高二数学12月月考试题 文1

2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高二数学12月月考试题文1______年______月______日____________________部门一、单项选择（每题5分，共12题）1、若命题“”为假，且“”为假，则（ ）p q ∧p ⌝A ．或为假B ．假C ．真D ．不能判断的真假p q qq q2、命题“”的否定为（ ）0200(0,),2x x x ∃∈+∞<A ．B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞<2(0,),2x x x ∀∈+∞>C ．D ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥2(0,),2x x x ∃∈+∞≥3、命题“三角形ABC 中，若cosA<0，则三角形ABC 为钝角三角形”的逆否命题是（ ）A ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为钝角三角形，则cosA<0B ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA≥0 C ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA <OD ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角或直角三角形，则cosA≥O 4、设集合，，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）{}|20A x x =->{}2|20B x x x =->A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、 抛物线的焦点坐标是241x y =A ．（，0）B ．（0，）C ．（0，1）D ．（1，0）1611616、以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是1322=-x yA ．B ．4)2(22=+-y x 2)2(22=-+y xC ．D ．2)2(22=+-y x 4)2(22=-+y x7、短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF2的周长为532=e A ．3 B ．6C ．12D ．248、已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线方程为（ ）x y 2±=）（0,6),0,6(- A ． B ．18222=-y x 12822=-y xC ．D ．14222=-y x 12422=-y x9、已知P 为抛物线y2=4x 上一个动点，Q 为圆x2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝111、已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则椭圆的离心率（ ）2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F C ,A B ,AF BF 410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=C e = A ． B ． C ．D ．5754746512、已知方程和（其中且），则它们所表示的曲线可能是 （ ）221x y a b+=1x y a b +=0ab ≠a b ≠二、填空题（每题5分，共4题）13、若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________．2,20x R x x m ∃∈++≤m14、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，是C 的准线与E 的两个交点，则 ．15、 在平面直角坐标系中,已知△顶点，顶点在椭圆上，则＝ 。

高二数学十二月份月考试卷时间:120分钟 满分：150分第I 卷（选择题共50分）一．选择题（每小题5分，共50分）1. 在△ABC 中，下列等式总能成立的是……………………………………………………（ ）A. acosC=ccosAB.bsinC=csinAC.absinC=bcsinBD.asinC=csinA2.在△ABC 中，a 2+b 2－c 2+2ab=0,则C 等于…………………………………………（ ）A ．︒30B ．45°C ．︒120D ．︒135 3. 12+与12-两数的等比中项是…………………………………………………………( )A. 1B. 1-C. 1±D. 21 4. ,已知{}n a 是一个等差数列,{}n a 的前n 项和为s n .若s 2=4,s 4=20,则该数列的公差d=( )A.7B.6C.3D.25.不等式x(1－x) ＞0的解集是……………………………………………………………………（ ）A .(－∞，－1)⋃ (0，+∞) B. (－1，0) C. (0，1) D. (－∞，0)⋃ (1，+∞)6.有下列四个命题：①“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤1,则2x +2x+q=0有实数根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中是真命题的是………………………………………………………………………………（ ）A ．①② B. ②③ C.①③ D.③④7．当0a ≠时，“1a >”是“11a<”………………………………………………………………( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若抛物线y=a 2x 的焦点是F(0，2)，则a 的值为 ………………………………………………( ) A. 81 B.-81 C. 8 D. -89. 与椭圆1422=+y x 有相同两焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是…………………………（ ） A. 1422=-y x B. 1222=-y x C. 13322=-y x D. 1222=-y x10. ①(文)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是………………………………………………………………（ ）A C ．21 ②（理）已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为…………………………………………………………………………………………( )A ．BC ．56D ． 65第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（每小题5分，共20分）11.在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项和S 8等于 ___ ;12.设R y x ∈,，且4=+y x ，则 y x 55+的最小值为13.抛物线2x y -=的焦点坐标为 ___ ; 14.若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m= ___ ; 三．解答题（共80分，要有必要文字说明和解题过程）15（12分）.在△ABC 中，已知b=2, c=1, B=45°，求边长a,角A,C.16（12分）. 在等差数列{}n a中，a2=－20，a1+a9=－28(1)求{}n a的通项公式；（2）求{}n a的前n项和s n并求其最小值。

2023-2024学年青海省西宁市城西区高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．本题考点为共轭复数，为基础题目．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，若BE =1xAA +y AB +z AD，则（）．A ．x ＝1，12y ＝，12z ＝－B ．x ＝1，12y ＝－，12z ＝C ．12x ＝，y ＝1，12z =-D ．12x ＝－，y ＝1，12z ＝【正确答案】B【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题.【详解】由题意得：()11111111112BE BB B A A E AA AB A B A D =++=-++1111112222AA AB AB AD AA AB AD =-++=-+ ，所以111,,22x y z ==-=故选：B3．设非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b> 【正确答案】A【详解】由a b a b +=- 平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故选A.本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．A ．1415B ．115C ．29D．【正确答案】A【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求(P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101(15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A.本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.5．已知向量()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，则有（）．A ．23a c b=- B ．a b c+= C ．()b a c⊥- D ．a b b c c a⋅=⋅=⋅ 【正确答案】C【分析】对于A ，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解；对于B ，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C ，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解；对于D ，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以242,0,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2140,1,33c b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，所以23a c b ≠- ，故A 不正确；对于B ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，所以1,a ==b == ，c == ，所以a b c +≠ ，故B 不正确；对于C ，因为()0,1,0a = ，()2,1,3c =- ，所以()2,0,3a c -=-，又()3,0,2b = ，所以()()3200320b a c ⋅-=⨯-+⨯+⨯= ，即()b ac ⊥-，故C 正确.对于D ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以0310020a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，()3201230b c ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，()2011301c a ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以a b b c c a ⋅=⋅≠⋅，故D 不正确.故选：C.6．已知sin cos αα-=α∈(0,π)，则tan α=A ．-1B ．2C ．2D ．1【正确答案】A 【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=-故选A 7．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．34πB ．4πC ．23πD ．3π【正确答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π.故选：A.8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=【正确答案】A【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A9．四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，N 为BA 中点，则MN为（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-r r r D ．221332a b c++ 【正确答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，()2111232223MN MO ON OC OA OB a b c =+=-++=+-.故选：C.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．,12⎤⎢⎥⎣⎦B．⎣⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎣⎦【正确答案】B【分析】确定四边形1AFBF为矩形，得到1π4e α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质得到离心率范围.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形，则12sin 2cos 2AF AF AF BF c c a αα+=+=+=，故11πsin cos 4e ααα=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,，则ππ32π,4α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，23e ∈⎣⎦.故选：B.11．已知a<0，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（）A．4B．2CD4【正确答案】A【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．【详解】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=，解得2a =-或1a =，又a<0，所以2a =-，当2a =-时，直线1:2210l x y -+=与直线2:2280l x y -+=距离为4=.故选：A12．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．(-⋃B ．(-C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-【正确答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2121-<+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-<+，解得0a -<<或0a <<所以实数a 的取值范围为(-⋃，故选：A ．二、填空题13．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________.【正确答案】220x y +-=【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--，∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故220x y +-=．14．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【正确答案】1x =或3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线:1l x =，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k ，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离1d r ==，即可求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故1x =或3450x y -+=15．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF △的周长是___.【正确答案】16根据椭圆的定义求解．【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故16．16．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d =，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．三、解答题17．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【正确答案】（1）32a =；（2【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离.【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =．（2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离d =本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【正确答案】（1）B =60°（2）a c ==【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为1AD 、1CD 中点.(1)求证：EF BD ⊥;(2)求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小.【正确答案】(1)见解析(2)3π【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可；（2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】（1）如图,建立空间直角坐标系D xyz -则(0,0,0),(2,2,0),(1,0,1),(0,1,1)D BEF (1,1,0),(2,2,0)EF BD =-=--因为2200EF BD ⋅=-+=所以EF BD ⊥,即EF BD⊥（2）11(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)C D CD =-1111cos ,2||BD CD BD CD BD CD ⋅==设异面直线BD 与1CD 所成角为θ,则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以3πθ=,即异面直线BD 与1CD 所成角的大小为3π20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2CC 1＝2，点E 是DC的中点．(1)求点D 到平面AD 1E 的距离；(2)求证：平面AD 1E ⊥平面EBB 1．【正确答案】(2)证明过程见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；（2）利用空间向量的数量积为0证明出1,EA EB EA BB ⊥⊥，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,2,1D A E D B B ，设平面1D AE 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,1,0,10,,1,1,00m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以()1,1,1m = ，则点D 到平面AD 1E 的距离为DA m d m⋅= ；（2）()()11,1,0,0,0,1EB BB == ，所以()()1,1,01,1,0110EA EB ⋅=-⋅=-= ，()()11,1,00,0,10EA BB ⋅=-⋅= ，所以1,EA EB EA BB ⊥⊥，因为1EB BB B =，1,EB BB ⊂平面1EBB ，所以EA ⊥平面1EBB ，因为EA ⊂平面1D AE ，所以平面1D AE ⊥平面1EBB .21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；(3)从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.【正确答案】(1)0.006a =；(2)中位数为5357，均值为76.2；(3)110【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a 的值;（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，故0.006a =.（2）由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018950.022650.022850.02875)1076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.前3组的频率和为0.0040.0060.022)100.32++⨯=，前3组的频率和为0.0040.0060.0220.028)100.6+++⨯=，故中位数在[)70,80，设中位数为x ，则700.320.280.510x -+⨯=，故5357x =.故中位数为5357.（3）评分在[)40,60的受访职工的人数为()0.0040.00610505+⨯⨯=，其中评分在[)40,50的受访职工的人数为2，记为,a b在[)50,60的受访职工人数为3，记为,,A B C ，从5人任取2人，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，基本事件的总数为10，而2人评分都在[)40,50的基本事件为{},a b ，故2人评分都在[)40,50的概率为110.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线:1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【正确答案】(1)2214x y +=(2)2【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++，计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点，所以||2OA =，即2a =.因为椭圆C经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=，解得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得()224230,0t y ty +--=∆>恒成立，则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED ===又因为点B 到直线l 的距离d =所以11||22S ED d =⨯⨯==令m =26611m m m m==++，因为1y m m=+，m 时，2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当m时，min 13m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，故max 2S =.即S的最大值为方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。

高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。

太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考（12月）高 二数 学(文)一．选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)1.椭圆191622=+y x 的焦距为（ ） A. 10 B.5 C.7 D.722．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A ．1<k B ．2>k C ．1<k 或2>k D ．21<<k3.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 ( )A.a 2B.a 4C.a 8D.b a 22+ 4. 抛物线)0(42>=p px y 上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( ) A.p a - B. p a + C. 2pa -D. p a 2+ 5. 一动圆与圆221x y +=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆的圆心在（ ）A. 一个椭圆上B.一条抛物线上C.双曲线的一支上D. 一个圆上6. 设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ）A.41 B.31 C.91 D.537. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y x 202=的焦点重合,且其渐近线的方程为043=±y x ,则该双曲线的标准方程为（ ）A.116922=-y x 192=-y C. 116922=-x y D. 191622=-x y 8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于（ ）A B C ．32D 9.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是 （ ）A ．25B ．2．2210. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ）A ．23B ．2C ．25D ．3二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上满足 9021=∠PF F ,那么21PF F ∆的面积是12.已知圆16)1(22=++y x ，圆心为)0,1(-C ，点)0,1(A ， Q 为圆上任意一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，则点M 的轨迹方程为 .13.已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，定点)4,1(A ，点P 是双曲线右支上的动点， 则||||PA PF +的最小值为14. 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F , 点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则 |1PF |+ 2PF |的取值范围为____ ___15.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（,若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为___三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分）16. （本小题10分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设过点)2,3(P 的直线l ，与x 轴交于点)0,2(F ，如果一个椭圆经过点P ,且以点F 为它的一个焦点. （1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点)0,2(F 的弦AB 的中点M 的轨迹方程.17．（本小题10分）已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 交于B A ,两点. (1) 求证：OB OA ⊥；（2）当AOB ∆的面积等于10时，求k 的值.18．（本小题10分）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度 。

