27 2.3 厚壁圆筒应力分析 ∆t 筒体内外壁的温差, ∆t =t i −t 0 R K= 0 K ——筒体的外半径与内半径之比 Ri Kr——筒体的外半径与任意半径之比, K r = R0 r 厚壁圆筒各处的热应力见表2-2, Eα∆t Pt = 表中 2(1 − µ ) 28 2.3 厚壁圆筒应力分析 表2-2 厚壁圆筒中的热应力 2.3.1 弹性应力 •以轴线为 轴建立圆柱坐标。 以轴线为z轴建立圆柱坐标 以轴线为 轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。 求解远离两端处筒壁中的三向应力。 求解远离两端处筒壁中的三向应力 一、压力载荷引起的弹性应力 二、温度变化引起的弹性热应力 5 2.3 厚壁圆筒应力分析 一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向(经向)应力 、轴向(经向) 对两端封闭的圆筒,横截面在变形后仍保持平面。所以, 对两端封闭的圆筒,横截面在变形后仍保持平面。所以, 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布, 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布,得: 2 Ro 1− 2 K −1 r 2 外壁处 r=Ro − po K 2 +1 − po 2 K −1 σr σθ pi − pi K +1 Pi 2 K −1 2 0 2 pi 2 K −1 − po K 2 Ri2 1− 2 K −1 r 2 − po K 2 Ri2 1+ 2 K −1 r 2 dε θ 1 dσ θ dσ r = −µ dr E dr dr ε r − εθ = 1+ µ [σ r − σ θ ] E dε θ 1 = (ε r − ε θ ) dr r dσ θ dσ r 1 + µ (σ r − σ θ ) −µ = dr dr r σθ −σ r = r (2-29) 11 2.3 厚壁圆筒应力分析 e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 εr = 1 [σ r − µ (σ θ + σ z )] E 1 ε θ = [σ θ − µ (σ r + σ z )] E dε θ 1 + µ (σ r − σ θ ) = dr rE 热应 力 σ t r 任意半径r 处 pt − 圆筒内壁Kr = K 处 圆筒外壁Kr =1处 0 0 2K 2 K 2 −1 σθ t ( P( ( ln Kr ln K + 2 Kr −1 K 2 −1 1−ln K r t ln K − K 2 −1 增加, 径向应力内壁处为 − pi ,随着 r 增加, 径向应力绝对值 逐渐减小, 逐渐减小,在外壁处 σ r =0; ; 轴向应力为一常量,沿壁厚均匀分布, 轴向应力为一常量,沿壁厚均匀分布,且为周向应力与径向应力 和的一半, 和的一半,即 1 σ z = (σ θ + σ r ) 2 18 2.3 厚壁圆筒应力分析 厚壁容器: 厚壁容器: 应力 Do / Di > 1.1 − 1.2 径向应力不能忽略,处于三向应力状态;应力 径向应力不能忽略,处于三向应力状态; 是半径的函数。 仅是半径的函数。 周向位移为零,只有径向位移和轴向位移 周向位移为零, 径向应变、轴向应变和周向应变 径向应变、 位移 应变 分析方法 8个未知数,只有2个平衡方程,属静不定问 个未知数,只有 个平衡方程 个平衡方程, 个未知数 需平衡、几何、物理等方程联立求解。 题,需平衡、几何、物理等方程联立求解。 πRi2 p i − πR02 p 0 p i Ri2 − p 0 R02 σz = = 2 2 π (R0 − Ri ) R02 − Ri2 ) = A (2-25) 6 2.3 厚壁圆筒应力分析 2、周向应力与径向应力 、 由于应力分布的不均匀性,进行应力分析时, 由于应力分布的不均匀性,进行应力分析时,必须从微元体着 手,分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 (位移-应变) (位移 应变) 位移- d. 物理方程(应变-应力) 物理方程(应变-应力) e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 (求解微分方程,积分,边界条件定常数) 求解微分方程,积分,边界条件定常数) 0 2K 2 − po 2 K −1 2 Ro 1+ K 2 −1 r 2 pi σz 1 pi 2 K −1 K2 − po 2 K −1 15 2.3 厚壁圆筒应力分析 z K2 +1 σ θ max = pi K2 −1 dσ r dr d 2σ r dσ r r 2 +3 = 0 (2-33) - ) dr dr B σr = A− 2 ; r B σθ = A + 2 r 12 2.3 厚壁圆筒应力分析 边界条件为:当 r = Ri 时,σr = − pi ; 当 r = R0 时,σ r = − p0 。 由此得积分常数A和 为 由此得积分常数 和B为: (详细推导见文献[11]附录) 26 2.3 厚壁圆筒应力分析 2、厚壁圆筒的热应力 1 − ln K r K r2 + 1 Eα∆t t 周向热应力 σ θ = − 2 2(1 − µ ) ln K K − 1 ln K r K r2 − 1 Eα∆t t − 径向热应力 σ r = + 2 2(1 − µ ) ln K K − 1 Eα∆t 1 − 2 ln K r 2 t 轴向热应力 σ z = − 2 2(1 − µ ) ln K K − 1 (w + dw) − w = dw εr = dr dr (2-27) ) εθ (r + w)dθ − rdθ = rdθ w = r (2-28) ) 变形协调方程 dε θ 1 = (ε r − ε θ ) dr r 10 2.3 厚壁圆筒应力分析 d. 物理方程 1 ε r = [σ r − µ (σ θ + σ z )] E 1 ε θ = [σ θ − µ (σ r + σ z )] E 2.3 厚壁圆筒应力分析 ②在数值上有如下规律: 在数值上有如下规律: 有最大值,其值为: 内壁周向应力 σ θ 有最大值,其值为: σ θ max 外壁处减至最小,其值为: 外壁处减至最小,其值为: 内外壁 σ θ 之差为 p i ; σ θ min K 2 +1 = pi 2 K −1 2 = pi 2 K −1 (b)仅受外压 16 图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布 2.3 厚壁圆筒应力分析 仅在内压作用下,筒壁中的应力分布规律: 仅在内压作用下,筒壁中的应力分布规律: 均为拉应力(正值), ①周向应力 σθ 及轴向应力 σ z 均为拉应力(正值), 为压应力(负值)。 