高考数学等比数列

高考数学中的等比数列求和方法数列是高中数学中比较基础的一章，而等比数列则是其中的重中之重。

在高考中，等比数列的考查频率很高，特别是等比数列的求和问题更是经典，直接牵涉到了数列求和的核心思路。

本文将重点探讨等比数列求和方法，并为考生提供一些实用技巧，帮助他们在考试中取得更好的成绩。

首先，我们需要对等比数列做一个简单的介绍。

等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用的表示方法为{an}(n≥1)，其中a1是首项，r是公比。

例如，{1，2，4，8，16，……}就是一个公比为2的等比数列。

接下来，我们将分别介绍等比数列求和公式的推导和应用。

一、等比数列求和公式的推导1. 等比数列各项的和假设等比数列的第一项为a1，公比为r，首先计算出数列的前n项和S(n)：S(n) = a1 + a2 + a3 + … + an将该式乘以公比r得到：rS(n) = a2 + a3 + … + an + an+1然后，将原式S(n)中的各项全部减去等比数列中第一项a1，得到：S(n) - a1 = a2 + a3 + … + an（1）将(1)式代入前面的rS(n)中，得到：rS(n) = S(n) - a1 + an+1将等比数列中第n项与第一项的比值记为q，则：an+1 = a1q^n再将an+1代入上式，得到：rS(n) = S(n) - a1 + a1q^(n+1)移项并化简，得到：S(n) = a1(1 - q^n+1) / (1 - q)这个公式被称为等比数列求和公式，可以直接用来计算等比数列的和。

2. 等比数列各项的平方和现在我们来推导等比数列各项的平方和公式。

设等比数列的前n项平方和为T(n)，则：T(n) = a1^2 + a2^2 + a3^2 + … + an^2利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，将各项带入上式，得到：T(n) = a1^2 + a1^2 * q^2 + a1^2 * q^4 + … + a1^2 * q^(2n-2)将上式乘以公比q得到：qT(n) = a1^2 * q + a1^2 * q^3 + a1^2 * q^5 + … + a1^2 * q^(2n-1)将两式相减，得到：T(n) - qT(n) = a1^2 - a1^2 * q^(2n)化简后得到：T(n) = a1^2 * (1 - q^n) / (1 - q)这个公式被称为等比数列各项的平方和公式，与求和公式类似，也可以直接用来计算等比数列的各项平方之和。

高考数学复习 等比数列高考要求：1、 理解等比数列的概念，2、 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，3、 并能解决简单的实际问题． 考点回顾：1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:mn m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n nn a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q q a a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><考点解析：考点1、关于基本量的计算EG1．数列{}n a 为等比数列,求下列各值, (1)已知.,2118367463n a a a a a n 求==+=+ (2) .,15367382q a a a a 求公比已知=+= (3) .),21(15,218a S q 求已知-=-=思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题 解(1)21,36,18)(63636374=∴=+=+=+=+q a a a a q q a q a a a 9212)21(3232,36)1(833333333363=∴====∴=∴=+=+=+---n q a a a q a q a a a a n n n n (2) ,03615,,1536273738273两根是方程=+-∴=+==x x a a a a a a a a222414,3,1212,3447373±=±=∴==∴====∴q q q q a a a a 或或或 (3)1)21()21()21(1521)15(21])2(1[11818=+⋅--=∴-=+-=+--=a a a SB1-1.设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q于是)3(541,081)1()2()2(65601)1()1(801)1(11211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=---n n n nn q a a q q q q q a qq a 又得 3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a qaq n 及得代入 B1-2、设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q.答案:243-=q B1-2 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n .剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.2.关于等比数列的证明EG2.已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*+a N n a S n n (1)设)(21*+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列(2)设nn na c 2=,,求证:数列{}n c 是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-⇒+=+=++++++++即n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-⇒+++++而,由此可得{}n b 是等比数列且首项112123,2,32-⋅=∴==-=n n b q a a b 公比(2)43223222,2111111=⋅==-=-∴=+-++++n n n n n n n n n n n n n b a a c c b c 可知{}n c 是首项43,21211===d a c 公差的等差数列,4143-=∴n c n B2-2、数列{}{}n n b a ,的通项公式分别是,23,2+==n b a n nn 它们公共项由小到大排列的数列是{}n c ,①写出{}n c 的前5项 ②证明{}n c 是等比数列思维分析:容易证明{}n c 是等比数列,由定义式,只需找出{}n c 中任意相邻两项关系即可. 解(1) {}n c 的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设1)12(3)23(222,232,1++⋅=+=⋅=+==∴==+p p a p c c b a mm mn n p m 而{}{}中在又中不在bn a p p a b a m m m n m 221,2)24(3)23(424,+++∴++⋅=+⋅=⋅=∴{}{}是等比数列故项中的项即是n n n n n m c c c c c a ,4,112=∴∴+++B2-3 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n －n ＝3n－n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a nk 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.B2-4 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.①又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.②由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得a n +1=1+⋅n nb b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n . ∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立.∴a n =2)1(+n n .评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.方法归纳：1．涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量q a ,1来处理；2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． 实战训练1．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则a 1a 9的值为A ．3B ．9C ．±3D ．±92．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（ ）A ．89abB ．9)(abC ．910abD ．10)(ab3．已知821,,,a a a 是各项均为正数的等比数列，且公比q ≠1，则A=与81a a +B=54a a + 的大小关系是 （ ） A ．A>B B ．A<BC ．A=BD ．不确定，由公比q 的取值而定4．无穷等比数列｛a n ｝的前n 项的和S n ＝a －(21)n，则所有项的和是[ ] A ．1 B ．21 C ．－21D ．任意实数 5.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos215-B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin251- 解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B6.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案：B7.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈13.4.故n ≥14.答案：C8.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －39.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .12、无穷等比数列{a n }的前项和S n ，公比1≠q ，已知1是221S 和331S 的等差中项，6是2 S 2和3 S 3的等比中项。

