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04限时规X 特训A 级 基础达标1．如图所示，在△ABC 中，MN ∥DE ∥DC ，若AE ∶EC ＝7∶3，则DB ∶AB 的值为( )A ．3∶7B ．7∶3C ．3∶10D ．7∶10 解析：∵MN ∥DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC ＝73， ∴AD ＋DB DB ＝7＋33，∴AB DB ＝103， ∴DB AB ＝310.故选C. 答案：C2．[2014·某某模拟]如图，锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O ，则与△DOB 相似的三角形个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为CD 和BE 是高，可得∠DCA ＝∠EBA ，所以△BOD 与△COE ，△CAD ，△BAE 相似．故选C.答案：C3．[2014·某某模拟]如图，已知在▱ABCD 中，O 1，O 2，O 3为对角线BD 上三点，且BO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3D ，连接AO 1并延长交BC 于点E ，连接EO 3并延长交AD 于F ，则AD ∶FD 等于( )A ．19∶2B ．9∶1C ．8∶1D ．7∶1 解析：在▱ABCD 中，∵BE ∥DF ，BO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3D ， ∴DF BE ＝O 3D O 3B ＝13，同理BE AD ＝O 1B O 1D ＝13，∴AD ∶FD ＝9∶1. 答案：B4．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝3∶2，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4 D.6∶3解析：如图Rt △ABC 中，由CD ⊥AB 及射影定理知，CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD，又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD . ∵BD ∶AD ＝3∶2 ∴令BD ＝3t ，AD ＝2t ，则CD 2＝6t 2，即CD ＝6t ，∴AD CD＝2t 6t＝63. 故△ACD 与△CBD 的相似比为6∶3. 答案：D5．[2014·某某模拟]如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶EC ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：由题意可知，△DEF 与△BAF 相似，且DE ∶AB ＝2∶5，所以△DEF 与△ABF 的面积之比为4∶25.△DEF 与△BEF 的底分别是DF ，BF ，二者高相等，又DF ∶BF ＝2∶5，所以△DEF 与△BEF 的面积之比为2∶5.综上S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝4∶10∶25，故选A.答案：A6．[2014·某某模拟]如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：在Rt △ACD 中，CD ＝122－42＝82，所以cos D ＝232，由于∠D ＝∠B ，则在Rt△AEB 中，cos B ＝BE AB，所以BE ＝AB ·cos B ＝4 2.答案：4 27．[2014·某某模拟]已知梯形ABCD 的上底AD ＝8 cm ，下底BC ＝15 cm ，在边AB 、CD 上分别取E 、F ，使AE ∶EB ＝DF ∶FC ＝3∶2，则EF ＝________.解析：因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5.所以EP∶BC＝3∶5，因为BC＝15 cm，所以EP＝9 cm，同理PF＝3.2 cm.所以EF＝12.2 cm.答案：12.2 cm8．[2014·某某三校联考]如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为________．解析：法一：∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥DE，∴∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED，∴Rt△ABE∽Rt△ECD，∴ABBE＝ECCD，即AB4＝1AB，∴AB＝2.法二：过E作EF⊥AD于F.由题知AF＝BE＝4，DF＝CE＝1.则EF2＝AF·DF＝4.∴AB＝EF＝2.答案：29．[2014·揭阳市质检]如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则BD的长为________，AB的长为________．解析：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，又∵EF∥CD，∴∠DFE＝∠BDC，∴△FDE∽△DBC，∴FDDB＝DEBC，∴BD＝32，∵DE∥BC，∴AE AC ＝DE BC ＝23，∴AEEC＝2， ∵EF ∥CD ，∴AF FD ＝AE EC ＝2，∴AF ＝2，∴AB ＝92.答案：329210．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP .∵CF ∥AB ，∴∠F ＝∠ABP ，从而∠F ＝∠ACP . 又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角， 从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC，∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE ·PF .11．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23.又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°.∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ， 故AE EF＝a2a＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB.∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .12．如图所示，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝14AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H .(1)求证：FH ＝FA ； (2)求EH ∶HC 的值．解：(1)证明：连接EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝90°.∵AE ＝14AD ，F 为AB 的中点，∴AE AF ＝FB BC. ∴△EAF ∽△FBC ，∴∠AEF ＝∠BFC ，∠EFA ＝∠BCF . 又∠A ＝∠B ＝90°，∴∠EFC ＝90°，EF FC ＝12.又∵∠EFC ＝∠B ＝90°，∴△EFC ∽△FBC . ∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF .∴∠AEF ＝∠HEF ，∠AFE ＝∠HFE ，又EF ＝EF ， ∴△EAF ≌△EHF ，∴FH ＝FA .(2)由(1)知△EFC 是直角三角形，FH 是斜边EC 上的高，由射影定理可得EF 2＝EH ·EC ，FC 2＝CH ·CE ，于是EH ∶HC ＝EF 2∶FC 2.