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高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________． （－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝ （ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ） 由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝ ＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1， 即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4， 此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b ＝±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2． 解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
2008高考数学第一轮复习单元讲座 直线、圆的方程一．课标要求：1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；2．圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
二．命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
预测2007年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。
三．要点精讲1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。
高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》一、知识清单1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简).2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式.3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。
5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200||B A C By Ax d +++=。
6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x 二、试题汇编1. 与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (B) 3条 (C) 4条 (D) 6条2. 已知221a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是(A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞3. P 是圆2236x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为4. 已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .5. 若集合： {}221(,)lg(1)1lg()S x y x y x y =++≤++ {}222(,)lg(2)2lg()S x y x y x y =++≤++则2S 的面积与1S 的面积之比为 .6. 在直角坐标xoy 中，曲线235x y +=所围成的图形的面积是 .7. 直线10ax by -+=平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围为 .8. 点P 在圆2225x y +=上，A （1,2）、B （4,1），则△PAB 面积最大值是 .9. 已知[0,2)θπ∈，则θθs i n 2c o s 3-+=y 的取值范围是 .10. 方程1x -=表示的曲线是 .11. 函数()2f x x =+的值域是 .。
直线与圆的方程的应用直线与圆的方程是高中数学中的基础知识点，它们在几何图形的研究中起到重要作用。
本文将介绍直线和圆的方程的基本概念，并以实际应用为例，展示它们在解决实际问题中的应用。
直线的方程在平面几何中，直线可以用不同的方程表示，常见的有一般式、点斜式和斜截式方程。
•一般式方程：一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
•点斜式方程：点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
•斜截式方程：斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线在y轴上的截距。
直线的方程可以通过给定的条件进行推导和转换。
通过直线的方程，我们可以确定直线在平面上的位置、斜度和与其他几何图形的关系等。
圆的方程圆是一个由一组离一个固定点的距离相等的点所组成的集合。
在平面几何中，圆的方程有多种表示方式。
•一般式方程：一般式方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径。
•标准方程：标准方程表示为(x - a)² + (y - b)² = R²，其中(a, b)表示圆心的坐标，R表示圆的半径。
•参数方程：参数方程表示为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径，θ为参数。
圆的方程描述了圆心坐标、半径和点与圆的关系等信息。
通过圆的方程，我们可以确定圆的位置、形状和与其他几何图形的关系等。
直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题是直线和圆的方程应用的一个重要部分。
在解决直线与圆的相交问题时，我们需要先将直线的方程和圆的方程联立，求解它们的交点。
当直线与圆相交时，交点可以有两个、一个或没有。
我们可以通过解方程组来求解直线与圆的交点坐标，进而得到它们之间的关系。
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b ya x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
