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最优化方法-混合罚函数法

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惩罚函数法

惩罚函数法
内点法的程序框图如下：
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。

最优化问题的约束条件处理方法

最优化问题的约束条件处理方法

最优化问题的约束条件处理方法在最优化问题中，约束条件是限制优化目标的条件。

对于一个最优化问题而言，约束条件的处理是至关重要的，因为它直接影响到问题的可行解集合以及最终的优化结果。

本文将介绍几种常见的约束条件处理方法，以帮助读者更好地理解和应用最优化算法。

一、等式约束条件处理方法等式约束条件是指形如f(x) = 0的约束条件，其中f(x)是一个函数。

处理等式约束条件的常用方法是拉格朗日乘子法。

该方法通过引入拉格朗日乘子，将等式约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。

具体而言，我们可以构造拉格朗日函数：L(x,λ) = f(x) + λ·g(x)其中，g(x)表示等式约束条件f(x) = 0。

通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到原问题的最优解。

需要注意的是，拉格朗日乘子法只能处理等式约束条件，对于不等式约束条件需要使用其他方法。

二、不等式约束条件处理方法不等式约束条件是指形如g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0的约束条件，其中g(x)是一个函数。

处理不等式约束条件的常用方法是罚函数法和投影法。

1. 罚函数法罚函数法通过将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。

具体而言，我们可以构造罚函数：P(x) = f(x) + ρ·h(x)其中，h(x)表示不等式约束条件g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0。

通过调整罚函数中的惩罚系数ρ，可以使得罚函数逼近原问题的最优解。

罚函数法的优点是简单易实现，但需要注意选择合适的惩罚系数，以避免陷入局部最优解。

2. 投影法投影法是一种迭代算法，通过不断投影到可行域上来求解约束最优化问题。

具体而言，我们首先将原问题的可行域进行投影，得到一个近似可行解，然后利用该近似可行解来更新目标函数的取值，再次进行投影，直到收敛为止。

投影法的优点是能够处理各种类型的不等式约束条件，并且收敛性良好。

三、混合约束条件处理方法混合约束条件是指同时包含等式约束条件和不等式约束条件的问题。

最优化方法-障碍函数法与混合罚函数法

最优化方法-障碍函数法与混合罚函数法
设Xk+1为F ( X , k ) 的无约束极小点。
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12
二、混合法函数法
(3)极小点外推记为：
X

c1/ 2 X k 1 X k c1/ 2 11或X Nhomakorabea
X k1
(c c1/2 ) X k c3/2 X k1 (c 1)(c1/2 1)
2
若有 gi (X )＜0,i 1,2,...,m ，令 Xk1 X ，否则，舍弃。 (4)若点Xk+1满足终止准则，输出Xk+1,计算停止；否则，令
11
二、混合法函数法
3、混合罚函数法的算法基本步骤：
(1)选取X0，使满足 hj (X0) 0, gi (X0)＜0, 令 0 1，c＞1(通常，取c=4
或c=10),选取ε＞0，令k=0。
(2)对 k 构造 F ( X , k )。以Xk为初始点，求解无约束极小化问题：
min F ( X , k )
2
一、障碍函数法
当X在边界时，B(X)的值为无穷大。这样，可阻止 F(X,γ)的极小点穿越边界，而必定被限制为可行 点。显然，函数B(X)的作用对企图脱离可行域的
点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍 ，因此称为障碍函数。
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3
一、障碍函数法
2.障碍函数法(内点法)算法过程
(4)如果 0＜ k B( X k 1） ，输出Xk+1，计算终止；否则
k1 d k , k k 1 转(2)。
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4
一、障碍函数法
注：从理论上讲，Xk一定是可行域的内点，但是 在实际的计算过程中，由于步长是取离散数值， 以及舍入误差等原因，使Xk有能取非可行点， 在这种情况下，应选用优于Xk+1的内点来取代 Xk。

最优化方法 第三章(罚函数法)

最优化方法 第三章(罚函数法)