由(1)得EF FC ＝12，于是EH ∶HC ＝EF 2∶FC 2＝1∶4.B 级 知能提升1．[2014·金版创新题]如图，在矩形ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，要使BC 边上至少存在一点P ，使△PBA ，△APD ，△CDP 两两相似，则a ，b 间的关系一定满足( )A ．a ≥12b B ．a ≥bC ．a ≥32b D ．a ≥2b解析：结合图形易知，要使△PBA ，△APD ，△CDP 两两相似，必须满足AB CP ＝BPCD .即b CP ＝BP b，BP ·CP ＝b 2.设BP ＝x ，则CP ＝a －x ，∴(a －x )x ＝b 2，即x 2－ax ＋b 2＝0，要使BC 边上至少存在一点P ，必须满足Δ＝a 2－4b 2≥0，所以a ≥2b ，故选D.答案：D2．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，则AFAC＝________.解析：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△F ，∴AF CF＝AE ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE2AE ＋BC.∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15.答案：153．[2014·永州模拟]如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，则AF ＝________.解析：设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°. 又AE ⊥EB ，∴AB ＝2x ，BE ＝3x ， ∴AE BE＝x3x＝13. 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE，∴AF ＝4×13＝433.答案：4334．[2014·某某模拟]有一块直角三角形木板，如图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ， 因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125.因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB .word 11 / 11 所以CM ＝DE AB ，即125－x 125＝x 5. 所以x ＝6037. 如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ，因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BAC .所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
阶段示范性金考卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{y ∈R |y ＝ln x ，x >1}，B ＝{x ∈N ||x |≤2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0]C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{0}解析：因为A ＝{y |y >0}，所以∁R A ＝{y |y ≤0}，又B ＝{0,1,2}，所以(∁R A )∩B ＝{0}，选D.答案：D2．下列函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e x －e －xC ．y ＝x sin xD ．y ＝lg 1－x1＋x解析：函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，排除A ；y ＝x sin x 为偶函数，排除C ；y ＝lg 1－x 1＋x ＝lg(－1＋21＋x )，由于函数u ＝－1＋21＋x 在(0,1)上单调递减 ，所以函数y ＝lg 1－x 1＋x 在(0,1)上单调递减，排除D.故选B.答案：B3．[2014·衡阳六校联考]函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5解析：依题意得，当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1－a 2x≤0，即a ≥2x恒成立．注意到当x ∈[1,4]时，y ＝2x 的最大值是24＝4.因此，实数a 的最小值为4，选C.答案：C4．[2013·太原五中检测]已知命题p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6解析：x －1x ≤0⇒0<x ≤1⇒1<2x ≤2，由题意知，22＋2－m ≤0，即m ≥6，故选D.答案：D5．[2013·湖南高三检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．1解析：分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3 ①或者⎩⎨⎧a >3log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.答案：C6．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A. (0,1) B. (4,2) C. (2,3)D. (3,4)解析：设f (x )＝ln x ＋x －4，由于x 0是方程ln x ＝4－x 的解，则x 0是函数f (x )的零点．再由f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，f (2)f (3)<0，可得x 0在区间(2,3)内，故选C.答案：C7．[2013·天津耀华中学模拟]已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6)解析：∵函数f (x )＝x 2－cos x 为偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)，f ′(x )＝2x ＋sin x ，当0<x <π2时，f ′(x )＝2x ＋sin x >0，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)，选B.答案：B8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)解析：f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x <－1(舍去)．因此x <log a 3，故选C.答案：C9．下列四个命题： p ：∀x ≥－1，有1x ≤－1 q ：∃x 0∈R ，使x 0＋4x 0＝2r ：∀x ，y >0，有ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y ) s ：∃x ，y ∈R ，使2x ＋y ＝2x ＋2y 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：当x ＝1时，x >－1，但1x ＝1>－1，故p 为假命题；当x 0≠0时x 0＋4x 0≥4或x 0＋4x 0≤－4，不可能有x 0＋4x 0＝2，故q 为假命题；当x ＝1，y ＝1时ln x ＋ln y ≠ln(x ＋y )，故r 为假命题；当x ＝1，y ＝1时，有2x ＋y ＝2x ＋2y ，故s 为真命题．因此A 项正确．答案：A10．函数f (x )＝ln x －12x 2的图象大致是( )解析：函数的定义域为{x |x >0}，函数的导数为f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，由f ′(x )＝1－x 2x >0得0<x <1，即增区间为(0,1)．