高中数学竞赛专题讲座之数列

时光荏苒，转眼间我们已迈入高三这个紧张而关键的阶段。

在这个阶段，数列作为高中数学的重要组成部分，对我们的数学学习提出了更高的要求。

近期，我有幸参加了一场关于数列的讲座，通过这次讲座，我对数列有了更深入的理解，以下是我的一些心得体会。

一、数列的概念与性质讲座伊始，讲师首先向我们介绍了数列的基本概念和性质。

数列是由一系列按一定顺序排列的数组成的，它可以是有限数列，也可以是无限数列。

数列的通项公式是描述数列中每一项的规律的关键。

通过学习数列的性质，我认识到数列的有序性、递增性、递减性等特点，这些特点在解决数列问题时具有重要作用。

二、数列的求和问题在讲座中，讲师详细讲解了数列的求和问题。

求和问题是数列学习中的核心问题，也是高中数学考试中的热点。

通过学习，我了解到数列求和的方法有很多，如分组求和、错位相减、裂项相消等。

这些方法在解决不同类型的数列求和问题时具有很好的效果。

例如，在解决等差数列求和问题时，我们可以运用分组求和的方法；而在解决等比数列求和问题时，则可以运用错位相减的方法。

通过这次讲座，我对数列求和问题有了更加全面的认识。

三、数列的应用讲座中，讲师还向我们展示了数列在现实生活中的应用。

例如，在经济学中，我们可以用数列来描述经济指数的变化；在物理学中，我们可以用数列来描述物体的运动轨迹。

这些应用使我认识到数列知识的重要性，也让我对数学学习产生了更浓厚的兴趣。

四、学习方法与技巧在讲座的最后，讲师分享了学习数列的方法与技巧。

以下是我在讲座中总结的一些学习心得：1. 注重基础知识：数列学习的基础是掌握数列的概念、性质和通项公式，只有对这些基础知识有扎实的掌握，才能在解决数列问题时游刃有余。

2. 善于归纳总结：在学习数列的过程中，我们要善于归纳总结各种类型数列的求和方法和解题技巧，以便在考试中能够迅速找到解题思路。

3. 勤于练习：数列知识的应用需要大量的练习，只有通过不断的练习，我们才能熟练掌握各种解题方法，提高解题速度。

高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n,….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列｛a n｝的一般形式通常记作a i, a2, a3,…，a n或a i, a2, a3,…,a n….其中a i叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项.定理1 若S表示｛a n｝的前n项和，贝U S i=a i,当n>1时，a n=S-S n-i.定义2等差数列，如果对任意的正整数n,都有a n+i-a n=d (常数)，则｛a n｝称为等差数列，d叫做公差.若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d, c=b+d.定理2等差数列的性质：1 )通项公式a n=a i+(n-1)d ；2)前n项和公式：S= ——= na t n(n_。

d ；3) a n-an=(n-m)d，其中n, m 为正整数；4)若n+m=p+q,2 2则a n+a m=a p+a q；5)对任意正整数p, q,恒有a p- a q=( p- q)( a2- a i) ；6)若A, B至少有一个不为零，则｛a n｝是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数n,都有，则｛a n｝称为等比数列，q叫做公比.定理3等比数列的性质：1) a n=a i q n-i; 2)前n项和S n,当q i时，S n=；当q=1时，S n=na i；3) 如果a, b, c成等比数列，即b2=ac( b0)，则b叫做a, c的等比中项；4)若m+n=p+q,则ana n=apa q. 定义4极限，给定数列｛a n｝和实数A若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n€ N,都有| a n- A|< ,则称A 为n f+8时数列｛a n｝的极限，记作定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛a n｝的公比q满足| q|<1 ,则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)定理3第一数学归纳法：给定命题p(n),若：(1) p(n。

