高中数学竞赛专题讲座—递推数列

数学奥林匹克竞赛中的递推技巧如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。

用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1)f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定；（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程； （3）解函数方程。

例1.整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。

试问有多少个这样的排列？解：通过建立递推关系来计算。

设所求的个数为n a ，则11a =（1） 对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i ---…,2，1。

而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。

1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+=…… （2） 由（1），（2）得12n n a -=例2.设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且024*********12321, 2,21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C ==证明：由,n n A B 的定义，容易得到 1112,1,2n n n A A A A A +-=+== 1112,1,2n n n B B B B B +-=+==又因为121,2C C ==，且当2n m =时，0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+…… 5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。

§3.3递推法解题基础知识对于某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，扎谓用递推法解题，就是根据题目的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系。

递推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。

利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求通项。

递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a n，则a n+1=a n+1; 即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。

由此可得a n＋2=a n＋1＋1，这样就可以得到自然数数列中任何一个数.再看一个例子：平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？解：假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，….a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11…归纳出递推公式a n＋1＝a n+n. （1）即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成：a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。

递归数列讲座知识与方法递归（推）数列数列的表示方法大致有两类：一是通项公式；另一是递推公式．数列{}n a 的相邻几项的关系式简称为递推式．数学竞赛中遇到有关数列的问题不仅是等差、等比数列，许多是递归数列的问题．在解递归数列的问题时，有时需要根据递推关系求数列的通项，常常用到叠加法：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；适当时需要进行代数换元转化为常见数列的通项；有时需要用到从特殊到一般的、归纳－猜想证明方法（常常用到数学归纳法）．但也有一些题目并不要把数列的通项公式求出，而往往可根据题设所给的递推关系，得到新的、更明显的递推关系．而这时就需要综合运用其他数学知识．范例选讲1. 已知11=a ，52=a ，121211++=--+n n n n n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式．解：定义11=F ，02=F ， ,4,3,21=+=--n F F F n n n 由所给关系式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+21221111111n n n a a a ,由归纳法可得 ,2,1,111111122212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++n a a a n nF F n从而1112251322526211+++-=⎪⎭⎫⎝⎛=+n n nn n F F F F F na ,因此(),2,1,15132212112=-=--+++n a n n n F F F n其中 ,2,1,2512515122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n F n n n 注：本题是今年冬令营的一个测试题．在解题时层层推进，比较容易找到思路．2. 证明数列knk k n n Ca 3012122⋅=∑=++都不能被5整除．解：10=a ，111=a ，又()()12232312322221222+-+=⋅=k k k．所以()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++1212122122241n n n a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=nn249122249122241．