由f ′(x )＝1－x 2x <0得x >1，即减区间为(1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数取得极大值，且f (1)＝－12<0，所以选B 项．答案：B11．[2013·人大附中月考]某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润(单元：万元)是y 1＝13.5－9x ，在B 地的销售利润(单位：万元)是y 2＝14x ＋6.2，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( )A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元解析：根据题意设该公司在A 地售x 辆，则在B 地售(11－x )辆，故销售利润y ＝13.5－9x ＋14(11－x )＋6.2＝22.45－(9x ＋x4)(0≤x ≤11，x ∈N *)，由基本不等式可得y ＝22.45－(9x ＋x4)≤22.45－29x ×x 4＝19.45，当且仅当9x ＝x4即x ＝6时取得最大值，故选A.答案：A12．若关于x 的方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，则有( )A. x 1＋x 2>0B. x 1＋x 2<0C. x 1＋x 2≥0D. x 1＋x 2≤0解析：在坐标系中画出函数y ＝|2x －1|的图象，由图象可知当0<m <1时方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2，则必有x 1<0<x 2，由已知得|2x 1－1|＝|2x 2－1|，于是－2x 1＋1＝2x 2－1，因此2x 1＋2x 2＝2>22x 1·2x 2，所以2x 1＋x 2<1，于是x 1＋x 2<0.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }．若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为________．解析：由A ＋B 的定义得，A ＋A ＝{1＋1,2＋2,1＋2}＝{2,4,3}，由A ÷B 的定义得，(A ＋A )÷A ＝{1，32，2,3,4}，故所有元素之和为1＋32＋2＋3＋4＝232.答案：23214．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3＋a ≤0f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案：(－3,1)15．[2013·安徽合肥调研]若函数f (x )＝x 2＋2x －3的定义域为[m,0]，值域为[－4，－3]，则m 的取值范围是________．解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋2x －3的图象开口向上，且关于直线x ＝－1对称，∴函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，∵函数f (x )＝x 2＋2x －3的值域为[－4，－3]，最小值为－4，且f (－1)＝－4，∴定义域[m,0]中必定有－1，①当m ＝－1时，函数在f (x )区间[－1,0]上为增函数，值域为[－4，－3]；②当m <－1时，函数在[m ，－1]上是减函数，在[－1,0]上是增函数，要使函数f (x )的值域为[－4，－3]，则必需f (m )≤－3，解之得－2≤m <－1.综上所述，m 的取值范围是[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝________.解析：由已知得h (－x )＝h (x )，∴(m －n )·4－x ＋(n －m )·4x ＝0，得m ＝n ，∴h (x )＝m ·(4x ＋1)＋m ·4－x ＝m (4x ＋4－x )＋m ≥m ·24x ·4－x ＋m ＝3m ，当且仅当4x ＝4－x ，即x ＝0时，等号成立，∵函数h (x )的最小值为1，∴3m ＝1，得m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)函数f (x )＝13x 3＋12(2－a )x 2＋(1－a )x (a ≥0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(2－a )x ＋1－a ＝(x ＋1)(x ＋1－a )． 当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)2≥0恒成立， 当且仅当x ＝－1时取“＝”， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．当a >0时，由f ′(x )＝0得，x 1＝－1， x 2＝a －1，且x 1<x 2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(a －1，＋∞)，单调递减区间为(－1，a －1)．(2)∵f (x )在[0,1]上单调递增，∴[0,1]是上述增区间的子集，当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意；当a >0时，[0,1]⊆[a －1，＋∞)，∴a －1≤0，∴a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)当1≤a ≤e ＋1时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x，f (1)＝12－e ， f ′(x )＝12－e x ，f ′(1)＝12－e ，故函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －12＋e ＝(12－e)(x －1)，即(12－e)x －y ＝0.(2)令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只需证明g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立即可． g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，① g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x . 设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e ， 当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0，即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立． 故当1≤a ≤e ＋1时，f (x )≤x .19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值10，求b 的值；(2)若对于任意的a ∈[－4，＋∞]，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞]，x ∈[0,2]都成立，所以F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0，对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x ≥0，所以F (a )在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，①当F (a )为常数函数时，F (a )＝b ≥0；②当F (a )为增函数时，F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0，即b ≥(－3x 2＋8x )max 对任意x ∈[0,2]都成立，又－3x 2＋8x ＝－3(x －43)2＋163≤163，所以当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，所以b ≥163. 