这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l

优化设计3——惩罚函数法

优化设计3——惩罚函数法
2015-4-29 24
罚函数的求解过程是： 定义G[gi(X)]和H[hj(X)]的形式， 选择罚因子的序列r1(k)和r2(k)，每调整一次罚因子的值， 即对罚函数P作一次无约束优化，可得一个无约束最优解； 随着罚因子的不断调整，无约束最优解不断逼近有约束最 优解。 这是一种序列求优过程，故罚函数又称为“序列无约 束极小化方法”（Sequential Unconstrained Minization Technique），简称为SUMT法。
为了便于在计算机上利用直接寻优方法进行迭代计算，一 般引入函数
L 2 p Z ( ) [h j ( X )]2 i 1 xi j 1
n
然后对Z函数求极小值，即可求得原问题的最优解。
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19
对于不等式约束优化问题，可设法引入松弛变量，使不等式 变成等式，即可按等式约束优化问题求解。 例如：对于下面不等式约束条件 g(X)=ax1+bx2+c ≥0
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（7）终止判别：反复执行上述过程中，随着反射系数α
的不断减半，复合形逐渐向最优点收缩，复合形越来越小， 直到满足 k 1 2 1 { [ f ( X i ) f ( X c ] } 2 1 (a) k i 1

时，迭代结束。此时复合形中目标函数值最小的顶点 （或用X(C0)点）即为最优解。式中XC 为复合形所有顶点的 点集中心，即 k
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除上式外，常用的内点罚函数形式还有：
P( X , r ( k ) ) f ( X ) r ( k ) ln[ gi ( X )] P( X , r
(k ) m
) f (X ) r

惩罚函数法

惩罚函数法

惩罚函数法
惩罚函数法（penalty function method）是一种优化方法。

它的基本思想是，将原始问题转换为一个新的目标函数，在此基础上，通过对不等式、二次限制条件等加入惩罚项，使得原问题转化为无约束优化问题，从而可以采用常见的求解方法，如牛顿法、拉格朗日乘子法或者梯度下降法等。

该方法的具体步骤如下：
(1) 将原有的约束条件作为等式或不等式表示；
(2) 将约束条件中的不等式转换为等式，并将其和原有的等式组合在一起，形成新的约束条件；
(3) 将原有的目标函数和约束条件组合在一起，形成新的目标函数；
(4) 将新的目标函数中的不等式约束条件添加惩罚项，并且形成一个新的无约束优化问题；
(5) 用一种方法求解这个新的无约束优化问题，获得最优解。

现代设计方法第六章 优化设计方法 (4-8) 惩罚函数法

现代设计方法第六章 优化设计方法 (4-8) 惩罚函数法

二、内点惩罚函数法
§ 4 . 2内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择： 过大、过小均不好， p f ( x( 0 ) ) ( 0) 建议考虑选择：r = 100 m 1 ∑ (0) u =1 g ( x ) u
2.
Φ( x , r ) = f ( x ) − r
二、内点惩罚函数法
r r = cr k −1
4) 收敛条件
(k = 1,2,...)
式中的c 称为惩罚因子的缩减系数，c 为小于1 的正数。一般的看法是，c 值 的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0 . 1 ~ 0 . 7 之间。
φ[ x * (r k ), r k ] − φ[ x * (r k −1 ), r k −1 ] ≤ ε1 k −1 k −1 * φ[ x (r ), r ] x * (r k ) − x * (r k −1 ) ≤ ε 2
方法： ③ 搜索方法： l l 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S 个约束，求出不满足约束中的最大值：
gk ( x( 0 ) ) = max{gu (x( 0 ) )}
min. gk ( x) s.t.
u = 1,2,...,S；
l
应用优化方法减少违反约束：
x ∈ Rn
gu ( x ) − gu x ( 0 ) ≤ 0 gu ( x ) ≤ 0
或：
(k )
1 ∑ i =1 g i ( x )
m
φ ( x, r ) = f ( x ) − r
(k )
∑ ln[− g ( x )]
i i =1
m
二、内点惩罚函数法
k r 是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0 的正数列，即:

最优化方法之-罚函数法讲解

最优化方法之-罚函数法讲解

内点罚函数法优点
迭代总在可行域内进行，每一个中间结果都是 可行解，可以作为近似解。
内点罚函数法缺点
选取初始可行点较困难，且只适用于含不等式 约束的非性性规划问题。
x2)
0
x1
1
2 2M
x2
1
(2 2M )2
1
2M
当M
时，有
x1 x 2
0 0
步骤:
1.给定x( 初 0) ，始 初点 始 M10 罚 (M1 因 1 ) ， 子 放 系c数 1 ，允许 0 ， 误 k置 差 1 。
2.以x(k1)为初始点，求解无约 问题 束 minf(x) Mkp(x)
201 101
以此类推，得序列： 3，21，201，2001， 2 11 101 1001
2
外点罚函数法的一个重要特点:
函数 F(x,M)是在整个En空 内间 进行,优 初化 始
点可任意,且 选外 择点法也可规 用划 于的 非最 凸.优
缺点:
1.惩罚项Mp(x)的二阶偏导数一般在 不;存
2.外点法的中间可 结行 果,不 解 不能 是作为近 ;
P~(x,rk) iSk
gi(x)rk
iTk
1 gi(x)
记 R~k x|gi(x)0 iTk
(rk 0)
5.以x(k)为初始点R， ~k域在内，求障碍 P~(函 x,rk数 ) 的极小:点
minP~(x,rk) s.t. xR~k 得x(k1)，转 6。
6.令 0rk1rk如r取 k1110rk,置 k:k1， 转 2。
引入罚项
p(x )
m
g i( x )
i 1
其中 ( y )是连续函数，且满足
(y ) 0 ( y ) 0

最优化方法之罚函数法讲解

最优化方法之罚函数法讲解
最优化方法之罚函数法讲解
contents
目录
• 引言 • 罚函数法基本原理 • 经典罚函数法介绍 • 改进型罚函数法探讨 • 数值实验与案例分析 • 结论与展望
01 引言
最优化问题概述
01
02
03
最优化问题的定义
最优化问题是在一定条件 下，寻找一组参数值，使 得某个或某些目标函数达 到最优的问题。
混合罚函数法
• 基本思想：混合罚函数法结合了外点罚函数法和内点罚函数法的特点，通过同时构造包含原目标函数、等式约 束和不等式约束的辅助函数，将约束问题转化为无约束问题进行求解。
• 辅助函数构造：混合罚函数法的辅助函数通常包括原目标函数、等式约束的二次惩罚项以及不等式约束的对数 障碍项。其中，二次惩罚项用于处理等式约束，对数障碍项用于处理不等式约束。
内点罚函数法
• 基本思想：与外点罚函数法类似，内点罚函数法也是通过构造辅助函数将约束问题转化为无约束问题。不同之 处在于，内点罚函数法要求迭代点始终保持在可行域内部，并在可行域边界上对原目标函数进行惩罚。
• 辅助函数构造：内点罚函数法的辅助函数通常取为原目标函数加上一个障碍项，该障碍项在可行域内部为零， 在可行域边界上取正值，且随着接近边界程度的增加而趋于无穷大。
• 迭代过程：从满足所有约束条件的一个点出发（通常通过其他方法获得），通过求解无约束问题的极小化序列 来逼近原问题的最优解。在迭代过程中，根据当前点违反约束的情况动态调整惩罚因子和障碍参数，以保证算 法的稳定性和收敛性。
• 优缺点：混合罚函数法能够同时处理等式和不等式约束，具有较广泛的适用性。然而，由于需要同时考虑多种 类型的约束和惩罚项，算法的复杂性和计算量相对较大。此外，惩罚因子和障碍参数的选择对算法效果也有一 定影响。

第五章惩罚函数法详解

第五章惩罚函数法详解

㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 值选得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的 值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 值选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小，
而在可行域内部惩罚函数
与原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数
在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
如下图，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的 时间长，而且很难使迭代点进入最优的邻域，以致极易使 迭代点落入非可行域而导致计算的失败。
或
r（0）=1~50
函数
的一系(x,列r(k最) ) 优点，
xk* (k 0,1,2, )
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x, r (k) ) F (x) r (k)
而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r(k) 1
增大，所以罚函数 (x, r(的k) )值越大。当x←b时，罚g１函(x)
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x, r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸⑺,输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2

最优化理论与方法9.4 罚函数法

最优化理论与方法9.4 罚函数法

小 点 ； 否 则 取 rk1 rk ， 置 k k 1， 转 第 （ 3） 步．
收敛准则可采用以下几种形式之一：
rk
l j 1
1 g j (x(k))
;
x(k) x(k1) ;
l
rk ln(g j (x(k) )) ; j 1
f (x(k) ) f (x(k1) ) .
9.4.2.3 初始内点的求法
类似于外点法中构造罚函数，在内点法中，我们构造障碍函数
l 1
p(x, rk ) f (x) rk j1 g j (x)
（9-29）
或
l
p(x, rk ) f (x) rk ln(g j (x)) j 1
（9-30）
其
中
，
rk
是
很
小
的
正数
．
通
常
称
rk
为
障
碍
因子
，
称
rk
l j 1
1 g j (x)
束不 等 式 都满 足（即 g j (x) 0( j 1, 2, ,l) ），故罚 项 等于 0，不 受惩 罚 ；
当 xH 时，至少有一个约束不等式不成立，故罚项大于 0，对极小化罚 函数的问题，就要受惩罚．
对于只含有等式约束的非线性极值问题：
min f (x)
可以定义罚函数为
s.t. hi (x) 0 (i 1, 2, , m)
l
(g j (x)) 0
j 1
当 xH 时
l
0 (g j (x)) j 1
为了 使 辅 助函 数 能更 快 地 满足 要 求，将 引 入一 个 充 分大 的 正数 M(M>0)，
修改 (x) 为 ：

