高二12月月考数学试题 Word版含答案

开始3,1,2S n T ===3S S =+2?T S >是否T 输出结束+1n n =+3T T n=2021年12月 绵阳南山中学2021年秋季高2021届12月月考数学试题命题人：吴川满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题：本题共12题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一个正确答案，把正确答案填涂在机读卡上。

1．已知点A (0,4)，B (4,0)在直线l 上，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －4＝0 B ．x －y －4＝0 C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝02. 质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点消灭在该区间各点处的概率相等，那么质点落 在区间[0,1]上的概率为( )A.14B.13C.12 D ．以上都不对 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估平均数与中位数分别是( ) A ．12.5、12.5 B ．12.5、13 C ．13、12.5 D ．13、135．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设大事A 表示“向上的一面消灭的点数不小于3”，大事B 表示“向上的一面消灭奇数点”，大事C 表示“向上的一面消灭的点数不超过2”，则( ) A ． A 与B 是互斥而非对立大事 B ． A 与B 是对立大事 C ． A 与C 是互斥而非对立大事 D ． A 与C 是对立大事6．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 7. 假如方程11222=+++m ym x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A. )1,2(-- B. ),1()2,(+∞---∞ C. )1,1(- D. )2,3(--8．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：x (单位：c ︒)1714 10 1-y (单位：度)2434 3864由表中数据得线性回归方程：a x y +-=∧2.当气温为c ︒20时，猜测用电量约为( ) A. 5 B ．10 C. 16 D. 20 9. 执行如图所示的程序框图，输出的T =( ) A ．29 B ．44 C ．52 D ．62 10.已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则 该抛物线的准线方程为( )A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ， 若21512m T -=，则m 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．712.我们把由半椭圆)0(1)0(122222222<=+≥=+x cx b y x b y a x 与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中0,222>>>+=c b a c b a ）。

江苏省扬州中学2013-2014学年高二上学期12月月考试卷数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“1,-=∈∃x e R x x ”的否定是 ．2．抛物线x y 82=的焦点坐标为 ．3．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是 ．4．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ． 【答案】1cos x -. 【解析】试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填1cos x -.正弦函数的导数是余弦函数. 考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为,x y．则x y≠的概率为．6．若双曲线221yxm-=的离心率为2，则m的值为．7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．【答案】9 10.【解析】试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占910.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关键.考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）10．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且0)1(='f ．则c d +的值是 ．12． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线， 则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）．考点：1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.13．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足)(x f '＞)(x f ，则不等式()(1)x ef x f e >的解集是 ．14．已知椭圆E：2214xy+=，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是．【答案】4.【解析】试题分析：当直线AB与x轴垂直的时候ABCD为矩形面积为当直线AB不垂直x轴时假设直线:(:(AB CDl y k x l y k x==.A（11,x y），B（22,x y）.所以直线AB与直线CD的距离.又有22(44y k xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩.消去y可得：2222(41)1240x k x k+-+-=.2121224(31)41kx x x xk-+==+.所以224(1)41kABk+==+.所以平行四边形的面积S=2k t=.所以S ==因为810t -≥时.S 的最大值为4.综上S 的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）求实数m 的取值组成的集合M ，使当M m ∈时，“q p 或”为真，“q p 且”为假．其中:p 方程012=+-mx x 有两个不相等的负根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实数根．:真q ,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即.31<<m …………………10 分①假：真q p ;2-<m②假：真p q .31<<m …………………13分 综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点3(0,)a 的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ．（1）若1a =，求矩形ABCD 面积；（2）若(0,2)a ∈，求矩形ABCD 面积的最大值．（2）设切点为00(,)x y ，则200y ax =-,因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--, 即20002()y ax ax x x +=--，18．（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面，且1AB BC CA AD CD ====． (1)求证：1BD AA ⊥;(2)在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面11D DCC ，求BEEC的值．【答案】（1）证明参考解析；（2）1BEEC= 【解析】试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD 全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD 对称.所以可得BD AC ⊥.再由面面垂直即可得直线BD 垂直于平面11ACC A .从而可得1BD AA ⊥.19．（本小题满分16分） 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，且在x 轴上方，212,PF F F ⊥ 2111,,32PF PF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦． （1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆Q 的截y 轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l 上任一点A 引圆Q 的两条切线，切点分别为,M N ．试探究直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．(1)22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴e =在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．∴12λ=时，2e 最小13，13λ=时，2e 最大12，∴21132e ≤≤e ≤≤．(2) 当2e =时，2ca =，∴2cb ==，∴222b a =．∵212PF F F ⊥,∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴1PF=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴4,a c b ===．∴椭圆方程是221168x y += -------10分20．（本小题满分16分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) ．（1）当4-=a 时，求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当[]e x ,1∈时，讨论方程()0=x f 根的个数．（3）若0>a ，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()212111x x x f x f -≤-， 求实数a 的取值范围.【答案】（1）4)()(2max -==e e f x f .e x =；（2）e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根. 2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根. e a 2->时，方程()0=x f 有0个根.（3）221e ea -≤∴.（2）易知1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时，方程x x a ln 2=-根的个数． 设()x g =xx ln 2， xx x x x x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当()e x ,1∈时，0)(<'x g ，函数)(x g 递减，当]e e x ,(∈时，0)(>'x g ，函数)(x g 递增．又2)(e e g =，e e g 2)(=，作出)(x g y =与直线a y -=的图像，由图像知：当22e a e ≤-<时，即e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根；当2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根；当e a 2->时，方程()0=x f 有0个根； -------10分（3）当0>a 时，)(x f 在],1[e x ∈时是增函数，又函数xy 1=是减函数，不妨设e x x ≤≤≤211，则()()212111x x x f x f -≤-等211211)()(x x x f x f -≤-。

泗县双语中学2013-2014学年高二上学期第二次月考数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知01,0<<-<b a ，那么下列不等式成立的是（ ）A ．2ab ab a >>B ．a ab ab >>2C ．2ab a ab >>D ．a ab ab >>2 2.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（ ）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+3. 已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（ ）A 、36B 、30C 、24D 、18 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝7，则a 2＋a 6＝( )．A ．2 B.72 C.92 D.1145．数列｛a n ｝为等比数列，a 1=2,a 5=8,则a 3=………………………………… （ ） A 、4 B 、-4 C 、±4 D 、±86．在数列{n a }中，若1n n-11a =1a =1+n 2a ≥，（），则3a =（ ） A 、1 B 、136C 、2 Ｄ、1.5 7．已知数列{}n a 满足13a =，26a =，21n n n a a a ++=-，则2014a =（ ） A 、6 B 、-3 C 、-6D 、3 8. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A158或5 B 3116或5 C 3116 D 1589.下列命题中，正确的是（ ）A.若a b >，则22ac bc >；B.,32<<-a 21<<b ，则13<-<-b aC.若,0,0>>>m b a 则bma m <， D. 若ab >，dc >，则bd ac > 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，4a ＋6a ＝－6，则当S n 取得最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +错误！未找到引用源。