所以b 的最小值为163.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝38x 2－2x ＋2＋xf (x )．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值． 解：(1)由题知，g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵g ′(x )＝(3x －2)(x －2)4x， ∴函数g (x )的单调递增区间为(0，23)∪(2，＋∞)，g (x )的单调递减区间为[23，2]．(2)∵g (x )在[23，＋∞)上的最小值为g (2)， 且g (2)＝38×22－4＋2＋ln2＝ln2－12＝ln4－12>0， ∴g (x )在[23，＋∞)上没有零点，∴要使函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，并考虑到g (x )在(0，23)上单调递增且在[23，2]上单调递减，故只需e m <23且g (e m )≤0即可，易验证g (e －1)＝38×e －2－2×e －1＋1>0，g (e －2)＝38×1e 4－2e 2＋2＋ln e－2＝1e2(38×1e2－2)<0，当m≤－2且m∈Z时，均有g(e m)<0，即函数g(x)在[e m，e－1]⊆[e m，＋∞)(m∈Z)上有零点，∴m的最大值为－2.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.解：(1)f′(x)＝a e x＋(ax－2)e x＝(ax＋a－2)e x，由已知得f′(1)＝0，即(2a－2)e＝0，解得a＝1.当a＝1时，在x＝1处函数f(x)＝(x－2)e x取得极小值，所以a＝1.(2)f(x)＝(x－2)e x，f′(x)＝e x＋(x－2)e x＝(x－1)e x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)e m；当0<m<1时，m<1<m＋1，f(x)在[m,1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－e；当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (m －2)e m ，m ≥1－e ，0<m <1(m －1)e m ＋1，m ≤0(3)由(1)知f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝1，因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0， 所以当0≤x ≤2时，f (x )max ＝0，f (x )min ＝－e ，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝e.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a x (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)如果P (x 0，y 0)是曲线y ＝f (x )上的任意一点，若以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)讨论关于x 的方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12的实根的个数情况． 解：(1)f (x )＝ln x ＋a x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2.a >0，由f ′(x )>0，得x >a ，由f ′(x )<0，得0<x <a ，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)由题意，以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k 满足k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(x 0>0)， 所以a ≥－12x 20＋x 0对x 0>0恒成立．又当x 0>0时，－12x 20＋x 0≤12，所以a 的最小值为12.(3)由题意，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12化简得 b ＝ln x －12x 2＋12，x >0，令h (x )＝ln x －12x 2－b ＋12，则h ′(x )＝1x －x ＝(1＋x )(1－x )x. 当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以h (x )在x ＝1处取得极大值，即最大值，最大值为h (1)＝ln1－12×12－b ＋12＝－b .所以当－b >0时，即b <0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有两个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有两个实根； 当b ＝0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有一个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有一个实根； 当b >0时，y ＝h (x )的图象与x 轴无交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12无实根． 新课标第一网系列资料。
2015年高考数学模拟金卷（二）（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分， 1. 设i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=2i-1，则复数z1?z2在复平面上对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为（）A. B. C. D.3. （理）已知曲线C1：x2+y2-2x=0和曲线C2：y=xcosθ-sinθ（θ为锐角），则C1与C2的位置关系可能为（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上情况均有（文）若实数x，y满足约束条件x+y≥0，x-y+3≥00≤x≤3，，则z=2x-y 的最大值为（）A. -B. 11C.0D. 94. 2015年某中学派出5名优秀教师去某地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A. 80种B. 90种C. 120种D. 150种5. 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则a +a +…+a 等于（）A. 1033B. 1034C. 2057D. 20586. 不等式 0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A. （-2，-1]B. [-2，-1]C.D. [-2，+∞）7. 下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④8. 椭圆 + =1（a>b>0）的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A. B. C. D.9. 某品牌香水瓶的三视图如图1（单位：cm），则该几何体的表面积为（）图1A. 95-B. 94-C. 94+D. 95+10. 