =PB =所以()222231163331111k k PA PB k k k k ++===+>+⋅---，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.法二：前面部分同法一，注意到133,,,1111k k PA PB k k k k --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭ ，且,PA PB 反向，所以2223363311k PA PB PA PB k k +=⋅==+>-- ，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.（3）当直线斜率不存在时，()2,2A ，()2,2B -，142S OA OB =⋅=；当直线斜率存在时，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，()2221121S k OA OB k -=⋅==-，即()24410S k k S --++=，当4S =时，方程有1解，此时54k =；当4S ≠时，()()()1644143S S S S ∆=--+=-，当3S <时，Δ0<，方程无解；当3S =时，Δ0=，2k =，方程有1解；当43S >>时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++，对称轴224S>-，且()110f =>，方程有两个大于1的解.当4S >时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++开口向下，()110f =>，()190f -=>，方程有1个大于1的解，一个小于1-的解.综上所述：当3S <时，0条；当3S =时，1条；当3S >时，2条.。

2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题一、填空题1．已知等比数列}{n a 中，12452,16a a a a +=+=，则}{n a 的公比为__．【正确答案】2【分析】设公比为q ，再根据题意作商即可得解.【详解】设公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =.故答案为.22．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于___________.【正确答案】48【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可【详解】因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为12448⨯=，故483．直线0mx y -=与直线220x my --=平行，则m 的值是__________．【正确答案】【分析】利用直线的平行条件即得.【详解】∵直线0mx y -=与直线220x my --=平行，∴122m m -=≠--，∴m =.故答案为.m =4．经过两直线2x +y -1=0与x -y -2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________．【正确答案】x +y =0或x -y -2=0【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.【详解】解：联立两直线方程可得：21020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，可得两条直线交点P （1，-1）．①直线经过原点时，可得直线方程为y =-x ；②直线不经过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，把交点P （1，-1）代入可得111a a-+=-，解得a =2．所以直线的方程为x -y-2=0．综上直线方程为：x +y =0或x -y -2=0．故x +y =0或x -y -2=0．5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由22r l πππ==，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以22r l πππ==，解得1r =，所以h =所以圆锥的体积为：1133V Sh π==⨯⨯故该几何体的体积为3，故36．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，空间一点Р到平面α、β和棱l 的距离分别为4和l αβ--的大小为_______________.【正确答案】75 或15【分析】分点P 在二面角l αβ--的内部和外部，利用二面角的定义求解.【详解】当点P 在二面角l αβ--的内部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453075ACB BCP ACP ∠=∠+∠=+= ；当点P 在二面角l αβ--的外部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以所以2212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453015ACB BCP ACP ∠=∠-∠=-= .故75 或157．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．【正确答案】39π【分析】由圆台的体积公式代入求解即可.【详解】由题意知，122,5,3r r h ===，则()()22121211ππ42510339π33V r r r r h =++⨯=++⨯=.故答案为.39π8．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 平行；③CN 与BM 成60 角④DM 与BN 垂直，请写出正确结论的个数为__个．【正确答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断.【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得BM 与ED 是异面直线，故①正确；CN 与BE 平行，故②正确；连接EM ，则BEM △为等边三角形，所以BE 与BM 所成角为60︒，因为//CN BE ，所以CN 与BM 成60︒角，故③正确；对于④，连接CN ，BC ⊥平面CDNM ，DM ⊂平面CDNM ，所以BC DM ⊥，又DM CN ⊥，,,CN BC C CN BC ⋂=⊂面BCN ，所以DM ⊥平面BCN ，BN ⊂平面BCN ，所以DM BN ⊥，故④正确.所以正确结论的个数是4个.故49．若圆222:()0O x y r r +=>上恰有相异两点到直线40x y --=，则r 的取值范围是__．【正确答案】【分析】计算圆心到直线的距离为||d r -.