2012~2013学年度第一学期高二年级第二次月考数学（文）试题命题人 王君臣第一卷 选择题一．选择题（10*5=50分）1. ，的一个通项公式是（ ）A. n a =B. n a =C. n a =D. n a =2. 已知c b a ,,是ABC ∆三边之长,若满足等式ab c b a c b a =++-+))((,则C ∠等于（ ） A. 120 B. 150 C. 60 D. 90 3. 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．174. 已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（ ）A ．18B ．16C ．8D ．105. 在△ABC 中，BC =8，B =60°，C =75°，则AC 等于（ ）A ．24B ．34C ．64D ．332 6. 数列{}n a 的通项公式是11++=n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为（ ）A ．11B ．99C ．120D ．1217. 已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( )A 、11{|}32x x -<<B 、11{|}32x x x <->或C 、{|32}x x -<<D 、{|32}x x x <->或8. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( ) A.32B.149 C. 3120 D. 17119. 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形10. 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞ B ．[]2,2- C ．]2,2(-D ．)2,(--∞第二卷 非选择题二．填空题（5*5=25分）11.数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 12.不等式224122xx +-≤的解集为 _______． 13.在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则74a a ⋅=______14.在△ABC 2sin b A =，则B 等于______15.函数)3(31>+-=x x x y 的最小值为______ 三．解答题（12+12+12+12+13+14=75分）16.（本小题满分12分）当a<0时，解关于x 的不等式ax 2＋(a －1)x －1>0.17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的 前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N +)，求数列{b n }的前n 项和T n .18.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b .(1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．19.（本小题满分12分）已知锐角△ABC 的三内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，边a 、b 是方程x 2－+2=0的两根，角A 、B 满足关系2sin(A +B )=0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积.20.（本小题满分13分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成。

命题人：罗丹说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（2）页，第Ⅱ卷第（3）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的准考证号、科目填涂在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡和机读卡一并收回。

1共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）A 2轴上，则k 的取值范围是( )A.3>kB.3．已知中心在原点，焦点在x ）A ．2y x =± B 4．k 为何值时，直线y=kx+2和椭圆632x 22=+y 有两个交点 （ ）A ．k< ．k ≤ 5．若椭圆221x y m n +=（m ＞n ＞0）和双曲线221x y a b-=（a ＞b ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. m －aB. 1()2m a -C. m 2－a 26．已知F 1、F 2M 为双曲线上的点，若MF 1⊥MF 2，∠MF 2F 1 = 60°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．BC 7．长方体ABCD —A 1B 1 C 1D 1，2AB =，2AD =，则点D 到平面1ACD 的距离是（ ）A ．28．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为( )A．09．给出如下四个命题①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题②命题“若0,00xy x y ===则或”的否命题为“若0,00xy x y ≠≠≠则 且” ③“任意11,2≥+∈∀x R x ”的否定是“存在11,2≤+∈∃x R x ” ④在∆ABC 中，“B A >”是“B A sin sin >”的充要条件 其中正确．．的命题的个数是（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A C D 11． 已知圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆中过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是（ ）A BD 12．已知点()1,0A -、()1,0B ，()00,P x y 是直线2y x =+上任意一点，以A 、B 为焦点的椭圆过点P ．记椭圆离心率e 关于0x 的函数为()0e x ，那么下列结论正确的是 （ ） A ．e 与0x 一一对应 B ．函数()0e x 无最小值，有最大值 C ．函数()0e x 是增函数 D ．函数()0e x 有最小值，无最大值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二 填空题（每题5分，共20分）13为 .14．圆22x y 2x 4y 30+++-=上到直线4x-3y=2__________ 个。

罗田县育英高级中学高二年级12月份月考数学（理科）试题参考答案一、选择题ABABD DBBCD 二、填空题11.、5/13 12、48 13、（ ） 14、r<>0 17 15、1 2 3 三、解答题16、解：122122()11m m n nm m m n n n f x C x C x C x C x C x C x =+++++++++112222()()m n m n C C x C C x =+++++． 由题意19m n +=，m n *∈N ，．2x ∴项的系数为222(1)(1)1919172224m nm m n n C C m --⨯⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭．∵m n *∈N ，，根据二次函数知识，当9m =或10时，上式有最小值，也就是当9m =，10n =或10m =，9n =时，2x 项的系数取得最小值，最小值为81．17、解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件-----------2分（1） 记“两数之和为8”为事件A ，则事件A 中含有5个基本事件，所以P（A ）=536；答：两数之和为6的概率为536。

--------- 5分（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B ，则事件B 中含有12个基本事件，所以P （B ）=13；答：两数之和是3的倍数的概率为13。

------------8分故甲盒恰有2个红球的概率12131()()5102P P A P A =+=+=（3） 基本事件总数为36，点（x ，y ），在圆x 2+y 2=25的内部记为事件D ，则D 包含13个事件，所以P （D ）=3613。

18、19、解：（1）当3m =时，一个小组有3个人，经过一次检验就能确定化验结果是指经过一次检验，结果为阴性，所以概率为3(10.1)0.729p =-=；（2）当4m =时，一个小组有4个人，这时每个人需要检验的次数是一个随机变量1η，其分布列为所以441150.9(10.9)0.5944E η=⨯+⨯-=；当6m =时，一个小组有6个人，这时需要检验的次数是一个随机变量2η，其分布列为所以662170.9(10.9)0.6466E η=⨯+⨯-=，由于21E E ηη>，因此当每4个人一组时所需要的化验次数更少一些．20、解：（1）、“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C。

吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣52．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为05．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或19．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x）dx= ．14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5【考点】导数的几何意义．【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴y′|x=1∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．2．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=【考点】导数的运算．【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；对于D， ===，∴D式正确．故选：D．3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；【解答】解：∵菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，∴对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，首先大前提错误，故选D．4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由，可得或∴曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积为：（﹣x+）dx=（﹣x2+x）=．故选B．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．【考点】定积分的简单应用．【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移．【解答】解：s=（t2﹣t+2）dt===．故选A7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x2﹣lnx）则有k=y′|x=x0=2x﹣．∴2x0﹣=1，∴x=1或x=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．【解答】解：∵函数∴∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点∴当时，b=x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）∵b∈（1，4）∴（﹣∞，﹣2）适合题意故选D12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x ＜﹣2016，故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x ）dx= 0 ．【考点】定积分．【分析】方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=sin π=0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2sin π=0．【解答】解：方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=（）2+sin2（）﹣[（﹣）2+sin2（﹣）]=sin π=0，（x+cos2x ）dx=0，故答案为：0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，∴由定积分的性质，xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2（sin2x ）=2sin π=0，∴（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx=0，14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2f′（）+sin x，∴f′（x）=2xf'（）+cosx令x=，则f′（）=2×f'（）+cos则f′（）=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，f（e）=e又f'（e）=2，∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，，时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．当，…..20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）=﹣lnx，由﹣lnx=0，得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．=g（1）=0∴g（x）min即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函数的单调性，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xe x．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（x）的最大值为f（0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．设h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣xe x﹣1．当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1，＜e x＜1，则0＜﹣xe x＜1，从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＜1．综上，总有g（x）＜1．。

