下载文档原格式
Lingo_生产与服务运作管理中的优化问题2006年8月com精确定位问题例57 飞机在飞行过程中能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置如图所示VOR是高频多向导航设备的英文缩写它能够得到飞机与该设备连线的角度信息DME是距离测量装置的英文缩写它能够得到飞机与该设备的距离信息图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离括号内是测量误差限并已知这4种设备的xy坐标假设飞机和这些设备在同一平面上如何根据这些信息精确地确定当前飞机的位置 0 y x VOR2 x 629 y 375 30900 130 8643 20 飞机 x y VOR1 x 764 y 1393 16120 080 VOR3 x 1571 y 259 4510 060 北 DME x 155 y 987 图飞机与监控台问题分析记4种设备VOR1VOR2VOR3DME的坐标为 xi yi 以km为单位 i 1 2 3 4VOR1VOR2VOR3测量得到的角度为i 从图中可以看出按照航空飞行管理的惯例该角度是从北开始沿顺时针方向的角度取值在003600之间角度的误差限为ii 1 2 3DME测量得到的距离为d4 km 距离的误差限为4设飞机当前位置的坐标为 x y 则问题就是由下表的已知数据计算 x y 20 km 8643 km 987 155 DME 130 00227弧度 30900 539307弧度 259 1571 VOR3 060 00105弧度 4510 078714弧度 375 629 VOR2 080 00140弧度 16120 281347弧度 1393 746 VOR1 i 原始的i 或d4 yi xi 模型1及求解图中角度i是点 xi yi 和点 x y 的连线与y 轴的夹角以y 轴正向为基准顺时针方向夹角为正而不考虑逆时针方向的夹角于是角度i的正切 i 1 2 3 对DME测量得到的距离显然有直接利用上面得到的4个等式确定飞机的坐标x y这时是一个求解超定非线性方程组的问题在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小越接近0越好这是一个非线性无约束最小二乘拟合问题则需要求解 MODEL SETS VOR13 x y cita sigma ENDSETS DATA x y citasigma 746 1393 281347 00140 629 375 078714 001051571 259 539307 00227 x4 y4 d4 sigma4 155 9878643 20 ENDDATA XXYY表示飞机坐标 min sum VOR sqrxx-x yy-y - tan cita sqr d4 - sqrt sqr xx-x4 sqryy-y4 END 很容易写出其LINGO程序如下求解该模型得到的解为只列出部分结果Local optimal solution found Objective value 1280226 Variable Value Reduced Cost XX 2434204 01315903E-08 YY 1263734 0000000 显然这个解的目标函数值很大 1280226 因此我们怀疑是一个局部最小点用LINGOOPTIONS菜单命令启动Global Solver选项卡上的Use GlobalSolver选项然后求解可以得到全局最优解如下 Global optimalsolution found Objective value07050440E-03 Variable Value Reduced Cost XX 9806926 0000000 YY 7315666 0000000 这个解的目标函数值很小 0000705 飞机坐标为98069267315666 可以将非线性的优化目标改写为如下线性优化目标 Min T st T x13 t13 T x23 t23 T x33 t33 T x43 t43 Min T st xij tij xi j1 i1 2 3 4j 1 2 xij tij–xkjTyik i k1 2 3 4 j 1 2 3 i k xkj tkj–xijT 1–yik i k1 2 3 4 j 1 2 3 i k xi3 ti3T i1 2 3 4 这个问题的0-1非线性规划模型当然所有变量还有非负约束变量yik还有0-1约束 Model min T T x13 t13T x23 t23 T x33 t33 T x43 t43 x11 t11 x12 x12 t12x13 x21 t21 x22 x22 t22 x23 x31 t31 x32 x32 t32 x33x41 t41 x42 x42 t42 x43 求解模型这个模型可以如下输入LINGO x11 t11 - x21 Ty12 x21 t21 - x11 T 1-y12 x12t12 - x22 Ty12 x22 t22 - x12 T 1-y12 x13 t13 - x23 Ty12x23 t23 - x13 T 1-y12 x11 t11 - x31 Ty13 x31 t31 - x11 T1-y13 x12 t12 - x32 Ty12 x32 t32 - x12 T 1-y13 x13 t13- x33 Ty13 x33 t33 - x13 T 1-y13 x11 t11 - x41 Ty14 x41 t41 - x11 T 1-y14 x12 t12 - x42 Ty14 x42 t42 - x12T 1-y14 x13 t13 - x43 Ty14 x43 t43 - x13 T 1-y14 x21 t21- x31 Ty23 x31 t31 - x21 T 1-y23 x22 t22 - x32 Ty23 x32t32 - x32 T 1-y23 x23 t23 - x33 Ty23 x33 t33 - x23 T1-y23 x21 t21 - x41 Ty24 x41 t41 - x21 T 1-y24 x22 t22- x42 Ty24 x42 t42 - x22 T 1-y24 x23 t23 - x43 Ty24 x43t43 - x23 T 1-y24 x31 t31 - x41 Ty34 x41 t41 - x31 T1-y34 x32 t32 - x42 Ty34 x42 t42 - x32 T 1-y34 x33 t33- x43 Ty34 x43 t43 - x33 T 1-y34 t11 13 t12 15 t13 20 t2110 t22 20 t23 18 t31 20 t32 16 t33 10 t41 8 t42 10 t43 15 biny12 bin y13 bin y14 bin y23 bin y24 bin y34 End 用LINGO求解得到 Local optimal solution found at iteration 4357Objective value 8400000 Variable Value Reduced Cost T 8400000 0000000 X13 3600000 0000000 T13 2000000 0000000 X23 5600000 0000000 T23 1800000 0000000 X33 7400000 0000000 T33 1000000 0000000 X43 2100000 0000000 T43 1500000 0000000 X11 8000000 0000000 T11 1300000 0000000 X12 2100000 0000000 T12 