18211=+=x x c ，49212-=-=x x c ,所以()5mod 349182121----+≡-=n n n n n a a a a a ．,,10a a 除以5的余数为 ,1,1,3,2,2,1,4,4,2,3,3,4,1,1形成周期数列．()5mod 12n n a a ≡+，又前12项中没有被5整除的．∴命题得证．注：这是一个逆向运用二阶递推的例子．已知数列的通项公式无法证明所要求证的．反过来通过将数列的二阶递推关系找到，结合数列的周期性加以证明．3. 数列{}n a 满足10=a ，51=a ，() ,3,229322121=--=---na a a a n n n n ，证明n a 都是整数．解：由题意知93221212--=---n n n n a a a a ，9322211--=+-n n n n a a a a ．两式相减， 有1212211323222---+-+--=-n n n n n n n n a a a a a a a a ．整理，得() ,3,23223222111=-+-+=--+-n a a a a a a n n n n n n ，将1-n 个式子联乘得11120223,223n n n a a a a a a +-+-=+-又132=a ．所以322511-+=-+n n n a a a （＊），可得()32213211--=---+n n n n a a a a ，又03201=--a a ，所以0321=---n n a a （１）， 由此可推知Z a n ∈．又由（＊）式推知()3223211+-=+--+n n n n a a a a ，又123201=+-a a 所以n n n n a a 262123211⋅=⋅=+---．与（１）联立可解得322-=+n n a ．注：本题已知数列的一个递推关系是分式形式的，证明＂n a 都是整数＂有一定的难度．因此通过整理变形得到数列的另一个递推公式：0321=---n n a a ．这样证明起来变得容易了．另外本题也可通过先求数列的前几项，再根据结果猜测数列满足0321=---n n a a ，再用数学归纳法加以证明．4. 求证：由31=a ，52=a 及不等式()N n n na a a n a a n n n n n ∈≥+<<-+-+-,21111可唯一确定正整数列{}n a ．解：（1）先证明3+=n n F a 是满足条件的．（{}n F 为斐波那契数列）413F a ==，413F a ==均成立． ∵12213=-F F F .当3≥k 时,()()()21221112111-------+--=+-+=-k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F ,因为()()()()()222132212211111-----+-=--==--=-n n n n n n n n F FF F F F F F F ．若对所有N n ∈，3+=n n F a ． 则验证2≥=k n 时，()123242111+++++--=-=-k k k k kk k F F F a a a ,所以k a a a k k k k <≤-≤-<-+-11211，na a a n a a k k k k k +<<-+-+-1111．存在数列{}n a ．（使{}n a 中每个3+=i i F a ）（２）下证：{}n a 唯一确定．用数学归纳法证明3+=n n F a 且22+≥n a n （＊）．3=n 时，92232371223122=+<<-=<a a a a a ．事实上由已知不等式可推得12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ，因为N a ∈3，所以83=a ，同时2323+⨯≥a ．所以（＊）成立．4=n 时，1456733561122234223<=+<<-=<a a a a a ，又N a ∈4，所以134=a ．另外，2424+⨯≥a ，所以（＊）成立．设1-=k n 及()4≥=k k n 时（＊）成立．则1+=k n 时， 因为()12122211212=+-≤=--+---k ka k a k a a k a k k k k k ，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1212,k k k k a k a a k a 中至多只有一个整数． N a k ∈+1，且12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ,所以1+k a 确定为4+k F ．且()()21222212341++≥++≥+=+==+++++k k k a a F F F a k k k k k k ．所以1+=k n 时，（＊）成立． 因此{}n a 唯一确定．证毕．综合（１）（２），可发现⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+++33325125151n n n n F a ． 注：本题用同一法证明．在证明过程中用到了数学归纳法． 5. 数列{}n a 定义如下：01=a ，12=a ，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+=--2111212121n a n n na a n n n n ()3≥n ．试求()11222211132a nC a C n a C a C a f n n n n n n n n n n ----+-++++= 的最简表达式．解：由题意知()()()2112121--+-+=+--n a n n na a n n n n ，所以()()()()!21!2!1!2121n n n a n a n a n n n n --+-+-=+--,令!n a b n n =，01=b ，212=b ．则()()!212121n n b b b n n n n --++=+--,所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-------!111!21221211n b b n b b n n n nn n ，令()!111n b b c nn n n ---=-，则121--=n n c c ，又02=c ，所以()!111n b b nn n -+=-.