高二数学理科阶段性检测 2014.12一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.双曲线()2210x y a a-=>a 的值是 （ ）A. 123．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B4. 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）A. 10B. 8C. 6D. 4 5.以下有关命题的说法错误的是A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”.B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥. 6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A.54B.53C.52 D.517．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为（） A ．4 B ．4- C ．41-D ．41 8.已知双曲线22212(y x e y -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（）A ．－2 B ．－4C ．2D ．49.已知命题p ：∃01,200≤+∈mx R x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)10.已知直线上一抛物线和直线x y x l y x l 4,1:0634:221=-==+- 21l l p 和直线到直线动点的距离之和的最小值是（） A.2B.3C.23D.25二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.若命题“04,2≤++∈∃c cx x R x ”为假命题，则实数c 的取值范围是.12. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为13.双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 .14. 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程.15.给出如下四个命题：①方程01222=+-+x y x 表示的图形是圆；②椭圆12322=+y x 的离心率35=e ；③抛物线22y x =的准线方程是81-=x ；④双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程是x y 75±=.其中所有假命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知0a >，设命题p : 函数xy a =在R 上单调递增；命题q : 不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.17.设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．18.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且⌝ p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.设双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ，直线l 过点)0),(b o a ，和（，已知原点到l 的距离为c 43，求双曲线的离心率.20.（本小题满分13分）已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．21.（本小题满分14分）已知椭圆C:)0(,12222>>=+b a by a x 的离心率为21，以原点O 为圆心，相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，求证：AOB ∆的面积为定值高二数学理科参考答案 2014.12一选择题：1.A2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 二、填空题：11.410<<c 12.4 13. 21 14.x y 122=15.①②④ 16.若p 真，则1>a ；若p 假，则10≤<a ；若q 真，则40<<a ；若q 假，则4≥a .∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴当p 真q 假时，4≥a ；当p 假q 真时，10≤<a .综上，p 且q 为假，p 或q 为真时，a 的取值范围是),4[]1,0(+∞ 17. 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② ②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534. 18. (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则⌝q ⇒⌝p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜3－2＜2a，⇒01-<<a法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，可得⌝q ⇒⌝p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒01-<<a19.332（新学案132页例题2）20.【自主解答】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，∴当x ＝0时，|P A |min ＝23， 距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min ＝524.21.解：（Ⅰ）由题意得，b ==12c a =，又222a b c +=，到直线m kx y +=.。