递归数列讲座知识与方法递归（推）数列数列的表示方法大致有两类：一是通项公式；另一是递推公式．数列{}n a 的相邻几项的关系式简称为递推式．数学竞赛中遇到有关数列的问题不仅是等差、等比数列，许多是递归数列的问题．在解递归数列的问题时，有时需要根据递推关系求数列的通项，常常用到叠加法：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；适当时需要进行代数换元转化为常见数列的通项；有时需要用到从特殊到一般的、归纳－猜想证明方法（常常用到数学归纳法）．但也有一些题目并不要把数列的通项公式求出，而往往可根据题设所给的递推关系，得到新的、更明显的递推关系．而这时就需要综合运用其他数学知识．范例选讲1. 已知11=a ，52=a ，121211++=--+n n n n n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式．解：定义11=F ，02=F ， ,4,3,21=+=--n F F F n n n 由所给关系式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+21221111111n n n a a a ,由归纳法可得 ,2,1,111111122212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++n a a a n nF F n从而1112251322526211+++-=⎪⎭⎫⎝⎛=+n n nn n F F F F F na ,因此(),2,1,15132212112=-=--+++n a n n n F F F n其中 ,2,1,2512515122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n F n n n 注：本题是今年冬令营的一个测试题．在解题时层层推进，比较容易找到思路．2. 证明数列knk k n n Ca 3012122⋅=∑=++都不能被5整除．解：10=a ，111=a ，又()()12232312322221222+-+=⋅=k k k．所以()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++1212122122241n n n a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=nn249122249122241．18211=+=x x c ，49212-=-=x x c ,所以()5mod 349182121----+≡-=n n n n n a a a a a ．,,10a a 除以5的余数为 ,1,1,3,2,2,1,4,4,2,3,3,4,1,1形成周期数列．()5mod 12n n a a ≡+，又前12项中没有被5整除的．∴命题得证．注：这是一个逆向运用二阶递推的例子．已知数列的通项公式无法证明所要求证的．反过来通过将数列的二阶递推关系找到，结合数列的周期性加以证明．3. 数列{}n a 满足10=a ，51=a ，() ,3,229322121=--=---na a a a n n n n ，证明n a 都是整数．解：由题意知93221212--=---n n n n a a a a ，9322211--=+-n n n n a a a a ．两式相减， 有1212211323222---+-+--=-n n n n n n n n a a a a a a a a ．整理，得() ,3,23223222111=-+-+=--+-n a a a a a a n n n n n n ，将1-n 个式子联乘得11120223,223n n n a a a a a a +-+-=+-又132=a ．所以322511-+=-+n n n a a a （＊），可得()32213211--=---+n n n n a a a a ，又03201=--a a ，所以0321=---n n a a （１）， 由此可推知Z a n ∈．又由（＊）式推知()3223211+-=+--+n n n n a a a a ，又123201=+-a a 所以n n n n a a 262123211⋅=⋅=+---．与（１）联立可解得322-=+n n a ．注：本题已知数列的一个递推关系是分式形式的，证明＂n a 都是整数＂有一定的难度．因此通过整理变形得到数列的另一个递推公式：0321=---n n a a ．这样证明起来变得容易了．另外本题也可通过先求数列的前几项，再根据结果猜测数列满足0321=---n n a a ，再用数学归纳法加以证明．4. 求证：由31=a ，52=a 及不等式()N n n na a a n a a n n n n n ∈≥+<<-+-+-,21111可唯一确定正整数列{}n a ．解：（1）先证明3+=n n F a 是满足条件的．（{}n F 为斐波那契数列）413F a ==，413F a ==均成立． ∵12213=-F F F .当3≥k 时,()()()21221112111-------+--=+-+=-k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F ,因为()()()()()222132212211111-----+-=--==--=-n n n n n n n n F FF F F F F F F ．若对所有N n ∈，3+=n n F a ． 则验证2≥=k n 时，()123242111+++++--=-=-k k k k kk k F F F a a a ,所以k a a a k k k k <≤-≤-<-+-11211，na a a n a a k k k k k +<<-+-+-1111．存在数列{}n a ．（使{}n a 中每个3+=i i F a ）（２）下证：{}n a 唯一确定．用数学归纳法证明3+=n n F a 且22+≥n a n （＊）．3=n 时，92232371223122=+<<-=<a a a a a ．事实上由已知不等式可推得12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ，因为N a ∈3，所以83=a ，同时2323+⨯≥a ．所以（＊）成立．4=n 时，1456733561122234223<=+<<-=<a a a a a ，又N a ∈4，所以134=a ．另外，2424+⨯≥a ，所以（＊）成立．设1-=k n 及()4≥=k k n 时（＊）成立．则1+=k n 时， 因为()12122211212=+-≤=--+---k ka k a k a a k a k k k k k ，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1212,k k k k a k a a k a 中至多只有一个整数． N a k ∈+1，且12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ,所以1+k a 确定为4+k F ．且()()21222212341++≥++≥+=+==+++++k k k a a F F F a k k k k k k ．所以1+=k n 时，（＊）成立． 因此{}n a 唯一确定．证毕．综合（１）（２），可发现⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+++33325125151n n n n F a ． 