另一方面，()()()∑∑==--⋅-+=-+=nk k n k k kn nn a k k n n k n a Ck n f 11!!!11．令()∑=--+==nk k n n b k n kn n f g 1!1!，()()k nk k n k n n b k n kn b k n kn g g ⋅--+-⋅-+-+=-∑∑=+=+1111!1!12()()()()1121212!2!12!12-+=-=+=-⋅--+=⋅+--+-⋅-+-+=∑∑∑k kn k k nk k n k b bk n kn b k n kn b k n kn()()()()()()∑∑∑+==+=+--+--=-⋅+--+=12212!!11!!1!1!12n k knk k kn k k k n k k n k k n kn ()()()()()()[]11!111!11!111!11212+-+---=-++-=∑∑+=+=n n n n C n Cn n k kkn nk kkn()()!11!11+--=n n又342323=+=b b g ，所以()()1!2!11!1!31!21!3+-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=n n n n g n f n ． 注：这是2000年冬令营的测试题．由已知条件比较容易根据题设的条件想到将数列{}n a 的递推关系除以!n ，从而得到{}n b 的递推关系：()!111n b b nn n -+=-．同时也应将n f 的两边同除以!n ，先求出n g 与1-n g 的关系．6. 设数列{}n a 的通项公式为()()N n a nnn ∈--=312；数列{}n b 的定义如下：20=b ，251=b ，()()N n b b b b n n n ∈--=-+12112．求证：对一切自然数n ，都有[]na nb 2=．证：我们证明更强的命题：N n b nna a n ∈+=-,22,易知数列{}n a 的特征方程是022=--x x ，所以{}n a 的递推公式是N n a a a n n n ∈+=++,212，故N a n ∈．下面用数学归纳法证明加强的命题．(1) 当1=n 时，11=a ，112225-+==b ，命题成立．(2) 假设当k n ≤时，命题成立，都有kkaa kb -+=22．当1+=k n 时，()()()[]12111211222222b b b b b k k kka a a a k k k --++=--=-----+()()1222222bkkkka a a a -++=--122)2(211112222b k k k k k k k k a a a a a a a a -+++=----+--+-+12211112222b k k k k k k a a a a a a -+++=--+++---,而()()[]kkkkk k a a 1222123121-⋅+⋅---=--()[]()1111331++-=-⋅=k k ．所以121=--k k a a ，112225222211b k k k k a a a a ==+=+-+----．所以11221++-++=k k a a k b ， 当1+=k n 时命题也成立．由（１）（２）可知，加强命题成立．同时，又因为N a n ∈,所以[]na nb 2=，原命题得证．注：本题的关键在于加强命题N n b nna a n ∈+=-,22．然后用数学归纳法加以证明．在加强命题之前可通过计算数列的前几项找到规律．7. 设()m a a a A ,,,21 =是由m 个数{}m i a i ,,2,1,1,0 =∈组成的数组．定义运算S 如下：(){}m m b b b b b b A S 2124321,,,,,,-= ，其中当1=i a 时，012=-i b ，12=i b ；当0=i a 时，112=-i b ，02=i b ，m i ,,2,1 =．用()A Sn表示()()() A S S S （n 个S ）．取()1=A ．问在()()n a a aA S n221,,, =有多少对由连续两项组成的数对()1,+i i a a ，满足01==+i i a a ？解：()1=A 时，()()na a a A Sn221,,, =中满足01==+i ia a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n f ，满足0=i a ，11=+i a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n g ．由题意知，()A Sn中数对()0,0必由()A S n 1-中的数对()1,0经运算S而得到，而()A S n 1-中的数对()1,0必由()A S n 2-中的1或数对()0,0经运算S 而得到．由于()A Sn 2-是22-n 数组，其中有一半的项（即32-n ）为1，所以可得如下递归关系：2312---+==n n n nf g f ． ∴当n 为奇数时， =++=+=-----45323222n n n n n n f f f 3122222110253-=+++++=---n n n f当n 为偶数时，31222212153+=++++=---n n n n f f ．∴()()1n S 中，连续两项是0的数对有()[]nn 12311-+-个．注：本题是个应用题，关键在于通过题意找到递归关系．训练题1. 设{}n a 中的每一项都是正整数，并有21=a ，72=a ，()32121221≥≤-≤---n a a a n n n ．证明：自第二项开始，数列的各项都是奇数．2. 已知00=a ，11=a ，()1221>+=--n a a a n n n ．证明：n a kn k22⇒．3. 已知数列{}n a 满足：11=a ，22=a ，且212212-++=n n n a a a ，() ,2,121222==++n a a a n n n ，试求数列的通项公式．4. 设d 为正整数，求()d x x x n mod 021≡++ ，()n i dx i ≤≤<<10的解()n x x x ,,,21 的个数．。