2021年高二上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题（每题5分，共50分）1．直线x﹣y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心2．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．0 B．3 C．4 D．53．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1）C．（，1）D．（±，±1）4．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．5．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣46．方程表示曲线C，有下列命题①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4，②若曲线C 为双曲线，则t＜1或t＞4，③曲线C不可能是圆，④若曲线C表示椭圆且长轴在x轴，则，则以上命题正确的有（）A．2个B．3个C．1个D．4个7．中心为原点，一个焦点为的椭圆截直线y=3x﹣2所得的弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．8．实数x，y满足若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣4）2=1 B．（x﹣1）2+（y+4）2=1 C．（x﹣l）2+（y﹣4）2=16 D．（x﹣1）2+（y+4）2=1610．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（每题5分，共25分）11．已知变量x、y满足约束条件，则z=的最大值为．12．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为．13．已知双曲线=1的一个焦点是（0，2），椭圆的焦距等于4，则n=．14．已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则曲线的离心率等于．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为．三、解答题16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F 分别是AP，AB的中点．求证：（I）直线EF∥平面PBC；（Ⅱ）平面DEF⊥平面PAB．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEF的体积．18．（文）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF．（2）求证：FC∥平面EAD．（3）设AD=1，求V E．﹣BCD19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）求圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长．21．直线y=kx+m与椭圆有两个不同的交点M、N（1）若直线l过椭圆的左焦点F，且线段MN的中点P在直线x+y=0上，求直线l的方程（2）若k=1，且以线段MN为直径的圆过点A（1，0），求实数m的值．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．xx学年山东省青岛市胶州四中高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．直线x﹣y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=2的位置关系是（）A．相离 B．相切C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径r，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小可得出直线与圆的位置关系，同时把圆心坐标代入直线方程，发现直线过圆心，即可得到正确的选项．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+y2=2，得到圆心坐标为（1，0），半径r=，∵圆心到直线x﹣y+1=0的距离d===r，∴直线与圆的位置关系是相切．故选：B．2．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．0 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最大值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示．由得A（1，2）．由图易得目标函数z=2x+y在A（1，2）处取得最大，最大值4，故选C．3．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1）C．（，1）D．（±，±1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据已知，点P是椭圆+=1上的一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边|F1F2|=2，我们易求出P点的横坐标，进而求出P点的纵坐标，即可得到答案．【解答】解：设P（x0，y0），∵点P是椭圆+=1上的一点，∴ +=1，∵a2=5，b2=4，∴c=1，∴=|F1F2|•|y0|=|y0|=1，∴y0=±1，∵+=1，∴x0=±．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9∴a2=4∴a=2∵c=3∴故选C．5．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．6．方程表示曲线C，有下列命题①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4，②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4，③曲线C不可能是圆，④若曲线C表示椭圆且长轴在x轴，则，则以上命题正确的有（）A．2个B．3个C．1个D．4个【考点】曲线与方程．【分析】根据曲线方程的特点，结合椭圆双曲线的标准方程分别判断即可．【解答】解：①当1＜t＜4且t≠时，曲线表示椭圆，所以不正确；②若曲线C表示双曲线，则（4﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＞4或t＜1，所以正确；③t≠时，曲线C表示圆，不正确；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜k＜，所以不正确．故选：C．7．中心为原点，一个焦点为的椭圆截直线y=3x﹣2所得的弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据焦点坐标得出a2﹣b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=5，即为a2﹣b2=50，①将直线y=3x+2代入椭圆方程，可得（9b2+a2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2=0，由弦的中点的横坐标为，设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系可得，x1+x2=，由中点坐标公式可得，=1，即有a2=3b2②联立①②可得，a2=75，b2=25∴椭圆方程为+=1．故选：A．8．实数x，y满足若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形y=﹣x+z，判断出z表示直线的纵截距，结合图象，求出k的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示∵y=﹣x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z 最大此时z=2a=4∴a=2故选C9．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣4）2=1 B．（x﹣1）2+（y+4）2=1 C．（x﹣l）2+（y﹣4）2=16 D．（x﹣1）2+（y+4）2=16【考点】抛物线的简单性质；圆的标准方程．【分析】由抛物线的定义可得点M到焦点的距离等于到准线的距离，由此得关于p的方程，求出抛物线方程，进而得到点M坐标及圆的圆心、半径．【解答】解：由点M到焦点F的距离为5及抛物线的定义可得，1﹣（﹣）=5，解得p=8，所以抛物线方程为：y2=16x，代入点M的坐标得，m2=16，解得m=±4，又m＞0，所以m=4，所以M（1，4），则圆心为M，半径为1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=1．故选A．10．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C二、填空题（每题5分，共25分）11．已知变量x、y满足约束条件，则z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据z的几何意义求最值．【解答】解：变量x、y满足约束条件对应的可行域如图：则z=表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以最大值为直线OB的斜率，由得到点B（3，2），所以最大值为；故答案为：．12．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】首先根据题意设圆心坐标为（a，﹣a），再由直线与圆相切利用圆心到直线的距离为半径，求出a和半径r，即可得到圆的方程．【解答】解：∵圆心在直线x+y=0上，∴设圆心坐标为（a，﹣a）∵圆C与直线x﹣y=0相切∴圆心（a，﹣a）到两直线x﹣y=0的距离为：=r ①同理圆心（a，﹣a）到两直线x﹣y﹣4=0的距离为：=r ②联立①②得，a=1 r2=2∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2故答案为：：（x﹣1）2+（y+1）2=213．已知双曲线=1的一个焦点是（0，2），椭圆的焦距等于4，则n=5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得m=﹣1，代入可得椭圆的方程，由焦距可得关于n的方程，解之可得．【解答】解：由题意可得m＜0，且22=﹣3m﹣m，解得m=﹣1，故椭圆的方程可化为，故其焦距2c=2=4，或2c=2=4解得n=5，或n=﹣3（此时方程不表示椭圆，舍去）故答案为：514．已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可判断出直线x+2y﹣1=0与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为．又直线x+2y﹣1=0可化为，可得斜率为．∵双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，∴，得到．∴双曲的离心率e==．故答案为．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标．【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，∴K（﹣3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）∵，AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3．故答案为：3．三、解答题16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F 分别是AP，AB的中点．求证：（I）直线EF∥平面PBC；（Ⅱ）平面DEF⊥平面PAB．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；（II）利用正三角形的判定和性质可得DF⊥AB，再利用面面垂直的性质和面面垂直的判定定理即可得出．【解答】证明：（I）在△PAB中，∵E，F分别是AP，AB的中点，∴EF∥PB，又∵EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC；（II）连接BD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形，∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面DEF，∴平面PAB⊥平面DEF．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEF的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）取PA中点H，连接CE，HE，FH，证明四边形FCEH是平行四边形，可得EC∥HF，利用线面平行的判定定理，可得结论；，可得结论．（II）证明PA⊥平面ABCD，利用三棱锥P﹣AEF的体积V P﹣AFD【解答】（I）证明：取PA中点H，连接CE，HE，FH∵H，E分别为PA，PD的中点，∴HE∥AD，HE=AD∵ABCD是平行四边形，F为BC的中点，∴FC∥AD，FC=AD∴HE=FC，HE∥FC∴四边形FCEH是平行四边形∴EC∥HF∵EC⊄平面PAF，HF⊂平面PAF∴CE∥平面PAF；（II）解：∵底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，∴CA⊥AD∵PA=BC=1，AB=∴AC=1∴S△AFD==∵PA=AD=1，PD=∴PA⊥AD∴PA⊥平面ABCD，∴V P==﹣AFD∵E 是PD 的中点，∴三棱锥P ﹣AEF 的体积V P ﹣AFD =．18．（文）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ．（2）求证：FC ∥平面EAD ．（3）设AD=1，求V E ﹣BCD ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC ，BD 交于点O ，连结OF ，由三线合一可得FO ⊥AC ，由菱形性质得AC ⊥BD ，故而AC ⊥平面BDEF ；（2）取AE ，AF 的中点M ，N ，连结DM ，MN ，ON ，可证四边形ODMN 是平行四边形，故而ON ∥DM ，又由中位线得力得FC ∥ON ，于是FC ∥DM ，从而FC ∥平面EAD ； （3）由题意可得△ABD ，△BDF ，△BCD 是边长为1的等边三角形，于是FO ⊥BD ，又FO ⊥AC ，得出FO ⊥平面ABCD ，于是V E ﹣BCD =V F ﹣BCD =．