1500000 0000000 Variable ValueReduced Cost X21 2100000 0000000T21 1000000 0000000 X22 3600000 0000000 T22 2000000 0000000 X31 3750000 0000000 T31 2000000 0000000 X32 5775000 0000000 T32 1600000 0000000 X41 0000000 09999970 T41 8000000 0000000 X42 1100000 0000000 T42 1000000 0000000 Y12 0000000-8399950 Y13 0000000 0000000Y14 1000000 8399950 Y23 0000000 -8399950 Y24 1000000 0000000 Y34 1000000 0000000 即所有面试完成至少需要84分钟面试顺序为4-1-2-3 即丁-甲-乙-丙早上800面试开始最早924面试可以全部结束同样如果利用LINGO的建模语言可以编写一个更一般的LINGO模型先准备一个数据文件文本文件exam0505txt 其中的内容如下被面试者集合 1 2 34 面试阶段的集合 1 2 3 已知的面试所需要的时间 13 15 2010 20 18 20 16 10 8 10 15 数据结束 LINGO模型如下 Model Title 面试问题 SETS Person 被面试者集合Stage面试阶段的集合 PersonFILE exam0505txt StageFILE exam0505txtT 已知的面试所需要的时间X 面试开始时间 PXS PersonStageT X Y ik 1 k排在i前0否则 PXP PersonPerson 1 LT 2 Y ENDSETS DATA T FILE exam0505txt ENDDATA [obj] min T T是面试的最后结束时间 T PXS ij jEQsize stage x ij t ij 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段 for PXS ij jLTsize stage [ORDER]x ij t ij x ij1 同一时间只能面试1名同学 for Stage j for PXP ik [SORT1]x i j t i j -x kj TY ik for PXP ik [SORT2]x kj t kj -x i j T 1-Y ik for PXP bin y End 求解这个模型得到的结果与前面的完全相同可以很清楚地看到使用LINGO建模语言的集合和属性概念得到的模型具有非常好的结构性反映了相应的优化模型的本质目标决策变量约束一清二楚容易阅读和理解而且还可以让数据与程序完全分离这种优越性是LINDO软件无法与之相比的消防车调度问题例56 某市消防中心同时接到了三处火警报告根据当前的火势三处火警地点分别需要2辆2辆和3辆消防车前往灭火三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度记tij为第j辆消防车到达火警地点i的时间分钟则三处火警地点的损失分别为6t114t127t213t229t318t325t33 目前可供消防中心调度的消防车正好有7辆分别属于三个消防站可用消防车数量分别为3辆2辆2辆消防车从三个消防站到三个火警地点所需要的时间如表5-6所示该公司应如何调度消防车才能使总损失最小如果三处火警地点的损失分别为 4t116t123t217t225t318t329t33 调度方案是否需要改变消防站到三个火警地点所需要的时间 10 9 6 消防站3 11 8 5 消防站2 9 7 6 消防站1 火警地点3 火警地点2 火警地点1 时间分钟问题分析本题考虑的是为每个火警地点分配消防车的问题初步看来与线性规划中经典的运输问题有些类似本题的问题可以看成是指派问题和运输问题的一种变形我们下面首先把它变成一个运输问题建模求解决策变量为了用运输问题建模求解很自然地把3个消防站看成供应点如果直接把3个火警地点看成需求点我们却不能很方便地描述消防车到达的先后次序因此难以确定损失的大小下面我们把7辆车的需求分别看成7个需求点分别对应于到达时间t11 t12 t21 t22 t31 t32 t33 用xi j表示消防站i是否向第j个需求点派车 1表示派车0表示不派车则共有21个0-1变量决策目标题目中给出的损失函数都是消防车到达时间的线性函数所以由所给数据进行简单的计算可知如果消防站1向第6个需求点派车即消防站1向火警地点3派车但该消防车是到达火警地点3的第二辆车则由此引起的损失为89 72同理计算可以得到损失矩阵元素分别记为ci j 50 80 90 27 63 24 36 消防站i 3 55 88 99 24 56 20 30 消防站i 2 45 72 81 21 49 24 36 消防站i 1 j 7 j 6 j 5 j 4 j 3 j 2 j 1 火警地点3 火警地点2 火警地点1 ci j 于是使总损失最小的决策目标为约束条件约束条件有两类一类是消防站拥有的消防车的数量限制另一类是各需求点对消防车的需求量限制消防站拥有的消防车的数量限制可以表示为x11x12x13x14x15x16x17 3 x21x22x23x24x25x26x27 2x31x32x33x34x35x36x37 2 各需求点对消防车的需求量限制可以表示为模型求解将如上构成的线性规划模型输入LINDO 消防车问题Min36x1124x1249x1321x1481x1572x1645x1730x2120x2256x2324x2499x2588x2655x2736x3124x3263x3327x3490x3580x3650x37 SUBJECT TOx11x12x13x14x15x16x17 3 x21x22x23x24x25x26x27 2 x31x32x33x34x35x36x37 2 x11x21x31 1 x12x22x32 1 x13x23x33 1 x14x24x34 1 x15x25x35 1x16x26x36 1 x17x27x37 1 END求解得到如下结果 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 3290000VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0000000 10000000 X12 0000000 8000000 X13 1000000 0000000X14 0000000 2000000 X15 1000000 0000000 X16 1000000 0000000 X17 0000000 3000000X21 1000000 0000000 X22 1000000 0000000 X23 0000000 3000000 X24 0000000 1000000X25 0000000 14000000 X26 0000000 12000000 X27 0000000 9000000 VARIABLE VALUE REDUCED COSTX31 0000000 2000000 X32 0000000 0000000 X33 0000000 6000000 X34 1000000 0000000X35 0000000 1000000 X36 0000000 0000000 X37 1000000 0000000 也就是说消防站1应向火警地点2派1辆车向火警地点3派2辆车消防站2应向火警地点1派2辆车消防站3应向火警地点23各派1辆车最小总损失为329 讨论 1 