最优化算法案例学习(禁忌搜索,混合算法)

最优化算法案例学习(禁忌搜索,混合算法)

Lk
辆 k 车 最大行驶里程
ETi
LTi
顾客 i 时间窗起始时间， i V
顾客 i 时间窗起始时间，i V
论文改进
标号
pd
pw
pc
wi
含义
单位时间延迟成本 单位时间等待成本 单位超标碳排放的惩罚成本
节点 i 的等待时间 i V
i
节点 i 延迟时间 i V
论文改进
标号
含义
Wikj cij
目标值变化
情况3：禁忌对象为目标值变化 xnow=(ABCDE)，f(xnow)=45，H={45}
Can_N(xnow)={(ABCDE;45)，(ACBDE;43)，(ADCBE;45)， (ABEDC;59)，(ABCED;44)} xnext=(ACBDE)
特赦原则
基于评价值的规则，若出现 基于最小错误的规则，若所 一个解的目标值好于前面任 有对象都被禁忌，特赦一个 何一个最佳候选解，可特赦； 评价值最小的解；
求解结果
参数设置
最大载货量/t 速度/(km·km-1) 最大行驶距离/km 固定装货时间/h 固定卸货时间/h
10
货车最多可调用数量
10n
40
每辆车的固定租车费用/元
300
240
每公里运输费用/(元·km-1)
2
0.5
时间窗上界惩罚系数/(元·h-1) 200
0.5
时间窗下界惩罚系数/(元·h-1) 300
论文改进
假设条件：
1
每个客户的需求量较小
2
违反时间窗产生惩罚费用
3
假设路上交通状况良好
4
先取货后配货
5
需求确定不可拆分

数值最优化方法-罚函数方法

数值最优化方法-罚函数方法
由上面的引理， P ( xk , k ) 单调上升，并且根据上面的 P( xk , k ) p0 。 式子 P ( x , ) 有上界，所以，
k k
根据引理，我们还知道 f ( xk ) 单调增加，并且
f ( x k ) P ( x k , k ) f ( x * )
（4.1.3）
惩罚项所具有的性质应该怎么样呢？ 怎么取呢？
想一想 有没有其他形式的惩罚项。
6
一般约束优化问题
min f ( x ) s.t. ci ( x) 0
ci ( x) 0 i I l 1,2,, m
i E 1,2, , l
怎么构造罚函数？
~ P x, f ( x) P x l m ~ P x ci ( x ) min0, ci ( x )
得到 以 xk 为 近 似 最 优 解 ， 停 止 。 否 则 ， 令
~ minP x, k f ( x) k P x
k 1 c k , k k 1 ，转 Step 2。
那么这类方法是否能收敛呢？？
13
~ minP x, k f ( x) k P x
2 2 min f x1 , x2 x1 x2 s.t. x1 x 2 2 0
其中的 表示很大的正数。
2 2 P x1 , x 2 , x1 x 2 x1 x 2 2


2
2 x1 x 2 2 1
当 时， x1 x 2 1 即无约束优化问题最优解的极限为原问题的解。
14
证明 (1)因为 xk 是 P ( x , k ) 的极小点，且 k 1 k ，故