注：本题用同一法证明．在证明过程中用到了数学归纳法． 5. 数列{}n a 定义如下：01=a ，12=a ，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+=--2111212121n a n n na a n n n n ()3≥n ．试求()11222211132a nC a C n a C a C a f n n n n n n n n n n ----+-++++= 的最简表达式．解：由题意知()()()2112121--+-+=+--n a n n na a n n n n ，所以()()()()!21!2!1!2121n n n a n a n a n n n n --+-+-=+--,令!n a b n n =，01=b ，212=b ．则()()!212121n n b b b n n n n --++=+--,所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-------!111!21221211n b b n b b n n n nn n ，令()!111n b b c nn n n ---=-，则121--=n n c c ，又02=c ，所以()!111n b b nn n -+=-.另一方面，()()()∑∑==--⋅-+=-+=nk k n k k kn nn a k k n n k n a Ck n f 11!!!11．令()∑=--+==nk k n n b k n kn n f g 1!1!，()()k nk k n k n n b k n kn b k n kn g g ⋅--+-⋅-+-+=-∑∑=+=+1111!1!12()()()()1121212!2!12!12-+=-=+=-⋅--+=⋅+--+-⋅-+-+=∑∑∑k kn k k nk k n k b bk n kn b k n kn b k n kn()()()()()()∑∑∑+==+=+--+--=-⋅+--+=12212!!11!!1!1!12n k knk k kn k k k n k k n k k n kn ()()()()()()[]11!111!11!111!11212+-+---=-++-=∑∑+=+=n n n n C n Cn n k kkn nk kkn()()!11!11+--=n n又342323=+=b b g ，所以()()1!2!11!1!31!21!3+-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=n n n n g n f n ． 注：这是2000年冬令营的测试题．由已知条件比较容易根据题设的条件想到将数列{}n a 的递推关系除以!n ，从而得到{}n b 的递推关系：()!111n b b nn n -+=-．同时也应将n f 的两边同除以!n ，先求出n g 与1-n g 的关系．6. 设数列{}n a 的通项公式为()()N n a nnn ∈--=312；数列{}n b 的定义如下：20=b ，251=b ，()()N n b b b b n n n ∈--=-+12112．求证：对一切自然数n ，都有[]na nb 2=．证：我们证明更强的命题：N n b nna a n ∈+=-,22,易知数列{}n a 的特征方程是022=--x x ，所以{}n a 的递推公式是N n a a a n n n ∈+=++,212，故N a n ∈．下面用数学归纳法证明加强的命题．(1) 当1=n 时，11=a ，112225-+==b ，命题成立．(2) 假设当k n ≤时，命题成立，都有kkaa kb -+=22．当1+=k n 时，()()()[]12111211222222b b b b b k k kka a a a k k k --++=--=-----+()()1222222bkkkka a a a -++=--122)2(211112222b k k k k k k k k a a a a a a a a -+++=----+--+-+12211112222b k k k k k k a a a a a a -+++=--+++---,而()()[]kkkkk k a a 1222123121-⋅+⋅---=--()[]()1111331++-=-⋅=k k ．所以121=--k k a a ，112225222211b k k k k a a a a ==+=+-+----．所以11221++-++=k k a a k b ， 当1+=k n 时命题也成立．由（１）（２）可知，加强命题成立．同时，又因为N a n ∈,所以[]na nb 2=，原命题得证．注：本题的关键在于加强命题N n b nna a n ∈+=-,22．然后用数学归纳法加以证明．在加强命题之前可通过计算数列的前几项找到规律．7. 设()m a a a A ,,,21 =是由m 个数{}m i a i ,,2,1,1,0 =∈组成的数组．定义运算S 如下：(){}m m b b b b b b A S 2124321,,,,,,-= ，其中当1=i a 时，012=-i b ，12=i b ；当0=i a 时，112=-i b ，02=i b ，m i ,,2,1 =．用()A Sn表示()()() A S S S （n 个S ）．取()1=A ．问在()()n a a aA S n221,,, =有多少对由连续两项组成的数对()1,+i i a a ，满足01==+i i a a ？解：()1=A 时，()()na a a A Sn221,,, =中满足01==+i ia a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n f ，满足0=i a ，11=+i a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n g ．由题意知，()A Sn中数对()0,0必由()A S n 1-中的数对()1,0经运算S而得到，而()A S n 1-中的数对()1,0必由()A S n 2-中的1或数对()0,0经运算S 而得到．由于()A Sn 2-是22-n 数组，其中有一半的项（即32-n ）为1，所以可得如下递归关系：2312---+==n n n nf g f ． ∴当n 为奇数时， =++=+=-----45323222n n n n n n f f f 3122222110253-=+++++=---n n n f当n 为偶数时，31222212153+=++++=---n n n n f f ．∴()()1n S 中，连续两项是0的数对有()[]nn 12311-+-个．注：本题是个应用题，关键在于通过题意找到递归关系．训练题1. 设{}n a 中的每一项都是正整数，并有21=a ，72=a ，()32121221≥≤-≤---n a a a n n n ．证明：自第二项开始，数列的各项都是奇数．2. 已知00=a ，11=a ，()1221>+=--n a a a n n n ．证明：n a kn k22⇒．3. 已知数列{}n a 满足：11=a ，22=a ，且212212-++=n n n a a a ，() ,2,121222==++n a a a n n n ，试求数列的通项公式．4. 设d 为正整数，求()d x x x n mod 021≡++ ，()n i dx i ≤≤<<10的解()n x x x ,,,21 的个数．。

