高考数学第三单元 等比数列

高三等比数列知识点解析数学作为一门重要的学科，在高中阶段占据着至关重要的地位。

而在数学学科中，等比数列与等差数列是高三学生最常接触的数列类型之一，且对学生的数学思维与分析能力有着较大的考验。

在本文中，我们将对高三等比数列的基本概念、性质和解题技巧进行详细论述。

一、等比数列的基本概念等比数列是指一个数列中，从第二个数起，每一个数都是前一个数乘以同一个常数得到的。

例如，数列1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。

在等比数列中，每个数与它的前一个数之比是相等的，这个比值叫做公比。

并且，公比的绝对值大于1时，数列的绝对值会呈现出递增的趋势；而公比的绝对值在0到1之间时，则数列的绝对值会呈现出递减的趋势。

二、等比数列的性质1. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

这个公式可以帮助我们求解等比数列前n项和，其中的（1-q^n）部分是通过公比的n次幂来表示的。

需要注意的是，当公比q等于1时，前n项和公式会退化为等差数列的前n项和公式Sn=n*a1。

2. 通项公式等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

通过通项公式，我们可以方便地求得等比数列中任意一项的值。

如果已知首项和公比，通过代入数值即可计算出对应的项数的数值。

3. 其他重要性质（1）对于任意等比数列，首项与公比的乘积等于第二项与公比的乘积，即a1 * q = a2。

这个性质是由等比数列的定义所确定的。

（2）等比数列任意两项的比值都是相等的。

这个性质在解题过程中有着很大的应用价值，可以帮助我们确定未知量的值。

三、等比数列的解题技巧1. 确定题目所给信息和所求结论在解题过程中，首先要仔细阅读题目，理解题目所给的条件和所要求的结果。

通过明确题目的要求，可以更加有目的地进行解题，在遇到复杂问题时能够有针对性地选择合适的方法。

2. 掌握运用前n项和公式和通项公式在解决关于等比数列的问题时，掌握前n项和公式和通项公式是必不可少的。

高中数学等比数列知识点总结一、定义与概念等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。

同时，等比数列的第一项a₁不能为0，且数列中的每一项均不为0。

特别地，当公比q=1时，等比数列变为常数列，即每一项的值都相同。

二、等比中项在等比数列中，如果三个数a、G、b依次组成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项，且G²=a*b（G≠0）。

三、性质等比数列具有一些重要的性质。

例如，在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k（m，n，p，q，k∈N*），则有am·an=ap·aq=a2k。

此外，等比数列的连续项之间具有特定的乘积关系，如aₙ₊₂aₙ₋₂=aₙ²（n≥2）。

四、公式等比数列的公式包括通项公式和前n项和公式。

通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

前n项和公式分为两种情况：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

在使用前n项和公式时，需要注意对q=1和q≠1进行分类讨论，以避免因忽略特殊情况而导致的错误。

五、应用与实例等比数列在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如，在国际象棋起源的传说中，宰相通过等比数列的方式向国王请求奖励，展示了等比数列在解决实际问题中的应用。

此外，等比数列还在物体跳跃高度的计算、光的反射与折射、经济学中的GDP增长和人口增长、生物学中的繁殖规律等领域发挥着重要作用。

综上所述，高中数学等比数列知识点包括定义与概念、等比中项、性质、公式以及应用与实例等方面。

通过深入学习和理解这些知识点，可以更好地掌握等比数列的本质和规律，并能够将其应用于实际问题的解决中。

《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。

本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。

一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。

例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。

二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。

1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。

- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。

2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。

- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。

三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。

1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。

- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。

2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。

四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。

高中数学等比数列知识点总结归纳高中数学中等比数列是必考之一，等比数列是高中数学的一个重要知识点也是一个难点，很多人在学完等差数列之后再学等比数列就更容易相互混淆了。

下面是小编为大家整理的关于高中数学等比数列知识点总结，希望对您有所帮助!等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.等比数列知识点1.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