最优化方法之_罚函数法讲解

最优化方法之_罚函数法讲解

例:考虑约束优化问题
x min 2 s.t. x 1
该问题的对数障碍函数为
x G ( x, r ) r ln( x 1) 2 G ( x, r )的最小点为 :
xr 1 2r 1(r 0) 1 1 G ( xr , r ) r r ln 2r (r 0) 2 2
2
min f(x ) t. g i(x ) 0 i 1, 2, ,m s .
min F(x , ) f(x ) Mp(x )
m min F(x ,M ) f(x ) M g i(x ) i 1
其中M是很大的正数。
例 : min f(x ) (x 1 1) x
以此类推，得序列： 3 21 201 2001 ， ， ， ， 2 11 101 1001
2
外点罚函数法的一个重要特点:
函数F(x ,M ) 是在整个空间 E 内进行优化 ,初始 点可任意选择 ,且外点法也可用于非凸 规划的最优化 .
缺点:
n
1. 惩罚项Mp(x ) 的二阶偏导数一般不存 在 ;
) ，则停止计算，得到点 x ；否则
令M k 1 cM k，置k : k 1，返回2。
例:用外点法求解
min ( x 1) s.t. x 2 0
2
解：取x (0) 0, M 1 1，令
p(x ) min 0, x 2
0 2 (x 2)
i 1
两种障碍函数的比较
min x s.t. x 1 0
取 1 B( x ) , 则内罚函数为 x 1 r G ( x, r ) x x 1
令 得到
G r 1 0 2 x ( x 1) x x ( r ) 1 r

最优化方法-罚函数法

最优化方法-罚函数法
������(1)= −0.2,0.4 ，������ ������(1), ������1 = 0.32 ������ = 1，������1=10 以������(1)为出发点，可求得������ ������, ������1 的极小点为
������(2)= 0.32,0.625 ，������ ������(2), ������1 = 1.5237
22:06
2.罚函数的基本原理
F(x)的等价表达式： ������ ������, ������ = ������ + ������[max 0, −������ + 2 ]2
其中，μ是一个充分大的数。 记 ������ ������ = [max 0, −������ + 2 ]2
通常把������������ ������ 称为罚函数（Penalty Function），记为 P ������, ������ = ������������ ������
2������1 + 2 + ������ = 0
令൞���������′���2 = 0 即ቐ
4������2+������ = 0
���������′��� = 0
������1 + ������2 − 1 = 0
解得������∗ = ������ , ������ , ������ ������∗ ≈ ������. ������������������������
利用图解法不难看出，原问题的约束极小点正是������∗ = 2.
22:06
2.罚函数的基本原理
约束极小化的一般问题为
������������������������ ������

最优化方法-混合罚函数法

最优化方法-混合罚函数法

6．3 混合罚函数法 syms x1 x2; tic f=-x1+x2; %目标函数 g=[log(x2);x1;x2]; %不等式约束条件 h=[x1+x2-1]; %等式约束条件 [x,minf]=minMixFun(f,g,h,[2 2],10,0.5,[x1,x2],1.0e-5) %混合罚函数法求最优解函数 [x,minf]=minJSMixFun(f,g,h,[2 2],10,0.5,[x1,x2],1.0e-5) %两点外插混合罚函数法求最优解函数 toc
最优化方法及应用
第六章 常用约束最优化方法
电子与通信工程 张志刚
BUSI外点罚函数法和内点罚函数法 ，外点罚函数法的初始点可以任选，适用于求 解具有等式约束与不等式约束的优化问题；而 内点罚函数法要求初始点在可行域内，适用于 求解不等式约束优化问题。混合惩罚函数法是 采用内点法和外点法相结合的，用内点法处理 不等式约束，用外点法处理等式约束。可以用 来求解含不等式和等式约束的优化问题。
6．3 混合罚函数法 一、混合罚函数法基本原理
6．3 混合罚函数法 二、混合罚函数法迭代步骤
6．3 混合罚函数法 混合罚函数法流程图：
开始 选定 X0，r1=10 C=0.1，k=1 计算出minF{X，rk} 求出最优解 X(rk) 否 rk+1=crk k=k+1
‖Xk-Xk-1‖≤ε 是 输出 X(rk),f(X(rk)) 结束
6．3 混合罚函数法
混合罚函数法求最优解结果
6．3 混合罚函数法
两点外插混合罚函数法求最优解结果
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6．3 混合罚函数法
function [x,minf] = minJSMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) while 1 FF = r0*FE + FH/sqrt(r0); %构造增广目标函数 SumF = f + FF ; a0 = (c*x1 - x2)/(c-1); x2 = a0 + (x1 - a0)*c^2; %外插公式 [x3,minf] = minNT(SumF,transpose(x2),var); %用 牛顿法求解无约束规划 if norm(x3 - x2)<=eps %精度判断 x = x3; break; else r0 = c*r0; %参数修正 x1 = x2; x2 = x3; end end minf = Funval(f,var,x);