广东省珠海市其次中学2024-2025学年高二数学12月月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.抛物线24x y =-的焦点到准线的距离为 （ ） A.4 B.2 C.1 D ．122.已知R x ∈，设p ：1-<x ，q ⌝：022>--x x ，则下列命题为真的是 （ ） A ．若p 则q B ．若q ⌝则p C ．若q 则p ⌝ D ．若p ⌝则q3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中随意取出3件,设E 表示事务“3件产品 全不是次品”,F 表示事务“3件产品全是次品”,G 表示事务“3件产品中至少有1件是 次品”,则下列结论正确的是 ( )A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立 C.,,E F G 随意两个事务均互斥 D ．E 与G 对立4.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ） A.607 B.627C.12D.14 5.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成状况,随机采访了9位代表, 得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,则年龄在 (),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是 ( ) (其中x 是平均数,s 为标准差,结果精确到1%) A .14% B .25% C .56% D .67% 6.如图所示,已知1111ABCD A B C D -是平行六面体.设ACBD M =, N 是1BC 上靠近 点1C 的四等分点,若1MN xAB yAD zAA =++,则,,x y z 的值为( )A.113,,244x y z === B.113,,424x y z ===C.131,,244x y z === D.311,,424x y z === 7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分 别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的 圆()O b a >与双曲线交于点M （位于其次象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.62 D.728.抛物线28y x =的焦点为F ,设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的两个动点,若122343x x AB ++=, 则AFB ∠的最大值为（ ） A.3π B.23π C.34π D.56π 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分） 9.给出下列命题,正确的是 ( )A.命题“R x ∈∃，使得1<x ”的否定是“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”；B.对于命题p 和命题q ，“q p ∧为真命题”的必要不充分条件是“q p ∨为真命题”；C.若{}n a 为等差数列，,,,p q m n N *∈，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+” 的充要条件；D.若0,0a b >>且21a b +=，则115.8a b+>； 10.统计某校n 名学生的某次数学同步练习成果(满分150分),依据成果依次分成六组:[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150,得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则以下说法正确的是( )A.0.031m =B.800n =C.100分以下的人数为60D.分数在区间[)120,140的人数占大半.11.在三棱锥P ABC -中,(0,1,0),(3,1,0),(0,3,0),(0,1,2)A B C P ,则( ) A.(3,0,0)AB =- B.2tan ,3BP AB <>=-C.两异面直线AC 与PB 所成角为060 D.2P ABC V -=12.已知双曲线22:14x y C m m+=+,给出下列四个结论, 正确的是 ( ) A.m 的取值范围是()4,0- B.C 的焦距与m 的取值无关C.当C 的离心率不小于2时, m 的最小值为3-D.存在实数m ,使得点()2,m m 在C 上三、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）13.某公司生产,,A B C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为2:3:4,为检验公司的产品质量, 用 分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆, 则n = .14.已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的焦距为10， 则双曲线C 的渐近线方程为 . 15.已知[]0:0,1p x ∃∈,使得00x a e-≥成立；:q 对x R ∀∈,240x x a ++>恒成立. 若p q ∧⌝是真命题,则实数a 的取值范围是 ．16.阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在 阳马P ABCD -中,PC 为阳马P ABCD -中最长的棱,1,2,3AB AD PC ===,若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为 ．17.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 ．18.已知椭圆22:197x y C +=,F 为其左焦点,过原点O 的直线l 交椭圆于,A B 两点,点A 在其次象限,且FAB BFO ∠=∠,则直线l 的斜率为 ．四、解答题（本题共5个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本小题12分)有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z 参与某夏令营,其年级状况如下表:现从这6 (1)用表中字母列举出全部可能的结果;(2)设M 为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事务M 发生的概率.20.(本小题12分)已知动圆M 过点(2,0)，被y 轴截得的弦长为4. （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；(2) 若P 为x 轴的负半轴上随意一点，点F 的坐标为()1,0,Q 为轨迹C 上随意一点，且QF PF =,求证：直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点．21.(本小题12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣扬费和年销售量数据进行了探讨，发觉年宣扬费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.x （万元）2 4 53 6 y （单位：t ） 2.544.536（1）依据表中数据建立年销售量y 关于年宣扬费x 的回来方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，依据（1）中的结果回答下列问题：① 当年宣扬费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？② 估算该公司应当投入多少宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.附：回来方程ˆˆˆy bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y==∑，21190Si x ==∑.22.(本小题12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C ,E 是1CC 的中点1,BC =12BB =,0160BCC ∠=.(1)证明:1B E AE ⊥； (2)若2AB =,求二面角11A B E A --的余弦值.23.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点3(1,)2P ,且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若,M N 是椭圆C 上异于P 的两点,直线,PM PN 的斜率分别为12,k k 且121,,k k PD MN +=-⊥D 为垂足.是否存在定点Q ,使得DQ 为定值? 若存在,恳求出Q 点坐标及定值;若不存在,请说明理由.珠海二中高二月考数学试题参考答案BCDD CAAB 9. ABD 10. AC 11. BD 12. ABD 13. 72 14.12y x =±15.[]1,4 16.827π 17.23 18.73- 19.(1)从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,X ),(A ,Y ),(A ,Z ),(B ,C ),(B ,X ),(B ,Y ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),(C ,Z ),(X ,Y ),(X ,Z ),(Y ,Z ),共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为 (A ,Y ),(A ,Z ),(B ,X ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),共6种. 因此,事务M 发生的概率P (M )==.20.（1）设动圆圆心(,)M x y ，由题意可得：22222(2)+=-+x x y 24y x =， 所以，动圆圆心M 的轨迹C 的方程：24=y x .（2）设点Q 的坐标为(),m n ，有24n m =，设点P 的坐标为()(),00t t <．又||1QF m =+，||1PF t =-，||||QF PF =， 所以11,m t +=-得(0)t m m =-> 直线PQ 的斜率22()224n nn k n m m mn ====--⨯， 所以直线PQ 的方程为2()y x m n =+，即直线PQ 的方程为22n y x n =+． 解2422y x n y x n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24n x y n =⎧⎪⎨⎪⎩=即方程组仅有一组解， 所以直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点． 21.解:（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣扬费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为 2.25. ②令年利润与年宣扬费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应当投入5万元宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.22.解:(1)证明:连接BC 1,BE ,因为在△BCC 1中,BC=1,CC 1=BB 1=2,∠BCC 1=60°,所以BC ⊥BC 1,所以BE=CC 1=1. 因为在△EC 1B 1中,B 1E==,所以BE 2+B 1E 2=B,即B 1E ⊥BE ,又AB ⊥平面BB 1C 1C ,且B 1E ⊂平面BB 1C 1C , 所以B 1E ⊥AB ,AB ∩BE=B ,所以B 1E ⊥平面ABE , 因为AE ⊂平面ABE ,所以B 1E ⊥AE.(2)以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,),B 1(-1,,0),E ,,0,A 1(-1,,),所以=,-,0,=(-1,,-),=,-,-,设平面AB 1E 的法向量为n=(x ,y ,z ),平面A 1B 1E 的法向量为m=(a ,b ,c ),由得取x=1,则n=(1,,),由得取a=1,则m=(1,,0).所以cos m ,n ===,由图可知二面角A-B 1E-A 1为锐角,所以二面角A-B 1E-A 1的余弦值为. 23.(1)由12c e a ==，得2222222,4,3a c a c b a c c ===-=.2222223311221,143a b c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=∴+= 解得2221,3, 4.c b a ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得直线MN 的斜率肯定存在，直线MN 的方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得()2224384120k x kmx m +++-= 2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->，得22430k m -+>21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++ 1212211212123333()(1)()(1)222211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211233()(1)()(1)22(1)(1)kx m x kx m x x x +--++--=-- 121212121232()()()(23)2()1kx x m x x k x x m x x x x +-+-+--=-++22222224123882()()()()(23)43243434128()14343m km km k m k m k k k m kmk k -+------+++=---+++22224126129412843k km m k m km k -+-++=-+++ 由121k k +=-，得2281023120k km m m k ++--=， 即()()22340k m k m +-+=当2230k m +-=时，直线33()(1)22y kx k k x =+-=-+过定点3(1,)2P ，舍去. 当40k m +=，直线4(4)y kx k k x =-=-过定点(4,0)T 此时，222433120k m k -+=->，得1122k -<<，存在直线过定点(4,0)T . 当Q 为,P T 的中点，即53(,)24Q，此时124DQ PT ===.。

2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市第一高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．已知正三棱柱111A B C ABC -，M 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，则1A M =（）A ．1111123AC CC C B -+ B ．111111122A C AB B B++C ．1111113A C CBC C++ D ．1111233A C ABC C++【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算直接求解即可.【详解】1111111111111111133A M AC C M AC C C CM AC C C CB AC C B C C =+=++=++=++.故选：C.2．空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A ．43-B ．13-C ．13D ．43【正确答案】C【分析】先设AB mAC nAD =+，然后把向量AB ，AC ，AD 分别用向量PA ，PB ，PC ，PD 表示，再把向量PA 用向量PB ，PC ，PD 表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A ，B ，C ，D 四点共面，但任意三点不共线，则可设AB mAC nAD =+，又点P 在平面外，则()()PB PA m PC PA n PD PA -=-+- ，即(1)m n PA PB mPC nPD ++=-++，则1111m n PA PB PC PD m n m n m n -=+++-+-+- ，又5133=-- PA PB xPC PD ，所以15131113m n m x m n n m n -⎧=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，解得15m n ==，13x =，故选：C ．3．若直线1l ：430x y --=与直线2l ：310x my -+=（m ∈R ）互相垂直，则m =（）A ．34B ．34-C ．12D ．12-【正确答案】B【分析】根据两直线垂直可得斜率之积为-1，即可求解.【详解】由题意得，当0m =时，直线2:310l x +=，与直线1l 不垂直，故0m ≠，直线1l 的斜率为14，直线2l 的斜率为3m，所以1314m⨯=-，解得34m =-，故选：B ．4．已知圆22:20C x y y +-=的最大值为（）A ．4B ．13C1+D．11+【正确答案】C.【详解】解：d ==，上式表示圆C 上的点(,)x y 到点(1,2)-的距离，因为圆22:(1)1C x y +-=，圆心(0,1)C ，半径1r =．显然1max d r =+=+．故选：C ．5．已知圆22:25C x y +=与直线():3400l x y m m -+=>相切，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（）A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)25x y ++-=C ．22(6)(8)16x y ++-=D ．22(6)(8)25x y ++-=【正确答案】D【分析】利用圆与直线相切，求出m ，然后求出过圆C 圆心垂直于直线l 的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆22:25C x y +=的圆心为原点O ，半径为5，又圆C 与直线l 相切，则O 到直线l 的距离为5d =，则5d ==，解得25m =，设过O 且与l 垂直的直线为0l ，则0l ：430x y +=，联立4303342504x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，得直线l 与0l 的交点为()3,4-，设圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为(),p n ，由中点公式有03620842p p nn +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩所以圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为()6,8-，因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：22(6)(8)25x y ++-=，故选：D.6．命题甲：动点P 到两个定点,A B 的距离之和||||2(PA PB a +=常数0)a >；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【正确答案】B【详解】由题意得，当动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a AB +=>常数0)a >时，点P 的轨迹为椭圆，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【正确答案】A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2by a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.8．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．1,2⎛ ⎝⎭【正确答案】C设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由e =计算即可.【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+，由题知2F 到直线l 的距离d a >，即2b a d =>=，可得12b a >，所以离心率2e =>.故选：C.本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e 可使计算变得简便，属于中档题.二、多选题9．已知直线360x +-=，则该直线（）A ．过点(3,B ．斜率为C ．倾斜角为60︒D ．在x 轴上的截距为6-【正确答案】AB【分析】验证法判断选项A ；求得直线的斜率判断选项B ；求得直线的倾斜角判断选项C ；求得直线在x 轴上的截距判断选项D.【详解】对于A ，当3x =时，3360⨯-=，∴y =∴直线过点(3,，故A 正确；对于B ，由题意得，y =+B 正确；对于C ，∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为120︒，故C 错误；对于D ，当0y =时，2x =，∴该直线在x 轴上的截距为2，故D 错误．故选：AB ．10．已知圆221:(1)4O x y -+=，圆222:(5)4O x y m -+=，下列说法正确的是（）A ．若4m =，则圆1O 与圆2O 相交B ．若4m =，则圆1O 与圆2O 外离C ．若直线0x y -=与圆2O 相交，则258m >D ．若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则||MN =【正确答案】AC【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆221:(1)4O x y -+=的圆心()11,0O ，半径12r =若4m =，222:(5)16O x y -+=，则圆心()25,0O ，半径24r =，则1212124,6,2O O r r r r =+=-=，所以112221O O r r r r -<<+，则圆1O 与圆2O 相交，故A 正确，B 错误；若直线0x y -=与圆2O 相交，则圆心()25,0O 到直线0x y -=的距离d =，解得258m >，故C 正确；若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离2d ==，所以相交弦长MN ===，故D 错误.故选：AC.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1【正确答案】ABD【分析】由AD BC ∕∕，可得BC ∕∕平面PAD ，再根据线面平行的性质即可证得l BC ∕∕，即可判断A ；对于B ，连接,AE AC ，证明AB AC ⊥，PA AB ⊥，即可得AB ⊥平面PAC ，再根据线面垂直的性质即可证得AB PC ⊥，即可判断B ；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直，即可判断C ；对于D ，易得四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，求出半径，再利用向量法求出点O 到直线l 的距离，最后利用圆的弦长公式求出l 被球O 截得的弦长，即可判断D.【详解】解：对于A ，因为AD BC ∕∕，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∕∕平面PAD ，又因平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，所以l BC ∕∕，故A 正确；对于B ，连接,AE AC ，在等腰梯形ABCD 中，因为1AB AD CD ===，2BC =，BC 的中点为E ，所以四边形,ABED AECD 都是菱形，所以,AC DE AB DE ⊥∕∕，所以AB AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，又PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC ，又因PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，故B 正确；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，则()110,0,2,,,22P D E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()110,0,2,,,0,,,2,1,0,02222AP AD PD DE ⎛⎫⎛⎫==-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PDE 的法向量()111,,m x y z = ，平面PAD 的法向量()222,,n x y z = ，则111112020m PD x z m DE x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，可取(0,m = ，同理可取)n =，因为40m n ⋅=≠，所以m 与n 不垂直，所以平面PDE 与平面PAD 不垂直，故C 错误；对于D ，由B 选项可知，EA EB EC ED ===，则点E 即为四边形ABCD 外接圆的圆心，故四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，则OA =所以R =，设OP 与l 所成的角为θ，点O 到直线l 的距离为d ，()()11,0,0,0,,,,122B C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为l BC ∕∕，直线l的方向向量可取()BC =-，1,22OP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,4BC OP =-，所以sin 4θ=，所以sin 2d OP θ==，所以l 被球O 截得的弦长为1=，故D 正确.