平稳时间序列模型及其特征

第二章 平稳时间序列模型本章将介绍Box-Jenkins 方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。

2．1 平稳性时间序列t y 的均值和协方差 ()t t E y μ=,cov(,)[()()]t s t t s s t s y y E y y μμγ=--=一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。

如果这个过程是正态过程， ,,t t s μγ可以完全刻画这个随机过程的分布性质。

如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。

下面的问题是如何来估计t μ，对于一些过程我们可以得到大量的实现（反复做观测）,1,2,,.1,2,,.jt y t n j k ==那么，t μ的估计是11ˆkt jt j y k μ==∑但对大多数过程来说，得不到更多的实现。

如，不可能把经济停下来，然后重新开始观测。

对一个实现，不可能估计出t μ。

为了克服这个困难，时间序列分析要做如下的假设：均值和方差不随时间而改变。

如果对任何t, t-s, 都有μ==-)()(s t t y E y E222)()(y s t t y E y E σμμ=-=--s s j t j t s t t y y y y γ==----),cov(),cov(这里 2,y μσ都是常量，与时间无关，s γ是依赖于s 的常量。

这样的随机过程称为协方差平稳。

可以简单地说，如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。

在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程。

（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）。

一个更进一步的假设是遍历性（ergodic ）。

这是一个较难理解的一个概念。

遍历性是指，按时间平均11nn t t y y n ==∑是总体均值μ的无偏、一致估计。

即(),()0,()n n E y Var y n μ=↓→∞。

第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。

最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。

用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。

其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。

如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。

P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。

设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。

利用这些记号，（2.1.2）式可化为：X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。

相应的序列X t称为滑动平均序列。

第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。

所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。

当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。

ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。

（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。

时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。

它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。

时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。

一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。

常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。

-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。

它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。

ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。

-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。

ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。

-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。

2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。

常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。

- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。

-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。

-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。

二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。

平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。

平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。

平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。

ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。

SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。

ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。

SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。

趋势平稳的的时间序列趋势平稳的时间序列是指在一段时间内，其数据呈现出相对稳定的发展趋势，即没有明显的上升或下降趋势。

在统计学中，趋势平稳的时间序列对于分析和预测具有重要意义。

趋势平稳的时间序列的特征主要有以下几个方面：1. 均值稳定性：趋势平稳的时间序列的均值在不同的时间段内保持相对稳定。

也就是说，数据的整体平均水平没有明显的增长或降低趋势。

2. 方差稳定性：趋势平稳的时间序列的方差在不同时间段内保持相对稳定。

也就是说，数据的波动性没有明显的增加或减少趋势。

3. 自相关性：趋势平稳的时间序列的不同时刻的观测值之间存在一定的自相关性。

也就是说，当前时刻的观测值与前一时刻（或者前几个时刻）的观测值相关联。

这种自相关性是由于时间序列中的某种内在规律性或者周期性导致的。

4. 缺乏季节性或周期性：趋势平稳的时间序列在一段时间内不具备明显的季节性或周期性变化。

也就是说，数据的变化主要是由整体趋势所引起的，而非季节性或周期性因素所导致。

趋势平稳的时间序列分析和预测相对比较简单，因为在其基础上可以应用一些经典的时间序列分析方法。

以下是几种常见的分析和预测方法：1. 移动平均法：移动平均法是一种通过计算相邻时间段内的数据均值来平滑时间序列的方法。

在趋势平稳的时间序列中，由于数据的整体趋势相对稳定，因此移动平均法可以有效降低数据的随机波动，提取出数据的主要趋势，从而更好地分析和预测。

2. 指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均计算当前时刻的观测值的方法，其中对不同时刻的观测值赋予不同的权重。

在趋势平稳的时间序列中，指数平滑法可以根据当前时刻的观测值和先前时刻的预测值来计算最新的预测值，从而更好地捕捉到数据的趋势性。

3. 自回归移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是一种常用的时间序列模型，可以将时间序列分解为自回归(AR)部分、差分(I)部分和滑动平均(MA)部分。