如图2所示的程序框图输出的结果是（）A. 6B. -6C. 5D. -5图211. △ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且= +λ （λ∈R），则AD的长为（）A. 1B.C. 2D. 312. 已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表1， f（x）的导函数y=f ′（x）的图象如图3所示，下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个图3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13. （理）某中学200名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N（120，100），则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为_______.（注：正态总体N（μ，σ2）在区间（μ-2σ，μ+2σ）内取值的概率约为0.954）（文）某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000，1050，1200，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出_______名学生.14. （理）若锐角α，β满足（1+ tanα）（1+ tanβ）=4，则α+β=_________.（文）函数f（x）=sinx?cosx-sin2x的最小正周期是_________.15. 设a，b均为大于1的正数，且ab+a-b-10=0，若a+b的最小值为m，则m=_________，满足3x2+2y2≤m的整点（x，y）的个数为_________.16. 如图4中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列{an}的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，图4（1）黑色三角形的个数的通项公式an=_________；（2）若数列{bn}满足bn= ?an+1，记M=C +C +C ?b1+C ?b2+…+C ?b19，则M的个位数是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，17. （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=anlog an，求数列{bn}的前n项和Sn.18. （本小题满分12分）如图5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E 为BC中点，点F为B C 中点.（1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；（2）（理）设二面角A1-ED-A的大小为α，直线AD与平面A1ED所成的角为β，求sin（α+β）的值.（文）求三棱锥E-A1FD的体积.19. （本小题满分12分）某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰. 若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图6所示：（1）求获得参赛资格的人数；（2）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（3）（理）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.（文）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数为3时的概率.20. （本小题满分12分）如图7，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2（1，0）为焦点的抛物线的一部分，A ，是曲线C1和C2的交点.（1）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线的方程.（2）过F2的一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点.①求△CDF1面积的取值范围.②（只理科做）若G为CD中点，H为BE中点， ? 是否为定值？若是，求出此定值；若不是；请说明理由.21. （本小题满分12分）（理）函数f（x）=x3+ax2+bx的图象C与x 轴相切于不同于原点的一点，且f（x）的极小值为-4.（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；（2）过曲线C上一点P1（x1，y1）（P1不是C的对称中心）作曲线C 的切线，切C于不同于P1（x1，y1）的另一点P2（x2，y2），再过P2（x2，y2）作曲线C的切线，切C于不同于P2（x2，y2）的另一点P3（x3，y3），…，过Pn（xn，yn）作曲线C的切线，切C于不同于Pn（xn，yn）的另一点Pn+1（xn+1，yn+1）. 令x1=-1，求{xn}的通项公式.（文）函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与x轴相切于点（-3，0），且函数存在极值.（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；（2）过函数y=f（x）图象上一点P1（x1，y1）（P1不是y=f（x）图象的对称中心）作曲线的切线，切于不同于P1（x1，y1）的另一点P2（x2，y2），再过P2（x2，y2）作曲线的切线，切于不同于P2（x2，y2）的另一点P3（x3，y3），…，过Pn（xn，yn）作曲线的切线，切于不同于Pn（xn，yn）的另一点Pn+1（xn+1，yn+1），求xn与xn+1的关系.选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图8，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D.（1）求证：AC2=AP?AD；（2）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标与参数方程已知直线l经过点P（1，1），且l的一个方向向量v=（，1）.（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=9相交于两点A，B，求点P到A，B两点间的距离之积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知x-a希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。