第11讲 数列递推方法一、知识要点(1)递推数列的定义(2)递推关系的构造：归纳、猜想 数列递推公式法(3)递推方法的步骤：确定初始值 建立递推关系 利用递推关系二、例题剖析(1) 年初有一对兔子，一雄一雌，小兔第一个月长大，第二个月就繁殖出一雌一雄一对兔子，以后，凡成熟的一对大兔子每月都生出一雌一雄一对小兔，而小兔对也以同样的规律，第一个月长大成熟，第二个月开始每一个月生一雌一雄一对小兔，问一年后共有多少对兔子？ 变式1：第一个月有一对大兔，每月生个α雄兔，β个雌兔，小雌兔隔月长大后也同样生α个雄的，β个雌兔，问第n 个月后共有多少只兔子？(2) 猴子爬一个8级的楼梯，一次只能爬一级或者二级，求爬到8级阶梯的方法总数.变式2：猴子爬一个8级的楼梯，一次只能爬一级或者二级或者3级，求爬到8级阶梯的方法总数.变式3：2n ⨯棋盘用12⨯骨牌完全覆盖，有多少种不同少覆盖方式?(4)把一个圆分成n (2)n ≥个扇形，依次设为12,,,n s s s ，每一个扇形都可以用红，黄，蓝三种不同颜色之一的涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问共有多少种涂色方法变式4：4个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲先传球，并作第一次传球，求经过10次传球后仍回到发球人甲手中传球方式的种数.(5)平面内有n 个两两相交的圆，并且任意三个圆不经过这同一点，试问：这n 个圆把平面分成多少个区域？变式5：线段AB 上有n 个的点(异于端点A 、B)，试问：这n 个点分线段AB 可以得到多少条小线段？ 变式6：AOB ∠内部有n 条的经过原点O 射线(异于端点OA 、OB)，试问：这n 条射线分AOB ∠可以得到多少个小角？变式7：平面内有 n 条的直线，试问：这n 条直线最多可以把平面分成多少块？ 变式8：平面内有 n 条的直线，试问：这n 条直线最多可以把一个圆面分成多少块？ 变式9：空间中，有 n 个的平面，试问：这n 个平面最多可以把空间分成多少块？(6) 有一种用硬币下棋的游戏，棋盘上标有第0 站，第1 站，第2 站，……，第100 站，一枚棋子开始在第0 站，棋手每掷一次硬币棋子跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳动两站， 若出面反面，则棋子向前跳动一站，直到棋子恰好跳到第99 站（胜利大本营）或第100 站 （失败大本营）时，该游戏结束.如果硬币出现正反面的概率都是12，分别求棋子跳到第1站和跳到胜利大本营的概率.(7)（1985 年全国高中数学联赛）某足球邀请赛有16 个城市参加，每市派出甲、乙两 个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛，比赛 若干天后进行统计，发现除A 市甲队外，其他各队已比赛过的场数各不相同.问A 市乙队已 赛过多少场？证明你的结论.(8) （第 21 届 IMO ）如图，设 A , E 为正八边形相对的顶点，顶点 A 处有一只袋鼠，除顶点E 外，袋鼠可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中的任一个，落到顶点E 时，袋鼠就在此停止.设袋鼠从顶点A 恰好跳n 次到E 的方法数为n a ，求n a(9)（1999 年保加利亚竞赛题）求所有的自然数n 的个数，满足41023n ≤≤，使得n 在二进制下，没有连续三个数码相同(10) （2005 年俄罗斯数学奥林匹克）在2n ⨯方格表的每个方格中都写有一个正数，使得每一列中的两个数的和都等于1.