高中数学竞赛专题讲座之解析几何
一、选择题部分
1、(集训试题)过椭圆C ：12
32
2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足）
，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ）
A ．]3
3
,
0(
B ．]2
3,33(
C ．)1,3
3
[
D ．)1,2
3(
解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以
λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧
=-+=
y
y x x 11)1(3λ
λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33
[32132232
2∈-=-λλ
λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D)
A .212y x =-
B .212y x =
C .216y x =-
D .216y x =
3．（2006年江苏）已知抛物线2
2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△
POF 是直角三角形，则这样的点P 共有
（ B ）
()A 0个
()B 2个
()C 4个
()D 6个
4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122
22=-b
y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两
点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ）
（A ）22a
b ab
- （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2
2- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程
13
cos 2cos 3
sin 2sin 2
2
=-+
-y x 表示的曲线是（ ）
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在x 轴上的双曲线
C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),2
3cos()22cos(,22
322
0,32π
ππ
π
π
π->-∴<
-
<-<
∴>+ 即.3sin 2sin >又
,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32
,220>-∴<>∴<<<
<ππ
π方程表示的曲线是椭圆。
)
()4
232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π
,0)4
232sin(.423243,432322,0232sin ,02322
>++∴<++<∴<+<<-∴<-<
-
π
ππππππ
.0)(<*∴式即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。
6．（2006年浙江省预赛）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。 （ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确
答案为C 。
7．（2006年浙江省预赛）设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为3
1
，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为
(A)
31 (B) 3
2 (C) 1 (B) 34
. （ B ）
解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，N M 的
图形在第一象限的面积为A ＝613121=-。因此N M 的图形面积为3
2
。 所以选（B ）。
二、填空题部分
1．（200 6天津）已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ），长轴的两个端点为A 、B ，若椭圆上存
在点Q ，使
120=∠AQB ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是
13
6
<≤e ． 2．（2006年江苏）已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩
，则22
x y +的最大值是 9 ．
3．（2006吉林预赛）椭圆x 2
/a 2
+y 2
/b 2
=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，左焦点为F ，若∠ABF 是直角，则这个椭圆的离心率为_________。
4、（2006陕西赛区预赛）若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆
22
128
x y +=截得线段的中点的轨迹方程为 12
)1()21(22
2=++
-y x 5. (2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（2
0π
α≤
≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时
间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2
分钟时的可能落点区域的面积是 。
【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P ) ,(y x 。设机器人改变方向