在趋势平稳的时间序列中，ARIMA模型可以通过拟合数据的自回归部分和滑动平均部分来进行预测，从而更好地反映数据的整体趋势。

第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。

最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。

用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（常记作AR(1)。

其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。

如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。

P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。

设B为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。

利用这些记号，（X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt ( 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q ( 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。

相应的序列X t称为滑动平均序列。

使用滞后算子记号，（X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt ( 三、自回归滑动平均模型如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q( 简记为ARMA(p, q)。

第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。

最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。

用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：Xt=Q XJ t（2.1.1）常记作AR（1）。

其中｛XJ为零均值（即已中心化处理）平稳序列，中为人对X一的依赖程度，£t为随机扰动项序列（外部冲击）。

如果X t与过去时期直到Xt-p的取值相关，则需要使用包含X t_ j……乂巾在内的p阶自回归模型来加以刻画。

P阶自回归模型的一般形式为：X t=^1 X t1+^2Xt）…+①X t +£t （2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。

设 B 为滞后算子，即 BX t=X t『则 B（B k-1X t）=B k X t=X t k B（C）=C（C 为常数）。

利用这些记号，(2.1.2)式可化为：X t=^1BX t+^ 2B2X t+^ 3B a X t+ ........... +Q B p X t+£t从而有：(1p /① 2B2- .......... P B P) X t=£t记算子多项式①(B) = (1-y 1B-^ 2B 2-……p p B p )，则模型可以表 示成①(B) X t =£ t (2.1.3)例如，二阶自回归模型X t =0.7X t i +0.3X t 2+0.3X t3+ £ t 可写成 (1-0.7B-0.3B 2)X=£ t t二、滑动平均模型(MA)有时，序列X t 的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况 下，X t 可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t =£ t -0 F t i -0 2£ t2- ..... -0 £ t ⑵ 1.4)此模型常称为序列X t 的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q 为滑动 平均的阶数，0」0 j ・0 q 为参滑动平均的权数。

平稳时间序列模型的性质概述平稳时间序列模型是一种描述时间序列数据的统计模型，它的核心假设是数据在时间上的统计特性不发生变化。

具体而言，平稳时间序列模型具有以下性质：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值不随时间变化而变化，即序列的均值是恒定的。

这意味着序列的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。

2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差不随时间变化而变化，即序列的方差是恒定的。

这意味着序列的波动性是稳定的，不存在明显的波动增长或缩减。

3. 自协方差稳定性：平稳时间序列的自协方差（序列任意两个时间点之间的协方差）仅依赖于时间点之间的间隔，而不依赖于特定的时间点。

这意味着序列的相关性结构是稳定的，不存在明显的季节性或周期性变化。

4. 纯随机性：平稳时间序列被认为是纯随机的，没有系统性的模式或规律可寻。

这意味着序列的未来值无法通过过去的观察值来准确预测。

根据这些性质，我们可以使用平稳时间序列模型来进行时间序列的建模和预测。

常见的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA 模型）以及季节性模型等。

总而言之，平稳时间序列模型具有均值稳定性、方差稳定性、自协方差稳定性和纯随机性等性质，这使得它们成为分析和预测时间序列数据的常用工具。

通过运用这些模型，我们可以揭示序列的短期和长期特征，提供数据的统计属性并进行未来值的预测。

平稳时间序列模型是时间序列分析中非常重要的方法之一，它能够帮助我们理解和预测一系列观测值之间的关系。

在实际应用中，平稳时间序列模型常被用于金融市场分析、经济学研究、气象预测等领域。

首先，均值稳定性是平稳时间序列模型的一个重要性质。

这意味着序列的长期平均水平是恒定的，不随时间变化而变化。

例如，在金融市场中，股票价格的均值稳定性意味着股票价格的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。