这个问题本质上仍然和经典的运输问题类似可以把每辆车到达火场看作需求点消防站可作供应点在上面模型中我们虽然假设xij为0-1变量但求解时是采用线性规划求解的也就是说没有加上xij为0-1变量或整数变量的限制条件但求解得到的结果中xij正好是0-1变量这一结果不是偶然的而是运输问题特有的一种性质 2 在上面模型中我们没有考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束但得到的结果正好满足所有的先后次序约束这一结果却并不总是必然的而只是巧合如对例题后半部分的情形结果就不是这样了显然此时只需要修改损失矩阵元素仍然分别记为cij 90 80 50 63 27 36 24消防站i 3 99 88 55 56 24 30 20 消防站i 2 81 72 45 49 21 36 24消防站i 1 j 7 j 6 j 5 j 4 j 3 j 2 j 1 火警地点3 火警地点2 火警地点1 ci j 此时将重新构成的线性规划模型输入LINDO求解可以得到新的最优解 x14 x16 x17 x21 x22 x33 x35 1 其他变量为0 最小总损失仍为329 实际上损失矩阵中只是12列交换了位置34列交换了位置57列交换了位置因此不用重新求解就可以直接看出以上新的最优解但是以上新的最优解却是不符合实际情况的例如x14 x33 1表明火警地点2的第一辆消防车来自消防站3第二辆消防车来自消防站1但这是不合理的因为火警地点2与消防站3有9分钟的距离大于与消防站1的7分钟的距离分配给火警地点3的消防车也有类似的不合理问题为了解决这一问题我们必须考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束也就是说必须在简单的运输问题模型中增加一些新的约束以保证以上的不合理问题不再出现首先考虑火警地点2由于消防站1的消防车到达所需时间 7分钟小于消防站2的消防车到达所需时间 8分钟并都小于消防站3的消防车到达所需时间 9分钟因此火警地点2的第2辆消防车如果来自消防站1则火警地点2的第1辆消防车也一定来自消防站1火警地点2的第2辆消防车如果来自消防站2则火警地点2的第1辆消防车一定来自消防站1或2因此必须增加以下约束 x14x13x24x13 x23 x16 x15 x17 x16 x36 x15x35 2x37 x15x16x35x36 同理对火警地点1必须增加以下约束 x22x21 对火警地点3必须增加以下约束此时将重新构成的线性规划模型输入LINDO软件如下消防车调度 Min 36x1224x1149x1421x1381x1772x1645x15 30x2220x2156x2424x2399x2788x2655x2536x3224x3163x3427x3390x3780x3650x35 SUBJECT TOx11x12x13x14x15x16x17 3 x21x22x23x24x25x26x27 2 x31x32x33x34x35x36x37 2 x11x21x31 1 x12x22x32 1 x13x23x33 1 x14x24x34 1 x15x25x35 1 x16x26x36 1 x17x27x37 1 X22 - X21 0 X14 - X13 0 X24 - X23 - X13 0X16 - X15 0 X17 - X16 0 X36 - X15 - X35 0 2X37 -X15 -X16-X35 -X36 0 END INT 21 求解可以得到新的解为 OBJECTIVEFUNCTION VALUE 1 326667 VARIABLE VALUE REDUCEDCOST X12 0000000 9333333X11 0000000 7333333 X14 1000000 0000000 X13 1000000 0000000 X17 0333333 0000000X16 0333333 0000000 X15 0333333 0000000 X22 1000000 0000000 X21 1000000 0000000X24 0000000 2333333 X23 0000000 1000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X27 0000000 13000000X26 0000000 12000000 X250000000 9000000 X32 0000000 2000000 X31 0000000 0000000X34 0000000 5333333 X33 0000000 0000000 X37 0666667 0000000 X36 0666667 0000000X35 0666667 0000000 但是我们发现此时的解中xij并不都是0–1变量或整数变量因此还是不符合题意这是因为此时的模型已经不再是标准的运输模型所以得到的解不一定自然地为正数解的缘故所以我们还必须显式地加上xij为0–1变量的约束加上xij为0-1变量的约束后求解可以得到x13 x14 x15 x21 x22 x36 x37 1 其他变量为0 最小总损失仍为335也就是说消防站1应向火警地点2派2辆车向火警地点3派1辆车消防站2应向火警地点1派2辆车消防站3应向火警地点3派2辆车经过检验可以发现此时的派车方案是合理的 55 飞机定位和飞行计划问题即按照模式2切割15根原料钢管按模式5切割5根按模式7切割5根共27根可算出总余料量为35米与上面得到的结果相比总余料量增加了8米但是所用的原料钢管的总根数减少了2根在余料没有什么用途的情况下通常选择总根数最少为目标问题2的求解问题分析按照解问题1的思路可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的但由于需求的钢管规格增加到4种所以枚举法的工作量较大下面介绍的整数非线性规划模型可以同时确定切割模式和切割计划是带有普遍性的方法同1类似一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸本题中为4米切割计划中只使用合理的切割模式而由于本题中参数都是整数所以合理的切割模式的余量不能大于3米此外这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解模型建立决策变量由于不同切割模式不能超过3种可以用xi 表示按照第i种模式i 1 2 3切割的原料钢管的根数显然它们应当是非负整数设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4米长5米长6米长和8米长的钢管数量分别为r1i r2i r3i r4i非负整数决策目标以切割原料钢管的总根数最少为目标即目标为 37 约束条件为满足客户的需求应有 38 39 40 41 每一种切割模式必须可行合理所以每根原料钢管的成品量不能超过19米也不能少于16米余量不能大于3米于是 42 43 44 模型求解3744构成这个问题的优化模型由于在3841式中出现了决策变量的乘积所以这是一个整数非线性规划模型虽然用LINGO软件可以直接求解但我们发现在较低版本的LINGO软件中需要运行很长时间也难以得到最优解为了减少运行时间可以增加一些显然的约束条件从而缩小可行解的搜索范围例如由于3种切割模式的排列顺序是无关紧要的所以不妨增加以下约束 45 又例如我们注意到所需原料钢管的总根数有着明显的上界和下界首先无论如何原料钢管的总根数不可能少于根其次考虑一种非常特殊的生产计划第一种切割模式下只生产4米钢管一根原料钢管切割成4根4米钢管为满足50根4米钢管的需求需要13根原料钢管第二种切割模式下只生产5米6米钢管一根原料钢管切割成1根5米钢管和2根6米钢管为满足10根5米和20根6米钢管的需求需要10根原料钢管第三种切割模式下只生产8米钢管一根原料钢管切割成2根8米钢管为满足15根8米钢管的需求需要8根原料钢管于是满足要求的这种生产计划共需1310831根原料钢管这就得到了最优解的一个上界所以可增加以下约束46 