第2讲 数列的性质（二）一、知识点介绍 （一）周期性1、周期数列的定义对于数列}{n a ，若存在一个（固定的）正整数T ，对于任意整数+∈>N n N n ,均有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 为从N 项起的周期为T 的周期数列，T 的最小值称为最小（正）周期，简称为周期。

例如：})1{(n -是以2为周期的数列；}2{sin πn 是以4为周期的周期。

当1=N 时，称}{n a 为纯周期数列；2≥N 时，称为混周期数列。

2、周期数列的性质（1）、若T 是数列}{n a 的最小正周期，'T 是它的另一个周期，则'T T ； （2）、周期数列的值域是有限集；（3）、若数列}{n a 满足：),,(11-+++=k n n n k n a a a f a ，且值域是有限集，则数列}{n a 是周期数列。

（4）、若数列}{n a 均为周期数列，则数列}{n n b a ±、}{n n b a ⋅、)0}({≠n nnb b a 也是周期数列。

（三）、模周期性1、定义：设数列}{n a 是整数数列，m 是一个固定的大于1的正整数，①、若)(mod m a b n n ≡，}1,,2,1,0{-∈m b n ，则称}{n b 是}{n a 关于m 的模数列，记作)}(mod {m a n ； ②、若)}(mod {m a n 是周期数列，则称}{n a 是关于m 的 模周期数列，简称模m 周期数列。

例如：自然数列}{n 是关于模m 的周期数列。

2、模周期数列的性质①、模周期数列的值域是有限整数集；②、若)(m T T =是模周期数列的最小（正）周期，1T 是它的任一周期，则1T T ；③、若模周期数列)}(mod {1m a n 、)}(mod {2m a n 和)}(mod {m a n 的周期分别为)(1m T 、)(2m T 、)(M T ,这里],[21m m M =且21m m ≠，则)(M T =)](),([21m T m T 。