高考数学等比数列知识点|等比数列的所有公式(1)定义式：任意两项的关系为(5)等比中项：若为或者无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。

(7)由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列1.若A=a1+a2+……+anB=an+1+……+a2nC=a2n+1+ (3)则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2B=a2+a5+a8+……+a3n-1C=a3+a6+a9+……+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)若“G是a、b的等比中项”则“G =ab(G≠0)”。

(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1 ，q1 …{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。

(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

注意：上述公式中A表示A的n次方。

(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q，它的指数函数y=a有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

求通项方法(1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an?构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)a(n+1)=2an+x，[标签:内容]感谢您的阅读！。

高考数学中的等比数列与等差数列数列是数学中的重要概念，它是由一定规律排列的一串数所组成的序列。

当数列的规律是由一个公式或者一个固定的增量所决定时，就分别称为等比数列和等差数列。

在高考数学中，常常会涉及到等比数列和等差数列的题目。

本文将分别从概念、性质、公式和应用四个方面介绍这两种数列。

一、等比数列1. 概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比相等的数列。

比值称为公比，通常用字母q表示，第一项通常用a1表示。

其通项公式为an=a1×q^(n-1)。

2. 性质a) 公比q为0或q为1的等比数列是特殊的等比数列。

b) 等比数列有无限项。

c) 等比数列的公比为正，且不等于1。

d) 等比数列可以借助画图工具画出图形，形状为不断递减的曲线。

3. 公式等比数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。

b) 通项公式：an=a1×q^(n-1)。

c) 通项公式与前一项的关系：an=aq^(n-1)。

4. 应用等比数列的应用非常广泛，可以在许多实际问题中发挥重要作用。

例如，在金融领域的利率计算和复利计算中，都需要用到等比数列的概念和公式。

此外，等比数列还可以用来分析种群数量的规律、电路电信号的衰减规律等等。

二、等差数列1. 概念等差数列又称为等差数列，它是指一个数列中，每相邻两项之差相等的数列。

差值称为公差，通常用字母d表示。

首项用a1表示，其通项公式为an=a1+(n-1)×d。

2. 性质a) 前n项和Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。

b) 一个等差数列中的任意三项可以构成一个等差数列。

c) 等差数列的公差为正、负或零。

d) 等差数列可以借助画图工具画出图形，形状为一条直线。

3. 公式等差数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。

b) 第n项公式：an=a1+(n-1)d。

c) 前一项与通项的关系：a(n-1)+d=an。

高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。

如函数过的定点、二次函数的对称轴等。

3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。

4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。

5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。

6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第六章　数　列§6.3　等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q (q ≠0)表示.(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ .2同一个公比a ，G ，b ab2.等比数列的通项公式及前n项和公式a1q n－1(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝.(2)等比数列通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝________＝ .3.等比数列性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则 ，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 (k ，m ∈N *).a m a n ＝a p a q q mS2n－S n S3n－S2n(4)等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，，仍成等比数列，其公比为q n.(n为偶数且q＝－1除外)增减常用结论1.等比数列{a n}的通项公式可以写成a n＝cq n，这里c≠0，q≠0.2.等比数列{a n}的前n项和S n可以写成S n＝Aq n－A(A≠0，q≠1,0).3.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列.( )(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( )√×××1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的A.充分不必要条件√B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.2.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6等于√A.31B.32C.63D.64根据题意知，等比数列{a n}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数1,3,9或9,3,1为____________.∴这三个数为1,3,9或9,3,1.第二部分例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于√A.14B.12C.6D.3方法一　设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1.