故选：ABD.12．如图所示，抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点(),0M p 的直线1l ，2l 与E 分别相交于()11,A x y ，()22,B x y 和C ，D 两点，直线AD 经过点F ，当直线AB 垂直于x 轴时，3AF =．下列结论正确的是（）A ．E 的方程为24y x =B ．1212y y =-C ．若AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =D ．若AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，则()tan αβ-2【正确答案】AD【分析】根据抛物线定义表示AF ，由条件列方程求p 可得抛物线方程，判断A ，设AB 的方程为2x ty =+，利用设而不求法求12y y ，判断B ，设()()3344,,,C x y B x y ，利用设而不求法求34y y ，根据直线AD 经过点F ，确定14,y y 的关系，利用1y 表示12,k k ，判断C ，讨论α，结合12,k k 关系利用基本不等式求()tan αβ-的最值即可判断D.【详解】当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x p =，所以点A 的横坐标为p ，所以2pAF p =+，又3AF =，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =，A 正确；所以()2,0M ，若直线AB 的斜率为0，则直线AB 与抛物线只有一个交点，以已知矛盾，故可设直线AB 的方程为2x ty =+，联立242y x x ty ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ty --=，方程2480y ty --=的判别式216320t ∆=+>，由已知12,y y 为方程2480y ty --=的两根，所以12124,8y y t y y +==-，211168,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 错误；同理可设CD 的方程为2x ny =+，联立242y x x ny ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ny --=，方程2480y ny --=的判别式216320n ∆=+>，设()()3344,,,C D x y y x 所以34344,8y y n y y +==-，244168,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线AD 的斜率存在，则11x ≠，41x ≠，2241y y ≠，因为直线AD 经过点F ，所以1411411y yk x x ==--，所以()()1441144y y y y y y -=-，因为14y y ≠，所以144y y =-，所以4114214224188116162y y y y k y y y y -+==-+-，所以11122114414y y k y y ==--，1221112244y k y y y ==--，所以122k k =，C 错误；因为AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 01tan n tan 12tan ta ααββαβββ-==<++-，当π2α=时，()()1,2,1,2A D -，()4,4B -，()4,4C 所以π2β=，此时()tan 0αβ-=，当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 111tan tan 12tan 2ta t n n an ta αββαββββαβ-===+-++所以()t 2an 11tan tan αβββ≤-=+当且仅当tan 2β=，tan α时等号成立，即1k =所以()tan αβ-的最大值为4，D 正确；故选：AD.(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．三、填空题13．一个圆经过椭圆2219y x +=的三个顶点，且圆心在y 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.【正确答案】2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.【详解】由2219y x +=及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为()0,3，左右顶点坐标为()1,0±，设圆的圆心()0,a ，半径为r ，则()22213r a a +==-，解得43a =，53r =，故圆的方程为2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故答案为.2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭14．若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.【正确答案】216y x =-或28y x=【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2y mx =的准线为4m x =-，则134m --=，解得16m =-或8m =，故抛物线的方程为216y x =-或28y x =.故216y x =-或28y x =.15．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为.【正确答案】32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px =的焦点，∴42p =，解得8p =．∴抛物线的方程为216y x =．其准线方程为()440x K =-∴-，，．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴AK AM =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKF S KF ==⨯= ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为______．【分析】平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，当点P ，M ，N 和D ¢共线时周长最小，计算得到1AM =，4NC =，2BN =，建立空间直角坐标系，计算平面PMN的法向量为()2,1,1n =- ，根据距离公式计算得到答案.【详解】要使得空间四边形PMND 周长最小，只需将平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，延长DC 至D ¢，使得2DC CD '==，于是点N 在线段DD '的垂直平分线上，所以ND ND '=，因为PD 为定值，故当点P ，M ，N 和D ¢共线时，空间四边形PMND 的周长最小，易得PAM NCD PDD '' △△△，即得PA NC PD AM CD DD ==''，即226222NC AM +==+，所以1AM =，4NC =，642BN =-=，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()002P ,,，()0,6,0D ，由题意可得()1,0,0M ，()2,2,0N ，()0,3,1Q ，则()1,0,2PM =- ，()2,2,2PN =- ，设(),,n x y z =r 是平面PMN 的一个法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.即得202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令1z =，得2x =，1y =-，()2,1,1n =- ，()0,3,1PQ =- ，所以点Q 到平面PMN的距离3n PQ d n ⋅== ．四、解答题17．已知Rt ABC 的顶点(8,5)A ，直角顶点为(3,8)B ，顶点C 在y 轴上；(1)求顶点C 的坐标；(2)求Rt ABC 外接圆的方程．【正确答案】(1)(0,3)(2)22(4)(4)17x y -+-=【分析】（1）设点C 坐标，然后根据AB BC ⊥列方程，解方程即可得到点C 坐标；（2）根据直角三角形外接圆的特点，得到圆心坐标和半径，然后写方程即可.【详解】（1）设点()0,C m ，由题意：1AB BC k k ⋅=-，853385AB k -==--，所以85033BC m k -==-，解得3m =，所以点()0,3C .（2）因为Rt ABC △的斜边AC 的中点为圆心，所以圆心的坐标为()4,4，r =所以圆心的方程为()()224417x y -+-=.18．已知：双曲线:C 221169x y -=.（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点3)A -，求该双曲线的方程.【正确答案】(1)焦点()5,0±，顶点()4,0±，离心率54e =；(2)224194y x -=【分析】（1）由双曲线:C 221169x y -=可得：4,3a b ==，从而求得：5c =，问题得解．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入即可求得λ，问题得解．【详解】 双曲线:C 221169x y -=，所以4,3a b ==，∴5c ==，∴双曲线C 的焦点坐标()5,0-，()5,0，顶点坐标()4,0-，()4,0，离心率54c e a ==．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入上式得：(()223169λ--=，解得：14λ=-∴所求双曲线的方程为：224194y x -=．（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：22221x y a b-=()0,0a b >>则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：2222x y a bλ-=，属于基础题．19．已知正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,D D B B 的中点.（1）求证；1,,,A E C F 四点共面；（2）求二面角11A EB C --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出1 A E ，FC 坐标得1A E FC =uuu r uu u r ，从而得四边形1A ECF 为平行四边形即可证明；（2）分别求出平面11A EB 与平面1EB C 的法向量m 和n ，利用向量法求解二面角的公式cos ,m n m n m n⋅<>= 即可求解.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体的边长为2，（1）因为()10,2,2A ，()0,0,1E ，()2,0,0C ，()2,2,1F ，所以()10,2,1A E =-- ，()0,2,1FC =-- ，所以1A E FC =uuu r uu u r ，所以1//A E FC ，且1A E FC =，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1,,,A E C F 四点共面；（2）()12,2,2B ，设平面11A EB 的法向量分别为(),,m x y z = ，则11100m A E m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x --=⎧⎨=⎩，取1y =得()0,1,2m =- ，同理可得，平面1EB C 的法向量()1,2,2n =- ，所以cos ,5m n m n m n⋅<>==- ，由图可知，二面角为钝角，所以二面角11A EB C --的余弦值为.20．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB DC ，2PA AD DC AB ===，点E 在棱PC上，BE 平面PAD ．(1)证明：BE PD ⊥；(2)若90PDC ∠= ，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，结合线面平行的性质得BE AF ∥，可得E ，F 分别为PC ，PA 的中点，结合AP AD =得AF PD ⊥，又BE AF ∥即可证得BE PD ⊥；（2）由已知条件证得AB ⊥面PAD ，得AB AD ⊥．建空间直角坐标系，求出面PBD 的法向量，然后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，连接AF ，又AB DC ，则EF AB ∥，则,,,B E F A 四点共面，∵BE 面PAD ，BE ⊂面BEFA ，面BEFA ⋂面PAD AF =，∴BE AF ∥，故BEFA 为平行四边形，从而12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PC ，PA 的中点，又AP AD =，∴AF PD ⊥，又BE AF ∥，∴BE PD ⊥．（2）因为DC PD ⊥，AB DC ，所以AB PD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，得PA AB ⊥，又PA PD P = ，,PA PD ⊂面PAD ，所以AB ⊥面PAD ，又AD ⊂面PAD ，所以AB AD ⊥．所以，以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建空间直角坐标系，设1AB =，则有()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E ．所以()1,2,0BD =- ，()1,0,2BP =- ，设面PBD 的法向量为(),,n x y z =r ，则2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2x =，所以()2,1,1n = ．又有()0,1,1BE = ，记α为BE 与平面PBD 所成角，则sin cos ,BE n BE n BE nα⋅==== 所以BE 与平面PBD21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.【正确答案】(1)22133y x -=(2)直线MN 的斜率k 为定值12-【分析】(1)根据离心率公式确定c =，再根据双曲线经过点(2,1)A 即可求解；(2)利用韦达定理用坐标表示出0AM AN ⋅= ,进而可求解.【详解】（1）由题可得离心率c a=c =，又因为222c a b =+，所以22a b =，所以双曲线方程为22221x y a a-=，又因为双曲线过点(2,1)A ，所以22411a a-=，解得23a =，所以双曲线方程为22133y x -=.（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立22133y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221230k x kmx m ----=，则210k -≠得21k ≠，()()2222Δ44130k m k m =+-+>，得2233m k >-，212122223,11km m x x x x k k --+==--，()21212222222,11k m m y y k x x m m k k +=++=+=--()()()222212121212231m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=-，因为AM AN ⊥，所以0AM AN ⋅= ，所以1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()4()10x x x x y y y y -+++-++=，所以222222234324101111m km m k m k k k k -----++++=----，所以21240km k m ---=即()()12210k m k --+=，得120k m --=或210k +=，若120k m --=，则直线MN 的方程为12y kx k =+-，即1(2)y k x -=-过点(2,1)A ，不符合题意，若210k +=，则12k =-，满足AM AN ⊥，综上直线MN 的斜率k 为定值12-.22．已知抛物线C ：()220y px p =>，点(2,A 在抛物线上.(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)若直线1l ：()20x my m =+≠交抛物线C 于M ､N 两点，交直线2l ：2x =-于点P ，记直线AM ，AP ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列.【正确答案】(1)焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -(2)证明见解析【分析】（1）将点(2,A 的坐标代入抛物线方程中求出p ，从而可求出焦点坐标和准线方程；（2）两直线方程联立求出点P 的坐标，设()11,M x y ，()22,N x y ，再将直线1l 方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根与系数的关系，再结合斜率公式化简证明【详解】（1）将(2,A 代入()220y px p =>，得2p =，所以焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -.（2）由22x my x =+⎧⎨=-⎩得.42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭设()11,M x y ，()22,N x y ，由242y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2480y my --=，则121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，所以((12211213121222y y y y y y k k x x my y -+---+=--)12121222y y y y my y m-+==又241222m k m --==+--，所以222k m =+，所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列.。

高二下学期数学第一次月考试卷（文）(总分：150分 时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ）A ．P M =B ．P M ∈C ．φ=P MD ．P M ⊇ 2、等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为A ．3B ．4C ．5D ．63、“3x >”是“24x >”的（ ）.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、在△ABC 中，a ＝，b ＝B ＝45°，则A 等于（ ）. A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ．60°或120°5、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππB ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππC ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππD ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ6、不等式1213≥--xx 的解集是 ( ) A ．{x|243≤≤x } B ．{x|243<≤x } C ．{x|x ＞2或43≤x } D ．{x|x ＜2}7、已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ∥β，给出下列四个命题： （1）若α∥β，则l ⊥m ； （2）若l ⊥m ，则α∥β； （3）若α⊥β，则l ∥m ； （4）若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ）.A ．74y x =+B ．72y x =+C ． 4y x =-D ．2y x =- 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(lim000--+→ 的值为（ ）A ．f’(x 0)B ．2 f’(x 0)C ．-2 f’(x 0)D ．010、已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43C D 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)11、点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式032>-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是 .12、已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为13、已知，求42t a b =-的取值范围 ____________ ．14、一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s =3t 2+t ，则t =2时的瞬时速度为 .15、给定下列命题：① “若m>-1，则方程x 2+2x-m =0有实数根”的逆否命题；②“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若220x y +=, 则x , y 全为零”的逆命题.其中真命题的序号是___________.三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、（本小题满分12分）已知锐角△ABC 的三内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，边a 、b 是方程x 2－+2=0的两根，角A 、B 满足关系2sin(A +B )，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积.17、（本小题满分12分）公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求。

北京市海淀区北京交大附中2023-2024学年高二上学期12月
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．12v v >，1s 19．已知函数()f x 二、填空题
①//FG 平面11AA D D ；②EF ③//FG 平面11BC D ；④平面其中推断正确的序号是
25．已知P 是边长为2的正六边形
A ．
231
3
-B ．
1313
-32．已知直线l 1：mx -y +m =0与直线l 2为F 1，F 2，则|QF 1|+|QF 2|的取值范围是（
A ．[)
2,+∞B ．)
23,⎡+∞
⎣33．已知圆22:8C x y +=，MN 为圆C 两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且PQ 段PQ 中点的横坐标取值范围是（
）
A ．()(),04,-∞⋃+∞C ．(0,4)
四、填空题
(1)求直线CE 与11B D 所成角的余弦值；(2)求点1C 到平面BCE 的距离；
(3)已知点M 在线段1CC 的长.
39．已知点()0,2P -及圆(1)求圆心C 的坐标及半径(2)设过点P 的直线1l 与圆的方程；
a b
(1)求椭圆C的方程；。