将3746构成的模型输入LINGO如下将3746构成的模型输入LINGO如下 model Title 钢管下料 - 最小化钢管根数的LINGO模型min x1x2x3 x1r11x2r12x3r13 50 x1r21x2r22x3r23 10x1r31x2r32x3r33 20 x1r41x2r42x3r43 15 4r115r216r318r4119 4r125r226r328r42 19 4r135r236r338r43 194r115r216r318r41 16 4r125r226r328r42 16 4r135r236r338r4316 x1x2x3 26 x1x2x3 31 x1 x2 x2 x3 gin x1 gin x2 ginx3 gin r11 gin r12 gin r13 gin r21 gin r22 gin r23 gin r31gin r32 gin r33 gin r41 gin r42 gin r43 end 经过LINGO求解得到输出如下Local optimal solution found Objective value 2800000 Extended solversteps 72 Total solver iterations 3404Model Title 钢管下料-最小化钢管根数的LINGO模型 VariableValue Reduced Cost X1 1000000 1000000 X2 1000000 1000000 X3 8000000 1000000 R11 2000000 0000000 R12 3000000 0000000 R13 0000000 0000000 R21 10000000000000 R22 0000000 0000000 R23 0000000 0000000 R31 1000000 0000000 R32 1000000 0000000 R33 0000000 0000000 R41 0000000 0000000 R42 0000000 0000000 R43 2000000 0000000 即按照模式123分别切割10108根原料钢管使用原料钢管总根数为28根第一种切割模式下一根原料钢管切割成3根4米钢管和1根6米钢管第二种切割模式下一根原料钢管切割成2根4米钢管1根5米钢管和1根6米钢管第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根8米钢管如果充分利用LINGO建模语言的能力使用集合和属性的概念可以编写以下LINGO程序这种方法更具有一般的通用性并有利于输入更大规模的下料问题的优化模型 model Title 钢管下料 - 最小化钢管根数的LINGO模型 SETSNEEDS14LENGTHNUM 定义基本集合NEEDS及其属性LENGTHNUMCUTS13X 定义基本集合CUTS及其属性X PATTERNS NEEDSCUTS R 定义派生集合PATTERNS这是一个稠密集合及其属性R ENDSETS DATA LENGTH 4 5 6 8 NUM 50 10 20 15 CAPACITY 19 ENDDATA min SUM CUTS I X I 目标函数FOR NEEDS I SUM CUTS J X J R IJ NUM I 满足需求约束 FOR CUTS J SUM NEEDS I LENGTH I R IJ CAPACITY 合理切割模式约束FOR CUTS J SUM NEEDS I LENGTH I R IJ CAPACITY -MIN NEEDS I LENGTH I 合理切割模式约束 SUM CUTS I X I 26 SUM CUTS I X I 31 人为增加约束 FOR CUTS I ILTSIZE CUTS X I X I1 人为增加约束 FOR CUTS J GIN X J FOR PATTERNS IJ GIN R IJ end 求解这个模型得到的结果与前面的结果完全相同§com下料问题例54 某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的参见图5-3易拉罐为圆柱形包括罐身上盖和下底罐身高10厘米上盖和下底的直径均为5厘米该公司使用两种不同规格的镀锡板原料规格1的镀锡板为正方形边长24厘米规格2的镀锡板为长方形长宽分别为32和28厘米由于生产设备和生产工艺的限制对于规格1的镀镀锡板原料只可以按照图2中的模式12或3进行冲压对于规格2的镀锡板原料只能按照模式4进行冲压使用模式1234进行每次冲压所需要的时间分别为15213秒模式1 模式2 模式3 模式4 上盖下底罐身图5-3 易拉罐下料模式该工厂每周工作40小时每周可供使用的规格12的镀锡板原料分别为5万张和2万张目前每只易拉罐的利润为010元原料余料损失为0001元厘米2如果周末有罐身上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售也看作是原料余料损失工厂应如何安排每周的生产已知上盖和下底的直径d 5厘米可得其面积为 196厘米2 表5-4 4种冲压模式的特征 3 1695 5 4 模式4 1 2618 16 0 模式3 2 1833 4 2 模式2 15 2226 10 1 模式1 冲压时间秒余料损失厘米2 底盖个数罐身个数问题的目标显然应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大约束条件除每周工作时间和原料数量外还要考虑罐身和底盖的配套组装模型建立决策变量用xi 表示按照第i种模式的冲压次数i 1 2 3 4y1表示一周生产的易拉罐个数为计算不能配套组装的罐身和底盖造成的原料损失用y2表示不配套的罐身个数y3表示不配套的底盖个数虽然实际上xi和y1y2y3应该是整数但是由于生产量相当大可以把它们看成是实数从而用线性规划模型处理决策目标假设每周生产的易拉罐能够全部售出公司每周的销售利润是01y1原料余料损失包括两部分4种冲压模式下的余料损失和不配套的罐身和底盖造成的原料损失按照前面的计算及表2的结果总损失为00012226x1 1833x2 2618x3 1695x4 1571y2 196y3 于是决策目标为 47 约束条件时间约束每周工作时间不超过40小时 144000秒由表2最后一列得 48 原料约束每周可供使用的规格12的镀锡板原料分别为50000张和20000张即 49 50 配套约束由表2一周生产的罐身个数为x1 2x2 4x4 一周生产的底盖个数为10x14x2 16x3 5x4因为应尽可能将它们配套组装成易拉罐销售所以y1满足 51 这时不配套的罐身个数y2和不配套的底盖个数y3应为52 53 4753就是我们得到的模型其中51是一个非线性关系不易直接处理但是它可以等价为以下两个线性不等式 54 55 模型求解将模型4750和5255直接输入LINDO输入LINGO也可以求解时LINDO发出警告信息程序和警告信息参见图5-4 图中错误编号66的含义参见第4章的错误代码表是模型中数据不平衡所以发出警告信息注意只是警告信息所以仍然可以继续求解求解结果是OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 4298337 VARIABLEVALUE REDUCED COST Y1 160250000000 0000000 X1 0000000 