高中数学竞赛辅导第九讲高中数学竞赛辅导第九讲 数列与递进数列与递进知识、方法、技能知识、方法、技能数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, , a a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有项和，则有îíì³-==-).2(),1(11n S S n S a n n nI ．等差数列与等比数列．等差数列与等比数列 1．等差数列．等差数列（1）定义：.2)(211++++==-n n n n n aa a d a a 或常量（2）通项公式：a n=a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=（4）等差中项：.221+++=n n n aa a（5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质：）性质：①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数；的一次函数；②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数；的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列；仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{nS n 是等差数列；是等差数列；⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；是等差数列；⑦设{a n }与{b n }是等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1，λ2是常数）也是等差数列；是常数）也是等差数列；⑧设{a n }与{b n }是等差数列，且b n ∈N*，则{a bn }也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{a n}是等差数列，则{na C}（c>0, c ≠1）是等比数列. 2．等比数列．等比数列 （1）定义：nn n n nn a a a a q a a 1121),(++++==或常量（2）通项公式：a n =a 1q n －1. （3）前n 项和公式：ïîïíì¹--=--==).1(11)1().1(111q q q a a q q a q na S n nn（4）等比中项：.21++±=n n n aa a（5）任意两项：a n =a m qn －m. （6）无穷递缩等比数列各项和公式：）无穷递缩等比数列各项和公式： S=).1||0(1lim 11<<-==¥®+¥=åqqa S a n n n n（7）性质：）性质：①设{a n }是等比数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m ·a n =a p ·a q；②设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …，…， S pm －S (p －1)m (m>1, p ≥3，m 、n ∈N*)仍为等比数列；仍为等比数列；③设{a n }是等比数列，则{λa n }（λ是常数）、{mn a }（m ∈Z*）仍成等比数列；）仍成等比数列； ④设{a n }与{b n }是等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列；也是等比数列；⑤设{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，b n ∈Z*，则{a bn }是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；⑥设{a n }是正项等比数列，则{log c a n }(c>0, c ≠1)是等差数列. 赛题精讲例1 设数列{a n }的前n 项和S n =2a n －1(n=1, 2,…)，数列{b n }满足b 1=3, b k+1=b k +a k (k=1,2，…)，求数列{b n }的前n 项之和. （1996年全国数学联赛二试题1）【思路分析】欲求数列{b n }前n 项和，需先求b n . 由a k =b k+1－b k , 知求a k 即可，利用即可，利用 a k =S k －S k －1(k=2, 3, 4,…)可求出a k . 【略解】由S n =2a n －1和a 1=S 1=2a 1－1,得a 1=1, 又a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1,即a n =2a n －1,因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则有a n =2n －1. 由a k =b k+1－b k ，取k=1,2,…,n －1得 a 1=b 2－b 1, , a a 2=b 3－b 2, , a a 3=b 4－b 3, …, , a a n －1=b n －b n －1,将上面n －1个等式相加，得b n －b 1=a 1+a 2+…+a n . 即b n =b 1+a 1+a 2+…+a n =3+(1+2+22+…+2n －1)=2n －1+2,所以数列{b n }的前n 项和为S n ′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n －1）=2n+2n－1. 【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法. 例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形. 【思路分析】由△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d, 60°, 60°+d ，其中d 为常数；又由对应的三边a 、b 、c 成等比数列，知b 2=ac ，或将三边记为a 、aq 、aq 2，其中q 为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c. 【证】设△ABC 的三个内角为A 、B 、C 及其对边a 、b 、c ，依题意b 2=ac, ∠B=60°. 【方法1】由余弦定理，得,,2160cos 2cos 22222ac ac c a acb c a B =-+==-+=所以整理得(a －c)2=0因此a=c. 故△ABC 为正三角形. 