【详解】圆心(0,0)到直线40x y --=的距离d =，因为圆上恰有相异两点到直线40x y --=，所以||d r -即||r r <<故10．过点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.【正确答案】2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程.【详解】设点1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，则OB 为原点O 到直线l 的距离，在直角三角形AOB 中，OA 为斜边，所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，而1212OA k -==-，所以12l k =，所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得：2450x y --=本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.11．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．15【分析】将四边形面积的最小时，等价于圆心C 到直线34130x y ++=的距离最小，求出最小距离，进而利用三角形面积公式求出最小面积.【详解】解：由题意知，A ，B 是切点，是圆心()1,1C ，且圆的半径为1所以221PB PA PC ==-四边形PACB 面积为：221212S PB r PC =⨯⋅=-所以当PC 取最小值时，S 取最小值由点P 在直线上运动可知，当PC 与直线34130x y ++=垂直时PC 取最小值此时PC 为圆心C 到直线34130x y ++=的距离即22314113434PC ⨯+⨯+==+故四边形PACB 最小面积为：224115S =-=故答案为关键点睛：本题的关键是将面积的最值转化为点到直线上点的距离的最值，进而转化为点到直线的距离.12．我们将函数图象绕原点逆时针旋转()02θθπ≤≤后仍为函数图象的函数称为JP 函数，θ为其旋转角，若函数0y x =≤≤⎭为JP 函数，则其旋转角θ所有可取值的集合为___________【正确答案】2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】由解析式可知原函数图象为圆弧AB ，根据函数的定义可知若旋转后不再是函数，则必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，通过图形进行分析可得结果.【详解】02y x =≤≤⎭为如图所示的一段圆弧AB ，其所对圆心角6AOB π∠=，若该函数图象绕原点逆时针旋转θ后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，由图象可知：若6COD π∠=，则当A 点自C 向D 运动（不包含,C D ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若6EOF π∠=，则当A 点自E 向F 运动（不包含,E F ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时35,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴若函数02y x ⎫=≤≤⎪⎪⎭为JP 函数，其旋转角()02θθπ≤≤所有可能值的集合为.2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为.2350,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦13．设10x y -+=，求d =__．【正确答案】【分析】根据d 的表达式可知，其几何意义表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，根据“将军饮马”模型求解即可.【详解】根据题意可得d =，表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，点A 关于直线10x y -+=的对称点为(),C a b ，则满足513351022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩解得4,2a b ==-；所以点A 关于直线10x y -+=的对称点为()4,2C -，如下图所示：则PA PB PB PC BC+=+≥所以()min PA PB BC +==.故14．若,x y R ∈___________.【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为PA QB PQ =++，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，则()min PA QB PQ A B ''++=，最后利用两点间的距离公式即可求得结果.根据两点间的距离公式可知，表示点(),0P x 到点()1,1A 的距离，表示点()0,Q y 到点()1,2B 的距离，表示点(),0P x 到点()0,Q y 的距离，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，PA QB PQ =++，如图，作A 关于x 轴的对称点()1,1A '-，B 关于y 轴的对称点()1,2B '-，的最小值，则需求PA QB PQ ++的最小值，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，即()min PA QB PQ A B ''++==，故答案为二、单选题15．设29n a n =-，则当数列{an }的前n 项和取得最小值时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6【正确答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即()2902190n n -≤⎧⎨+-≥⎩，解得7922n ≤≤，因为n N *∈,故4n =.故选：A.16．已知三条不同的直线a ，b ，c ，两个不同的平面α，β，则下列说法错误的是（）A ．若a α⊥，//αβ，a b ⊥r r ，则b β//或b β⊂B ．若a α⊥，b β⊥，//αβ，则a b⊥r r C ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b⊥r r D ．若a α⊥，⋂=c αβ，//b c ，则a b⊥r r 【正确答案】B【分析】根据线面位置关系逐项判断即可得出答案.