0000050 X2 40125000000 0000000 X3 3750000000 0000000 X4 20000000000 0000000 Y2 0000000 0223331 Y3 0000000 0036484 图5-4 模型中数据不平衡的警告信息这个结果可靠吗由于LINDO警告模型中数据之间的数量级差别太大所以我们可以进行预处理缩小数据之间的差别实际上约束4850中右端项的数值过大与左端的系数相比较LINDO在计算中容易产生比较大的误差所以出现此警告信息为了解决这一问题可以将所有决策变量扩大10000倍相当于xi以万次为单位yi以万件为单位此时目标47可以保持不变记住得到的结果单位为万元就可以了而约束4850改为 56 57 58 将模型47和5258输入LINDO 易拉罐下料均衡数据0100y1 - 02226x1 - 01833x2 -02618x3 - 01695 x4 - 01571y2 - 00196y3 st 15x1 20x210x3 30x4 144 x1 x2 x3 5 x4 2 x1 2x2 4x4 - y1 0 10x1 4x2 16x3 5x4 - 2y1 0x1 2x2 4x4 - y1 - y2 0 10x1 4x2 16x3 5x4 - 2y1 - y30 end 求解得到 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 04298337VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 16025000 0000000 X1 0000000 0000050 X2 4012500 0000000X3 0375000 0000000 X4 2000000 0000000 Y2 0000000 0223331 Y3 0000000 0036484 即模式1不使用模式2使用40125次模式3使用3750次模式4使用20000次可生产易拉罐160250个罐身和底盖均无剩余净利润为4298元 54面试顺序与消防车调度问题面试顺序问题例55 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试然后到部门主管处复试最后到经理处参加面试并且不允许插队即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的由于4名同学的专业背景不同所以每人在三个阶段的面试时间也不同如表5-5所示单位分钟这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司假定现在时间是早晨800请问他们最早何时能离开公司表5-5 面试时间要求 15 10 8 同学丁 10 10 20 同学丙 18 20 10 同学乙 20 15 13同学甲经理面试主管复试秘书初试建立模型实际上这个问题就是要安排4名同学的面试顺序使完成全部面试所花费的时间最少记tij为第i名同学参加第j阶段面试需要的时间已知令xij表示第i名同学参加第j阶段面试的开始时刻不妨记早上800面试开始为0时刻 i 1 2 3 4j 1 2 3 T为完成全部面试所花费的最少时间优化目标为 a 时间先后次序约束每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段xij tij xij1 i 1 2 3 4j 1 2 b每个阶段j同一时间只能面试1名同学用0-1变量yik表示第k名同学是否排在第i名同学前面 1表示是0表示否则 xij tij–xkjTyik i k 1 2 3 4 j 1 2 3 i k xkj tkj–xijT 1–yik ik 1 2 3 4 j 1 2 3 i k 约束条件假设该工厂每次生产计划的计划期为6周即每次制定未来6周的生产计划只有最终产品A有外部需求目前收到的订单的需求件数按周的分布如表5-1第2行所示部件BC是在该工厂最关键的设备可以称为瓶颈设备上组装出来的瓶颈设备的生产能力非常紧张具体可供能力如表5-1第3行所示第2周设备检修不能使用BC的能力消耗系数分别为5和8即生产1件B需要占用5个单位的能力即生产1件C需要占用8个单位的能力对于每种零部件或产品如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品工厂需要付出一个与订购或生产数量无关的固定成本称为生产准备费用如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在则工厂必须付出一定的库存费用与库存数量成正比这些数据在表5-1第56行给出按照工厂的信誉要求目前接收的所有订单到期必须全部交货不能有缺货发生此外不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存也不希望第6周结束后留下没有任何零部件或产品库存最后假设不考虑生产提前期即假设当周采购的零件马上就可用于组装组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品A 在上述假设和所给数据下如何制定未来6周的生产计划§com 建立模型问题分析这个例子考虑的是在有限的计划期内给定产品结构生产能力和相关费用及零部件或成品以下统称为生产项目在离散的时间段上这里是周也可以是天月等的外部需求之后确定每一生产项目在每一时间段上的生产量即批量使总费用最小由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备 Setup 所以通常的讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用其实细心的读者一定会问是否需要考虑生产的直接成本如原材料成本人力成本电力成本等符号说明为了建立这类问题的一般模型我们定义如下数学符号 N -------- 生产项目总数本例中N 7 T -------- 计划期长度本例中T 6 K -------- 瓶颈资源种类数本例中K 1 M -------- 一个充分大的正数在模型中起到使模型线性化的作用 ----- 项目i在t时段的外部需求本例中只有产品A有外部需求 ----- 项目i在t时段的生产批量 ----- 项目i在t时段的库存量 ----- 项目i在t 时段是否生产的标志 0不生产 1生产 ----- 产品结构中项目j对项目i的消耗系数 S i ----- 产品结构中项目i的直接后继项目集合 ----- 项目i在t时段生产时的生产准备费用 ----- 项目i在t时段的单件库存费用----- 资源k在t时段的能力上限 --- 项目i在t时段生产时生产单个产品占用资源k 的能力δ x ---- 这个函数当且仅当x 0时取值1 否则取值0 在上述数学符号中只有为决策变量其余均为已知的计划参数目标函数这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小因此目标函数应该是每个项目在每个时段上的生产准备费用和库存费用的总和即 28 约束条件这个问题中的约束有这么几类每个项目的物流应该守恒资源能力限制应该满足每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束对Yij是0-1约束 29 资源能力限制比较容易理解即 30 所谓物流守恒假设Ii0 0 31 每时段生产某项目前必须经过生产准备也就是说当Xit 0时Yit 0Xit 0时Yit 1这本来是一个非线性约束但是通过引入参数M很大的正数表示每个项目每个时段的最大产量可以化成线性约束即总结这个问题的优化模型就是在约束293031下使目标函数28达到最小§com 求解模型本例生产项目总数N 7 ABCDEFG 计划期长度T 6周瓶颈资源种类数K 1只有A有外部需求所以dit中只有d1t可以取非零需求即表5-1中的第2行的数据其他全部为零参数sit hit只与项目i有关而不随时段t变化所以可以略去下标t其数值就是表5-1中的最后两行数据由于只有一种资源参数Ckt可以略去下标k其数值就是表5-1中的第3行的数据而akIt只与项目i有关而不随时段t变化所以可以同时略去下标k和t即a2 5a3 8其他ai为0从图6-2中容易得到项目i的直接后继项目集合S i 和消耗系数准备以下的数据文件文本文件exam0502LDT可以看到其中也可以含有注释语句项目集合 A B C D E F G 计划期集合 1 2 3 4 5 6 需求 40 0 100 0 90 10 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 能力 10000 0 5000 5000 1000 1000 生产准备费400500 1000 300 200 400 100 库存费 12 06 10 004。