【解答】证明：（1）连结DF ，设AC ∩BD=O ，连结OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，O 是AC ，BD 的中点，∵FA=FC ，∴FO ⊥AC ，又∵DB ⊂平面BDEF ，FO ⊂平面BDEF ，DB ∩FO=O ，∴AC ⊥平面BDEF ．（2）取AE ，AF 的中点M ，N ，连结DM ，MN ，ON ，∵MN 是△AEF 的中位线，∴MN ，∵四边形BDEF 是菱形，O 是BD 的中点，∴OD ，∴四边形ODMN 是平行四边形，∴ON ∥DM ，∵ON 是△AFC 的中位线，∴ON ∥FC ，FC ∥DM ，又DM ⊂平面EAD ，FC ⊄平面EAD ，∴FC ∥平面EAD ．解：（3）∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AD=1，∴△ABD ，△BDF ，△BCD 是边长为1的等边三角形，∴FO ⊥BD ，FO=，S △BCD ==．又FO ⊥AC ，BD ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC ∩BD=O ，∴FO ⊥平面ABCD ．∴V E ﹣BCD =V F ﹣BCD ===．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC ⊥AD ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣D 的正弦值；（3）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法．【分析】解法一（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•=0，证出PC ⊥AD ． （2）求出平面PCD ，平面PCD 的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E （0，0，h ），其中h ∈[0，2]，利用cos ＜＞=cos30°=，得出关于h 的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD ⊥平面PAC 得出PC ⊥AD ．（2）作AH ⊥PC 于点H ，连接DH ，∠AHD 为二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角．在RT △DAH 中求解（3）因为∠ADC ＜45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF ，故∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CD 所成的角．在△EBF 中，因为EF ＜BE ，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h 的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，设AE=h，在RT△EAF中，EF==，在RT△BAE中，BE==，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）求圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点，进而确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长．【解答】解：（1）曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3±2，0），故可设C的圆心为（3，t），则有9+（t﹣1）2=8+t2，解得t=1，则圆C的半径为=3，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9；（2）圆心到直线的距离d==，所以圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长为2=．21．直线y=kx+m与椭圆有两个不同的交点M、N（1）若直线l过椭圆的左焦点F，且线段MN的中点P在直线x+y=0上，求直线l的方程（2）若k=1，且以线段MN为直径的圆过点A（1，0），求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由直线l过椭圆的左焦点F，求出直线l的方程y=kx+k，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和y1+y2，根据MN的中点的横坐标在直线x+y=0上求出k的值，问题得以解决；（2）当k=1时，直线l的方程y=x+m，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2求出y1+y2，根据MN的中点的为圆心，以及弦长公式求出|MN|的距离，再根据线段MN为直径的圆过点A（1，0），得到关于m的方程，问题得以解决．【解答】解：（1）∵椭圆的方程为，∴c2=a2﹣b2=2﹣1=1，∴c=1，∴椭圆的左焦点F为（﹣1，0），∵直线l过椭圆的左焦点F，∴0=﹣k+m，即k=m，∴y=kx+k，联立方程组得，消掉y得到（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴△=（4k2）2﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8（k2+1）＞0∴x1+x2=﹣，∴y1+y2=﹣k•+k，∵线段MN的中点P在直线x+y=0上，∴﹣﹣k•+k=0，即2k2+4k﹣1=0，解得k=，∴直线l的方程为y=x+，或y=+，即为（2+）x+2y+2+．或（2﹣）x+2y+2﹣．（2）当k﹣1时，联立方程组得，消掉y得到3x2+4mx+2m2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=﹣根据弦长公式得到|MN|=|x1﹣x2|=••=，∵x1+x2=﹣，∴y1+y2=﹣，∴线段MN的中点坐标为（﹣，﹣），∵线段MN为直径的圆过点A（1，0），∴=|MN|=，整理得到11m2﹣16m﹣4=0，解得m=．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，得解得．∴椭圆PM2的方程为．（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时=．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时=．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，，∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得即可；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆方程联立得到，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得=x1x2+y1y2，进而得到取值范围．【解答】解：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．故椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴=，∴=x1x2+y1y2==，∵，∴，∴．故的取值范围为．xx年6月17日36610 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精品文档实用文档（第11题图）2021年高二上学期12月月考试卷 数学 含答案（全卷满分160分，考试时间120分钟） xx ．12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“”的否定是 ▲ ． 2．抛物线的焦点坐标为 ▲ ．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．4．已知函数，则 ▲ ．5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为 ▲ ． 6．若双曲线的离心率为2，则的值为 ▲ ． 7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 ▲ ． 8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ▲ 9．已知椭圆的离心率，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为，则 ▲ 10．若“”是 “”的必要不充分条件，则的最大值为 ▲ ． 11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且．则的值是 ▲ ．12． 设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线， 则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行； （3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直； （4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）． 13．已知可导函数的导函数满足＞，则不等式的解集是 ▲ ． 14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是▲ ．（第14题图）精品文档实用文档yxOABCD二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）求实数的取值组成的集合，使当时，“”为真，“”为假． 其中方程有两个不相等的负根；方程无实数根． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点的两直线与抛物线相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线，垂足分别为D 、C ． （1）若，求矩形ABCD 面积；（2）若，求矩形ABCD 面积的最大值．18．（本小题满分15分） 如图，在四棱柱中，已知平面， 且． (1)求证：;(2)在棱BC 上取一点E19．（本小题满分16分）已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方， ．（1）求椭圆的离心率的取值范围；NMAPO· · N AD1C1A1B1BCD精品文档实用文档______ 姓名_____________ 学……封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数 (为实常数) ．（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值； （2）当时，讨论方程根的个数． （3）若，且对任意的，都有， 求实数a 的取值范围．江苏省扬州中学高二12月月考数学答题纸 xx.12.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15． 16.精品文档17.18.实用文档精品文档（19,20题请写在答题纸反面）高二数学月考试卷参考答案xx.12一、填空题：1 ．2 ．3．48 4．5．6．3 7．8．9．10．-1 11．3 12．（1）（2）13．14．4二、解答题：15．解：…………………5 分即…………………10 分①②…………………13分综上所述：…………………14分16．（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝．故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF．又ED平面PBC，CF平面PBC，故DE∥平面PBC．（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD．又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD．ED平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB．17．解：（1）时，（详细过程见第（2）问）--------6分（2）设切点为，则,因为，所以切线方程为, 即，因为切线过点，所以，即，于是．将代入得．(若设切线方程为，代入抛物线方程后由得到切点坐标，亦予认可．)实用文档精品文档实用文档所以， 所以矩形面积为， ．所以当时，；当时，；故当时，S 有最大值为． -------15分18．证明：（1）在四边形ABCD 中，因为BA=BC,DA=DC ，所以． 平面，且11,,ACC A ABCD AC BD ABCD =⊂平面平面平面所以．(2)点E 为BC 中点，即,下面给予证明：在三角形ABC 中，因为AB=AC ，却E 为BC 中点，所以, 又在四边形ABCD 中，AB=BC=CA=,DA=DC=1，所以 , 所以 ，即平面ABCD 中有， ．因为1111,DC DCC D AE DCC D ⊂⊄平面平面, 所以19．解： ， ∴，． (1) ，∴,在上单调递减．∴时，最小，时，最小，∴，∴． (2) 当时，，∴，∴．∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴=6．又，∴．∴椭圆方程是 -------10分（3）由（2）得到，于是圆心,半径为3，圆的方程是．椭圆的右准线方程为，,∵直线AM,AN 是圆Q 的两条切线，∴切点M,N 在以AQ 为直径的圆上．设A 点坐标为，∴该圆方程为．∴直线MN 是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程．该直线化为：10,(1)80,80,y y t y y -=⎧⎪-+--=∴⎨--=⎪⎩∴直线MN 必过定点． -------16分20． 解：（1），当时，．当时，，又，故，当时，取等号 -------4分（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数． 设=，当时，，函数递减，当时，，函数递增．又，，作出与直线的图像，由图像知： 当时，即时，方程有2个相异的根；精品文档当或时，方程有1个根；当时，方程有0个根；-------10分（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于即，故原题等价于函数在时是减函数，恒成立，即在时恒成立．在时是减函数-------16分（其他解法酌情给分）实用文档精品文档34226 85B2 薲37882 93FA 鏺,32971 80CB 胋D21362 5372 卲$=33248 81E0 臠33333 8235 舵36012 8CAC 責38606 96CE 雎实用文档。