北京市2023—2024学年第一学期12月阶段练习高二数学（答案在最后）2023.12班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.椭圆22154y x +=的焦点坐标是（）A.()1,0，()1,0-B.()0,1，()0,1-C.()3,0，()3,0- D.()0,3，()0,3-）2.在空间直角坐标系中，()1,2,3A --，()1,1,1B ---，()0,0,5C -，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定3.已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF |等于（）A .2B.3C.4D.54.直线0y +-=截圆224x y +=得到的劣弧所对的圆心角的大小为（）A.π12B.π6C.π4D.π35.双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线离心率为（）A.或153B.54或53C.54D.26.如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（）A.2.25mB.2.15mC.1.85mD.1.75m7.“1k =±”是“直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件8.将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角A BD C --，以下结论中错误．．的是（）A.AC BD⊥ B.ACD 是等边三角形C.AB 与平面BCD 所成的角为60°D.AB 与CD 所成的角为60°9.若曲线C ：22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（）A.(,2)-∞- B.(,1)-∞- C.(1,)+∞ D.(2,)+∞10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.点()2,3关于直线3y x =+的对称点坐标为______________.12.已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，6AB =，则22AF BF +=______________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.14.已知双曲线C ：()22102x y m m-=>，则m =_________；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为____________.（写出一个答案即可）15.曲线C 是平面内与定点()2,0F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于x 轴对称；③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF 的最小值是2-；其中，所有正确结论的序号是_________.三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答．．案写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．．.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为1CC ，BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与EF 所成角的余弦值；（2）求点1B 到平面AEF 的距离；（3）求二面角11B A B E --的余弦值.17.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且7MN =，求实数m 的值.18.已知圆C ：222430x y x y ++-+=.（1）求圆心C 的坐标及半径的大小；（2）已知直线l 与圆C 相切，且在x ，y 轴上的截距相等且不为0，求直线l 的方程；（3）从圆C 外一点(),P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有MP OP =，求点P 的轨迹方程.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F （1，0），短轴长为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.北京市2023—2024学年第一学期12月阶段练习高二数学2023.12班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.椭圆22154y x +=的焦点坐标是（）A.()1,0，()1,0-B.()0,1，()0,1-C.()3,0，()3,0- D.()0,3，()0,3-）【答案】B 【解析】【分析】先根据椭圆的标准方程判断焦点的位置；再根据a ，b ，c 关系求出c 即可写出焦点坐标.【详解】由椭圆22154y x +=可得：椭圆的焦点在y 轴上，25a =，24b =.则2221c a b =-=，即1c =.所以椭圆的焦点坐标为：()0,1，()0,1-.故选：B2.在空间直角坐标系中，()1,2,3A --，()1,1,1B ---，()0,0,5C -，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定【答案】B 【解析】【分析】根据空间中两点距离公式即可求解长度，进而可判断.【详解】由()1,2,3A --，()1,1,1B ---，()0,0,5C -，可得3,3AB AC ====,CB ==,故222,AB AC BC AB AC =+=,因此ABC 是等腰直角三角形，故选：B3.已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF |等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由题意可得4p =，再结合抛物线的定义可求出|PF |【详解】因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，所以4p =，所以抛物线的焦点(2,0)F ，准线方程为2x =-，因为抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，所以点P 到准线的距离为3，所以由抛物线的定义可得3PF =，故选：B4.直线0y +-=截圆224x y +=得到的劣弧所对的圆心角的大小为（）A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】D 【解析】【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r ，利用点到直线的距离公式求出圆心C 到已知直线的距离d ，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，即可根据等边三角形求解.【详解】过O 作OC AB ⊥，垂足为点C ，由圆的方程224x y +=，得到圆心O 的坐标为(0,0)，半径2r =，0y +-=，∴直线被圆截得的弦||2AB ==，2AB OA OB ∴===，π3AOB ∴∠=，故选：D ．5.双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线离心率为（）A.2或3B.54或53C.54D.2【答案】B 【解析】【分析】根据焦点位置，分两种情况即可根据渐近线方程以及离心率公式求解.【详解】设双曲线方程为22221x y a b -=，则渐近线方程为b y x a =±，故34b a =，离心率为54c a ==，设双曲线方程为22221y x a b -=，则渐近线方程为a y x b =±，故34a b =，离心率为53c a ==，故选：B6.如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（）A.2.25mB.2.15mC.1.85mD.1.75m【答案】D 【解析】【分析】建立坐标系，根据题意可设抛物线方程为2(6)4y a x =-+，其中a<0，再根据点(14,0)B 在抛物线上，代入抛物线方程，得到该抛物线方程，令0x =，可得结论．【详解】以该运动员脚所在的水平线为x 轴，该运动员所处位置的铅垂线为y 轴，建立坐标系如图．铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m ，∴该抛物线的顶点坐标是(6,4)，开口向下，设抛物线方程为2(6)4y a x =-+，其中a<0，运动员投掷铅球的成绩是14m ，所以点(14,0)B 在抛物线上，20(146)4a ∴=-+，可得116a =-因此，抛物线方程为21(6)416y x =--+，令0x =，则1364 1.7516y =-⨯+=故选：D ．7.“1k =±”是“直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【分析】联立0kx y k -+=与24y x =，分0k =与0k ≠两种情况，结合根的判别式得到0k =或1±，从而求出答案.【详解】联立0kx y k -+=与24y x =得，()2222240k x k x k +-+=，当0k =时，40x -=，只有一个根，满足要求，当0k ≠时，令()2242440k k ∆=--=，解得1k =±，故直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”时，0k =或1±，故1k =±是“直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”的充分不必要条件.故选：A8.将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角A BD C --，以下结论中错误．．的是（）A.AC BD⊥ B.ACD 是等边三角形C.AB 与平面BCD 所成的角为60° D.AB 与CD 所成的角为60°【答案】C 【解析】【分析】根据直二面角可得面面垂直，即可根据线面垂直求解A,根据长度关系即可求解B ，根据线面垂直得线面角的几何角，即可求解C ，根据平行关系以及线线角的定义即可求解D.【详解】如图，其中二面角A BD C --的平面角为90︒，O 是BD 的中点，则AO BD ⊥，CO BD ⊥，∴直二面角A BD C --的平面角=90AOC ∠︒，对于A ，AO BD ⊥ ，CO BD ⊥，AO CO O = ，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，BD ∴⊥平面AOC ，AC ⊂ 平面AOC ，AC BD ∴⊥，故A 正确；对于B ，设正方形ABCD 的边长为2，在直角AOC 中，AO BO ==，2AC ∴==，ACD ∴是等边三角形，故B 正确；对于D ，可取AD 中点F ，AC 的中点H ，连接OF ，OH ，FH ，设正方形ABCD 的边长为2，由于//,//OF AB HF CD ，所以112OF HF AB ===，而112OH AC ==，故OFH 是等边三角形，OFH ∠即为AB 与CD 所成的角,由于OFH ∠=60︒，所以AB 与CD 所成角为60︒，故D 正确．对于C ，由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ,,AO BD AO ⊥⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ,故AB 与平面BCD 所成的线面角的平面角是45ABO ∠=︒，故AB 与平面BCD 成60︒的角不正确，故C 错误．故选：C9.若曲线C ：22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（）A.(,2)-∞-B.(,1)-∞- C.(1,)+∞ D.(2,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据曲线方程可判断出曲线C 是圆心为(),2a a -，半径为2的圆，根据圆的位置可得关于a 的不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意，曲线C 的标准方程为：22()(2)4x a y a ++-=因此曲线C 为圆心为(),2a a -，半径为2的圆曲线C 上所有的点均在第二象限内222a a -<-⎧∴⎨>⎩，解得：2a >a ∴的取值范围是()2,∞+故选：D10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】【分析】由于P 在平面1BC 内，而11C D ⊥平面1BC ，因此有111PC C D ⊥，这样结合抛物线的定义可得结论．【详解】在正方体中，一定有111PC C D ⊥，∴P 点为平面1BC 内到直线BC 和到点1C 的距离相等的点，其轨迹为抛物线．故选D ．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系．属于跨章节综合题，难度不大．二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.点()2,3关于直线3y x =+的对称点坐标为______________.【答案】()0,5【解析】【分析】根据中点关系以及垂直斜率关系即可求解.【详解】设点()2,3关于直线3y x =+的对称点坐标为(),a b ，则31232322b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得05a b =⎧⎨=⎩，所以对称点为()0,5，故答案为：()0,512.已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，6AB =，则22AF BF +=______________.【答案】14【解析】【分析】根据焦点三角形的周长即可求解.【详解】椭圆221259x y +=中，5a =，1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴由椭圆定义知：22||||||420AB AF BF a ++==，||6AB = ，22||||20614AF BF ∴+=-=．故答案为：1413.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.【答案】155【解析】【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.【详解】取AB 中点为O ，连接,PO DO ,由于PAB 是等边三角形，所以PO AB⊥因为平面PAB ⊥平面ABCD ，其交线为AB ,PO ⊂平面PAB ,所以PO ⊥平面ABCD ，PDO ∠是直线PD 与平面ABCD 所成角．不妨设1,2AD AB ==，在等边PAB 中，PO =，DO ==，所以DP ==，故315tan 55OP PDO DP ∠===故直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为155．故答案为：15514.已知双曲线C ：()22102x y m m-=>2，则m =_________；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为____________.（写出一个答案即可）【答案】①.2②.221x y -=【解析】【分析】根据题意，由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线C ：()22102x y m m -=>，所以其焦点坐标为()2,0m +，渐近线方程为2m y x =2，222m mm ⨯+=+2m =；所以双曲线C ：22122x y -=，渐近线方程为y x =±，若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则该双曲线只需满足a b =即可，则1C 的方程可以为221x y -=.故答案为：2；221x y -=15.曲线C 是平面内与定点()2,0F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于x 轴对称；③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF 的最小值是2-；其中，所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④．【解析】【分析】将所求点用(,)x y 直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性质即可求解①②③，利用消元法，然后利用函数的单调性求最值即可判断④．【详解】设动点的坐标为(,)x y ，曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹，∴|2|4x +=，当0x =时，0y =，∴曲线C 过坐标原点，故①正确；|2|4x +=中的y 用y -代入该等式不变，∴曲线C 关于x 轴对称，故②正确；令0x =时，0y =，故曲线C 与y 轴只有1个交点，故③不正确；|2|4x +=，()()22216202y x x ∴=--≥+，解得-≤≤x ，∴若点M 在曲线C 上，则41)2MF x ==≥=-+，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答．．案写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．．.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为1CC ，BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与EF 所成角的余弦值；（2）求点1B 到平面AEF 的距离；（3）求二面角11B A B E --的余弦值.【答案】（1）63;（2;（3）13；【解析】【分析】（1）构建空间直角坐标系，然后根据向量的数量积求解直线夹角；（2）求解面AEF 的法向量，然后根据距离公式求解；（3）根据面11B A B 与面1A BE 的法向量，求解二面角11B A B E --的余弦值；【小问1详解】故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则()0,0,0A ，()10,0,2A =,()2,0,0B ,()12,0,2B =,()0,2,1E ，()1,1,0F ()12,0,2A B =- ,()1,1,1EF =-- ,111cos3A B EFA B EFA B EF⨯+-⨯-⋅==⋅，所以异面直线1A B与EF所成角的余弦值为3.【小问2详解】设面AEF的法向量为(),,n a b c=，()0,2,1AE=,()1,1,0AF=则n AEn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得：20b ca b+=⎧⎨+=⎩令1a=，可得()1,1,2n=-，因为()12,0,2AB=u u uu r,所以n AEdn⋅===所以点1B到平面AEF.【小问3详解】AC⊥面11B A B，所以面11B A B-的法向量为()0,0,1AC，设面1A BE的法向量为(),,m x y z=，又()12,0,2A B=-，()10,2,1A E=-，则11m A Bm A E⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得：20x zy z-=⎧⎨-=⎩，令1y=，可得()2,1,2m=，11cos133AC mAC mAC m⋅===⨯⋅，，所以二面角11B A B E--的余弦值为13.17.已知椭圆()222210x y a ba b+=>>的焦点是1F，2F，且122F F=，离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C与直线y xm=+交于M，N两点，且7MN=，求实数m的值.【答案】（1）22143x y +=（2）2±【解析】【分析】（1）由题意求出1,2c a ==，进而得到2b ，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到m <<式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案【小问1详解】由题意得：1222F F c ==，12c a =，解得1,2c a ==，故222413b a c =-=-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】联立y x m =+与22143x y +=得，22784120x mx m ++-=，()2264284120m m ∆=-->，解得m <<设()()1122,,,M x y N x y ，则212128412,77m m x x x x -+=-=，故M N ====又1227MN =，1227=，解得2m =±，满足m <<故实数m 的值为2±18.已知圆C ：222430x y x y ++-+=.（1）求圆心C 的坐标及半径的大小；（2）已知直线l 与圆C 相切，且在x ，y 轴上的截距相等且不为0，求直线l 的方程；（3）从圆C 外一点(),P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有MP OP =，求点P 的轨迹方程.【答案】（1）圆心坐标(1,2)C -，半径r =（2）10x y ++=或30x y +-=；（3）2430x y -+=【解析】【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；（2）设出直线的截距式方程，由圆心到切线的距离等于半径列式求得a 的值，则切线方程可求；（3）由切线垂直于过切点的半径及||||MP OP =列式求点P 的轨迹方程．【小问1详解】由圆22:2430C x y x y ++-+=，得：22(1)(2)2x y ++-=，∴圆心坐标(1,2)C -，半径r =【小问2详解】 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线方程(0)x y a a +=≠，圆22:(1)(2)2C x y ++-=，∴圆心(1,2)C -，=1a ∴=-或3a =，所求切线方程为：10x y ++=或30x y +-=；【小问3详解】切线PM 与半径CM 垂直，设(,)P x y 222||||||PM PC CM ∴=-,由MP OP =可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+所以点P 的轨迹方程为2430x y -+=．19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F （1，0），短轴长为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）22k =±【解析】【分析】（1）由题可知，1c =，22b =，再结合222a b c =+，解出a 值即可得解；（2）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立直线l 的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线OM 的斜率，进而得解；（3）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP += ，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解．【小问1详解】由题意可知，1c =，22b =，222a b c =+ ，∴a =∴椭圆的方程为2212x y +=．【小问2详解】设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，则2122421k x x k +=+，M 为线段AB 的中点，∴21222221M x x k x k +==+，2(1)21M M k y k x k -=-=+，∴12M OM M y k x k==-，∴1122OM l k k k k ⋅=-⨯=-为定值．【小问3详解】若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP += ，∴2122421P k x x x k =+=+，121222()221P k y y y k x x k k -=+=+-=+， 点P 在椭圆上，∴2222242()2()22121k k k k -+⨯=++，解得212k =，即2k =±，∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l的斜率为2k =±．。

青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.122. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7B. 12C. 15D. 314. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34132160a a a ++=，则1165S a -=（ ）A. 240B. 180C. 120D. 606. 若数列{}n a 满足()()()1112n n n a n a n --=+≥，12a =，则满足不等式930n a <的最大正整数n 为（ ）A. 28B. 29C. 30D. 317. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C 左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）AB.C. 2D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为404711. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1.的的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nn ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于3212. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l .若m =，则k l -=_________16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.为.（1）求直线AC 的方程：（2）求ABC 的面积.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为NAB λ，求实数λ的取值范围.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，求λ的取值范围.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .的（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直线垂直列方程，从而求得m 的值.【详解】由于12l l ⊥，所以()()22212210m m m m m m ⨯+⨯-=-=-=，解得0m =或12m =.故选：C2. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先设出双曲线方程，求出c 的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出,a b 的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为22221x y a b-=，则3c ==，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为()()12,,,0330F F -，由双曲线的定义可知12226a c F F==<==，所以3,a c b ====，所以所求双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：C.3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7 B. 12C. 15D. 31【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列，等差中项等知识求得等比数列{}n a 的首项和公比，从而求得5S .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，依题意2324222a a a a =⎧⎨=+-⎩，则123111222a q a q a q a q =⎧⎨=+-⎩，()()211122a q q a q a q q ⋅=+⋅-，224222,240q q q q ⋅=+⋅--=，解得2q =，则11a =，所以()551123112S ⨯-==-.故选：D4. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先由题意可知圆心也在直线20x y --=上，联立即可得圆心坐标，进而得半径，从而即可得解.【详解】由题意圆心也在过点(0,2)-且与直线20x y ++=垂直的直线上，而该直线方程为()()020x y ----=⎡⎤⎣⎦，即20x y --=，联立20210x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得1,1x y==-，即圆心坐标为()1,1-，半径为点(0,2)-与圆心()1,1-的距离=，故所求圆的方程为()()22112x y-++=.故选：A.5. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，34132160a a a++=，则1165S a-=（）A. 240B. 180C. 120D. 60【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及前n项和公式的基本量计算来求得正确答案.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，311143422160,540a a a da d a++=+==+，()()1161111511555563065640240S a a d a d a d a d-=+-+=+=+=⨯=.故选：A6. 若数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，则满足不等式930na<的最大正整数n为（）A. 28B. 29C. 30D. 31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得n a，由此解不等式930na<,求得正确答案.