【详解】选项A 中，//a ααβ⊥，，可得a β⊥，又//a b b β⊥∴或b β⊂，选项A 正确；选项B 中，//a a ααββ⊥∴⊥，，又b β⊥，则//a b ，选项B 错误；选项C 中，//a a ααββ⊥⊥∴，或a β⊂，又b β⊥//a β∴时，a b ⊥；a β⊂时，a b ⊥，选项C 正确；选项D 中，a c a c ααβ⊥⋂=∴⊥，，又//b c a b ∴⊥，选项D 正确故选：B.17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【正确答案】A【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB==，即()2223xy -+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+==+，所以()22max21168x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+故选：A.18．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，其中12BB =，则三棱锥O ABC -的体积的最大值为（）A ．1B ．3C ．2D ．4【正确答案】A【分析】设,AB a AD b ==，根据长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积和12BB =，可求得外接球的半径2R =，根据基本不等式求得ABCS 的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案；【详解】设,AB a AD b ==，∵长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，12BB =，∴外接球O 的半径2R =，∴22416a b ++=，∴2212a b +=，∴2262a b ab +≤=，∵O 到平面ABC 的距离1112d BB ==，132ABCSab =≤，∴三棱锥O ABC -的体积1131133ABCV S d =⨯⨯≤⨯⨯=．∴三棱锥O ABC -的体积的最大值为1．故选：A ．19．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成AB M '（B '不在平面AMCD 内），连结B D '，N 为B D '的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的个数是（）①//CN 平面AB M '；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③线段CN 长度为定值；④当三棱锥B AMD '-的体积最大时，三棱锥B AMD '-的外接球的表面积是4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】取AB '中点，利用线线平行推出线面平行可判断①；假设垂直，得到AB AD '<不成立，可判断②；由①知//CN MN '，且CN MN '=，可判断③；当平面B AM '⊥平面AMD 时，三棱锥B AMD '-体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断④.【详解】对于①，取AB '的中点N '，连接NN '，则1////,2NN AD CM NN AD CM ''==，所以四边形N MCN '为平行四边形，所以//CN MN '，又MN '⊂平面AB M '，CN ⊄平面AB M '，即//CN 平面AB M '，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得CN AD ⊥，又,AD CD CN CD C ⊥= ，,CN CD ⊂平面CDN ，所以AD ⊥平面CDN ，又DN ⊂平面CDN ，所以AD ⊥DN ，即222AB AD DB ''=+，因为1,2,AB AD AB AD ''==<，所以不可能，故②错误；对于③，由①得CN MN '=，因为AB B M ''⊥，1AB B M ''==，所以2MN '==为定值，所以CN 长度为定值，故③正确；对于④，取AD 的中点H ，当三棱锥B AMD '-的体积最大时，此时平面B AM '⊥平面AMD ，因为MD AM ⊥，MD ⊂平面AMD ，平面B AM ' 平面AMD AM =，所以MD ⊥平面B AM '，又AB '⊂平面B AM '，所以AB MD '⊥，又,B AB M M MD M B '''⊥= ，,D B M M '⊂平面B MD '，所以AB '⊥平面B MD '，B D '⊂平面B MD '，所以A B D B ''⊥，所以H 即为三棱锥B AMD '-的外接球球心，又1HA =，所以外接球的表面积是24π14π⨯=，故④正确.故选：C三、解答题20．已知等差数列{}n a 中，1479,0a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值？【正确答案】(1)()112n a n n N *=-∈(2)5n =【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求出公差，进而可以求出结果；（2）求出数列{}n a 的前n 项和，结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）由1479,0a a a =+=，得11360a d a d +++=，解得2d =-，()()11921112n a a n d n n =+-=--=-，所以数列{}n a 的通项公式()112n a n n N *=-∈.（2）19,2a d ==-，()()()22192105252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+，∴当5n =时，n S 取得最大值.21．在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1)求异面直线PB 与DC 所成角的正切值；(2)求PA 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)53(2)10【分析】(1)由//AB CD 可知PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PDA ，根据线面垂直的性质可得AB PA ⊥，进而求出tan PBA ∠即可；(2)连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，进而可知APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，求出AO 即可得出结果.【详解】（1）由题意知，//AB CD ，所以PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，因为PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，所以AB ⊥平面PDA ，而PA ⊂平面PDA ，所以AB PA ⊥.