数学建模飞行管理问题引言在现代航空领域，航班的飞行管理是一个极其重要的问题。
飞行管理的目标是确保航班的安全、高效和准时到达目的地。
为了实现这一目标，数学建模在航班飞行管理中发挥着关键作用。
本文将探讨数学建模在飞行管理问题中的应用，并给出相应的示例和解决方案。
数学建模在飞行管理中的应用航班路径规划在飞行管理中，航班路径规划是一个重要的环节。
通过数学建模，我们可以确定最佳的航班路径，以确保航班的安全和高效。
航班路径规划的主要目标是最小化飞行时间、燃料消耗以及减少碳排放量。
数学建模中，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：考虑风速和风向对飞行速度的影响，选择最佳的飞行高度和航线。
•气温和气压：考虑气温和气压对飞行性能的影响，选择最佳的飞行高度和速度。
•气象条件：考虑降雨、雷雨和大风等天气情况对航班安全的影响，调整航班路径避开恶劣天气区域。
•空中交通管制：考虑航空交通管制对航班路径的限制，避免空中拥堵。
航班调度与资源分配航班调度和资源分配是飞行管理中另一个重要的问题。
通过数学建模，我们可以优化航班的调度和资源的分配，以确保航班的准时到达和高效运作。
航班调度和资源分配的主要目标是最大化机场和航空公司的资源利用率。
在数学建模中，我们可以考虑以下因素来优化航班调度和资源分配：•航班数量和航班时刻表：根据乘客需求和机场容量，确定最佳的航班数量和时刻表。
•登机口和登机桥分配：根据航班的到达时间和登机口的可用性，分配最佳的登机口和登机桥，以减少登机和下机的时间。
•地面设备和人员分配：根据航班的需要，合理分配地面设备和人员，以确保航班的准时运作。
示例和解决方案为了更好地理解数学建模在飞行管理中的应用，我们将给出一个具体的示例和相应的解决方案。
航班路径规划示例假设有一架航班从A城市飞往B城市，我们需要确定最佳的航班路径以最小化飞行时间和燃料消耗。
根据数学建模，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：通过获取实时的风速和风向数据，我们可以计算出不同高度上的风向风速情况，并选择最佳的飞行高度和航线。
数学在机场规划中的应用机场是航空运输的重要组成部分，也是国家门户的重要象征。
为了保证机场的安全、高效运营，需要做好规划设计。
而数学则是机场规划中不可或缺的工具和方法。
一、航空交通流量预测机场规划的第一步是了解航空交通流量，即预测机场未来的客流、货物流、航班数等。
这对机场规划来说至关重要。
数学通过统计学方法，可以对过去的数据进行分析，运用时间序列、回归分析等方法预测未来交通流量。
此外，数学在机场规划中还可以运用随机过程理论，通过建立交通流量随时间变化的随机过程，从而计算出每个时间段的平均交通流量和流量波动范围。
二、机场地面交通设计机场的地面交通系统是保障机场正常运营的关键环节。
数学可以协助机场设计师规划和改进机场地面交通网络，优化机场交通流线，减少机场拥堵、提高交通效率。
在机场地面交通设计中，数学建立了一系列算法，如分支限界算法、动态规划算法、遗传算法等，用以确定最佳的交通流线和道路布局，并尽量避免冲突和交叉。
同时，数学还可以利用模拟方法，模拟机场交通流量、机场运行状况，优化机场整体运行效率。
三、航班调度机场规划中另一个重要环节就是航班调度。
为了使机场的航班可以高效地起降和转场，数学可以运用线性规划、整数规划等数学建模方法，制定最优的航班调度方案。
通过合理规划航班，使每个飞机的起降时刻错开，确保机场运行的高效性和安全性。
在制定航班调度方案过程中，数学可以同时考虑机场的航空交通流量、跑道容量、航班间隔等因素，找出最佳的平衡点。
四、航空器引导系统设计航空器引导系统是现代机场的重要组成部分，它可以使航空器在机场地面区域快速、精准地移动。
数学技术可用于设计、优化航空器引导系统。
在引导系统设计过程中，数学建立了很多模型，如多目标规划模型、动态规划模型等，以精确控制航空器在机场地面的行驶轨迹，保证航班起降的安全和准确性。
同时，引导系统的智能化和自动化发展迅速，数学建模和优化算法也在不断更新和改进。
总之，机场规划设计是一个复杂而综合的工程，数学是其不可或缺的基础。
一个飞行管理问题摘要在某一空域里对飞机的飞行合理管理事关重大�比如乘客及机上工作人员生命财产安全和航空公司的运作效益等。
本文通过对飞机飞行管理问题的研究�得到了调整飞机架数较少同时调整幅度均最小�平方和最小�的飞行管理最优安排的非线性模型�这样既使得乘客所受影响达到最少�也便于飞机调整�还有利于飞机回到原来的航线�同时还在决策时间上对模型进行了优化和调整。
本文不仅一般性地将不相撞的问题转化为欧式距离控制�而且很巧妙的将不碰撞条件转化成简单的二次函数标准形式进行含参讨论�建立一个只含有转向角变量的模型。
并且再次很妙的具体化区域内受控时间形成矩阵�大大得简化运算�节约了大量运算的时间�便于管理人员控制操作�从而确保飞机的安全。
更重要的是最后结合实际缩短了搜索区间�并优化算法�使得决策更加高效。
最后的延时检验也充分体现了模型的可靠性。
关键字�欧氏距离约束转化缩短搜索区间时间矩阵延时检验1在约 10000 米的高空某边长为 160公里的正方形区域内�经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据�以便进行飞行管理。
当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时�记录其数据后�要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞�则应计算如何调整各架�包括新进入的�飞机飞行的方向角�以避免碰撞。
现假定条件如下�公里以上�1�不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8公里�2�飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30度�3�所有飞机飞行速度均为每小时 800公里�4�进入该区域的飞机在到达区域边缘时�与区域内飞机的距离应在 605�最多需考虑 6架飞机�6�不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请算你�对方这向个角误避差免不碰超撞过的飞0.机01管理问题建立数学模型�列出计算步骤�对以下数据进行计度��要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域内 4 个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