证明：可自每一列中删去一个数，使得每一行中剩下的数的和都不超过14n +.(11) 已知函数167()44x f x x +=+，数列{}{},n n a b 满足110,0a b >>,1()n n a f a -=,1()n n b f b -= ①求1a 的取值范围，使得对任意的正整数n ，都有1n n a a +>；②若13a =，14b =，求证：108n n nb a <-≤.（12）（Bernoulli-Euler 装错信封问题）某人写了n 封信，并在n 个信封上写下了对应的 地址和收信人的姓名，问：把所有的信都装错信封的情况共有多少种？（13）n 个人参加一次聚会，每人带来一顶帽子和一把雨伞，会后每人任取一顶帽子和一把雨 伞.（1）有多少种可能，使得没有人能拿回他原来的任意一件物品？ （2）有多少种可能，使得有人能拿回他原来的任意一件物品？（3）有多少种可能，使得恰好有1有拿回他原来的物品，而其余的1n -个人没有人能 拿回他原来的任意一件物品？(14) （1990 年巴尔干地区数学奥林匹克）设数列{}n a 满足121,3a a ==,对一切n N ∈，有 有21(3)(2)n n n a n a n a ++=+-+，求所有被11 整除的n a 的一切n 值.(15) （1992 年中国台北数学奥林匹克）设r 为正整数，定义数列{}n a 如下： 11a =，()21212rn n na n a n +++=+，求证：n a N ∈.(16)（第9届 IMO ）运动会开了n (1)n >天，发了m 个奖牌，第 1 天发出 1 个加上余下 奖牌的17，第2天发出2个加上余下奖牌的17，如此继续下去，最后第n 天刚好发出n 个奖牌无剩余，问运动会开了几天？共发了多少个奖牌？(17) 2001 年保加利亚数学奥林匹克） 已知数列{}n a 适合014,22a a ==且1260(2)n n n a a a n ---+=≥，证明：存在两个正整数数列{}{},n n x y 满足27(0)n n n ny a n x y +=≥-.三、习题演练1.过平面内两点A 、B 分别有,m n 直线，问这m n +条直线最多可将平面分成多少部分.2.设圆O 中有任意的ABC ∆，取弧AB 、BC 、CA 的中点1,11,A B C ，得到一个内接111A B C ∆；又取弧1,11111,,CA B B C C A 的中点222,,A B C ，又得到一个内接222A B C ∆;那么当n 趋向无穷大时，n n n A B C ∆的形状如何变化？3．求1,2,3,,n 的排列中满足()1p i i -≤(对任意的i )的排列p 的个数n a 通项.4. 求1,2,3,,n 的圆排列中满足()1p i i -≤(对任意的i )的排列p 的个数n a 通项.5.设n x =(n 个根号），(1)求出数列{}n x 的通项公式(2)求证：12124n n x x -->-.6.设1P 是正ABC ∆的边AB 上一点，从1P 向边BC 上作垂线，垂足为1Q ，从1Q 向边作CA 垂线，垂足为1R ，从1R 向边AB 作垂线，垂足为2P ，如此继续下去，得点n P ，当n 趋向于无穷大时，问n P 点无限接近于哪一个点？7．如图所示，有4种不同的颜色，要给图中的1n +个区域涂色，要求相邻的两个区域的 颜色互不相同，求共有多少种涂色方法.8.设数列{}n a 满足11a =，111()2n n na a n N a +=+∈(,1)N n N n ∈>.。

⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。

定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系数列与递推关系是高中数学竞赛中的重要考点之一。

在这节数学精品课的辅导公开课中，我们将深入解析数列与递推关系，帮助同学们更好地掌握相关知识，并在竞赛中取得优异成绩。

一、数列的概念与分类1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数字或对象。

通常用字母表示，如a₁、a₂、a₃，其中下标表示该数字或对象在数列中的位置。

1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。

1.2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。

其通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。

1.2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。

其通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。

1.2.3 其他特殊数列除了等差数列和等比数列，还存在其他特殊数列，如斐波那契数列、递增数列等。

二、递推关系的求解递推关系是数列中的一种重要性质，根据已知项与后一项的关系，可以推导出数列中的其他项。

2.1 递推关系的定义递推关系是指数列中每一项与前一项之间的关系。

通常用递推公式表示，如an = an-1 + d，其中an-1表示前一项，d为公差。

2.2 递推关系的求解方法求解递推关系需要根据已知的条件，逐步推导出数列的后续项。

常见的求解方法包括直接法、差分法和通项法等。

2.2.1 直接法直接法是通过观察数列中的规律，根据已知的条件得出数列的递推关系。

这种方法适用于递增或递减规律明显的数列。

2.2.2 差分法差分法是通过计算数列中相邻项之差来确定数列的递推关系。

通过多次差分，可以得出数列的递推公式。

2.2.3 通项法通项法是通过求解数列的通项公式，进而推导出数列的递推关系。

这种方法适用于等差数列和等比数列。

三、常见数列问题的解析在数学竞赛中，常常会出现与数列与递推关系相关的问题。

下面我们通过实例来解析一些常见的数列问题。

第十四讲递推数列与递推方法一．知识点预习1、递推数列的概念递推数列是可以递推找出规律的数列，找出这个规律的通项式就是解递推数列递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．2、常见的求递推数列的几种形式(1)形式)(1n f a a n n =+，求a n .1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)．解：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .(2)形式)(1n f an a n =-+，求a n .2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.解：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2.(3)形式a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n .3．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n－1即a n ＝2·3n －1－1.(4)形式a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n .4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．3、常见的求递推数列的方法(1)直接法。

高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型，掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。

本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论，包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。

一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。

数列的第一项记作$a_1$，第二项记作$a_2$，第$n$项记作$a_n$。

数列中的数字称为项，项之间的关系由递推关系式表示。

数列的性质包括有界性、单调性以及极限。

有界性是指数列的所有项都满足某个范围，可以是有上界、下界或者同时有上下界。

单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。

而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。

二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等，记作$a_n=a_1+(n-1)d$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。

等差数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。

等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等，记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$q$表示公比。

等比数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。

斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_{n-1}$表示前一项，$a_{n-2}$表示前两项。

斐波那契数列的性质包括：递推关系式、通项公式、性质应用等。

三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。

通过解递推公式，可以确定数列中任意一项的值。

在数学竞赛中，递推公式的应用非常重要。

解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。

第 1 讲递推数列（一）1.1 递推数列基础比赛中出现的数列问题绝大多数是递推数列，即给出数列若干项之间的关系式及初始值，由此确立整个数列 . 这类递推数列问题主要应用于计算机技术中，所以最近几年来跟着科技发展愈来愈遇到重视，在高考和比赛中常常出现此类问题 .递推数列问题一般出法有：1.给出初值与递推式，商讨该数列各样性质，如通项、乞降、增减性、界、数论性质等等；2.对于一个组合问题或代数问题，经过概括给出其递推模型从而求解；对于第一类问题，常常给出的递推式较为艰涩，难以直接看出其关系，需要较高的变形技巧才能将其变成“可辨别”的已解决问题；第二类问题的难点则主要在于怎样经过实质情境成立递推模型，至于求解常常是平庸的 .本讲主要解决第一类问题，并重视于利用代数变形技巧进行转变的问题，下一讲则联合数学概括法叙述先猜后证的方法 .本讲第一给出对于递推数列的一些常有结论，以及常有的递推数列变形技巧，相当大比率的递推数列问题最后将利用这些基本结论和方法求解.一、一阶递归数列1．常系数的一阶递归数列一般形式为：a n 1pa n q0 且 a 为常数；a1a，此中 p其特例为：⑴ a n 1pa n( p0) ，这是等比数列；⑵ a n 1a n q ( p0) ，这是等差数列．2．变系数的一阶递归数列一般形式为：an 1p (n)a n q (n )，此中 p (n )0 且 a 为常数；a1a其特例为：⑴ a n 1p (n)a n( p(n)0) ，这是等比型数列；⑵ a n 1a n q (n) ，这是等差型数列．二、二阶递归数列二阶齐次线性递推数列的递推关系可表示为：a n 2pa n 1 qa n这里 p, q 都是常数，且p ,q0 . 一般地，我们称与之对应的对于 r 的一元二次方程 r 2pr q 为特征方程，并记其两解为,，那么：⑴当两解互异时，可设a n A n B n，此中 A, B 为待定系数，可由初值确立；⑵当两解同样时，可设a n( An B)n，此中 A, B 为待定系数，可由初值确立；对于 3 阶以致一般的n 阶的情况，因为联赛中一般不波及，此处不再赘述，有兴趣的同学请自行查察有关资料；对于特点方程的出处，因为篇幅关系也直接给出结论.三、其他递推数列对于非线性或非齐次递推数列，常用的思虑方法是将非线性转变成线性关系，非齐次转变成齐次，也能够先用不完整概括法探究猜想通项公式或乞降公式，再用数学概括法进行证明。