word 1 / 1 04迎战2年高考模拟1. [2014·某某市模拟]若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A. 12B. 13C. 14D. 15解析：由题意得S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝25，a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.答案：B2. [2014·某某质检]在等差数列{a n }中，a 1＝－2014，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2014的值等于 ( )A. －2011B. －2012C. －2013D. －2014解析：根据等差数列的性质，得数列{S n n }也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2014，公差d ＝1，故S 20142014＝－2014＋(2014－1)×1＝－1，所以S 2014＝－2014. 答案：D3. [2013·某某质检]已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.答案：C4. [2013·某某检测]若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋2＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5，所以前两项有负数．故|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝S 10＋2(|a 1|＋|a 2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66.答案：665. [2014·某某模拟]在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，a 5＝3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析：在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0.∵a 5＝3a 7，∴a 1＋4d ＝3(a 1＋6d )，∴a 1＝－7d ，∴S n ＝n (－7d )＋n n －12d ＝d 2(n 2－15n )， ∴n ＝7或8时，S n 取得最大值．答案：7或8。
阶段示范性金考卷二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 2＝－1，则复数z ＝i3i －i 2014在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限C ．第三象限解析：z ＝－i i ＋1＝－i (1－i )(1＋i )(1－i )－12)．答案：Dsin(π＋θ)＝3，则cos(π－2θ)＝( )B ．－1225 D.725cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos2θ，由1＝2×(35)2－1＝－725，所以cos(π－2θ)＝－cos2θ＝725，故选D.答案：D3．已知向量a ＝(3，－1)，向量b ＝(sin α，cos α) ，若a ⊥b ，则sin 2α－2cos 2α的值为( )A.710B ．－1710C.1710 D ．－710解析：由a ⊥b 可得3sin α＝cos α，故tan α＝13；sin 2α－2cos 2α＝sin 2α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan 2α＋1＝－1710. 答案：B4．已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，且AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，则BQ →·CP →的最大值为( )B. －32 D. －38解析：BQ ·CP ＝(BA ＋AQ )·(CA ＋AP →) ＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝[AB →·AC →－λAB 2→＋(λ－1)AC 2→＋λ(1－λ)AB →·AC →] ＝(λ－λ2＋1)×1×1×cos60°－λ＋λ－1＝12(－λ2＋λ)－12 ＝－12(λ－12)2－38(λ≤R )．当λ＝12时，则BQ →·CP →的最大值为－38.故选D 项． 答案：D5．将函数y ＝sin2x 位，所得函数图象对应的解析式为(A ．y ＝sin(2x －π4)＋1 C ．y ＝2sin 2x解析：函数y ＝sin2x －π4)1个单位，所得函数图象(1－2sin 2x )＋1＝2sin 2x ，故选C.)(ω>0，－π2<φ<π2) 的图象关于直线x φ＝( )．－π3 B ．－π6 C.π6D.π3解析：π3－π12≥14×2πω，解得ω≥2，故当ω取最小值时，f (x )＝sin(2x ＋φ)，根据f (π12)＝0，得sin(π6＋φ)＝0，由于－π2<φ<π2，所以φ＝－π6.答案：B7．已知向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由a ·(a ＋b )＝3得，|a |21.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12.故向量a 答案：C8．若函数f (x )＝sin(2x －π4)＋间为( )B ．[0，π2] D ．[－π2，0]x ＋3π4)＝sin(2x －π4)－cos(2x －π4)＝2sin(2cos x 的一个单调递减区间是[0，π]，，π2]．答案：B9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 C.32解析：由图象可知T ＝2[π3－(x ＋φ)，又f (x )过点(－π6，0)，|φ|<π2，．∵x 1，x 2∈(－π，π)，且f (x 1)＝f 212＝π6，且满足|3AM →－AB →－AC →|＝( )B.14C.13D.12解析：由|3AM →－AB →－AC →|＝0得→＋AC →)．如图，AB →＋AC →＝AD →，由于＝13AD →，所以S △ABM ＝13S △ABD ＝13S △ABC .＝35，则sin(2x ＋π6)的值为( ) B.1325 D.725x cos π6－cos x sin π6＝35，32sin x －12cos x ＝35，两边平方得12sin 2x ＋14－34sin2x ＝925，∴12·1－cos2x 2＋14－34sin2x ＝925，即sin2x ·32＋cos2x ·12＝725，∴sin(2x ＋π6)＝725.答案：D12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3(a cos B＋b cos A )＝2c sin C ，a ＋b ＝4(a ，b 在变化)，且△ABC 的面积最大值为3，则此时△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．正三角形解析：由正弦定理得3(sin A cos B ＋cos A sin B )＝2sin 2C ，即3sin(A ＋B )＝3sin C ＝2sin 2C ，即sin C ＝3，积S ＝12ab sin C ＝34ab ≤34(a ＋b 2)2此时a ＝b ＝2，选择C.答案：C二、填空题(本大题共4在题中的横线上)，x＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8x 2＝16，又∵x >0，∴x ＝4.，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．解析：由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |，由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a ·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.答案：115．[2013·海淀区期末练习]函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝________.解析：由图可知，A ＝2，f (π)＝2， )＝1，＝－π6＋2k π(k ∈Z )， π)＝2×(－12)＝－1. |a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝________.解析：依题意得|3a |＝3，|4b |＝4，|5c |＝5，又3a ＋4b ＋5c ＝0，所以向量3a 、4b 、5c 首尾相接构成一个直角三角形，因此有a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝a ·c ＝|a |·|c |cos θ＝cos θ＝－35(其中θ为向量a 与c 的夹角)．