模块三：等比数列理论一：等比数列定义从第二项起，后一项与前一项的比值相等，相等的比值为公比，用q 来表示，这个数列为等比数列。

等比数列定义：q a a n n=-1。

理论二：等比数列通项公式q a a n n=-1； 左相乘等于右相乘q a a n n =--21； 左相乘得到：q a a n n =--32； 12233432211...a aa a a a a a a a a a n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-----1a a n =。

... ...q a a =34； 右相乘得到：一共有1-n 个q 相乘1-⇒n q 。

q a a =23； 左相乘等于右相乘得到：q a a =12； 1111--⋅=⇒=n n n n q a a q a a 。

等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 。

理论三：等比数列的性质一在等比数列中，任意两项相除等于公比的序号相减次方。

关系式：n m nmq a a -=。

等比数列的性质一推理过程：根据等比数列的通项公式得到：11-⋅=m m qa a ，11-⋅=n n qa an m n m n m n m n m n m q q q qq q a q a a a -+---------====⋅⋅=⇒11)1()1(111111。

理论四：等比数列的性质二在等比数列中，任意两项的序号之和相等，这两项之积相等。

关系式：k s n m a a a a k s n m ⋅=⋅⇒+=+。

等比数列的性质二推理过程： n k sm q q n k s m k s n m --=⇒-=-⇒+=+。

根据等比数列的性质一得到：s m s m q a a -=，n k n k q a a -=k s n m nk s m a a a a a aa a ⋅=⋅⇒=⇒。

理论五：等比数列的性质三在等比数列中，中项的平方等于两项之积。

关系式：k a 是m a 和n a 的中项n m k a a a ⋅=⇒2。

等比数列知识点归纳总结图文在数学中，等比数列是一种特殊的数列。

它是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。

本文将对等比数列的相关知识点进行归纳总结，并以图文形式展示，帮助读者更好地理解和掌握等比数列的概念和性质。

1. 等比数列的定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，数列的通项公式为an=a×r^(n-1)。

其中，n表示数列中的第n项。

2. 等比数列的性质（1）通项公式：等比数列的通项公式是an=a×r^(n-1)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。

（2）前n项和公式：等比数列的前n项和公式是Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。

（3）比值性质：等比数列中，任意两项的比值都为常数，即an/an-1=r。

（4）倒数性质：等比数列中，任意两项互为倒数，即an与1/an-1互为倒数。

3. 等比数列的图文示例下面通过图文形式对等比数列进行示例，以加深对等比数列的理解和记忆。

（插入示例图片）图1是一个等比数列的示例图，首项a=2，公比r=3/2。

根据等比数列的通项公式an=a×r^(n-1)，我们可以计算出数列的前几个项如下：a1=2a2=2×(3/2)^1=3a3=2×(3/2)^2=4.5a4=2×(3/2)^3=6.75...由此可见，该数列每一项与前一项的比相等，且比值为3/2。

（插入示例图片）图2展示了等比数列的前n项和的计算过程，首项a=10，公比r=0.5。

根据等比数列的前n项和公式Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前几项和如下：S1=10S2=10×(1-(0.5)^2)/(1-0.5)=15S3=10×(1-(0.5)^3)/(1-0.5)=19.5S4=10×(1-(0.5)^4)/(1-0.5)=21.75...可以看出，数列的前n项和随着项数的增加而增加。