11数列一、数列的基础知识1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。

类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。

可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．2. 数列｛a n ｝的 前 n 项 和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。

第 3 讲递推数列（二）3.1 递推数列与数学概括法递推数列中给出的递推关系式常常很复杂，需要很高的代数变形技巧才能看出其规律. 这时常常可以先列出其前方若干项的详细值并察看、猜想其与项数n 之间的联系，或相邻几项之间的较简单的线性递归关系式，而后我们再严格地证明猜想的正确性. 这类证明一般采纳数学概括法来达成. 这就是竞赛中特别重要的“先猜后证”方法.本讲将介绍数学概括法最常用的两种形式，而后给出若干利用概括法达成递推数列的实例. 此外，还将给出几道较为复杂的递推数列问题.⑴第一数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当n n0(n0N)时，P( n)建立；②假定n k(k n, k N)建立，由此推得n k 1时，P(n) 也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．⑵第二数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当 n n0 (n0N)时，P( n)建立；②假定 n k(k n, k N ) 建立，由此推得n k 1时，P(n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．比赛中使用最多的是第二数学概括法，这主假如由于它供给了比第一数学概括法强盛得多的概括假定 , 书写起来也较为方便 .【例 1】试证用面值为 3 分和 5 分的邮票可支付任何n(n＞ 7， n∈N)分的邮资．nk2n(n 1)(2n 1) ；⑵n[ n(n 1)]2【例 2】用概括法证明：⑴k3k 16k 12【例 3】证明：对随意非空有限集，都能够将它的全部子集排成一列，使得每相邻的两个子集的元素个数相差 1．【例 4】试证：对全部自然数n( n 1) ，都有 2n2n2．【例 5】已知 a1a n212，求 { a n} 的通项公式．a2 1 ， a n(n 3)a n2【例 6】设有数列 { a n} ： a1 1,a2 2 ，且当n 1时，5a n 13a n 2 /| a n a n 1a n 1a n 2 | a n a n 1a n 1求证：对全部 n N，a n0 ．【例 7】证明：存在正整数的无量数列 { a n }: a1 a2 a3，使得对全部自然数n ， a12a22a n2都是完整平方数．【例 8】整数数列 { a n} 定义以下： a1 2 ， a21a n217 ，a n 1an 1, n 2,3, ，求该数列的通项公22式．【例 9】如图，有一列曲线 P , P ,P ,P所围成的图形是面积为 1 的等边三角形，P是对 P012，已知0k 1k 进行以下操作获得：将P k的每条边三等份，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉 ( k0,1,2,)．记 S n为曲线 P n所围成图形的面积．求数列{ S n } 的通项公式．实战操练【操练 1】用数学概括法证明： (1 1)(11)(11) (11)3 3n 1( n N* , n 1) ．473n2【操练 2】设0 a 1，a1 1 a ， a n 11N 均有a n1．a n，求证：对全部na n【操练 3】设 { a n } 知足 a1 1 ，a n 12a n3a n21 ( n1) ．试证数列{ a n}的各项均为整数。