答案：－35三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2014·河北高三质检]已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b .(1)求角A ；(2)若a ＝1，且3c －2b ＝1解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ，得∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋∴32sin C ＝cos A sin C ，又sin Cb ＝a ，即3sin C －2sin B ＝sin A . ∴B ＋π6＝π3，即B ＝π6.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x －32，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得函数g (x )的图象，设△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；(1)若f (C )＝0，c ＝6,2sin A ＝sin B ，求a ，b 的值．(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．解：(1)f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x －32＝32sin2x ＋12(1－cos2x )－32＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1.f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0∵2sin A ＝sin B 由余弦定理知：a 2＋b 2－2由①②解得：a ＝23，b ＝(2)由题意知g (x )＝sin(2x ＋π6)sin(2B ＋π6)＝1，∴B ＝π6， －33cos A )＝12cos A ＋32sin A ＝sin(A ＋π6)A ＋π6∈(π6，π)． ＋π6)(0,1]．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2a ＋b )cos C ＋c cos B ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝4，求使△ABC 面积取得最大值时的a ，b 的值． 解：(1)由已知及由正弦定理得(2sin A ＋sin B )cos C ＋sin C cos B ＝0，所以2sin A cos C ＋(sin B cos C ＋sin C cos B )＝0，所以sin(B ＋C )＋2sin A cos C ＝0，即sin A ＋2sin A cos C ＝0.因为0<A <π，sin A >0，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.(2)因为△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝34ab ，若使得S 取得最大值，只需要ab 取得最大值．由余弦定理可得，c 2＝a 2＋b 2－即16＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，故ab故使得△ABC 20．(本小题满分12分)－12(的图象上两相邻对称轴间的距离为π4.的图象向右平移π8个单位，再将所得图象上各点的)，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)，由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．由2k π＋π2≤4x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π2＋π12≤x ≤k π2＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin[4(x －π8)＋π6]＝sin(4x －π3)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π3)．因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，g (当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，g (x )21．(本小题满分12分)[2014·长沙一模]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A 、B 、P 、Q ，欲测量P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现可测得A 、B 两点间的距离为100 m ，如图，同时也能测量出∠P AB ＝75°，∠QAB ＝45°，∠PBA ＝60°，∠QBA ＝90°，则P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离各为多少？解：在△P AB 中，∠APB ＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得AP sin60°＝100sin45°，解得AP ＝50 6.在△QAB 中，∠ABQ ＝90°，∴AQ ＝100 2.又∠P AQ ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ ·cos ∠P AQ ＝(506)2＋(1002)2－2×506×1002×∴PQ ＝5000＝50 2.∴P 、Q 两棵树之间的距离为为50 6 m.22．(本小题满分12分)设角A 知向量m ＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin m ⊥n . 2B 2)，求|s ＋t |的取值范围．C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0， a ，b ，c 为内角A ，B ，C ab ，＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵s ＋t ＝(cos A,2cos 2B 2－1)＝(cos A ，cos B )，∴|s ＋t |2＝cos 2A ＋cos 2B＝cos 2A ＋cos 2(2π3－A )＝1＋cos2A 2＋1＋cos (4π3－2A )2＝14cos2A －34sin2A ＋1 ＝－12sin(2A －π6)＋1，∵0<A <2π3，∴－π6<2A －π6<7π6，∴－12<sin(2A －π6)≤1，∴12≤|s ＋t |2<54，∴22≤|s ＋t新课标第一网系列资料 。
