厚壁圆筒应力分析
1、概述
K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。 2、解析解
一、内压为i p ，外压为0p 的厚壁圆筒，需要求出径向应力r σ、周向应力θσ和轴向应力z σ，其中轴向应力z σ不随半径r 变化。 （1）几何方程
如图所示，取内半径r ，增量为dr 的一段区域两条弧边的径向位移为ω和ωωd +，其应变的表达式为：
r rd rd d r dr
d dr d r ω
θθθωεω
ωωωεθ=
-+==
-+=
))(（周向应力：径向应力：（1）
θσ对r 求导，得：
()θθσσωωωω
ωσ-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r
r dr d r r r dr d r dr d 112 （2） （2）物理方程 根据胡克定理表示为
[]z E
σσμσεθθ+-=
r (1
（3） 两式相减，消去z σ得：
[]θθσσμεε-+=
r E ）
（1-r []z r E
σσμσεθ+-=(1r
（4） 将（4）代入（2）得：
[]）
z r E
dr d σσμσεθθ+-=(1
（5） 对（3）的θε求导得，z σ看做常数：
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=dr r d dr d E dr d σμσεθθ1 （6） 联立（5）、（6）得：
[]θθθσσμσμσ-)
1-r r
dr d dr d +=
（ （7） （3）平衡方程
如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标 系，把θσ向x 轴和y 轴分解，得：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-+2sin 2θθd p p p r dr r （8）
其中
()θσσd dr r d p r r dr r ++=+)（ （9）
θσrd p r r =
由于θd 很小，2
2sin θ
θd d ≈⎪⎭⎫
⎝⎛，略去二阶微量r r d d σ，得 dr
d r
r
r σσσθ=- （10） 联立（7）（10）得
0322=+dr
d dr d r r r σσ （11）
对（11）进行求得r σ，在代入（10）得
2
2
r
B
A r
B A r +=-
=θσσ （12） 其中A 、B 是两个积分常数，要求A ，B 需要两个方程，根据内外壁边界条件
0,,p R r p R r r i r i -==-==σσ （13）
将（13）代入（12）得：
22020
202202
002)(i
i i i i i R
R R R p p B R R R p R p A --=
--=
（14）
最后剩下z σ未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。
)S 220z z i R R F -==（内力πσσ （15） 0202i R p R p F i ππ-=外力 （16）
联立（15）（16）得：
A R R R p R p R R p R p R i
i i i i i z =--=--=2
2020022200202)(πππσ （17） 所以得到内外压作用下的拉美公式：
周向应力：2
2202
020********
)(r R R R R p p R R R p R p i i i i i i --+--=θσ （18） 径向应力：222
0202022020021
)(r R R R R p p R R R p R p i i i i i i r -----=σ 轴向应力：2
2020
02i
i i z R R R p R p --=σ
利用拉美公式，可以得到如下解析解：
设厚壁圆筒受内压Mpa p i 4=，受外压Mpa p o 1=，圆筒内径
mm i 120R =，外径mm o 160R =。则得到如下解析解
3、数值解
有限元模型及其假设
并且得到总的应力分布：
由于筒体为对称结构，所以用轴对称模型。同样设 设厚壁圆筒受内压Mpa p i 4=，受外压Mpa p o 1=，
圆筒内径mm i 120R =，壁厚t 为40mm 高度H 为200mm ，弹性模量E 为Mpa 1025⨯，泊松比为10Mpa 。模型如右图所示： 得到，厚壁圆筒只在受内压和外压作用时的三向应力，在ANSYS 中得到如下图所示：
实体模型及网格划分图
和拉美公式的到的解析解进行比较，下面是利用Excel整理得到的厚壁圆筒三向应力有限元数值解和拉美公式解析解比较图，如下图所示：
从图中看出，ANSYS的数值解和拉美公式解析解几乎一样，进一步验证了拉美公式的正确性。