所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二　设等比数列{a n}的公比为q，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一√设第一个音的频率为a ，相邻两个音之间的频率之比为q ，那么a n ＝aq n －1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a 13＝2a ＝aq 12，即q ＝ ，1122思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.跟踪训练1　(1)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于√A.2B.3C.4D.5∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍C.M>3√D.N<7设该等比数列为{a n}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，112112-要证M >3，即证－1－ >3，112112-112121-即证 >4，1122N ＝M ＋3.1122112121 所以 >5，所以－1－ >4，即M >4，112112 所以N ＝M ＋3>7，故D 错误.例2　已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等比数列；②数列{S n＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.选①②作为条件证明③：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{a n}是等比数列，所以公比q＝2，选②③作为条件证明①：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，所以{a n}为等比数列.思维升华(3)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列.跟踪训练2　在数列{a n}中，＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；所以(a n＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n＋2＋1)，因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以数列{a n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.由(1)知，a n＋1＝3·2n－1，所以a n＝3·2n－1－1，√∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，又数列{a n}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，(2)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a1124＋a12的最小值为______.由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，当且仅当S4＝6时等号成立.综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.跟踪训练3　(1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于√A.40B.36C.54D.81在等比数列{a n}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，(2)等比数列{a n}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于√A.1B.2C.3D.4∵a n＝192，√∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，第三部分1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于√A.1B.－1C.3D.－3设a n＝a1q n－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，2.数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于√A.2B.3C.4D.5令m＝1，则由a m＋n＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，所以a n＝2n，所以a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝2k (a1＋a2＋…＋a10)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.3.若等比数列{a n}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于√。

如何通过等比数列解决高考数学中的问题在高中数学中，等比数列是一个重要的概念。

它不仅出现在数学中的各种题型中，而且在实际生活中也有广泛的应用。

本文将主要介绍如何通过等比数列解决高考数学中的问题。

1. 等比数列的概念和通项公式等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比都相等的数列。

具体地说，如果一个数列的第一项为a1，公比为q，则它的第n项为an=a1*q^(n-1)。

这个公式就是等比数列的通项公式。

2. 等比数列的性质等比数列有很多重要的性质。

其中最重要的是比值相等的性质。

也就是说，如果一个数列的相邻两项的比相等，那么这个数列就是等比数列。

此外，等比数列还有一些其他的性质。

例如，对于一个等比数列，如果它的公比q>1，那么它的项数为n时，前n项的和Sn有以下不等式：a1*(q^n-1)/(q-1) < Sn < a1*q^n/(q-1)如果q<1，则有类似的不等式。

这些不等式在解决实际问题中非常有用。

3. 等比数列的应用在高考数学中，等比数列出现在多项式和函数的题型中。

例如，如果题目给出了一个多项式的某几项的系数，且这些系数是等比数列，那么就可以根据等比数列的公式求出每一项的系数，从而推出整个多项式。

另外，等比数列还有很多实际的应用。

例如，生活中经常遇到的存款问题。

假设某人每年将存款增加10%（即q=1.1），那么他在第n年的存款为an=a1*1.1^(n-1)。

如果知道他在第5年的存款是5000元，在第10年的存款是多少，就可以根据等比数列的通项公式求出来。

4. 解题思路和技巧在解决等比数列的题型时，有几个解题思路和技巧是很有用的。

首先要仔细分析题目，确定出数列的首项和公比。

其次，根据题目中给出的条件，列出方程求解。

有时候，多个等比数列的和也会出现在题目中。

此时可以采用分项求和的方法，将每个数列的和分别计算出来，然后将它们相加得到总和。

此外，有一些特殊的等比数列也需要注意。