【方法2】设a 、b 、c 三边依次为a 、aq 、aq 2，由余弦定理有，由余弦定理有 cosB=2160cos 2)()(22222==××-+aqa aq aq a ,整理得q 44－2q 22+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC 为正三角形. 【方法3】因为b 2=ac, 由正弦定理：由正弦定理：(2RsinB)22=2RsinA ·2RsinC （其中R 是△ABC 外接圆半径）即sin 22B=sinA ·sinC ，把，把 B=60°代入得sinA ·sinC=43，整理得21[cos(A －C)－cos(A+C)=43，即cos(A －C)=1,所以A=C ，且∠B=60°，故此△ABC 为正三角形. 【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d 代入sin 2B=sinAsinC, 得sin(60°－d)·sin(60°+d)= 43，即21[cos(2d)－cos120°]= 43. 得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C ，故△ABC 为正三角形. 【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角. 例3 各项都是正数的数列{a n }中，若前n 项的和S n 满足2S n =a n +na 1,求此数列的通项公式. 【思路分析】【思路分析】 在S n 与a n 的混合型中，应整理成数列{S n }的递推式或数列{a n }的递推式，然后用递推关系式先求出S n ，再求a n ，或直接求a n .本题容易得到数列{S n }的递推式，利用a n =S n －S n －1先求出S n ，再求a n 即可. 【解】n ≥2时，将a n =S n －S n －1代入2S n =a n +na 1,得2S n =S n －S n －1+11--n n S S ,整理得整理得,1),2(111212==³=--a S n S S n n 且所以数列}{2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即),2(1,,1)1(112³--=-===×-+=-n n n S S a n S n n S n n n nn 从而当n=1时，由2S 1=a 1+na 1,得a 1=1也满足1--=n n a n. 故数列{a n }的通项公式为1--=n n a n. 【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足S n 与a n 混合型中的通项公式. 例4 设数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系为S n =－ba n +1－nb )1(1+，其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.（1）求a n 与a n －1的关系式；的关系式；（2）写出用n 与b 表示a n 的表达式. 【思路分析】利用S n =a n －a n －1(n ≥2)整理出数列{a n }的递推关系式求a n . 【解】（1）21111)1(1)1(11b a b ba S a +=+-+-==得当n ≥2时，a n =S n －S n －1= －b a n +1－nn n n n nb b ba ba b ba b )1(])1(11[)1(1111+++-=+-+--+---,整理得整理得,41,1)2((*))2()1(1111==³+++=+-a b n b ba bb a n n n 时当,212111+-+=n n n a a 两边同乘以2n ，得2n a n =2n －1a n －1+21,可知数列{2n a n }是以2a=21为首项，公差为21的等差数列所以2,221)1(2121+==-+=n n n nn a n n a 即当b ≠1，b ≠－1时，时，由（*）式得(1+b)na n =b(1+b)n －1a n －1+bb +1.)1(1,)1(.)1(1)1()1(11111-----++=+=+++=+n n n n n n n n n n nbb c c a bb c bb a bb a bb 则令有从而数列{c n －c n －1}就是一个等比数列，n 取2，3，…，n 得 ,)1)(1()1()1)(1(1)1()1(,)1)(1(1)1111(11,111),111(111,)1(1,,)1(1,)1(111112111211122312+------+--=+--×+=×+=+--=+++++=+=+=++++=--+=-+=-+=-n n n nnnn nn n n nn n n n n n n b b b b b b bb b bc b b a b b bb b bbb c ba bb c bb b bc c n b b c c bb c c bb c c 从而所以且个式子相加得上述故数列{a n }的通项公式为的通项公式为ïïîïïíì±¹+--==+.1)1)(1()1(,1,21b b b b b b na n nn n【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了辅助数列{c n }、{c n －c n －1}，使数列{c n －c n －1}为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解. 例5 n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列a 11 a 12 a 13 a 14…………a 1n a 21 a 22 a 23 a 24…………a 2n a 31 a 32 a 33 a 34…………a 3n a 41 a 42 a 43 a 44…………a 4n … … … … ………… …a n1 a n2 a n3 a n4…………a nn 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24=1, a 42=81，a 43=163,求a 11+a 22+a 33+…+a nn .（1990年全国高中数学联赛试题）年全国高中数学联赛试题）【思路分析】求和需要研究a 11和a kk ，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a 1k和q,又每行成等差数列，需要求得a n 和第一行的公差d ，因而本题利用已知建立a n 、d 和q 之间关系，使问题获解. 【解】设第一行数列公差为d ，各列数列公比为q.因为2a 43=a 42+a 44, 所以a 44=2a 43－a 42=2×163－81=41.