2022高考数学满分讲义：第三章 数列第1讲 等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺 答案 A解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝12.5，a 1＋11d ＝4.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15.5，d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺．(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝2164n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1，则b n ＝264n＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214. 又n ∈N *，∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝⎝⎛⎭⎫122－1214＝－30. 规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0 答案 ABC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10＝S 20，得10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，化简得a 1＝－292d .因为a 1>0，所以d <0，故A 正确；因为a 16＝a 1＋15d ＝－292d ＋15d ＝12d ，又d <0，所以a 16<0，故B 正确；因为a 15＝a 1＋14d ＝－292d ＋14d ＝－12d >0，a 16<0，所以S 15最大，即S n ≤S 15，故C 正确；S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －30)2d ，若S n <0，又d <0，则n >30，故当且仅当n ≥31时，S n <0，故D 错误．考点二 等差数列、等比数列的性质 核心提炼1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 答案 D解析 结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26， 又该数列为正项数列，可得a 6＝2， 所以由S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， 可得S 11＝S 2×5＋1＝11a 6＝22.(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于( )A ．2 020B ．1 010C ．2 D.12答案 A解析 ∵a 1a 2 020＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝21＋a 21＋21＋a 22 020＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 211＋a 21＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2， 即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020. 规律方法 等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．32 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A ．－510 B ．400 C ．400或－510 D ．30或40答案 B解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列， ∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2， 解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)， 故S 40－S 30＝270，∴S 40＝400.考点三 等差数列、等比数列的探索与证明 核心提炼等差数列 等比数列 定义法 a n ＋1－a n ＝d a n ＋1a n＝q (q ≠0) 通项法 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1·q n －1 中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1a 2n ＝a n －1a n ＋1证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12(n ∈N *)，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12(n ∈N *)．易错提醒 a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)．专题强化练一、单项选择题1．在等比数列{a n }中，若a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5 答案 A解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 3＝2，a 7＝8， ∴a 25＝a 3·a 7＝2×8＝16，则a 5＝±4， ∵等比数列奇数项的符号相同，∴a 5＝4.2．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n 等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12， ①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A ．a 6≤b 6 B ．a 6≥b 6 C ．a 12≤b 12 D ．a 12≥b 12 答案 B解析 因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6，所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112≥b 1b 11＝b 6.当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1. 4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C ．2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n答案 C解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1,2,3，…，n －1(n ≥2)取代， 累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a nn ＝2＋ln n ，即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)，又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n .5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝19C ．S 9＝81D ．S 10＝91 答案 D解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n >1，n ∈N *时是等差数列，公差为2， 又a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2＋(n －2)×2＝2n －2(n >1，n ∈N *)，∴a 9＝2×9－2＝16，a 10＝2×10－2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m ，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S n ，则( )A ．S n 无限大B ．S n <3(3＋5)mC ．S n ＝3(3＋5)mD ．S n 可以取100m答案 B解析 由题意可得，外围第2个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13m 2＋⎝⎛⎭⎫23m 2＝53m ； 外围第3个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13×53m 2＋⎝⎛⎭⎫23×53m 2＝59m ； ……外围第n 个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫53n －1m .所以蜘蛛网的长度 S n ＝4m ⎣⎡⎦⎤1＋53＋59＋…＋⎝⎛⎭⎫53n －1 ＝4m ×1－⎝⎛⎭⎫53n1－53<4m ×11－53＝3(3＋5)m .故选B. 二、多项选择题7．(2020·厦门模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( ) A ．a 4＝0 B ．S n 的最大值为S 3 C ．S 1＝S 6 D ．|a 3|<|a 5|答案 AC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的取值情况不清楚，故S 3可能为最大值也可能为最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项中正确的是( )A ．0<q <1B ．a 6>1C ．T 12>1D ．T 13>1答案 ABC解析 由于等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，所以(a 6－1)(a 7－1)<0，由题意得a 6>1，a 7<1，所以0<q <1，A ，B 正确；因为a 6a 7＋1>2，所以a 6a 7>1，T 12＝a 1·a 2·…·a 11·a 12＝(a 6a 7)6>1，T 13＝a 137<1，所以满足T n >1的最大正整数n 的值为12，C 正确，D 错误． 三、填空题9．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________． 答案 4解析 由题意知q ≠1，所以S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝na 1＋n (n －1)2d ＋b 1(1－q n )1－q＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋b 11－q －b 1q n1－q ＝n 2－n ＋2n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，b11－q ＝－1，－b11－q q n＝2n，解得d ＝2，q ＝2，所以d ＋q ＝4.10．(2020·北京市顺义区质检)设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝________，S 4S 2＝________.答案 3 10解析 设等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，又因为3a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以2×2a 2＝3a 1＋a 3，即4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，解得q ＝3或q ＝1(舍)，S 4S 2＝a 1(1－34)1－3a 1(1－32)1－3＝1－341－32＝10.11．(2020·潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需移动的最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下5个圆环需最少移动________次． 答案 16解析 因为a 5＝2a 4＋2＝2(2a 3－1)＋2＝4a 3，所以a 5＝4a 3＝4(2a 2＋2)＝8a 2＋8＝8(2a 1－1)＋8＝16a 1＝16， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤2S n－1S n ≤B 恒成立，则B －A 的最小值为________． 答案136解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， 令t ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，则－12≤t ≤14，S n ＝1－t ， ∴34≤S n ≤32， ∴2S n －1S n 的最小值为16，最大值为73，又A ≤2S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *恒成立，∴B －A 的最小值为73－16＝136.四、解答题13．(2020·聊城模拟)在①a 5＝b 3＋b 5，②S 3＝87，③a 9－a 10＝b 1＋b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，________，a 1＝b 6，若对于任意n ∈N *都有T n ＝2b n －1，且S n ≤S k (k 为常数)，求正整数k 的值． 解 由T n ＝2b n －1，n ∈N *得， 当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1＝2b n －1－1， 从而b n ＝2b n －2b n －1，即b n ＝2b n －1，由此可知，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，故b n ＝2n －1.①当a 5＝b 3＋b 5时，a 1＝32，a 5＝20，设数列{a n }的公差为d ，则a 5＝a 1＋4d ，即20＝32＋4d ，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值．因此，正整数k 的值为11.②当S 3＝87时，a 1＝32,3a 2＝87，设数列{a n }的公差为d ，则3(32＋d )＝87，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.③当a 9－a 10＝b 1＋b 2时，a 1＝32，a 9－a 10＝3，设数列{a n }的公差为d ，则－d ＝3，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.14．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)， 当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列， 所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