【详解】依题意，数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，()1121nna nna n-+=≥-，所以3211213451212321nnna aa n na aa a a n n-+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--()1n n=+，1a也符合，所以()1na n n=+，{}n a是单调递增数列，由()()()930,301310na nn n n<+-=<+，解得3130n-<<，所以n的最大值为29.故选：B7. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=【答案】D 【解析】【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.【详解】已知外圈两个圆的圆心都为O ，令最外面圆半径为R ，花瓣所在圆半径为r ，对于A ：因为大圆与小圆内切且切点为D ，所以切点与两个圆心共线，即,,O C D 在同一条直线上，A 正确；对于B ：由两圆内切可知OC R r =-为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B 正确；对于C ：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以3603012AOB ︒∠==︒，C 正确；对于D ：由CA CB OC OC OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩得OAC OAB ≅△△，所以130152COB ∠=⨯︒=︒，又120ACB ∠=︒，所以()13601201202OCB ∠=︒-︒=︒，所以45OBC COB ∠=︒≠∠，所以OC BC ≠恒成立，D 错误，故选：D8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意首先根据对称性得出2122F PO F PO S S a ==△△，又OA a =，所以可依次求得12,PF PF ，又2OF c =，再由平方关系可得2AF b =，又122FF c =，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程()()()222422242a c a b a cc+-=⨯⨯，结合平方关系离心率公式运算即可求解.【详解】如图所示：2OA PF ⊥，垂足为点A ，由题意OA a =，又2OF c =，所以2AF b ==，21cos b PF F c∠=，又因为原点O 是12F F 的中点，所以212221222F PO F PO aPF OA PF S S a ⋅====△△，解得2124,2422PF a PF PF a a a a ==-=-=，又122FF c =，所以由余弦定理()()()22221422cos 242a c a b PF F a cc+-∠==⨯⨯，整理得2234a c ab +=，又222c a b =+，所以22440a b ab +-=，即2440b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b a =，从而所求离心率为e ==故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解，综合性比较强.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，若n C 为圆，则11n n a a a +==，求出q 得出结果；对于B ，n C 为等轴双曲线，求其离心率即可；对于C ，当01q <<时，曲线n C 是焦点在x 轴上的椭圆，求其离心率即可；对于D ，故曲线n C 为双曲线，求其渐近线方程.【详解】对于A ，首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线221:1n n n x y C a a ++=，若n C 为圆，则11n n a a a +==，所以221:0n C x y a +=>，所以1q =，即曲线n C 为圆心为()0,0A 正确；对于B ，当1q =-时，11(1)n n a a -=-，所以n a 与1n a +互为相反数且不为0，故221:1n n n x y C a a ++=为等轴双曲线，故曲线n C，故B 错误；对于C ，01q <<，数列为递减数列，10n n a a +<<，所以曲线221:1n n n x y C a a ++=焦点在x 轴上的椭圆，.=，故C 正确；对于D ，当0q <时，n a 与1n a +异号，故曲线221:1n n n x y C a a ++=为双曲线，其渐近线为2210n n x y a a ++=，即=y ，故D 错误.故选：AC .10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为4047【答案】BD 【解析】【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，10,0,01n a q a >><<，由于()()20232024110a a --<，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩或20242023011a a <<⎧⎨>⎩.若20242023011a a <<⎧⎨>⎩，则01q <<，则202212023011a qa <<⇒<矛盾，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩，则1q >，所以A 选项错误.()20232025220241a a a =>，B 选项正确.由于20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以n T 的最小值为2023T ，即2023n T T ≥，所以C 选项错误.()()()()40474047140472404620232025202420241T a a a a a a a a =⨯⋅⨯⋅⋅⨯⋅=> ，由于202320242a a +<，所以202320242a a +>>，所以202320241a a <⋅，所以()()20232023404614046202320241T a a a a =⨯=⨯<，由于1q >，且20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以当4046n ≤时，40461n T T ≤<，综上所述，使得1n T >的最小正整数n 为4047，所以D 选项正确.故选：BD11. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 为奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nnϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于32【答案】ACD 【解析】【分析】根据“欧拉函数()()*n n ϕ∈N ”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】n不超过正整数n ，且与n 互质的正整数()n ϕ21131,2241,3251,2,3,4461,5271,2,3,4,5,6681,3,5,7491,2,4,5,7,86101,3,7,94161,3,5,7,9,11,13,158271,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,2618A 选项，()()()4622410ϕϕϕ⋅=⨯==，A 选项正确.B 选项，()9691ϕ=≠-，B 选项错误.C 选项，由列表分析可知，对于2n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：不超过2n的奇数，则()12222n nn ϕ-==，则()112222n n n ϕ++==，()()1222n nϕϕ+=，所以(){}2nϕ 是等比数列，所以C 选项正确.D 选项，有列表分析可知，对于3n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：从1到3n中，除掉3的倍数，则()1333233nn nn ϕ-=-=⨯，则()()111221223233n n n n n ϕϕ---⎛⎫==⨯ ⎪⨯⎝⎭，12312231223nn -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⎪⎭= ⎝，所以()()23n n ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列，前n 项和为112123332323222323213nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以D 选项正确.故选：ACD12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D. 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的定义可判断A 项，联立直线AB 方程与抛物线方程求得1y 、2y ，进而可求得12AF y BFy =可判断B 项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C 项，设出点M 坐标，计算可得1MF AB k k ⨯=-，可得MF AB ⊥，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D 项.【详解】对于选项A ：如图所示，由抛物线定义可知，若AM AF =，则AM l ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：如图所示，当AM AF MF ==时，AMF 为正三角形，所以直线AB 的倾斜角为π3，设直线AB的方程为()()1122,,,,2p y x A x y B x y ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得220y y p --=，12,y y ==，所以123AF yBF y ==，故选项B 错误；对于选项C ：过点,A B 作直线垂直于l ，垂足分别为,A B ''，作AB 的中点N ，如图所示，由选项B 可知12,,,22p p A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，又因为M A M B ⊥，所以12MN AB =，由抛物线定义可知AB AF BF AA BB '=++'=，所以()12MN AA BB =+''，所以M 为A B ''的中点，所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：如图所示，设0,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MF 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则00122y yk p p p ==---，由B 项可知1212222121212222y y y y pk y y x x y y p p--===-+-，由选项C 可知1202y y y +=，所以21202p pk y y y ==+，所以01201y pk k p y =-⋅=-，所以MF AB ⊥，又因M A M B ⊥，所以AM BM MF AB ⋅=⋅，且2||MF AF BF =⋅，由基本不等式可得()2AM BM MF AB AF BF AF BF ⋅=⋅=+⋅⋅，当且仅当||||AF BF =时等号成立.故选项D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．【答案】222n n n a ++=【解析】【分析】将11n n a a n +=++变为11n n a a n +-=+，利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可知数列{}n a 中，12a =，11n n a a n +=++，故11n n a a n +-=+，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)(222)22322n n n n n -+=++=+=++++ ，为故答案为：222n n n a ++=14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.【答案】【解析】【分析】先求得直线l 所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线()():311420l m x m y m +++--=，即()3420x y m x y +-++-=，由34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==，设()1,1D ，由于()()221112525++-=<，所以D 在圆C 内，圆()()22:1225C x y ++-=的圆心为()1,2C -，半径=5r ，当CD AB ⊥时，AB 最短，CD ==，所以AB 的最小值为=.故答案为：15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m=，则k l-=_________【答案】400【解析】【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音频率为1a，所以(11nna a-=，故((1111,k lm a n a--==，因为m=，所以(31120022kk llmn--====，所以112003k l -=，解得400k l -=.故答案为：400.16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.【答案】y x =【解析】【分析】设()0,Mx y 是AB 的中点，先求得M 点的坐标，然后利用点差法求得b a，进而求得正确答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，依题意120,0y y >>，设AB 的中点为()000,,0M x y y >，由于22AF BF =，所以2⊥MF AB ，所以1212OM F F c ==，22OM c =，由于12y y +=，所以120425y y c y +==，所以035c x ==，所以34,55c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于()()1122,,,A x y B x y 在双曲线的渐近线上，所以22112222222200x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并化简得22012122121201AB OM MFy y y y y b k k a x x x x x k ⎛⎫+-=⋅=⋅=⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭，()2,0F c ，若34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则224184330535b c a cc ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-⋅-=- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭不符合题意，舍去.若34,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭，则224124330535b c a cc ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以b a =，所以渐近线方程为y x =.故答案为：y x =±【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是22AF BF =，则2F 在线段AB 的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.（1）求直线AC 方程：（2）求ABC 的面积.【答案】（1）60x y +-= （2）20【解析】【分析】（1）利用点斜式求得直线AC 的方程.（2）先求得,C B 两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，的直线60x y -+=的斜率为1，所以直线AC 的斜率为1-，所以直线AC 的方程为()33,60y x x y -=--+-=.【小问2详解】边AB 上中线CM 所在的直线方程为53140x y --=，由6053140x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2C .设(),B a b ，则33,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以60335314022a b a b -+=⎧⎪⎨++⨯-⨯-=⎪⎩，解得2026a b =⎧⎨=⎩，即()20,26B.AC ==B 到60x y +-==，所以三角形ABC的面积为1202=.的18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.【答案】（1）535n a n =-（2）n S 的最小值为105-，对应6n =或7【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a .（2）利用0n a ≤，求得n S 取得最小值时对应n 的值，进而求得n S 的最小值.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，4109015S a =-⎧⎨=⎩，114690915a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得130,5a d =-=，所以()3015535n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由5350n a n =-≤，解得*17,≤≤∈n n N ，所以当6n =或7n =时n S 取得最小值，且n S 的最小值为6161518075105S a d =+=-+=-.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*22N ,3nn a n ⋅∈=+（2）()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅【解析】【分析】（1）由题意直接由11a S =以及*2,N n n ≥∈时，1n n n a S S -=-即可求解.（2）发现数列{}n c 是“差比数列之积”的形式，所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.【小问1详解】由题意111132138a S +==+⨯-=，当*2,N n n ≥∈时，()()11323322523n n n n n n a S S n n +-=+-+-=-=⋅+-，当1n =时，也有118322a ⨯=+=成立，综上所述，数列{}n a 的通项公式为()*22N,3nn a n ⋅∈=+.【小问2详解】由（1）可知()*22N,3nn a n ⋅∈=+，所以由题意()()*23N 2n n nn a cn n -==⋅∈，所以1213233nn T n =⨯+⨯++⨯ ，231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()121131323333313n n n n n T n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅- ，所以数列{}n c 的前n 项和为()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为N ，设DN AB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24y x = （2）12λ≥【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线DN 的方程并与准线方程求得D ，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数λ的取值范围.【小问1详解】根据抛物线的定义有23,22pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】()1,0F ，抛物线准线为=1x -，依题意可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121212124,4,242y y m y y x x m y y m +==-+=++=+，()21212116y y x x ==，所以()221,2N m m +，由于DN 垂直平分AB ，所以直线DN 的方程为()23221,230y m m x m mx y m m -=---+--=，令=1x -得33230,24m y m m y m m -+--==+，则()31,24D m m -+，DN AB λ=，()()()22223222122222m m m DN x x p ABλ+++==++()()()()()()22222322222222222414144161m m m m m m m m ++++++==++()22111114444m m =+=+≥，所以12λ≥.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有的73m n b c ->成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明详见解析，11232n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭（2）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得数列{}2n a -是等比数列，先求得2n a -，进而求得n a .（2）利用二次函数的性质求得m b 的最小值，利用商比较法求得n c 的最大值，从而列不等式来求得λ的取值范围.【小问1详解】依题意，15a =，且122n n a a +=+，所以1112n n a a +=+，则()11121222n n n a a a +-=-=-，所以12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是首项为123a -=，公比为12的等比数列，所以111123,2322n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】1111244331323323n n n n n n a c n n n λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⨯= ⎪⎝⎭，依题意，0λ>，且对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，所以()()min max 73m n b c ->，()()222min ,3m m b m b λλ-+==，当3m =时取得最小值.12344,,33c c c λλλ===，当2n ≥时，()11223223121332n n n n c n n n n c n n n λλ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭==⨯=-+-，当2n =时，2143c c =，当3n ≥时，11n n c c -≤，所以()max 43n c λ=，则24733λλ->，解得73λ>或1λ<-（舍去），综上所述，λ的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题的关键点在于“转化”，将不等式恒成立问题，转化为()()min max 73m n b c ->来进行求解.要求数列的最大值，可以根据数列的单调性、函数的性质、商比较法等知识来进行求解.根据递推关系式求数列的通项公式，可考虑利用构造法来进行求解.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）0x y +-=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求,,a b c ，进而可得方程；（2）由题意结合面积关系分析可知：22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，可得23m P ⎫⎪⎪⎭，代入椭圆方程运算求解即可；（3）分别设切线方程求点,M N 的坐标，进而根据垂直关系整理可得21211⋅-=k k k ，结合直线与圆的位置关系可得121k k ⋅=，解方程分析判断即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为0c >，由题意可得：2c b ==，则a ==，所以椭圆方程为22184x y +=.【小问2详解】由题意可知：1222==-A A F ，可知点12,A F 到直线2A P 的距离之比122221=A A A h F h ，由题意可知：2211122222212212⋅===⋅△A PQ A F Ph PQ S A A PQ S A F A P h A P △，可得22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，且()2A，则23m P ⎫⎪⎪⎭，可得28499184m +=，解得m =(0,Q ，所以直线2A P1+=，即0x y +-=.【小问3详解】由题意可知切线KM KN ,的斜率存在且均不为0，且MKN ∠不是直角，设切线1:2=+KM y k x ，联立方程1222184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22111280k x k x ++=，解得0x =或121812=-+k x k ，当121812=-+k x k 时，2111221182421212⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭k k y k k k ，即2112211824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k M k k ，同理可设切线2:2=+KN y k x ，可得2222222824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k N k k ，则直线MN 的斜率2212221212121222122424121288121212---+++==-⋅-+++MNk k k k k k k k k k k k k ，不妨设MN PM ⊥，则121112112+⋅=⋅=--⋅MN k k k k k k k ，整理得21211⋅-=k k k ，设圆()()2221:20++=>F x y r r ，若过K 的直线20kx y -+=与圆1F2r ，整理得()2224840r k k r -++-=，可知12,k k 即为方程()2224840r k k r -++-=的两根，则121k k ⋅=，可得2111-=k ，即10k =，与题意相矛盾，所以不存在.【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．。

