平稳时间序列模型

（2） Exsεt = 0, ∀s < t 那么我们就说xt遵循一个一阶自回归或AR(1)随机过程。
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt

平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。

该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。

以下是平稳时间序列模型的建立概述。

第一步是数据的预处理。

在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。

去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。

去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。

第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。

这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。

通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。

第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。

常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。

选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。

第四步是模型参数的估计与诊断。

对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。

这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。

估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。

常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。

第五步是模型预测与评估。

通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。

预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。

若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。

总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。

通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。

平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。

第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。

所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。

当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。

ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。

（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。

时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。

它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。

时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。

一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。

常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。

-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。

它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。

ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。

-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。

ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。

-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。

2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。

常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。

- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。

-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。

-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。

二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。