淮南二中2021届高二上学期文科数学其次次月考试卷 满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：(本大题共12题,每小题5分,共60分.只有一个选项正确.) 1.现要完成下列3项抽样调查： ①从15件产品中抽取3件进行检查;②某公司共有160名员工，其中管理人员16名，技术人员120名，后勤人员24名，为了了解员工对公司的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③电影院有28排，每排有32个座位，某天放映电影时恰好坐满了观众，电影放完后，为了听取意见，需要请28名观众进行座谈． 较为合理的抽样方法是（ ）A.①简洁随机抽样②系统抽样③分层抽样B.①分层抽样②系统抽样③简洁随机抽样C.①系统抽样②简洁随机抽样③分层抽样D.①简洁随机抽样②分层抽样③系统抽样 2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两大事是（） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 至少有一个黑球与至少有1个红球 D. 恰有1个黑球与恰有2个黑球 3.命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( )A. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB. 若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝AC. 若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠AD. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B4．已知两直线m 、n 和平面α，若m α⊥， //n α，则下列关系肯定成立的是（） A. m 与n 是异面直线 B. m n ⊥ C. m 与n 是相交直线 D ． //m n 5.在长为4的线段AB 上任取一点P ， P 到端点，A B 的距离都大于1的概率为（）A. 18B. 12C. 14 D. 136.设命题:,xp x R e x ∀∈>，则p ⌝是（ ） A. ,xx R e x ∀∈≤ B.000,x x R e x ∃∈< C. ,xx R e x ∀∈< D.000,x x R e x ∃∈≤7.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的确定值等于3的概率是（ ）A. 112B. 16C. 13D. 128.已知命题:p 若5+≤x y ，则32或≤≤x y .命题:q <a b ，11>a b .那么下列命题为真命题是（ ） A. p ∧q B.( ￢p )∧(￢q ) C. (￢p )∧q D. p ∧(￢q )9.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.22a b > B. 33a b > C. 1a b >+ D. 1a b >-10.已知椭圆2217525y x +=的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标（ ）A.11(,)22B. 13(,52)22+ C. 11(,)22- D. 13(,52)22-11.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A. 7B. 11C. 26D. 3012. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）。