又因为a 44=a 24·q 22=q 22,所以q=21,于是有于是有ïïîïïíì=+=×==+=×=,81)21)((,121)3(31131242111424d a q a a d a q a a解此方程组，得d=21,a 11=21. 对于任意的1≤k ≤n,有.2212,22112211)211(2122121212121,2332221,,2)21](21)1(21[])1([133221111132132332211111111nn nn n nn nn nn nn kk k k k kk n a a a a n n n S n S a a a a S k k q d k a q a a --=++++--=---=-++++=++++=++++==-+=-+=×=-++++--- 故两式相减得则有设【评述】数列求和应先研究通项，通项c n =a n b n ，其中{a n }成等差为九列，{b n }为等比数列，数列{c n }的求和用错项相减去. 例6 将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n 组有(2n －1)奇数进行分组：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … （第1组）（第2组）（第3组）组）问1991位于第几组中？位于第几组中？（1991年全国高中数学联赛试题）年全国高中数学联赛试题）【思路分析】【思路分析】思路需要写出第思路需要写出第n 组的第1个数和最后一个数，1991介于其中，而第n 组中最后一个数是第（1+3+…+2n －1）=n 2个奇数为2n 2－1. 【解】因为1+3+5+…+(2n －1)=n 2所以前n 组共含有奇数n 2个，第n 组最后一个数即第n 2个奇数为2n 2－1,第n 组第一个数即第n －1组最后一个数后面的奇数为[2(n －1)2－1]+2=2(n －1)2+1.由题意，有不等式由题意，有不等式2(n －1)2+1≤1991≤2n 2－1. 解得(n －1)2≤995且n 2≥996，从而n ≤32且n ≥32， 故n=32，即1991位于第32组中. 【评述】应用待定的方法，假定位于第n 组中然后确定n 即可. 例7 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和，证明项和，证明.log2loglog15.025.05.0++>+n n n S S S（1995年全国高考题）年全国高考题）【思路分析】要证原结论成立，只需证S n S n+2<21+n S 成立，用等比数列前n 项和公式表示或建立S n 、S n+1、S n+2的关系，用比较法证之. 【证法1】设{a n }的公比为q,由题设知a 1>0, q>0. （1）当q=1时，S n =na 1，从而，从而S n S n+2－21+n S =na 1(n+2)a 1－21a (n+1)2=－21a <0. （2）当q ≠1时，,1)1(1qq a S n n --=0)1()1()1()1)(1(2122121222112<-=------=-+++-nn n n n n n qa q q a q q q a S S S由①、②知.212++<n n n S S S根据对数函数的单调性，得根据对数函数的单调性，得log2logloglog)(log15.025.05.0215.025.0++++>+>n n n n n n S S S S S S 即【证法2】设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0, q>0. 因为S n+1+=a 1+qS n , S n+2=a 1+qS n+1, 所以S n S n+2－21+n S =S n (a 1+qS n+1)－(a 1+qS n )S n+1=a 1(S n －S n+1) =－a 1(S n+1－S n ) =－a 1a n+1<0. 即.212++<n n n S S S （以下同证法1）. 【评述】明确需要证212++<n n n S S S ，建立S n 、S n+1、S n+2之间的关系较为简单. 针对性训练题1．设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13, 且a 1>0, Sn 为其前n 项之和，求S n (n ∈N*)中最大的是什么？中最大的是什么？（1995年全国高中数学联赛题）年全国高中数学联赛题）2．一个等比数列{a n }的首项a 1=2－5，它的前11项的几何平均数为25，若在前11项中抽出一项中抽出一项后的几何平均数为24，求抽去的是第几项？，求抽去的是第几项？11,,11,11+++a a a 成等差数列。

高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若 ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。

性质2：若}{n a 为等差数列，且∑∑===kl lk l l ji 11，那么∑∑===kl j k l i llaa 11（脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===kl lkl lji 11，那么l l j kl i k l a a 11===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。

性质3：若}{n a 为等差数列，记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ，那么}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记 ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。

性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则qa S n n -=∞→1lim 1。

例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n n T S n n ， 则=∞→nn n b a lim（ ）A.1 B. 36 C. 32 D.94例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ）A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若331313++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使n na b 为整数的所有正整数n 。

例4、在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式 成立。