自贡高2025届高二上期12月月考数学试题（答案在最后）卷Ⅰ（选择题共0分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的）．1.直线10x y +-=的倾斜角是（）A.45°B.135°C.120°D.90°【答案】B 【解析】【分析】根据斜率即可求解倾斜角.【详解】由10x y +-=得1y x =-+，故斜率为1-，则倾斜角为135°，故选：B 2.双曲线2248xy -=-的渐近线方程为（）A.2y x =±B.12y x =±C.y =D.2y x =±【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程结论求解即可【详解】双曲线2248x y -=-的渐近线方程为2240x y -=，即12y x =±.故选：B3.已知点()2,1P -关于直线10x y -+=对称，则对称点的坐标为（）A.()0,1- B.()0,2- C.()1,1- D.()2,1-【答案】A 【解析】【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得.【详解】设对称点坐标(),Q a b ，由题意知直线QP 与1y x =+垂直，结合1y x =+的斜率为1，得直线QP 的斜率为-1，所以112ba-=---，化简得10a b ++=，①再由QP 的中点在直线1y x =+上，12122b a +-=+，化简得10a b --=，②联立①②，可得0,1a b ==-，所以对称点Q 的坐标为()0,1-.故选：A.4.圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=距离的最小值为（）A.36B.18C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断直线与圆的位置关系，则圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径为所求．【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为，圆心到直线x +y ﹣14＝0=，故圆上的点到直线的最小值是-=，故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，属于基础题．5.如图空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A.121232a b c -+ B.211322a b c-++C.111222a b c ++ D.221332a b c ++ 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】由题意可得：2121()3232MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=-++=-++-211211.322322OA OB OC a b =-++=-++故选：B.6.已知椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，其右焦点为F （4，0），过点F 的直线交椭圆与A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为（）A.2214536x y += B.221124x y +=C.221248x y += D.221189x y +=【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法求解即可．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆的方程可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减可得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．由12122,2x x y y +=+=-，1212y y x x -=-101143--=-，代入上式可得：222213a b -+⨯＝0，化为223a b =．又4c =，222c a b =-，联立解得2224,8a b ==．∴椭圆的方程为：221248x y +=．故选：C ．7.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A.若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥B.若,m n αβ⊂⊂，且//,//m n βα，则//αβC.若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥D.若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】【分析】在A 中α与β相交或平行；在B 中a 与β相交或平行；在C 中由线面垂直和面面垂直的性质定理得m n ⊥；在D 中m 与n 相交，平面或异面.【详解】由,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，知：在A 中，若,m a n β⊥⊂，且m n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若,m a n β⊂⊂，且//,//m n a β，则a 与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥则由线面垂直和面面垂直的性质定理得m n ⊥，故C 正确；在D 中，若//,//m n αβ，且//αβ，则m 与n 相交，平面或异面，故D 错误.故选：C【点睛】本题考查线面垂直和线线垂直及面面垂直的转化关系，考查概念辨析，属于基础题.8.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，若椭圆上存在点P ，使得线段1PF 被直线3y x =-垂直平分，则椭圆C 的离心率为（）A.12+ B.2C.1D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法、正弦定理，结合椭圆的定义、比例的性质、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设右焦点为2F，直线3y x =-交1PF 于A ，连接2,OP PF ，因为线段1PF被直线3y x =-垂直平分，所以12OF OP OF ==，1OA PF ⊥，所以12PF F △是以12F F 为斜边的直角三角形，由直线3y x =-的方程可知该直线的斜率为3-，所以该直线的倾斜角为5π6，即212215πππ636AOF PF F PF F ∠=⇒∠=⇒∠=，在12PF F △中，由正弦定理可知：21121221212121212121sin sin sin sin sin sin F F PF F P PF F P F F F PF PF F F F P PF F F F PF PF +==⇒=∠∠∠∠+∠∠πsin 22221πππππ213sin sin sin sin sin 6326322ac c e a ⇒=⇒=⇒=++，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理和比例的性质以及运用直角三角形的判定方法.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不选或错选得0分，少选得2分．）9.圆M ：22430x y x +-+=，则下列说法正确的是（）A.点()3,2在圆内B.圆M 关于直线240x y +-=对称C.圆M 的半径为2D.直线0x +=与圆M 相切【答案】BD 【解析】【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切.【详解】将圆M ：22430x y x +-+=化成标准方程：22(2)1,x y -+=知圆心坐标为(2,0),M 圆的半径为1.A 项中，由点()3,2到圆心的距离：1d ==>知点()3,2在圆外，A 项错误；B 项中，因圆心(2,0)M 在直线240x y +-=上，而圆是轴对称图形，故圆M 关于直线240x y +-=对称，B 项正确；C 项中，显然错误，C 项错误；D 项中，由圆心(2,0)M 到直线0x +=的距离为：1d ==知直线0x +=与圆M 相切，D 项正确.故选：BD.10.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别在1,A D AC 上，且1121,33A E A D AF AC ==，则正确的选项为（）A.EF 至多与1,A D AC 之一垂直B.1,EF A D EF AC ⊥⊥C.EF 与1BD 相交D.EF 与1BD 平行【答案】BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.【详解】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为3，则()()()()()()()()111,0,1,2,1,0,3,0,3,3,0,0,0,3,0,0,0,0,3,3,0,0,0,3E F A A C D B D ；1(1,1,1),(3,3,0),(3,0,3)EF AC A D ∴=-=-=--，10,0EF AC EF A D ⋅=⋅=，1,EF AC EF A D ∴⊥⊥，B 正确，A 错误；由111(3,3,3),3BD EF BD =--=-，故D 正确，C 错误．故选：BD.11.若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若C 为椭圆，则13t <<，且2t ≠B.若C 为双曲线，则3t >或1t <C.若2t =，则曲线C 表示圆D.若C 为双曲线，则焦距为定值【答案】ABC 【解析】【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案.【详解】A ：C 为椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得13t <<，且2t ≠，正确；B ：C 为双曲线，则(3)(1)0t t --<，可得3t >或1t <，正确；C ：2t =时，方程为221x y +=，即曲线C 表示圆，正确；D ：若C 为双曲线，则242,13124,3t t c t t t t -<⎧=-+-=⎨->⎩，显然焦距不为定值，错误.故选：ABC12.已知曲线:C 22221)(1)6x y x y +++-+=(，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，()1,1M -，P 为曲线C 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.12PF F △的周长为6B.12PF F △的面积的最大值为C.存在点P ，使得12PF PF ⊥D.1PM PF +的最大值为7【答案】BD 【解析】【分析】先利用椭圆的定义求得曲线C 的标准方程，再利用椭圆的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为曲线:C 6=，1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以121262PF PF F F +=>=，所以曲线C 是椭圆，其中3,1a c ==，则2228b a c =-=，所以曲线C 的标准方程为22:198x y C +=，对于A ，12PF F △的周长为1212628PF PF F F ++=+=，故A 错误；对于B ，当P 为椭圆短轴顶点时，点P 到边12F F 的距离最大，则12PF F △的面积最大，则12PF F △最大面积122S =⨯=B 正确；对于C ，当P 为椭圆短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时222222121212123327cos 022339PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===>⨯⨯，即12F PF ∠为锐角，所以不存在点P 使得12PF PF ⊥，故C 错误；对于D ，如图，()21,0F ，()1,1M -，所以21MF ==，所以12226667PM PF PM PF PM PF MF +=+-=+-≤+=，当且仅当P 在2MF 的延长线上时，等号成立，故D 正确．故选：BD.卷Ⅱ（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小巫5分，共20分把答案填在题中横线上）．13.已知两条直线20ax y --=和()210a x y +-+=互相垂直，则a 等于________．【答案】1-【解析】【分析】根据两直线垂直的结论求解即可.【详解】由题意得，()()()2110a a ++-⨯-=，解得1a =-.故答案为：1-.14.已知双曲线22221x y a b-=的离心率54e =，实半轴长为4，则双曲线的方程为__________.【答案】221169x y -=【解析】【分析】由离心率求出c ，再由222c a b =+求出b 可得双曲线方程．【详解】由已知可得222544c a a c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,即得3b =,所以双曲线方程为:221169x y -＝.故答案为:221169x y -=.15.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为______．【答案】()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=【解析】【分析】由题意可得所求的圆的方程为()()222x a y a a -+-=，0a >，再把点()1,2代入，求得a 的值，得出答案.【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，0a >，则半径为a .故圆的方程为()()222x a y a a -+-=，再将点()1,2代入，得2650a a -+=，求得5a =或1故要求的圆的方程为()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=．故答案为：()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=．16.如图，在坡面α与水平面β所成二面角为60︒的山坡上，有段直线型道路AB 与坡脚l 成30︒的角，这段路直通山顶A ，已知此山高米，若小李从B 沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶A 需要的时间是_____分钟.【答案】18【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理推得AC ⊥直线l ，从而在Rt AOC 与Rt ABC △中求得AB ，由此求得小李到达山顶所需时间.【详解】过点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OC ⊥直线l ，垂足为C ，连接AC ，如图，.因为AO ⊥平面β，l β⊂，所以l AO ⊥，又l OC ⊥，,,AO OC O AO OC ⋂=⊂面AOC ，所以l ⊥面AOC ，又AC ⊂面AOC ，所以AC ⊥直线l ，由题意可知60ACO ∠=︒，AO =，所以在Rt AOC 中，1353270sin sin 60AO AC ACO ===∠︒，在Rt ABC △，30ABC ∠=︒，所以2540AB AC ==，因为小李行进速度为每分钟30米，所以他到达山顶A 需要的时间是5403018÷=（分钟）.故答案为：18.四、解管题：（本大题共6小题70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17.已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P（1）求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（2）在（1）的条件下，若直线1l 与圆222x y +=交于A B 、两点，求直线与圆截得的弦长||AB 【答案】（1）3470x y +-=（2）25【解析】【分析】（1）先求出交点坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解；（2）利用垂径定理求解弦长.【小问1详解】由21012101x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以()1,1P ，令1:340l x y m ++=，将(1,1)P 代入得：1:3470l x y +-=.【小问2详解】圆心(0,0)O 到直线1:3470l x y +-=的距离75d =，所以25AB =18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA AC BC ===，D ，E 分别为1CC ，1A B 的中点．（1）证明：//ED 平面ABC ；（2）求直线1CC 与平面1A BD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,1D ，()0,2,0B ，()12,0,2A ，()1,1,1E ，()10,0,2C ，所以()1,1,0DE = ，因为111ABC A B C -是直棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，因此平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，所以0DE n ⋅=uuu r r ，即DE n ⊥ ，又ED ⊄平面ABC ，所以//ED 平面ABC ；【小问2详解】因为()10,0,2CC = ，()0,2,1BD =- ，()12,2,2BA =- ，设平面1A BD 的法向量为(),,m x y z = ，则1202220m BD y z m BA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2z =，得()1,1,2m =- ，设直线1CC 与平面1A BD 所成角为θ，则11sin 3m CC m CC θ⋅===⋅ ，所以cos 3===θ.19.已知圆C 的方程22240x y x y m +-+-=.（1）若点(),2A m -在圆C 的内部，求m 的取值范围；（2）4m =时，设(),P x y 为圆C 上的一个动点，求22(4)(2)x y -+-的最小值.【答案】（1）14-<<m （2）4【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程可得5m -<,再根据点(),2A m -在圆C 的内部，可得()()221225m m -+-+<+，由此求得m 的范围，（2）()()2242x y -+-表示圆C 上的点(),P x y 到点()4,2H 的距离的平方，继而可得5HC =，求出最小值.【小问1详解】解：圆C 的方程即()()22125x y m -++=+，所以5m -<，再根据点(),2A m -在圆C 的内部，可得()()221225m m -+-+<+，求得14-<<m .【小问2详解】当4m =时，圆C 的方程即()()2212549x y -++=+=，而()()2242x y -+-表示圆C 上的点(),P x y 到点()4,2H 的距离的平方，由于()()2241225HC =-++=，故()()2242x y -+-的最小值为()2534-=.20.已知两定点())122,0,2,0F F ，满足条件212PF PF -= 的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两个不同的点．（1）求曲线E 的方程；（2）求实数k 的取值范围；【答案】（1）221(0)x y x -=<（2）()2,1--【解析】【分析】（1）首先根据曲线的定义判断出曲线E 是双曲线的左支，a 和c 已知，则可求得b ，曲线E 的方程可得；（2）设出A ，B 的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y ，进而根据直线与双曲线左支交于两点A ，B ，联立不等式求得k 的范围；【小问1详解】由双曲线的定义可知，曲线E 是以12(2,0),2,0)F F -为焦点的双曲线的左支，且1c a ==，则1b ==，故曲线E 的方程为221(0)x y x -=<．【小问2详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意建立方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩，消去y ，得22(12)20k x kx --=+，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有22212212210Δ(2)8(1)0201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩，解得1k <<-．所以k的取值范围是()1-．21.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且2AD DC AC ==，四边形ACEF 是矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，且AF AD =.（1）求证：AD ⊥平面EDC ；（2）求平面BEF 与平面CDE 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）根据题意，利用面面垂直的性质定理，证得EC ⊥平面ABCD ，得到EC AD ⊥，再由勾股定理，证得AD DC ⊥，结合线面垂直的判定定理，即可得证；（2）以A 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面EDC 和平面BEF 的法向量(0,1,0)m = 和()1,1,1n =- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，且EC AC ⊥，EC ⊂平面ACEF ，所以EC ⊥平面ABCD ，又因为AD ⊂平面ABCD ，所以EC AD ⊥，因为2AD DC AC ==，可22222))22AD DC AC AC AC +=+=，所以AD DC ⊥，又因为EC DC C = ，且,EC DC ⊂平面EDC ，所以AD ⊥平面EDC .【小问2详解】解：因为//AF CE 且EC ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ，以A 点为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设AC =，则1AD DC AF ===，可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，()0,0,1F ，则()0,1,1BE = ，()1,0,1BF =- 由（1）知，AD ⊥平面EDC所以平面EDC 的一个法向量为(0,1,0)m AD ==，设平面BEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BE y z n BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以()1,1,1n =-，设所求的锐二面角为θ，则cos 3m n m n θ⋅===- ，又因为平面BEF 与平面CDE 所成夹角为锐角，所以平面BEF 与平面CDE所成夹角的余弦值为3.22.已知C 为圆()22112x y ++=的圆心，P 是圆C 上的动点，点()1,0M ，若线段MP 的中垂线与CP 相交于Q 点．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程；（2）过点()1,0的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于A ，B 两点，且与圆O ：222x y +=相交于E ，F 两点，求2AB EF ⋅的取值范围．【答案】（1）22132x y +=；（2）163,1633⎡⎢⎣．【解析】【分析】（1）由线段MP 的垂直平分线，得到3QC QM +=，结合椭圆的定义，即可求解；（2）①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，分别求得2AB EF ⋅；②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，结合弦长公式，求得AB 和2EF ，进而求得2AB EF ⋅的值.【小问1详解】解：由线段MP 的垂直平分线，可得232CP QC QP QC QM CM =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，M 为焦点，焦距为2，长轴长为23所以3a =1c =，则222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知，椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则1,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1E ，()1,1F -，所以3AB =，24EF =，23AB EF ⋅=．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2222236360k x k x k +-+-=，则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+，所以)22123k AB k +==+，因为圆心()0,0O 到直线l 的距离d =所以()22222424211k k EF k k +⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222221422222312333k k k k AB EF k k k k ++++⋅=⋅==⋅++++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为[)20,k ∈+∞，所以23AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上可得，23AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．。