04迎战2年高考模拟1. [2013·江西高考]在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 解析：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.答案：[0,4]2. [2014·南昌模拟]设函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|，则f (x )的最小值是________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5－2x ，x <1，3， 1≤x ≤4，2x －5，x >4，x <1时，5－2x >3，x >4时，2x －5>3，得f (x )min ＝3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，5－2x ≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤4，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ x >4，2x －5≤5，求并集得x 的取值范围是[0,5]．答案：3 [0,5]3. [2013·咸阳二模]若不等式|x ＋1x|>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是______．解析：∵|x ＋1x|≥2，∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3. 答案：(1,3)4. [2013·山东高考]在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．解析：当x ≤－1时，原不等式变为－(x ＋1)＋(x －2)≥1，即－3≥1，不成立； 当－1<x <2时，原不等式变为x ＋1－(2－x )≥1，即x ≥1，∴1≤x <2；当x ≥2时，原不等式变为(x ＋1)－(x －2)≥1，即3≥1，∴x ≥2.综上所述，不等式的解集是[1，＋∞)．对于区间[－3,3]，只有在区间[1,3]取值时不等式才能成立，故在区间[－3,3]随机取值，使不等式成立的概率是P ＝26＝13. 答案：135. [2013·辽宁高考]已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2， 2<x <4，2x －6， x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，'''x ≤0，4x －2a ， 0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。
1 04迎战2年高考模拟1. [2013·深圳调研]已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A. 5 2 B. 7C. 6D. 4 2解析：由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(±a 2a 8)3＝(±5016)3＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.答案：A2. [2014·河北质检]已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A. 2B. 4C. 5D. 52 解析：依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4，选B.答案：B3. [2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.解析：因为a 6－a 5＝2(S 5－S 4)＝2a 5，所以a 6＝3a 5.所以q ＝3.答案：34. [2013·广东高考]设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.解析：由已知得a n ＝(－2)n －1，∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15.答案：155. [2012·辽宁高考]已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q＝12，又a 25＝a 10＝a 1q 9>0，所以a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.所以由a 25＝a 10，即(a 1q 4)2＝a 1q 9，得a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.答案：2n。
2015年高考数学模拟金卷（一）（说明：本套试卷满分200分，考试时间150分钟）必做题部分（考试时间：120分钟总分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A={x-1≤x≤2}，B={xx0的解集为（-1，2），关于x的不等式ax2-bx+c>0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c>0的解集为（-1，2），得a（-x）2+b（-x）+c>0中，-x的取值范围是（-1，2），所以x的取值范围是（-2，1）.参考上述解法，若关于x的不等式 + b>0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线依次交于P，Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率为_______.14. 在直角坐标系xOy中，点P（xP，yP）和点Q（xQ，yQ）满足xQ=yP+xP，yQ=yP-xP，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”. 此变换下，若 =m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin（x+θ）的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为_________.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15. （本小题满分14分）已知函数f（x）=sin2x+ -cos2x+ +2cos2x.（1）求f 的值；（2）求f（x）的最大值及相应的x的值.16. （本小题满分14分）如图3，在棱长均为4的三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC-平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1-ABC的体积.17. （本小题满分14分）环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）= -a+2a+ ，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈0，，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）.（1）令t= ，x∈[0，24]，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，那么目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？18. （本小题满分16分）在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2 ，1）到两焦点的距离之和为4 .（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且 =3 ，求过O，A，B三点的圆的方程.19. （本小题满分16分）已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a>0）. 数列{bn}满足bn=anan+1（n∈N？鄢）.（1）若{an}是等差数列，且b3=12，求a的值及{an}的通项公式；（2）若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；（3）当{bn}是公比为a-1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由.20. （本小题满分16分）已知函数f（x）= ax2-（2a+1）x+2lnx（a为正数）.（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2-2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