径向应力 σ r 为压应力(负值)。 17 3 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力 p0 po pi 研究在内压、 研究在内压、 外压作用下, 外压作用下, 厚壁圆筒中的 应力。 应力。 po pi a. b. r m1 n1 m pi n θ m1 m d r + dr dr n1 dr n r θ Ri c. Ro d. 图2-15 厚壁圆筒中的应力 4 r 2.3 厚壁圆筒应力分析 径向应力 (2-34) 轴向应力 p i Ri2 − p 0 R02 σz = R02 − Ri2 称Lamè(拉美)公式 14 2.3 厚壁圆筒应力分析 表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值 受力 位 应 力 情况 置 分 析 仅受内压 仅受外压 po=0 pi=0 任意半径 r 内壁处 外壁处 任意半径 r 内壁处 r=Ri r=Ro r=Ri 处 处 σ = −αE∆t t y (2-35) - ) 双向约束: 双向约束: αE∆t ∆t σ =σ = − 1− µ t x t y (2-36) - ) 三向约束: 三向约束: αE∆t σ =σ =σ = − 1− 2 µ t x t y t z (2-37) - ) 23 三维、二维、 三维、二维、一维热应力比值 2.50:1.43: 2.50:1.43:1.00 (σ θ )r =R =R (σ θ )r = R 0 = i 2 K 2 +1 19 例题 20 讨论 21 2.3 厚壁圆筒应力分析 二、温度变化引起的弹性热应力 1、热应力概念 、 2、厚壁圆筒的热应力 、 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 、 4、热应力的特点 、 22 2.3 厚壁圆筒应力分析 1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束, 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束,在弹性体内 所引起的应力,称为热应力。 所引起的应力,称为热应力。 单向约束: 单向约束: p i Ri2 − p 0 R02 A= R02 − Ri2 B= ( pi − p0 )Ri2 R02 R02 − Ri2 13 2.3 厚壁圆筒应力分析 周向应力 pi Ri2 − p 0 R02 ( pi − p 0 )Ri2 R02 1 σθ = + 2 2 R0 − Ri R02 − Ri2 r2 2 pi Ri2 − p 0 R0 ( pi − p 0 )Ri2 R02 1 σr = − 2 2 R0 − Ri R02 − Ri2 r2 应力 7 2.3 厚壁圆筒应力分析 a. 微元体 如图2 15(c)、(d)所示 由圆柱面mn 所示, mn、 和纵截面mm 如图2-15(c)、(d)所示,由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 微元在轴线方向的长度为1单位。 成,微元在轴线方向的长度为1单位。 b. 平衡方程 (σ r + dσ r )(r + dr)dθ −σ r rdθ − 2σθ drsin 24 温度变化引起的弹性热应力 热源自文库力 构件之间热变形 的相互约束 构件热变形受到 外界约束 构件内部温度 分布不均匀 25 2.3 厚壁圆筒应力分析 2、厚壁圆筒的热应力 ◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程, 厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程, 平衡方程 结合边界条件求解 求解。 结合边界条件求解。 ◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时, 当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时, 稳态传热状态下,三向热应力的表达式为: 稳态传热状态下,三向热应力的表达式为: dσ r σθ −σ r = r dr θ 2 =0 (2-26) ) 8 2.3 厚壁圆筒应力分析 c. 几何方程 (应力-应变) 应力- 应力 应变) m'1 n' 1 w+d +dw +d n m 1 1 m' w m n n' d θ r 图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移 9 2.3 厚壁圆筒应力分析 c. 几何方程(续) 几何方程( 径向应变 周向应变 其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关 值有关。 ③除 σ z 外,其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比 值有关。 为例, 以 σ θ 为例,外壁与内壁处的 之比为: 周向应力 σ θ 之比为: K值愈大不均匀程度愈严重, 值愈大不均匀程度愈严重, 值愈大不均匀程度愈严重 当内壁材料开始出现屈服时, 外壁材料则没有达到屈服, 当内壁材料开始出现屈服时, 外壁材料则没有达到屈服, 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。 σθ min = pi 2 K2 −1 z pi σz = K 2 −1 σ r min = 0 σ rr min =0 σ r max = − p i σ z = − p0 rK2 K2 −1 σ r max = − p 0 σ θ min = p0 K2 +1 K 2 −1 2K 2 σθ max = − p0 K 2 −1 (a)仅受内压 2、压力容器应力分析 CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 2.3 厚壁圆筒应力分析 1 2.3 厚壁圆筒应力分析 主要内容 2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施 2 2.3 厚壁圆筒应力分析