2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a=−，则公比q =（ ）A. 2B. 4−C. 4D. 2−【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意33418,2a a q q q ===−=−. 故选：D2. 已知过(,2),(,1)A m B m m −−两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（ ）A. 2B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用倾斜角求出1m =，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，12tan 451m m m−−=°=−−， 解得1m =，故(1,2),(1,0)A B −，则,A B 故选：C3. 直线320x my m +−=平分圆C ：22220x x y y ++−=，则m =（ ）A.32B. 1C. -1D. -3【答案】D 【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220x x y y ++−=变形为()()22112x y ++−=，故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320x my m +−=上，故320m m −+−=，解得3m =−.故选：D4. 设双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为2，焦距为 ）A. y =B. 2y x =±C. y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到1b =，c =a =.【详解】由题意得22b =，2c =1b =，c =故a故双曲线渐近线方程为b y x x a=±. 故选：C5. 椭圆22192x y +=中以点()21M ，为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. 49−B.12C.D. −【答案】A 【解析】【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11A x y ，，()22B x y ，，代入椭圆得22112222192192x y x y += += ， 两式相减得()()()()12121212092x x x x y y y y −+−++=，即()()()()1212121292x x x x y y y y −+−+=−，即()()1212121229x x y y y y x x +−−=+−， 即12122492y y x x −×−=×−， 即121249y y x x −=−−，∴弦所在的直线的斜率为49−， 故选:A ．6. 已知()1,0F c −，()2,0F c 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设点P .【详解】设()00,P x y ，则()22002210x ya b a b +=>>，∴2220021x y b a=−， 由212PF PF c ⋅=，∴()()20000,,c x y c x y c −−−⋅−−=， 化为2222x c y c −+=，∴22220212x x b c a+−=， 整理得()2222023a x c a c=−， ∵220x a ≤≤，∴()2222203a c a a c≤−≤，e ≤≤，故选：B7. 过动点(),P a b （0a ≠）作圆C：(223x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=°，则ba的取值范围是（ ）A.B.C. , −∞+∞D.(),−∞∪+∞【答案】D 【解析】【分析】求出PC =，确定动点(),P a b 的轨迹方程，从而结合ba表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆C：(223x y +−=因为A ，B 分别为两条切线PA ，PB 的切点，且60APB ∠=°，则30APC BPC ∠=∠=°，所以2PC AC ==，所以动点(),P a b在圆(2212x y +−=上且0a ≠，b a表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率， 设bk a=，则直线y kx =与圆(2212x y +−=有公共点，≤，解得k ≤k ≥，即ba的取值范围是(),−∞∪+∞， 故选：D8. 已知数列{}n a 满足()2123111N 23n a a a n n na n +++++=+∈ ，设数列{}nb 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A. 1,4+∞B. 1,4+∞C. 3,8∞+D. 38 +∞,【答案】D 【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n++++=+ ，① 当2n ≥时，()2123111111231n n a a a a n n −++++−−=+− ，②①−②得，12n a n n=，故22n a n =， 则()()2222121211114411n n n n n b a a n n n n +++===− ++， 则()()22222211111111114223411n T n n n=−+−++−=− ++，由于()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，故()2111411nn n λ −< ++， 整理得：()21144441n n n λ+>=+++，因()11441n ++随n 的增加而减小， 所以当1n =时，()11441n ++最大，且38， 即38λ>. 故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）为9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1 C. 过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 已知点()1,2P，向量()m =，过点P 作以向量m为方向向量的直线为l ，则点()3,1A 到直线l的距离为1【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A 正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B 正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C 错误；根据题意，求得直线l 的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令0x =，可得=2y −，令0y =，可得2x =，则直线20x y −−=与两坐标轴围成三角形的面积12222S =××=，所以A 正确； 对于B 中，设()0,2关于直线1y x =+对称点坐标为(),m n ，则212122n mn m − =−+ =+ ，解得1,1m n ==，所以B 正确； 对于C 中，直线的两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，所以C 错误；对于D中，以向量()m =为方向向量的直线l的斜率k =，则过点P 的直线l的方程为)12y x −+，即10x +−−=， 则点()3,1A 到直线l的距离1d −，所以D 正确． 故选：ABD ．的10. 已知椭圆221259x y +=上一点P ，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，则（ ）A. 若点P 的横坐标为2，则1325PF = B. 1PF 的最大值为9C. 若12F PF ∠为直角，则12PF F △的面积为9D. 若12F PF ∠为钝角，则点P的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离； 对B ，1PF 最大值为a c +对C ，设1PF x =，则210PF x =-，列勾股定理等式，可求面积；对D ，所求点P 在以原点为圆心，4c =为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为5a=，半焦距为4=c ，∴()()124,0,4,0F F −对A ，2x =时，代入椭圆方程得，=，1175PF ==，A 错； 对B ，1PF 的最大值为9a c +=，B 对；对C ，12F PF ∠为直角，设1PF x =，则210PF x =-，则有()222210810180x x x x +-=⇒-+=，则12PF F △的面积为()11810922x x −==，C 对； 对D ，以原点为圆心，4c =为半径作圆，则12F F 为圆的直径，则点P 在圆内时，12F PF ∠为钝角，联立2222125916x y x y += +=，消y得x =，故点P的横坐标的取值范围为 ，D 对. 故选：BCD11. 已知数列{}n a 满足12a =，12,2,n n na n a a n ++ = 为奇数，为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（ ）A. 520a =B. 32nn b =×C. 12632n n T n +=−−+×D. 2261232n n S n +=−−+×【答案】ACD 【解析】【分析】分析1n a +与n a 的递推关系，根据数列{}n a 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得2,n n T S .【详解】依题意，2132435424,28,210,220a a a a a a a a =+====+===，A 选项正确. 112432b a ==≠×，所以B 选项错误.当n 为偶数时，2111222n n n n a a a a ++++==+=+，所以()2222n n a a ++=+，而226a +=，所以1122262,622nn nn a a −−+=×=×−，所以12242662622nn nT a a a n − ++++×++×−()16122263212n n n n +−=−=−−+×−，所以C 选项正确.当n 为奇数时，()211122224n n n n n a a a a a ++++++，所以()2424n n a a ++=+，而146a =，所以11122462,624n n nn a a +−−+=×=×−，所以1213521662624n n a a a a n −−+++++×++×−()16124463212n n n n +−=−=−−+×−，所以()()11224632263261232n n n n S n n n +++=−−+×+−−+×=−−+×，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如()11n n a pa q p +=+≠的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为()1n n a p a λλ++=+的形式，再结合等比数列的知识来求得n a .求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+．已知椭圆C，点A ，B 均在椭圆C 上，直线:40l bx ay +−=，则下列描述正确的为（ ） A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则01b <<D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为a ，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去a 可判断A ，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B ，分析可得点Q 应在蒙日圆外，解不等式从而判断C ，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.【详解】由离心率c e a ==，且222a b c =+可得223a b ， 所以蒙日圆方程2224x y b +=； 对于A ，由于原点O 到蒙日圆上任意一点的距离为2b ，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a ，所以椭圆C 上的点A 与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2b −，即A 错误；对于B ，由蒙日圆定义可知：直线:40l bx ay +−=与蒙日圆2224x y b +=相切， 则圆心到直线l422b b=，解得1b =； 所以椭圆C 的方程为2213x y +=，即B 正确；对于C ，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为π0,2，若若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，可知点Q 应在蒙日圆外，所以此时直线l 与蒙日圆2224x y b +=422b b >，解得11b −<<， 又0a b >>，所以可得01b <<，即C 正确.对于D ，易知椭圆C 的方程为2213x y +=，即2233x y +=，蒙日圆方程为224x y +=， 不妨设()0,Mx y ，因为其在蒙日圆上，所以22004xy +=，设()()1122,,,A x y B x y ，又MA MB ⊥，所以可知,MA MB 与椭圆相切，此时可得直线MA 的方程为1133x x y y +=，同理直线MB 的方程为2233x x y y +=； 将()00,M x y 代入,MA MB 直线方程中可得101020203333x x y y x x y x +=+= ，所以直线AB 的方程即为0033x x y y +=， 联立00223333x x y y x y +=+=，消去y 整理可得()2222000036990x y x x x y +−+−=； 由韦达定理可得200121222220000699,33x y x x x x x y x y −+==++, 所以()20202122y AB y +=+， 原点O 到直线AB的距离为d，因此AOB 的面积()2020********AOBy S AB d y +=⋅=×=+333222==≤=；，即201y =时等号成立， 因此AOBD 正确； 故选：BCD的【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）13. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =_________. 【答案】55 【解析】【分析】根据下标和性质求出6a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列{}n a 中7825a a =+，又7862a a a =+，所以65a =， 所以()111611611112115522a a a S a +×====. 故答案为：5514. 已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为_____【解析】【分析】首先求12,PF PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．【详解】因为12||||26PF PF a +==，12||2||PF PF =，所以12||4,||2PF PF ==， 212954,||24c F F c −====，则121||||4F F PF ==，等腰12PF F △边2PF 上的高h =，所以12122PF F S =×= ，设22PF F 的内切圆半径为r ，则121211(||||||)1022PF PF F F r r ++×=××=所以r =15. 已知圆M经过((()2,,1,0,A C B −．若点()3,2P ，点Q 是圆M 上的一个动点，则MQ PQ ⋅的最小值为__________．【答案】4−【解析】【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆经过(2,A，(B ，()1,0C −，所以有72072010D F D F D F ++=++=−+=，解得203D E F =− = =− ， 所以圆M 的一般方程为22230x y x +−−=，即标准方程为()2214x y −+=. 则圆M 的圆心()1,0M ，半径2==r MQ ，且=MP，因为()2424 ⋅=⋅−=−⋅≥−×=−MQ PQ MQ MQ MP MQ MQ MP ，当且仅当MQ 与MP同向时，等号成立，所以MQ PQ ⋅的最小值为4−.故答案为：4−.16. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为30 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.【详解】依题意，由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=， 得22220F P F Q QP F P F Q+⋅=，即2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直， 如图，设2PF Q ∠的平分线2F D 与直线PQ 交于点D ，则22PF D QF D ∠=∠，2290F DP F DQ ∠=∠= ，又22DF DF =， 所以22PDF QDF ≌△△2QF ．由题得()1,0F c −，()2,0F c ，设2DF h =，2QF s =，1PF t =，在12Rt DF F △中，1290F DF ∠=，1230DF F ∠=，则h c =，1DF =，由双曲线的性质可得122122QF QF PQ t s a PF PF s t a −=+−=−=−= ，解得4PQ a =，则2PDQD a ==，所以在2Rt QDF△中，s=又12t DF PD a =−=−，2s t a −=)22a a −−=，，整理得222ac =，所以cea==四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 满足：122,4a a ==，数列{}n a n −为等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12nn S a a a =++⋅⋅⋅+． 【答案】（1）12n n −+ （2）2112122n n n ++− 【解析】【分析】（1）首先求出11a −，22a −，即可求出等比数列{}n a n −的通项公式，从而求出{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】因为12a =，24a =，数列{}n a n −为等比数列，所以111a −=，222a −=2=，即{}n a n −是以1为首项，2为公比等比数列， 所以12n n a n −−=，则12n n a n −=+. 【小问2详解】12n n S a a a =++⋅⋅⋅+01211222322n n −=++++++++()()01211232222n n −=+++++++++()2112112121222n n n n n n +−=+=++−−. 18. 已知圆()()22:121M x y ++−=，直线l 过原点()0,0O ． （1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．的【答案】（1）0x =或34y x =− （2）y x =−或7y x =−．【解析】【分析】（1）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线l 的方程.（2）设出直线l 的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形PQM 面积的表达式，结合二次函数的性质求得MPQ 的面积最大时直线l 的方程. 【小问1详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为y kx =，圆M 的圆心坐标()1,2-，圆心到直线的距离d由题意得：直线l 与圆M1，解得：34k =−，所以直线l 的方程为：34y x =−， 综上所述，直线l 的方程为：0x =或34y x =− 【小问2详解】直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =与圆相切，不符合题意，故直线l 斜率必存在， 设直线l 的方程为：y mx =， 圆心到直线的距离d，弦长PQ ==，所以12PQM S PQ d =⋅⋅=△当212d =时，面积S 最大，12=，整理得2870m m ++=，解得7m =−，或1m =−，所以直线l 的方程：y x =−或7y x =−．19.如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k −−=．（1）证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标； （2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；（3）若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为(2,； （2170y +−=； （3）2100x −=． 【解析】【分析】（1）整理得到(2))0k x y −+−=，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S =得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到12P P k =由对称性得PK k =写成直线方程. 【小问1详解】直线:(20l k x y k +−−=可化为(2))0k x y −+−=，令200x y −= −=，解得2x y = = l经过的定点坐标为(2,；【小问2详解】因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12ABAC BC ===， 由题意得直线AB方程为y =，故直线l经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM ==，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =××，所以3||||94AD AC ==， 设00(,)D x y ，所以34AD AC = ，即003(6,(6,4x y −−=−，所以0212x =，0y =D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =， 所以直线l 170y+−=； 【小问3详解】设P 关于BC 的对称点1(2,P −，关于AC 的对称点2(,)P m n ， 直线AC12612x −=−，即)12y x −，直线AC的方程为12)y x −，所以(12122m =−+ =− ，解得14,m n ==2P ， 由题意得12,,,P K I P四点共线，12P P k =PK k =， 所以入射光线PK的直线方程为2)y x −−，即2100x +−=．20.已知两定点()()12,2,0F F ，满足条件212PF PF −=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =−与曲线E 交于A ，B （1）求曲线E 的方程； （2）求实数k 的取值范围；（3）若||AB =AB 的方程． 【答案】20. ()2210x y x −=<21. ()1−22.10x y ++= 【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为()2210x y x −=<；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解k 的取值范围； （3）由AB =，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于k 的方程，解方程即可得结果. 【小问1详解】由双曲线定义可知，曲线E是以()1F，)2F为焦点的双曲线的左支，且c =由2122PF PF a −==，所以1a =，1b ，所以曲线E 的方程为()2210x y x −=<.故曲线E 的方程为：()2210x y x −=<.【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意联立方程组2211x y y kx −= =− ，消去y 得()221220k x kx −+−=， 又因为直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k −≠ ∆=+−> − +=< −− => −，解得1k <<−. 故k的取值范围为()1−. 【小问3详解】因为2AB x =−====，整理化简得422855250k k −+=，解得257k =或254k =， 因为1k<<−，所以k =AB 10x y ++=. 故直线AB 10x y ++=. 的【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=−，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. （1）证明2n n a为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n+的前n 项和为n T ；（3）求使不等式1321111111n m b b b −+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥n 都成立的最大实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；(1)2nn a n =+⋅ （2）188(4)4339n n T n =+⋅− （3【解析】【分析】（1）根据数列递推式可得122nn n a a −−=，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案； （3）将原不等式化为()111111321n+++≥ −调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】当1n =时，11124a S a ==−，则14a =， 当2n ≥时，11,22nn n n n n a S S a a −−∴=−−=，即11122n n n n a a −−−=，即2n n a 是以122a =为首项，公差为1的等差数列， 故(1,22)1n n n n a n a n =++⋅∴= 【小问2详解】由（1）可得2(1)41n n a n n =+⋅+， 故22434(1)4n n T n =×+×+++⋅ ，故231424344(1)4n n n T n n +=×+×++⋅++⋅ ，则231324444(1)4n n n T n +−=×++++−+⋅14(14)884(1)4(4)41433n n n n n +−=+−+⋅=−+⋅−， 故188(4)4339n n T n =+⋅−； 【小问3详解】22log log 21n n n a b n n ===+，则1321111111n m b b b − +⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥即()111111321n+++≥ −即11321n m −≤对任意正整数n 都成立，令()11111?·1321n f n +++−=则()111111?·11321211n n f n  ++++−++故()()11f n f n +=>， 即(),N f n n +∈随着n 的增大而增大，故()()1f n f ≥m ≤， 即实数m【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得111111321n m +++−≤ 对任意正整数n 都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0M 的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴的交点为E ，求ABE 的面积的最大值． 【答案】（1）22143x y += （2【解析】【分析】（1）根据题意得到22212226c a a c a b c = +==+，再解方程组即可. （2）首先设出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点,B D 关于x 轴对称、,,A E D 三点共线得到()1,0E ，从而得到ABES = ，再利用换元法求解最值即可. 【小问1详解】由题知：2221222261c a a a c b a b c c == +=⇒ =+=， 所以椭圆22:143x y C += 【小问2详解】如图所示：设直线():40l x ty t =+≠，()()1122,,,A x y B x y . ()222243424360143x ty t y ty x y =+ ⇒+++= += . ()()2224434360t t ∆−+×>，解得24t >.1222434t y y t −+=+，1223634y y t =+. 因为点,B D 关于x 轴对称，所以()22,D x y −. 设()0,0E x ，因为,,A E D 三点共线，所以AE DE k k =. 即121020y y x x x x −=−−，即()()120210y x x y x x −=−−. 解得()()()12211212122101212124424y ty y ty ty y y y y x y x x y y y y y y ++++++===+++ 2364124t t×=−+=. 所以点()1,0E 为定点，3EM =.1212ABE AME BME S S S EM y y =−=⋅−=令0m =>，则()22181818163163443ABE m m S m m m m===≤++++△ 当且仅当163m m =，即m =时取等号. 所以ABE。