在Rt PAB 中，106PA AB ===，，所以5tan 3PA PBA AB ∠==，即异面直线PB 与DC 所成的角的正切值为53；（2）连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，由PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥，PD AD ⊥，因为底面ABCD 为边长为6的正方形，所以BD AC ⊥，AC =，又BD PD D PDBD =⊂ ，、平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，所以PA 在平面PAD 内的射影为PO ，APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，又PD =8，AD =6，所以PA =10，12AO AC ==所以在Rt APO 中，sin 10AO APO PA ∠==，即PA 与平面PBD 所成的角的正弦值为10.22．已知直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=.(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得ABO 的面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，2211660x y +-=或922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据ABO 的面积为9，求出m 的值，可得结论.【详解】（1）直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=，即()()4314220m x y x y +-+-+=，令43140x y +-=，可得220x y -+=，求得2x =，2y =，可得该直线一定经过43140x y +-=和220x y -+=的交点()2,2.（2）若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则142,014m A m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1420,32m B m -⎛⎫-⎝⎭，且142014m m ->+，142032m m ->-，∴14m <-，或23m >.则ABO 的面积为1142142921432m m m m --⨯⨯=+-，即()()()227194132m m m ⨯-+-=，即21017200m m --=，∴52m =，或45m =-.故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为2211660x y +-=，或922660x y +-=.23．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为1O 、2O ，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O ．(1)32Ω的体积；(2)若112:1:3PO O O =，求几何体Ω的表面积．【正确答案】(1)78π(2)648525+【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解.【详解】（1）如图可知，过P 、1O 、2O 的截面为五边形ABCPD ，其中四边形ABCD 为矩形，三角形CPD 为等腰三角形，PC PD=在直角1OO D 中，1OD =，132O D =，则22131212OO ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-=32111122O P =-=，其体积为2131328ππ⨯⨯=⎝⎭32122112O O =⨯=，其体积为23314ππ⨯=⎝⎭所以几何体Ω的体积为37488πππ+=（2）若112:1:3PO O O =，设122O O h =，则123h PO =，故213h h +=，35h ∴=在直角1OO D 中，1OD =，135OO =，则22155134O D ⎛⎫⎪⎝⎭=-=故圆锥的底面半径为45，高为125O P =22425555⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆锥的侧面积为45525ππ⨯⨯=圆柱的底面半径为45，高为1265O O =，其侧面积为464825525ππ⨯⨯=所以几何体Ω2484255π⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭24．已知圆C 的圆心C 为（0，1），且圆C 与直线260x y -+=相切．(1)求圆C 的方程；(2)圆C 与x 轴交于A ，B 两点，若一条动直线l ：x ＝x 0交圆于M ，N 两点，记圆心到直线AM 的距离为d ．（ⅰ）当x 0＝1时，求dBN的值．（ⅱ）当﹣2＜x 0＜2时，试问dBN是否为定值，并说明理由．【正确答案】(1)()2215x y +-=(2)（ⅰ）12；（ⅱ）d BN为定值12，理由见解析【分析】（1）求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；（2）（ⅰ）当x 0＝1时，可得直线l ：x ＝1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，则答案可求；（ⅱ）联立直线与圆的方程，求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，整理即可求得d BN为定值12．【详解】（1）圆C 的半径r ==则圆C 的方程为()2215x y +-=；（2）（ⅰ）由()2215x y +-=，取y ＝0，可得2x =±．∴A （﹣2，0），B （2，0），圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，则2200(1)51x y x x x ⎧+-=⎪=⎨⎪=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，∴M （1，3），N （1，﹣1），则直线AM 的方程y ﹣0()()3212x =+--，即20x y -+=．圆心到直线AM 的距离d 2==，|BN|==∴12d BN ==；（ⅱ）由圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，设M （x 0，y 1），N （x 0，y 2），联立220(1)5x y x x ⎧+-=⎨=⎩，解得M（01x ，，N（01x ，，∴直线AM：)02y x =+．圆心（0，1）到直线AM 的距离d =．|BN|=则12 dBN=．∴dBN为定值12．。