数学建模在航空安全中的应用航空安全一直是全球关注的焦点之一。
为了保障乘客和机组人员的生命安全，航空公司、航空管理机构和科研机构一直在努力研究和应用各种技术手段来提高航空安全水平。
数学建模作为一种理论与实践相结合的方法，在航空安全领域起到了重要作用。
本文将从数据分析、风险评估和决策支持等几个方面，介绍数学建模在航空安全中的应用。
一、数据分析在航空安全领域，海量的数据需要被收集、整理和分析，以获取有用的信息。
数学建模通过建立数学模型，对数据进行预测和评估，可以发现潜在的安全隐患并采取有效的措施。
例如，通过分析机组人员的飞行数据、航班数据和维修数据，可以了解机组人员的行为模式和飞机的运行状况，从而预测飞机的风险等级，以及采取相应的风险控制措施。
二、风险评估航空安全的核心是对各种风险进行评估和管理。
数学建模通过建立风险评估模型，对不同的风险因素进行权衡和分析，为航空公司和管理机构提供科学依据和决策参考。
例如，通过建立飞行安全风险评估模型，可以定量评估气象条件、机械故障、人为操作等因素对航班安全的影响程度，进而制定相应的操作规范和安全标准。
三、决策支持在航空安全管理中，决策的科学性和准确性十分重要。
数学建模可以为决策者提供科学的决策支持。
例如，通过建立航空安全管理决策模型，可以分析和比较不同决策方案的风险和效益，为决策者提供决策建议和优化方案，以最大程度地提高航空安全管理的效果。
四、应用案例1. 飞行安全模型：通过收集不同航线、不同机型的航班数据，建立飞行安全模型，分析和评估飞行过程中可能面临的风险，为航空公司制定飞行规程和操作指南提供依据。
2. 机械故障预测模型：通过收集飞机维修和故障数据，建立机械故障预测模型，预测飞机各个部件的寿命和故障概率，提前采取维修和更换措施，提高机械系统的可靠性和安全性。
3. 航空事故预警系统：通过建立航空事故数据集和分析模型，实现对航空安全事故的实时监测和预警，为航空管理机构提供决策支持，加强航空安全监管。
民航法管理制度案例一、案例背景某国民航法管理制度是该国民航事业的重要法律体系，旨在监督和管理民航运输业务的正常运行。
然而，在实际操作中，由于监管措施不够到位、执行力度不够等问题，导致该国民航业务的安全和效率受到影响，亟须改革和完善。
本案例以某国民航法管理制度为例，通过分析其实际问题，提出相应的改革建议，以促进该国民航事业的可持续发展。
二、案例分析1. 民航法管理制度的现状目前，某国的民航法管理制度主要体现在《民用航空法》和相关配套法规中，其中规定了民航企业的经营管理、机场管理、飞行安全等内容。
但在实际操作中存在以下问题：（1）监管不到位。
由于监管部门人力、物力不足，导致对民航企业的监督力度不够，一些企业存在安全隐患和违规行为。
（2）执行力度不够。
一些地方对民航法管理制度的执行不够严格，导致违规行为得不到有效治理，严重影响了民航业务的安全和正常运行。
（3）制度缺陷。
现有的民航法管理制度在一些关键环节存在缺陷，导致了监管的困难和效果不佳。
2. 民航法管理制度的问题影响以上述问题为背景，某国的民航法管理制度存在一系列严重影响，主要包括以下几个方面：（1）安全隐患。
监管不到位和执行力度不够导致了民航企业存在安全隐患，一旦出现事故将对国家民航事业产生严重负面影响。
（2）效率低下。
由于制度缺陷和监管不力，民航业务的运行效率低下，难以适应国内外需求的变化。
（3）形象受损。
民航企业因为违规行为而频频受到舆论和政府批评，其形象受损，难以获得国内外乘客的信任和支持。
三、改革建议为了解决以上问题，提升某国民航业务的安全和效率，有必要对民航法管理制度进行改革。
以下是一些建议：1. 加强监管力度。
增加监管部门的人员和经费投入，加大对民航企业的日常监督力度，建立完善的监管机制，及时制止违规行为。
2. 完善制度建设。
对现有的民航法管理制度进行评估和修订，补充和完善相关法规，提高法律的适用性和操作性。
3. 强化执行力度。
加大对违规行为的打击力度，严格执行法规，确保民航企业遵纪守法，维护国家民航的形象和声誉。
一、线性规划1.简介1.1适用情况用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
如： （1）资源的合理利用（2）投资的风险与利用问题 （3）合理下料问题 （4）合理配料问题 （5）运 输 问 题 （6）作物布局问题（7）多周期生产平滑模型 （8）公交车调度安排 1.2建立线性规划的条件（1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； （2）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。
1.3线性规划模型的构成决策变量、目标函数、约束条件。
2、一般线性规划问题数学标准形式：目标函数：1max ==∑ njjj z cx约束条件：1,1,2,...,,..0,1,2,...,.=⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑nij j i j ja xb i m s t x j nmatlab 标准形式：3、可以转化为线性规划的问题例：求解下列数学规划问题解：作変量変换1||||,,1,2,3,4,22+-===i i i ii x x x x u v i 并把新变量重新排序成一维变量[]1414,,,,,⎡⎤==⎢⎥⎣⎦L L Tu y u u v v v ，则可把模型转化为线性规划模型其中：[]1,2,3,4,1,2,3,4;=T c 12,1,;2⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦Tb 111111131 - - ⎡⎤⎢⎥= - -⎢⎥⎢⎥ -1 -1 3⎣⎦A 。
利用matlab 计算得最优解：12342,0,=-===x x x x 最优值z=2。
程序如下：略二、整数规划1.简介数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时称为整数规划。
目前流行求解整数规划的方法一般适用于整数线性规划。
1.1整数规划特点1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，出现的情况有①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（存在最优解），但最优解值变差。
飞行管理摘要本文主要研究了避免飞机撞击的飞行管理问题。
在边长为160km 的正方形区域内，为了保证欲进入该区域的飞机避免碰撞，对刚进入该区域的飞机记录其数据，然后立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
若发生碰撞，则做出调整。
本文对避免碰撞的飞行管理有一定的意义。
避免碰撞的飞行管理是一个在一定约束条件下的最优化问题，但是约束条件是非线性的，难以化为线性规划问题。
由此本文将其转化为求极值，引用惩罚函数将该问题化为无约束极值问题求解。
通过步长加速法求极值，得到一个局部最优解。
本文运用相对运动的观点建立飞机两两不相撞的约束条件，确定出相对速度和相对位置，求出相撞的三种可能。
建立相对运动模型，确定每个可调的方向角，使它在不违反判据cos 82r αβθ+⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所规定的限制下实现子目标。
本文运用惩罚函数法将非线性规划问题转化为无约束极值问题求解。