如何通过等比数列解决高考数学中的问题在高中数学中，等比数列是一个重要的概念。

它不仅出现在数学中的各种题型中，而且在实际生活中也有广泛的应用。

本文将主要介绍如何通过等比数列解决高考数学中的问题。

1. 等比数列的概念和通项公式等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比都相等的数列。

具体地说，如果一个数列的第一项为a1，公比为q，则它的第n项为an=a1*q^(n-1)。

这个公式就是等比数列的通项公式。

2. 等比数列的性质等比数列有很多重要的性质。

其中最重要的是比值相等的性质。

也就是说，如果一个数列的相邻两项的比相等，那么这个数列就是等比数列。

此外，等比数列还有一些其他的性质。

例如，对于一个等比数列，如果它的公比q>1，那么它的项数为n时，前n项的和Sn有以下不等式：a1*(q^n-1)/(q-1) < Sn < a1*q^n/(q-1)如果q<1，则有类似的不等式。

这些不等式在解决实际问题中非常有用。

3. 等比数列的应用在高考数学中，等比数列出现在多项式和函数的题型中。

例如，如果题目给出了一个多项式的某几项的系数，且这些系数是等比数列，那么就可以根据等比数列的公式求出每一项的系数，从而推出整个多项式。

另外，等比数列还有很多实际的应用。

例如，生活中经常遇到的存款问题。

假设某人每年将存款增加10%（即q=1.1），那么他在第n年的存款为an=a1*1.1^(n-1)。

如果知道他在第5年的存款是5000元，在第10年的存款是多少，就可以根据等比数列的通项公式求出来。

4. 解题思路和技巧在解决等比数列的题型时，有几个解题思路和技巧是很有用的。

首先要仔细分析题目，确定出数列的首项和公比。

其次，根据题目中给出的条件，列出方程求解。

有时候，多个等比数列的和也会出现在题目中。

此时可以采用分项求和的方法，将每个数列的和分别计算出来，然后将它们相加得到总和。

此外，有一些特殊的等比数列也需要注意。