通过建立平稳时间序列模型，我们可以更好地理解价格的平均水平，并预测未来的价格走势。

平稳时间序列与非平稳时间序列的区别时间序列是统计学中一种重要的数据形式，用于研究随时间变化的现象。

在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念。

平稳时间序列与非平稳时间序列在特征和性质上存在着显著的区别。

本文将讨论平稳时间序列与非平稳时间序列的定义、特征和分析方法。

一、平稳时间序列的定义及特征平稳时间序列是指其概率分布不随时间推移而发生改变的时间序列。

具体来说，对于平稳时间序列，它的均值、方差和自相关函数等统计特征在不同时刻保持不变。

平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值在时间上保持不变。

2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差在时间上保持不变。

3. 自相关性：平稳时间序列的自相关函数只依赖于时间的间隔，而不依赖于具体的时间点。

二、非平稳时间序列的定义及特征非平稳时间序列是指其概率分布随时间推移而发生改变的时间序列。

具体来说，非平稳时间序列的均值、方差和自相关函数等统计特征会随时间发生变化。

非平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 趋势性：非平稳时间序列存在明显的增长或下降趋势。

2. 季节性：非平稳时间序列可能会呈现出周期性的变动，如一年内的季节变化。

3. 自相关性的变化：非平稳时间序列的自相关函数不仅依赖于时间的间隔，还依赖于具体的时间点。

三、分析方法的区别针对平稳时间序列和非平稳时间序列，我们在分析方法上有不同的选择。

对于平稳时间序列，我们可以使用经典的时间序列分析方法，如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。

这些方法基于平稳性的假设，能够准确地对平稳时间序列进行建模和预测。

对于非平稳时间序列，由于其不具备平稳性，我们需要采取一些转换方法来处理。

常见的方法包括一阶差分、对数转换和季节性调整等。

此外，我们还可以使用更加复杂的模型，如自回归积分移动平均模型（ARIMA）、差分自回归移动平均模型（DARIMA）和趋势-季节性分解模型等。

第⼆章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性1⽩噪声过程:零均值，同⽅差，⽆⾃相关（协⽅差为0）以后我们遇到的efshow如果不特殊说明，就是⽩噪声过程。

对于正态分布⽽⾔，不相关即可推出独⽴，所以如果该⽩噪声如果服从正态分布，则其还将互相独⽴。

2各种和模型p阶移动平均过程：q阶⾃回归过程：⾃回归移动平均模型：如果ARMA(p,q)模型的表达式的特征根⾄少有⼀个⼤于等于1，则{y(t)}为积分过程，此时该模型称为⾃回归秋季移动平均模型（ARIMA）时间序列啊，不就是求个通项公式，然后求出⼀个⾮递推形式的表达式吗？（这个公式和⾃变量t有关，然后以后只要知道t就能得到对应的y的预测值）3弱平稳/协⽅差平稳：均值和⽅差为常数（即同⽅差），协⽅差仅与时间间隔有关4⾃相关系数：5AR(1)模型（带⽩噪声的⼀阶差分⽅程）的平稳性：（1）如果初始条件为y0：则其解为（我们通过其解来判断其是否平稳）此时{y(t)}是不平稳的。

· 但是如果|a1|<1，其t⾜够⼤，则{y(t)}是平稳的。

均值：⽅差：等于协⽅差：等于所以有结论：（2）初始条件未知：则其通解为：{y(t)}平稳的条件为：1 |a1|<12 且齐次解A(a1)^t为0：序列从很久前开始（即t很⼤，且结合1，则为0），或该过程始终平稳（A=0）所以说，解的稳定性和序列的平稳性是不⼀样的。

这两条对所有的ARMA(p,q)模型都适⽤。

（对于任意的ARMA(p,q)模型，齐次解为0是平稳性必要条件）（ARMA(p,q)模型的齐次解为或）6对于ARMA(2,1)模型的平稳性：模型表达式为：（2.16）（截距项不影响平稳性，略去）设其挑战解为：（⽤待定系数法）则系数应当满⾜⽅程：（2.17）序列{阿尔法i}收敛的条件是⽅程（2.16）对于的齐次⽅程的特征根都在单位圆之内（因为2.17中的差分⽅程对于的特征⽅程和⽅程2.16对于的特征⽅程是⼀模⼀样的）我们之所以只考虑特解，是因为我们让齐次解为0.此时该挑战解/特解：均值为：⽅差为：（t很⼤时⽤级数求和）协⽅差为：等于所以其平稳性条件为（t很⼤）：1模型对应的齐次⽅程的特征⽅程的特征根在单位圆内2齐次解为0。