进而运用步长加速法求极值，由于步长加速法求出的是局部最优解，为了尽量求出全局最优解，本文选用几组不同的初值代入，求出极小值，再从中选出最优者。
取刚进入的飞机左偏1度为初始值，得出一个解为第三架飞机左偏约2.68度，第六架飞机左偏约0.94度，总改变角为约3.629693度。
即各机新方向角为243度，236度，223.18度，159度，230度，52.94度。
关键词 非线性规划 相对运动 步长加速法 飞行管理一、问题重述在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。
以避免碰撞。
现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里。
2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。
罚函数法飞行管理问题
罚函数法是一种优化方法，用于求解约束多目标优化问题。
在飞行管理问题中，罚函数法可以用于处理飞机航路的优化问题。
具体来说，罚函数法将所有约束条件转化为罚项，然后将罚项加到目标函数中。
例如，在飞行管理问题中，一个约束条件可能是航路不能通过某个特定的区域。
罚函数法将该约束条件转化为一个罚项，即在目标函数中加入一个惩罚项，当航路经过该区域时，惩罚项会增大，导致目标函数值增大。
通过不断调整罚参数，罚函数法可以逐步将违反约束条件的解排除在优化范围之外。
最终得到的解是一个满足所有约束条件的最优解。
在飞行管理问题中，罚函数法可以用于优化航路，使得飞机的飞行路径最短、最安全、最经济。
同时，还可以考虑其他因素，如天气、空域限制、机场限制等。
使用罚函数法，可以有效解决多目标约束优化问题，提高飞行管理的效率和安全性。
摘要近年来，随着现代航空运输不断发展，为了维护航空器的航空秩序，保证飞机飞行安全，对于同一区域的飞行管理问题提出了要求。
本文讨论了在一定区域范围内飞机飞行管理的最优化问题，通过建立数学模型计算求解，对飞机是否发生碰撞冲突进行预测，根据计算机求解结果对如何解脱冲突给出了较好的解决方法。
对于飞机是否发生碰撞冲突问题，本文提出了基于飞机位置速度矢量关系的碰撞冲突检测方案，证明了只有位置差与速度差矢量内积小于零，即0△△<∙ V P这样的航迹才存在潜在碰撞冲突,并根据安全飞行间隔规定,采用线性预测方法对冲突进行有效性确认,解决了飞机碰撞冲突检测的同时也避免了碰撞虚警问题。
在此基础上，对于存在潜在碰撞冲突的飞行问题，运用航向调整的方法解脱冲突，建立非线性数学模型∑=∆61min i iθ通过引入新的决策变量i m 、i n ，将原来的非线性模型转换成线性模型()∑=+=61min i n m i iij ij jj i i n m n m αβ>+-+-2ij ij jj i i n m n m απβ-<+-+-226/0pi m i << 6/0pi m j <<其中2i ii m θθ∆∆+=，2i i i n θθ∆∆-=。
再运用LINGO11编程求得该模型最优解为 3.6326，第3架飞机的调整角为2.8419，第6架飞机（新进入的飞机）的调整角为 0.7907，其余飞机不进行调整，从而给出了冲突解决方案。
之后，本文对计算结果做出了分析和评价，同时还分析了滞后时间和转弯半径和限定在区域范围内对飞机航向调整的影响，使问题更符合实际情况。
在对模型进行评价与分析的同时，本文又对模型进行了推广，对速度不同、飞行高度不同的情况下进行了分析，并给出了合理的解释；增强了模型的实际应用意义。
关键词：飞行管理 碰撞冲突 线性规划一．问题重述本题主要分析了在同一高度，一定范围内的飞行管理问题。
机器学习算法在航空航天领域中的应用案例分析随着科技的不断发展，机器学习算法在各个领域中都得到了广泛的应用。
航空航天领域作为一个重要的行业，也开始利用机器学习算法来提高航空航天系统的效率和性能。
本文将介绍几个机器学习算法在航空航天领域中的应用案例，以展示其在该行业中的重要性和潜力。
1. 航空领域中的故障诊断和预测在航空领域中，保障航空器的安全运行至关重要。
传统的故障诊断方法需要人工参与，效率低下且易出错。
而借助机器学习算法，可以通过海量数据对航空器的故障进行自动诊断和预测。
例如，利用支持向量机（SVM）算法，可以根据航空器的传感器数据判断其是否存在故障，并提前采取相应的维修措施，从而避免事故的发生。
2. 飞行轨迹优化航空器的飞行轨迹优化是提高航班效率和航行安全的重要环节。
机器学习算法可以利用历史飞行数据和实时环境信息，预测出最优的飞行轨迹。
例如，利用强化学习算法，可以根据不同飞行阶段的性能指标和制定的目标函数，生成最佳的飞行轨迹方案，并实时调整以适应实际情况，以最大程度地减少燃料消耗和飞行时间。
3. 交通流量控制航空交通拥堵是一个日益严重的问题，影响着航班的准点率和航空器的安全。
机器学习算法可以通过对大量历史航班数据的分析和学习，预测未来的交通流量和航班延误情况，并提供相应的交通流量控制策略。
例如，利用神经网络算法，可以通过对不同航线的历史数据进行训练，提前预测某一特定航线上的交通流量情况，并相应地进行航班调度和空中交通管制，以避免拥堵和延误。
4. 无人机导航与控制无人机在航空航天领域中的应用越来越广泛，而其导航与控制是一个关键问题。
机器学习算法可以通过学习和分析无人机的传感器数据，提供精确的导航和控制指令。
例如，利用深度强化学习算法，可以使无人机在各种复杂环境下实现自主导航、避障和路径规划。
总结起来，机器学习算法在航空航天领域中的应用案例涵盖了故障诊断与预测、飞行轨迹优化、交通流量控制以及无人机导航与控制等方面。
数学建模培训之飞行管理问题案例作者：理学院信息082 宋佩机电工程学院自动化083 何亮信息工程学院计算机082 胡思文摘要： 让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于飞机飞行进行管理，所以，在飞机飞行过程当中，我们要适当调整飞机飞行的方向角度，使其要尽量小，以避免发生碰撞。
本文就这两个问题作出了详细的解决方案。
首先，我们从任意两架飞机之间的距离为大于8公里时它们就不会发生碰撞这一标准来下手，并且，以t 时刻后飞机所处状态为研究对象，通过点的平移向量来找出最短距离临界点即两架飞机间的最小值。
考虑到这是个非线性规划问题，因此，我们并不是将任意两架飞机之间的距离作为我们的目标函数，而是以各飞机调整方向角度的平方和作为目标函数，以任意两架飞机之间的最小距离不超过8公里和各飞机调整方向角度不超过30度作为约束条件。
于是，我们得到了一个非线性规划模型： 目标函数：f=∑=∆612i i θ;再次,根据文中的基本符号规定和应用数学方法得到了我们模型的约束条件1：D ij =mind 2ij >64;(i,j=1,2 ,3,4,5,6;i ≠j)其次，由假定条件：有约束条件 2：6i πθ≤∆；i,j=1,2,3,4,5,6;i ≠j; 在此，目标函数用平方的原因是：我们在编写程序的过程中应用到矩阵和数组的应用，在编写M 文件时，目标函数要相互对应，另外，约束条件用任意两架飞机之间的距离平方式为了方便计算。
最后，我们经过对模型的分析和简化之后，得到非线性规划的最优模型;然后，通过MATLAB 软件先编写目标函数文件fun.m 和约束条件文件funcon.m 。
最后，求值函数fmincon 的条用格式，我们在命令窗口给出不同的初值分别调用其格式。
得出了模型的最优解。
同时，本文除了对问题的解答外，还对模型及程序进行了相应的改进和评价，与及给出了模型的推广应用。
关键字： 非线性规划 方向调整角度 平移向量 最短临界距离一 ：问题的提出该问题主要是一个关于飞行管理的问题。
