罚函数法(SUMT法)

惩罚函数法简介罚函数法它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题：其中M为足够大的正数，起"惩罚"作用，称之为罚因子，F(x,M)称为罚函数。

定理对于某个确定的正数M,若罚函数F(x,M)的最优解x*满足有约束最优化问题的约束条件，则x*是该问题的最优解。

序列无约束最小化方法罚函数法在理论上是可行的，在实际计算中的缺点是罚因子M的取值难于把握，太小起不到惩罚作用；太大则由于误差的影响会导致错误。

改进这些缺点，可根据上述定理加以改进，先取较小的正数M，求出F(x,M)的最优解x*。

当x*不满足有约束最优化问题的约束条件时，放大M(例如乘以10)重复进行，直到x*满足有约束最优化问题的约束条件时为止。

种类传统的罚函数法一般分为外部罚函数法和内部罚函数法。

外部罚函数法是从非可行解出发逐渐移动到可行区域的方法。

内部罚函数法也称为障碍罚函数法，这种方法是在可行域内部进行搜索，约束边界起到类似围墙的作用，如果当前解远离约束边界时，则罚函数值是非常小的，否则罚函数值接近无穷大的方法。

由于进化计算中通常采用外部罚函数法，因此本文主要介绍外部罚函数法。

在进化计算中，研究者选择外部罚函数法的原因主要是该方法不需要提供初始可行解。

需要提供初始可行解则是内部罚函数法的主要缺点。

由于进化算法应用到实际问题中可能存在搜索可行解就是NP难问题，因此这个缺点是非常致命的。

外部罚函数的一般形式为B(x)=f(x)+[∑riGi+∑cjHj]其中B(x)是优化过程中新的目标函数，Gi和Hj分别是约束条件gi(x)和hj(x)的函数，ri和cj是常数，称为罚因子。

Gi和Hj最常见的形式是Gi=max[0,gi(x)]aHj=|hj(x)|b其中a和b一般是1或者2。

理想的情况下，罚因子应该尽量小，但是如果罚因子低于最小值时可能会产生非可行解是最优解的情况（称为最小罚因子规则）。

这是由于如果罚因子过大或者过小都会对进化算法求解问题产生困难。

第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。

它是一种不等式约束最优化问题的间接解法 它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。

当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。

所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。

引例一：min()f X ax = s.t()0g X b x =-≤ 显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f（X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解构造函数 11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=-- 0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。

其最优解为：*()k X r b =+此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k kX r ax r b x ab Φ=--=+ 最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是k r 的函数。

当k r 取不同值时，它们有不同的值，而当0k r →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。

0min lim[min (,)]() {|()0}k k i r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)k X r Φ与约束优化问题min () {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。

罚函数法求解问题
罚函数法是一种最优化方法，用于解决约束优化问题。

该方法将约束条件融入目标函数，通过引入惩罚项对违反约束条件的解进行惩罚，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题。

具体而言，罚函数法将原始的约束优化问题转化为带有惩罚项的目标函数：
$$\min_x f(x) + P(h(x))$$
其中，$f(x)$是原始的目标函数，$h(x)$是约束函数，
$P(h(x))$是惩罚项。

罚函数法的关键是选择合适的惩罚函数，常用的有线性惩罚函数和二次惩罚函数等。

罚函数法的求解思路是先将原始目标函数与惩罚项结合起来，得到一个无约束优化问题。

然后使用最优化算法，如梯度下降法或牛顿法等，对该无约束问题进行求解。

在求解过程中，惩罚项的作用是使违反约束条件的解在优化过程中被惩罚，进而逼近满足约束条件的解。

需要注意的是，罚函数法的求解结果可能只是一个近似解，而不是真正的最优解。

因此，在使用罚函数法求解问题时，需要根据具体情况判断结果的可靠性。

综上所述，罚函数法是一种用于求解约束优化问题的方法，通过引入惩罚项将约束条件融入目标函数，转化为无约束优化问题。

第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。

它是一种不等式约束最优化问题的间接解法它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。

当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。

所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。

引例一：min ()f X ax = s.t ()0g X b x =-≤ 显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f （X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解 构造函数11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=--0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。

其最优解为：*()kkr X r b a=+此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)2k k kX r ax r b x ab ar Φ=--=+最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是kr 的函数。

当kr 取不同值时，它们有不同的值，而当0kr →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。

minlim[min (,)]() {|()0}kki r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)kX r Φ与约束优化问题min() {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。

第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。

它是一种不等式约束最优化问题的间接解法 它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。

当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。

所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。

引例一：min ()f X ax =s.t ()0g X b x =-≤显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f （X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解 构造函数11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=-- 0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。

其最优解为：*()k X r b =+ 此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k kX r ax r b x ab Φ=--=+最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是k r 的函数。

当k r 取不同值时，它们有不同的值，而当0k r →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。

0min lim[min (,)]() {|()0}k k i r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)k X r Φ与约束优化问题min () {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。