江苏省扬州中学高二年级１2月质量检测数 学(满分160分,考试时间120分钟)一、填空题：(本大题共14小题,每小题5分,共７0分.)１.命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）．2.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ．3.“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的” 条件.(填“充要条件”、“ 充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”之一）4.已知函数)1(2)('2--=xf x x f ,则)1('-f = .５．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则的值为 . 6．已知函数x a x x f sin )(+=在),(+∞-∞上单调递增,则实数的取值范围是 ． 7． 若函数x a ax x x f )2(ln )(2+-+=在21=x 处取得极大值，则正数的取值范围是 .８． 若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，且过点(2,3),则曲线C 的方程为 ．9.在平面直角坐标系xoy 中,记曲线)2,(2-≠∈-=m R x xmx y 在1=x 处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 . １0．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的的取值范围是 . 1１．在平面直角坐标系ｘO ｙ中,圆C 的方程为(x －１)2＋（y -1)２=9，直线l ：y ＝ｋｘ＋3与圆C 相交于A ，Ｂ两点，M 为弦ＡB 上一动点,以Ｍ为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ．12.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于B A ,两点.若BF AF ⊥,则双曲线的渐近线方程为 .2016.121３．已知函数2)(1-+=-x e x f x （为自然对数的底数).3)(2+--=a ax x x g ．若存在实数21,x x ,使得0)()(21==x g x f ．且121≤-x x ，则实数的取值范围是 .14．设函数axee xf 2)(-=,若)(x f 在区间)3,1(a --内的图象上存在两点,在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是 .二、解答题(本大题共6小题,共９0分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分)已知命题p :函数6)34()(23++++=x a ax x x f 在),(+∞-∞上有极值,命题：双曲线1522=-ax y 的离心率)2,1(∈e .若q p ∨是真命题,q p ∧是假命题，求实数的取值范围．1６.(本小题满分１4分）设函数()2ln 2x f x k x =-,0k >．(１)求()f x 的单调区间和极值；(2)证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点.１7．（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B . (1)若直线平行于AB ,与圆C 相交于M ,N 两点，MN AB =，求直线的方程；（2)在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=?若存在，求点P 的个数;若不存在,说明理由．1８.（本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ,与轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点,过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. （1)求椭圆E 的标准方程；（2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程;（3)求BCD ∆面积的最大值.19.（本小题满分１６分）如图所示，有一块矩形空地ABCD ,AB =k ｍ,BC =km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口,其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称,矩形内筝形外的区域均为绿化区. （１)请确定入口F 的选址范围;（２)设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为21S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大?xyDCOBA20.(本小题满分16分)设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.(1)若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线,求实数的值;（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -(为自然对数的底数),求实数的值;(3）若关于的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.参考答案：1.假 ２.xy 43±= 3. 充分不必要 4. 32- ５. １ 6. [1,1]- 7. （0，2） ８．225x y -= 9． －３或-4 10.(,1)(0,1)-∞-11．1-错误!，+∞) 12. 2y x =±1３． 12，３]． 14.解：当x≥２a 时，f （x)=｜e x ﹣e 2ａ|=e x ﹣ｅ2a ,此时为增函数, 当ｘ<２a 时，f(x)=|ｅx ﹣e 2ａ|＝﹣e ｘ+e 2a ,此时为减函数, 即当x=２a 时,函数取得最小值0，设两个切点为M （x 1,ｆ（x １））,N((x 2，f(x 2））, 由图象知,当两个切线垂直时,必有,ｘ1＜2a ＜x 2， 即﹣１<２a<3﹣ａ，得﹣＜ａ<1，∵k 1k 2=f′（x １）f′(ｘ2)=e ｘ１•（﹣e x ２)=﹣e x １+x2=﹣1, 则eｘ1+x2=１，即x 1+x ２=０，∵﹣1<x 1<0,∴0＜ｘ2<1，且x 2>2a ， ∴2a<1,解得a ＜, 综上﹣<a ＜, 故答案为：(﹣，)．1５．解：命题p:ｆ′（x)=３ｘ２+2ax+a+， ∵函数ｆ（ｘ）在（﹣∞，＋∞)上有极值, ∴f′(x ）＝0有两个不等实数根,∴△＝4ａ2﹣４×３(ａ＋）=４a 2﹣4（3a+4)>0, 解得ａ＞4或ａ<﹣1； 命题q ：双曲线的离心率ｅ∈（1，２),为真命题，则∈(１,2),解得0＜a<15.∵命题“p ∧q”为假命题,“ｐ∨q”为真命题, ∴p 与q 必然一真一假, 则或，解得:ａ≥１5或0<a≤4或a ＜﹣１. 16.所以,()f x 的单调递减区间是k ，单调递增区间是()k +∞；()f x 在x k =(1ln )2k k f k -=. (Ⅱ）由(Ⅰ)知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )(2k k f k -=. 因为()f x 存在零点,所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥． 当k e =时,()f x 在区间)e 上单调递减，且(0f e =， 所以x e =()f x 在区间e 上的唯一零点．当k e >时,()f x 在区间e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02e kf e -=<， 所以()f x 在区间e 上仅有一个零点．综上可知,若()f x 存在零点，则()f x 在区间e 上仅有一个零点.考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题. 17．．（2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ,则22(2)4x y -+=,222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， 0因为22|22|(20)(01)22--+-<+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为．…………………………………………………………14分１８. 解:(1）由题意得53c a =,2455a c c -=,解得3,5a c ==，所以224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．………4分(2)设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在,设为1234,,,k k k k ,则001200,33y y k k x x ==+-+,00340033,x x k k y y +-=-=, 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++,消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++,化简得3x =, 故点D 在定直线3x =上运动． ……１０分(3)由(2)得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+,又2200194x y +=, 所以220994y x -=-，则20000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-,所以点D 到直线BC 的距离为00005944D y y y y y -=--=, 将0y y =代入22194x y +=得x =±， 所以BCD ∆面积0119224ABCS BC h y ∆=⋅=⨯22000112727442224y y y -+=≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即0y =时等号成立，故0y =,BCD ∆面积的最大值为274． ……１６分 １９.解:（1)以Ａ为原点，AB 所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为, 而EG AF ⊥,故EG 的斜率为1a-, 则EG 的方程为()11y a x a-=--, 令0x =,得1G y a a=+; ………2分 令0y =，得21E x a =+; … …4分由04020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪<≤⎨⎪⎩，得220102a a a ⎧-≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩, 21a ∴≤≤，即入口F 的选址需满足BF的长度范围是[42]-（单位:km).……６分 （2）因为()23111212AEG S S AE AG a a a a a a∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭, 故该商业区的环境舒适度指数121111811ABCD ABCD S S S S S S S S -==-=-, ……９分 所以要使21S S 最大，只需1S 最小. 设()3112,[2S f a a a a a==++∈ ……1０分 则()()())()2224222222111311132132a a a a a f a a a a a a -++-++-'=+-===令()0f a '=，得a =a =(舍）, ………12分()(),,a f a f a '的情况如下表:22⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭ 1 ()f a '0 +()f a减极小增故当3a =，即入口F满足BF =km 时,该商业区的环境舒适度指数最大1６分 20.解：（1)()ln f x ax x=-+，()1f x ax'∴=-， 设切点横坐标为0x ,则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩…………2分消去，得0ln 0x =,故01x =，得 2.a =- ………4分 （２)()22111,1,1,f x a x e x e x'=-≤≤≤≤ ①当21a e≤时,()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立,()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()22max 21f x f e ae ae ==-=-，得2211a e e e =>-,舍去； ……………５分 ②当1a ≥时,()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则()()max 11f x f a ae ==-=-，得111a e =<-，舍去; ………６分 ③当211a e <<时,由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩,得11x a ≤<;由()201f x x e'⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩，得21x e a <≤，故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在21,e a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫==--=-⎪⎝⎭,得2ln 0ae a --=, ……8分 设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭当211,a e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()10g a e a '=-<,()g a 单调递减, 当1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10g a e a'=->,()g a 单调递增， 故()min 10g a g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e=. 综上①②③,1a e=. ……………1０分(3)方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-， 令()1ln 2h x x x =+,故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-,………１2分 由（2)可知()h x 在()0,+∞上单调递增,故2230x x t x tx t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=(※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根, ……………1３分①当410t ∆=+=,即14t =-时，方程(※）的实数根为1124x =>-,满足题意；---- ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ)若1,x t =2,x t >代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =,当0t =时方程(※)的两根为0,1,符合题意;当2t =时方程(※）的两根为2,1-，不合题意,舍去; Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<; 综合①②，实数的取值范围为02t ≤<或14t =-.…………16分。