2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题一、填空题1．已知等比数列}{n a 中，12452,16a a a a +=+=，则}{n a 的公比为__．【正确答案】2【分析】设公比为q ，再根据题意作商即可得解.【详解】设公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =.故答案为.22．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于___________.【正确答案】48【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可【详解】因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为12448⨯=，故483．直线0mx y -=与直线220x my --=平行，则m 的值是__________．【正确答案】【分析】利用直线的平行条件即得.【详解】∵直线0mx y -=与直线220x my --=平行，∴122m m -=≠--，∴m =.故答案为.m =4．经过两直线2x +y -1=0与x -y -2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________．【正确答案】x +y =0或x -y -2=0【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.【详解】解：联立两直线方程可得：21020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，可得两条直线交点P （1，-1）．①直线经过原点时，可得直线方程为y =-x ；②直线不经过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，把交点P （1，-1）代入可得111a a-+=-，解得a =2．所以直线的方程为x -y-2=0．综上直线方程为：x +y =0或x -y -2=0．故x +y =0或x -y -2=0．5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由22r l πππ==，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以22r l πππ==，解得1r =，所以h =所以圆锥的体积为：1133V Sh π==⨯⨯故该几何体的体积为3，故36．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，空间一点Р到平面α、β和棱l 的距离分别为4和l αβ--的大小为_______________.【正确答案】75 或15【分析】分点P 在二面角l αβ--的内部和外部，利用二面角的定义求解.【详解】当点P 在二面角l αβ--的内部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453075ACB BCP ACP ∠=∠+∠=+= ；当点P 在二面角l αβ--的外部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以所以2212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453015ACB BCP ACP ∠=∠-∠=-= .故75 或157．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．【正确答案】39π【分析】由圆台的体积公式代入求解即可.【详解】由题意知，122,5,3r r h ===，则()()22121211ππ42510339π33V r r r r h =++⨯=++⨯=.故答案为.39π8．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 平行；③CN 与BM 成60 角④DM 与BN 垂直，请写出正确结论的个数为__个．【正确答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断.【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得BM 与ED 是异面直线，故①正确；CN 与BE 平行，故②正确；连接EM ，则BEM △为等边三角形，所以BE 与BM 所成角为60︒，因为//CN BE ，所以CN 与BM 成60︒角，故③正确；对于④，连接CN ，BC ⊥平面CDNM ，DM ⊂平面CDNM ，所以BC DM ⊥，又DM CN ⊥，,,CN BC C CN BC ⋂=⊂面BCN ，所以DM ⊥平面BCN ，BN ⊂平面BCN ，所以DM BN ⊥，故④正确.所以正确结论的个数是4个.故49．若圆222:()0O x y r r +=>上恰有相异两点到直线40x y --=，则r 的取值范围是__．【正确答案】【分析】计算圆心到直线的距离为||d r -.【详解】圆心(0,0)到直线40x y --=的距离d =，因为圆上恰有相异两点到直线40x y --=，所以||d r -即||r r <<故10．过点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.【正确答案】2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程.【详解】设点1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，则OB 为原点O 到直线l 的距离，在直角三角形AOB 中，OA 为斜边，所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，而1212OA k -==-，所以12l k =，所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得：2450x y --=本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.11．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．15【分析】将四边形面积的最小时，等价于圆心C 到直线34130x y ++=的距离最小，求出最小距离，进而利用三角形面积公式求出最小面积.【详解】解：由题意知，A ，B 是切点，是圆心()1,1C ，且圆的半径为1所以221PB PA PC ==-四边形PACB 面积为：221212S PB r PC =⨯⋅=-所以当PC 取最小值时，S 取最小值由点P 在直线上运动可知，当PC 与直线34130x y ++=垂直时PC 取最小值此时PC 为圆心C 到直线34130x y ++=的距离即22314113434PC ⨯+⨯+==+故四边形PACB 最小面积为：224115S =-=故答案为关键点睛：本题的关键是将面积的最值转化为点到直线上点的距离的最值，进而转化为点到直线的距离.12．我们将函数图象绕原点逆时针旋转()02θθπ≤≤后仍为函数图象的函数称为JP 函数，θ为其旋转角，若函数0y x =≤≤⎭为JP 函数，则其旋转角θ所有可取值的集合为___________【正确答案】2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】由解析式可知原函数图象为圆弧AB ，根据函数的定义可知若旋转后不再是函数，则必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，通过图形进行分析可得结果.【详解】02y x =≤≤⎭为如图所示的一段圆弧AB ，其所对圆心角6AOB π∠=，若该函数图象绕原点逆时针旋转θ后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，由图象可知：若6COD π∠=，则当A 点自C 向D 运动（不包含,C D ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若6EOF π∠=，则当A 点自E 向F 运动（不包含,E F ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时35,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴若函数02y x ⎫=≤≤⎪⎪⎭为JP 函数，其旋转角()02θθπ≤≤所有可能值的集合为.2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为.2350,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦13．设10x y -+=，求d =__．【正确答案】【分析】根据d 的表达式可知，其几何意义表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，根据“将军饮马”模型求解即可.【详解】根据题意可得d =，表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，点A 关于直线10x y -+=的对称点为(),C a b ，则满足513351022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩解得4,2a b ==-；所以点A 关于直线10x y -+=的对称点为()4,2C -，如下图所示：则PA PB PB PC BC+=+≥所以()min PA PB BC +==.故14．若,x y R ∈___________.【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为PA QB PQ =++，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，则()min PA QB PQ A B ''++=，最后利用两点间的距离公式即可求得结果.根据两点间的距离公式可知，表示点(),0P x 到点()1,1A 的距离，表示点()0,Q y 到点()1,2B 的距离，表示点(),0P x 到点()0,Q y 的距离，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，PA QB PQ =++，如图，作A 关于x 轴的对称点()1,1A '-，B 关于y 轴的对称点()1,2B '-，的最小值，则需求PA QB PQ ++的最小值，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，即()min PA QB PQ A B ''++==，故答案为二、单选题15．设29n a n =-，则当数列{an }的前n 项和取得最小值时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6【正确答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即()2902190n n -≤⎧⎨+-≥⎩，解得7922n ≤≤，因为n N *∈,故4n =.故选：A.16．已知三条不同的直线a ，b ，c ，两个不同的平面α，β，则下列说法错误的是（）A ．若a α⊥，//αβ，a b ⊥r r ，则b β//或b β⊂B ．若a α⊥，b β⊥，//αβ，则a b⊥r r C ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b⊥r r D ．若a α⊥，⋂=c αβ，//b c ，则a b⊥r r 【正确答案】B【分析】根据线面位置关系逐项判断即可得出答案.【详解】选项A 中，//a ααβ⊥，，可得a β⊥，又//a b b β⊥∴或b β⊂，选项A 正确；选项B 中，//a a ααββ⊥∴⊥，，又b β⊥，则//a b ，选项B 错误；选项C 中，//a a ααββ⊥⊥∴，或a β⊂，又b β⊥//a β∴时，a b ⊥；a β⊂时，a b ⊥，选项C 正确；选项D 中，a c a c ααβ⊥⋂=∴⊥，，又//b c a b ∴⊥，选项D 正确故选：B.17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【正确答案】A【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB==，即()2223xy -+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+==+，所以()22max21168x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+故选：A.18．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，其中12BB =，则三棱锥O ABC -的体积的最大值为（）A ．1B ．3C ．2D ．4【正确答案】A【分析】设,AB a AD b ==，根据长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积和12BB =，可求得外接球的半径2R =，根据基本不等式求得ABCS 的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案；【详解】设,AB a AD b ==，∵长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，12BB =，∴外接球O 的半径2R =，∴22416a b ++=，∴2212a b +=，∴2262a b ab +≤=，∵O 到平面ABC 的距离1112d BB ==，132ABCSab =≤，∴三棱锥O ABC -的体积1131133ABCV S d =⨯⨯≤⨯⨯=．∴三棱锥O ABC -的体积的最大值为1．故选：A ．19．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成AB M '（B '不在平面AMCD 内），连结B D '，N 为B D '的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的个数是（）①//CN 平面AB M '；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③线段CN 长度为定值；④当三棱锥B AMD '-的体积最大时，三棱锥B AMD '-的外接球的表面积是4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】取AB '中点，利用线线平行推出线面平行可判断①；假设垂直，得到AB AD '<不成立，可判断②；由①知//CN MN '，且CN MN '=，可判断③；当平面B AM '⊥平面AMD 时，三棱锥B AMD '-体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断④.【详解】对于①，取AB '的中点N '，连接NN '，则1////,2NN AD CM NN AD CM ''==，所以四边形N MCN '为平行四边形，所以//CN MN '，又MN '⊂平面AB M '，CN ⊄平面AB M '，即//CN 平面AB M '，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得CN AD ⊥，又,AD CD CN CD C ⊥= ，,CN CD ⊂平面CDN ，所以AD ⊥平面CDN ，又DN ⊂平面CDN ，所以AD ⊥DN ，即222AB AD DB ''=+，因为1,2,AB AD AB AD ''==<，所以不可能，故②错误；对于③，由①得CN MN '=，因为AB B M ''⊥，1AB B M ''==，所以2MN '==为定值，所以CN 长度为定值，故③正确；对于④，取AD 的中点H ，当三棱锥B AMD '-的体积最大时，此时平面B AM '⊥平面AMD ，因为MD AM ⊥，MD ⊂平面AMD ，平面B AM ' 平面AMD AM =，所以MD ⊥平面B AM '，又AB '⊂平面B AM '，所以AB MD '⊥，又,B AB M M MD M B '''⊥= ，,D B M M '⊂平面B MD '，所以AB '⊥平面B MD '，B D '⊂平面B MD '，所以A B D B ''⊥，所以H 即为三棱锥B AMD '-的外接球球心，又1HA =，所以外接球的表面积是24π14π⨯=，故④正确.故选：C三、解答题20．已知等差数列{}n a 中，1479,0a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值？【正确答案】(1)()112n a n n N *=-∈(2)5n =【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求出公差，进而可以求出结果；（2）求出数列{}n a 的前n 项和，结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）由1479,0a a a =+=，得11360a d a d +++=，解得2d =-，()()11921112n a a n d n n =+-=--=-，所以数列{}n a 的通项公式()112n a n n N *=-∈.（2）19,2a d ==-，()()()22192105252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+，∴当5n =时，n S 取得最大值.21．在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1)求异面直线PB 与DC 所成角的正切值；(2)求PA 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)53(2)10【分析】(1)由//AB CD 可知PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PDA ，根据线面垂直的性质可得AB PA ⊥，进而求出tan PBA ∠即可；(2)连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，进而可知APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，求出AO 即可得出结果.【详解】（1）由题意知，//AB CD ，所以PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，因为PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，所以AB ⊥平面PDA ，而PA ⊂平面PDA ，所以AB PA ⊥.在Rt PAB 中，106PA AB ===，，所以5tan 3PA PBA AB ∠==，即异面直线PB 与DC 所成的角的正切值为53；（2）连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，由PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥，PD AD ⊥，因为底面ABCD 为边长为6的正方形，所以BD AC ⊥，AC =，又BD PD D PDBD =⊂ ，、平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，所以PA 在平面PAD 内的射影为PO ，APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，又PD =8，AD =6，所以PA =10，12AO AC ==所以在Rt APO 中，sin 10AO APO PA ∠==，即PA 与平面PBD 所成的角的正弦值为10.22．已知直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=.(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得ABO 的面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，2211660x y +-=或922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据ABO 的面积为9，求出m 的值，可得结论.【详解】（1）直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=，即()()4314220m x y x y +-+-+=，令43140x y +-=，可得220x y -+=，求得2x =，2y =，可得该直线一定经过43140x y +-=和220x y -+=的交点()2,2.（2）若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则142,014m A m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1420,32m B m -⎛⎫-⎝⎭，且142014m m ->+，142032m m ->-，∴14m <-，或23m >.则ABO 的面积为1142142921432m m m m --⨯⨯=+-，即()()()227194132m m m ⨯-+-=，即21017200m m --=，∴52m =，或45m =-.故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为2211660x y +-=，或922660x y +-=.23．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为1O 、2O ，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O ．(1)32Ω的体积；(2)若112:1:3PO O O =，求几何体Ω的表面积．【正确答案】(1)78π(2)648525+【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解.【详解】（1）如图可知，过P 、1O 、2O 的截面为五边形ABCPD ，其中四边形ABCD 为矩形，三角形CPD 为等腰三角形，PC PD=在直角1OO D 中，1OD =，132O D =，则22131212OO ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-=32111122O P =-=，其体积为2131328ππ⨯⨯=⎝⎭32122112O O =⨯=，其体积为23314ππ⨯=⎝⎭所以几何体Ω的体积为37488πππ+=（2）若112:1:3PO O O =，设122O O h =，则123h PO =，故213h h +=，35h ∴=在直角1OO D 中，1OD =，135OO =，则22155134O D ⎛⎫⎪⎝⎭=-=故圆锥的底面半径为45，高为125O P =22425555⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆锥的侧面积为45525ππ⨯⨯=圆柱的底面半径为45，高为1265O O =，其侧面积为464825525ππ⨯⨯=所以几何体Ω2484255π⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭24．已知圆C 的圆心C 为（0，1），且圆C 与直线260x y -+=相切．(1)求圆C 的方程；(2)圆C 与x 轴交于A ，B 两点，若一条动直线l ：x ＝x 0交圆于M ，N 两点，记圆心到直线AM 的距离为d ．（ⅰ）当x 0＝1时，求dBN的值．（ⅱ）当﹣2＜x 0＜2时，试问dBN是否为定值，并说明理由．【正确答案】(1)()2215x y +-=(2)（ⅰ）12；（ⅱ）d BN为定值12，理由见解析【分析】（1）求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；（2）（ⅰ）当x 0＝1时，可得直线l ：x ＝1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，则答案可求；（ⅱ）联立直线与圆的方程，求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，整理即可求得d BN为定值12．【详解】（1）圆C 的半径r ==则圆C 的方程为()2215x y +-=；（2）（ⅰ）由()2215x y +-=，取y ＝0，可得2x =±．∴A （﹣2，0），B （2，0），圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，则2200(1)51x y x x x ⎧+-=⎪=⎨⎪=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，∴M （1，3），N （1，﹣1），则直线AM 的方程y ﹣0()()3212x =+--，即20x y -+=．圆心到直线AM 的距离d 2==，|BN|==∴12d BN ==；（ⅱ）由圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，设M （x 0，y 1），N （x 0，y 2），联立220(1)5x y x x ⎧+-=⎨=⎩，解得M（01x ，，N（01x ，，∴直线AM：)02y x =+．圆心（0，1）到直线AM 的距离d =．|BN|=则12 dBN=．∴dBN为定值12．。