第五讲（续）平稳时间序列的ARMA模型1 平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。

这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。

其统计规律不会随着时间的推移发生变化。

平稳的定义分为严平稳和宽平稳。

定义1（严平稳）设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变量，在不同的时刻t 是不同的随机变量，任取n 个值1,,n t t 和任意的实数h ，则1,,n x x 分布函数满足关系式1111(,,;,)(,,;,)n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++则称{},t x t T ∈为严平稳过程。

在实际中，这几乎是不可能的。

由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。

定义2（宽平稳）若随机变量{},t x t T ∈的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足：（1）任取t T ∈，有()t E x c =； （2）任取t T ∈，t T τ+∈，有[(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-=协方差是时间间隔的函数。

则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程，其中()R τ为协方差函数。

2 各种随机时间序列的表现形式白噪声过程（white noise，如图1）。

属于平稳过程。

y t = u t, u t IID(0, 2)3white noise21-1-2-3100120140160180200220240260280300图1 白噪声序列（2=1）随机游走过程（random walk，如图11）。

属于非平稳过程。

y t = y t-1 + u t, u t IID(0, 2)10y=y(-1)+u5-5-1020406080100120140160180200图2 随机游走序列（2=1）-2-112240260340360DJPY图3 日元兑美元差分序列2200 2000 1800 1600 1400 1200图4深圳股票综合指数100 80 60 40 20图5随机趋势非平稳序列（= 0.1）20-20-40-60-80100200300400500600700800图6 随机趋势非平稳序列（= -0.1）10.0Ln(Income)9.59.08.58.07.57.05560657075808590图7 对数的中国国民收入序列14Y 1210864图8 中国人口序列3 延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B 为延迟算子，有,1p t p t x B x p -=∀≥。

MA模型的特征方程MA模型（Moving Average Model）是时间序列分析中的一种重要模型，用于描述随机过程中的平稳时间序列。

它是AR模型（自回归模型）的补充，通过对过去时期的误差项进行线性组合来预测当前时期的观测值。

MA模型的特征方程是描述该模型动态性质的一个重要方程。

在本文中，我们将详细介绍MA模型以及其特征方程，并解释其各个部分的含义和作用。

1. MA模型简介MA模型是由经济学家Peter Whittle于1951年提出的一种时间序列模型。

它假设观测值与过去时期的随机误差项之间存在线性关系，即当前时期的观测值是过去几个时期误差项的线性组合。

一个p阶的MA模型可以表示为：X t=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+...+θpεt−p其中，X t表示当前时期t的观测值，μ表示常数项，εt表示当前时期t的随机误差项，θ1,θ2,...,θp表示MA模型的参数，表示过去p个时期的误差项对当前时期观测值的影响。

MA模型的特点是具有有限的记忆性，即只与过去几个时期的误差项相关，而不与更远的时期相关。

MA模型适用于描述一些具有短期相关性但无长期趋势的时间序列数据。

2. MA模型的特征方程特征方程是描述MA模型动态性质的一个重要方程，通过求解特征方程可以得到模型的特征根（characteristic roots），进而判断模型是否稳定。

对于一个p阶的MA模型，其特征方程可以表示为：1+θ1z+θ2z2+...+θp z p=0其中，z是一个复数。

特征方程可以看作是关于z的多项式方程，在复平面上寻找使得该多项式等于零的解。

求解特征方程可以采用多种方法，其中一种常用方法是使用牛顿迭代法（Newton-Raphson method）进行数值求解。

通过迭代计算可以得到特征根的近似值。

3. 特征方程求解示例下面我们以一个简单的二阶MA模型为例，来演示如何求解特征方程。

假设我们有一个二阶MA模型：X t=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2其中，μ为常数项，εt为当前时期的随机误差项，θ1和θ2为模型的参数。