2021年高二上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题1．已知椭圆+=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（）A．1 B．3 C．6 D．102．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=03．抛物线x2=4ay（a≠0）的焦点坐标是（）A．（a，0）B．（﹣a，0）C．（0，a）D．（0，﹣a）4．若双曲线的方程为x2﹣2y2=4，则它的右焦点的坐标为（）A．B．C．（6，0）D．（2，0）5．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．6．已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，渐近线方程为y=2x，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．128．若AB过椭圆+=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（）A．6 B．12 C．24 D．489．已知点P在抛物线y2=4x上，定点M（2，3），则点P到点M的距离和到直线l：x=﹣1的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．310．椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1、F2，连接点F1，F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题11．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，则m的值为．12．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线在左支相交于A、B两点．如果|AF2|+|BF2|=2|AB|，那么|AB|=．13．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．抛物线x2=2y上与点M（0，2）距离最近的点坐标为．15．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么|PF|=．三、解答题16．已知直线y=kx+2和椭圆+=1，当k取何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？17．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．18．若动点P到点的距离比它到直线的距离小1．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若直线y=mx﹣4与轨迹E交于A、B两点，且．求实数m的值．19．已知点A（0，2）和抛物线C：y2=6x，求过点A且与抛物线C只有一个交点的直线l 的方程．20．设A，B分别是双曲线的两渐近线上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程．21．已知椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过焦点F的直线交椭圆于P，Q两点．①若OP⊥OQ，求直线PQ的斜率；②若直线PQ的斜率为1，在线段OF之间是否存在一个点M（x0，0），使得以MP，MQ 为邻边构成的平行四边形为菱形，若存在，求出M点的坐标；不存在，请说明理由．xx学年山东省德州市武城二中高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知椭圆+=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（）A．1 B．3 C．6 D．10【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的第一定义即得答案．【解答】解：由椭圆的方程知a=5，由椭圆的第一定义知椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2a，又∵该椭圆上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，∴点M到另一个焦点的距离为2×5﹣4=6，故选：C．2．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，即3x±2y=0．故选：C．3．抛物线x2=4ay（a≠0）的焦点坐标是（）A．（a，0）B．（﹣a，0）C．（0，a）D．（0，﹣a）【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接由抛物线的标准方程，可得结论．【解答】解：抛物线x2=4ay（a≠0）的焦点坐标是（0，a），故选：C．4．若双曲线的方程为x2﹣2y2=4，则它的右焦点的坐标为（）A． B． C．（6，0）D．（2，0）【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的方程为x2﹣2y2=4，标准方程为=1，确定几何量，即可得出结论．【解答】解：双曲线的方程为x2﹣2y2=4，标准方程为=1，∴a=2，b=，c=，∴右焦点的坐标为（，0），故选A．5．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知b=，b==，由此可求出双曲线的虚轴长．【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=，∴b==，∴b=1，∴该双曲线的虚轴长是2．故选A．6．已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，渐近线方程为y=2x，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=5，再由渐近线方程可得b=2a，再由a，b，c的关系，解得a，b．进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的焦距为10，则c=5，由于渐近线方程为y=x，则有=2，由c2=a2+b2=25，解得a=，b=2．则双曲线的方程为﹣=1．故选B．7．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x 的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由，解得y=±3，所以a（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B．8．若AB过椭圆+=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（）A．6 B．12 C．24 D．48【考点】椭圆的简单性质．【分析】先设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），再表示出△F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB面积的最大值．【解答】解：设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），则△F1AB面积S=OF×|2y|=c|y|．∴当|y|最大时，△F1AB面积最大，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，则△F1AB面积的最大值为：cb=×4=12．故选B．9．已知点P在抛物线y2=4x上，定点M（2，3），则点P到点M的距离和到直线l：x=﹣1的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PAM+d 的最小值为|MF|，再由两点间的距离公式可得答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）因为点M（2，3），在抛物线外，根据抛物线的定义可得|PM|+d的最小值为|MF|==故选C．10．椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1、F2，连接点F1，F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，由题设条件知AF1=AB=BF2=c，∠F1AF2=90°，由此建立a，c的关系，能够求出椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，由题设条件知AF1=AB=BF2=c，∠F1AF2=90°，∴，∴，∴．故选D．二、填空题11．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，则m的值为3．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意求出c2，结合离心率列式求得m值．【解答】解：∵椭圆是焦点在y轴上的椭圆，∴a2=5，b2=m，则c2=a2﹣b2=5﹣m，又，得，即m=3．故答案为：3．12．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线在左支相交于A、B两点．如果|AF2|+|BF2|=2|AB|，那么|AB|=4a．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的定义得：|AF2|﹣|AF1|=2a…①，|BF2|﹣|BF1|=2a…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4a，即|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，∵|AF2|+|BF2|=2|AB|，∴2|AB|﹣|AB|=4a，即|AB|=4a，故答案为：4a．13．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．14．抛物线x2=2y上与点M（0，2）距离最近的点坐标为（，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设曲线x2=2y上任意一点P（x，x2）．利用两点的距离公式以及二次函数求最值即可解答．【解答】解：设抛物线x2=2y上任意一点P（x，x2）．由两点间的距离公式，得|PM|==，∴当x2=2时，|PM|取最小值．此时，x=±，y=1，∴抛物线x2=2y上与点M（0，2）距离最近的点坐标为（，1），故答案为：（，1）15．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么|PF|=8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x=﹣2，∵直线AF的斜率为﹣，直线AF的方程为y=﹣（x﹣2），由可得A点坐标为（﹣2，4）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|=|PA|=6﹣（﹣2）=8故答案为8三、解答题16．已知直线y=kx+2和椭圆+=1，当k取何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？【考点】椭圆的应用．【分析】直线y=kx+2，代入椭圆+=1，整理可得（2+3k2）x2+12kx+6=0，根据△，可得结论．【解答】解：直线y=kx+2，代入椭圆+=1，整理可得（2+3k2）x2+12kx+6=0，∴△=（12k）2﹣24（2+3k2）=72k2﹣48令72k2﹣48＞0，可得k＜﹣或k＞，直线与椭圆相交；令72k2﹣48=0，可得k=±，直线与椭圆相切；令72k2﹣48＜0，可得﹣＜k＜，直线与椭圆相离．17．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），代入椭圆的方程化简，由x1+x2==8解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k=0，代入椭圆的方程化简得：（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，∴x1+x2==8，解得：k=﹣，则直线l的方程为x+2y﹣8=0．18．若动点P到点的距离比它到直线的距离小1．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若直线y=mx﹣4与轨迹E交于A、B两点，且．求实数m的值．【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）转化题中的条件，应用抛物线的定义求出点P的轨迹方程．（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理通过弦长公式求解即可．【解答】解：：（1）据题意可知，点P（x，y）到直线y=的距离等于它到点F（0，）的距离，所以点P的轨迹是以点F（0，﹣）为交点，直线y=为准线的抛物线．因为p=，抛物线开口向下，故点P的轨迹方程是x2=﹣y．（2）由，可得：x2+mx﹣4=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），∴x1+x2=﹣m，x1x2=﹣4，|AB|=|x1﹣x2|==3，解得m=．19．已知点A（0，2）和抛物线C：y2=6x，求过点A且与抛物线C只有一个交点的直线l 的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分两种情况讨论：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时，即可得出结论．【解答】解：（1）当过点P（0，2）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+2，代入抛物线方程，消y得k2x2+（4k﹣6）x+4=0，①若k=0，方程为y=2，此时直线与抛物线只有一个交点；②若k≠0，令△=（4k﹣6）2﹣16k2=0，解得k=，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，此时直线方程为3x﹣4y+8=0；（2）当过点P（0，2）的直线不存在斜率时，该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；综上，过点P（0，2）与抛物线y2=6x有且只有一个交点的直线方程为y=2，x=0和3x﹣4y+8=0．20．设A，B分别是双曲线的两渐近线上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得x=x1+x2=（y1﹣y2），y=y1+y2=（x1﹣x2），由此利用|AB|=2，能求出点P的轨迹方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），∵动点P满足，∴x=x1+x2，y=y1+y2，∵A，B分别是双曲线的两渐近线上的动点，∴y1=x1，y2=x2，∴x=x1+x2=（y1﹣y2），y=y1+y2=（x1﹣x2），∴|AB|==2化简可得P的轨迹方程为=121．已知椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过焦点F的直线交椭圆于P，Q两点．①若OP⊥OQ，求直线PQ的斜率；②若直线PQ的斜率为1，在线段OF之间是否存在一个点M（x0，0），使得以MP，MQ 为邻边构成的平行四边形为菱形，若存在，求出M点的坐标；不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆短轴长为，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为且，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）①设设过焦点的直线方程为y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量垂直、向量的数量积，结合已知条件能求出直线PQ的斜率．②假设在线段OF上存在一个点M（x0，0），使得MP、MQ为邻边构成一个平行四边形为菱形，由题意，k PO=1，由此利用直线垂直的性质，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为且，∴设椭圆方程为，（a＞b＞0），2b=2，解得b=，，∵，∴，解得c=2，∴a2=2+4=6，∴椭圆方程为=1．（2）①设P（x1，y1），Q（x2，y2），设过焦点的直线方程为y=k（x﹣2），由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，，，∵OP⊥OQ，∴=0，∴x1x2+y1y2=0，∵，∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2﹣2k2（x1+x2）+4k2==0，∴k=±．②假设在线段OF上存在一个点M（x0，0），使得MP、MQ为邻边构成一个平行四边形为菱形，由题意，k PO=1，设PO中点N（x N，y N），由MN⊥PQ，得=﹣1，∴x0=x N+y N，又，，∴x0=1，∴存在M（1，0）．精品文档xx年11月14日28199 6E27 渧v30878 789E 碞27921 6D11 洑22394 577A 坺29623 73B7 玷38830 97AE 鞮d 23287 5AF7 嫷33110 8156 腖R实用文档。

高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（ ）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（ ）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（ ）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的 ，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（ ） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（ ） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（ ） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（ ）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分） 已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时， ，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时， ，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令 则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。