混合惩罚函数法5

混合惩罚函数法5
*
g u x

2

mБайду номын сангаас(k )
f (x ,
r
(k )
) f (x )
因为：r max 0,
u 1


g u x 0

2
所以： x * r (u ) , r ( k ) f ( x * , (r ( k ) ))
(拟合曲线近似描述离散点的变化规律)
（1） 平均法：
找出这些离散点的公共值。这些离散点 相对于公共值，上下偏差代数和为零。以 这些公共值构造的代表表征这些离散数值 的规律。
具体步骤如下：
a)有m组数值,预选一个用以拟合的方程式。 将此组数值分别代入y ax 2 bx c 得到m个方程。
s
j
( x)

f ( x)
f
j
( x)
(s项最小函数 q - s项最大函数)
④乘除法 2)主要目标法 3)协调曲线法 4)设计分析法
见教材
P96~ 97
四 优化结果分析
优化设计计算完成后,必须对计算好结果, 进行仔细分析.比较,检查其合理性,发现和改正 一切可能的错误,以便得到一个符合工程实际的 最优化设计方案,检查优化设计结果可行性和全 理性. 1)与原始设计方案的目标函数作比较,通过 作图,曲线或列表,等原始方案的目标函数进 行比较,查看优化结果是否正常. 2)检查最优设计变量满足约束条件
2.内惩罚函数法 内惩罚函数法是求解不等式约束优化的一 种十分有效的方法，它要求初始点必须在可行 域内，迭代过程中所产生的多点均为可行设计 方案，因此使设计人员有挑选的余地，但这种 方法与外点法相比一般收敛较慢，递减系数C 应满足0<c<1 c=0.1~0.7
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6．3 混合罚函数法
function [x,minf] = minJSMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) while 1 FF = r0*FE + FH/sqrt(r0); %构造增广目标函数 SumF = f + FF ; a0 = (c*x1 - x2)/(c-1); x2 = a0 + (x1 - a0)*c^2; %外插公式 [x3,minf] = minNT(SumF,transpose(x2),var); %用 牛顿法求解无约束规划 if norm(x3 - x2)<=eps %精度判断 x = x3; break; else r0 = c*r0; %参数修正 x1 = x2; x2 = x3; end end minf = Funval(f,var,x);
6．3 混合罚函数法 syms x1 x2; tic f=-x1+x2; %目标函数 g=[log(x2);x1;x2]; %不等式约束条件 h=[x1+x2-1]; %等式约束条件 [x,minf]=minMixFun(f,g,h,[2 2],10,0.5,[x1,x2],1.0e-5) %混合罚函数法求最优解函数 [x,minf]=minJSMixFun(f,g,h,[2 2],10,0.5,[x1,x2],1.0e-5) %两点外插混合罚函数法求最优解函数 toc
最优化方法及应用
第六章 常用约束最优化方法
电子与通信工程 张志刚
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6．3 混合罚函数法 前面介绍里外点罚函数法和内点罚函数法 ，外点罚函数法的初始点可以任选，适用于求 解具有等式约束与不等式约束的优化问题；而 内点罚函数法要求初始点在可行域内，适用于 求解不等式约束优化问题。混合惩罚函数法是 采用内点法和外点法相结合的，用内点法处理 不等式约束，用外点法处理等式约束。可以用 来求解含不等式和等式约束的优化问题。
6．3 混合罚函数法 一、混合罚函数法基本原理
6．3 混合罚函数法 二、混合罚函数法迭代步骤
6．3 混合罚函数法 混合罚函数法流程图：
开始 选定 X0，r1=10 C=0.1，k=1 计算出minF{X，rk} 求出最优解 X(rk) 否 rk+1=crk k=k+1
‖Xk-Xk-1‖≤ε 是 输出 X(rk),f(X(rk)) 结束
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6．3 混合罚函数法
混合罚函数法求最优解结果
6．3 混合罚函数法
两点外插混合罚函数法求最优解结果
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6．3 混合罚函数法 三、混合罚函数法有关说明
6．3 混合罚函数法
6．3 混合罚函数法
6．3 混合罚函数法
6．3 混合罚函数法 function [x,minf] = minMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) %混合罚函数法求最优解函数 function [x,minf] = minJSMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) %两点外插混合罚函数法求最优解函数 形参含义： f---目标函数 g---不等式约束（障碍项） h---等式约束（惩罚项） x0---初始点 r0---罚因子 c---惩罚因子的缩小系数 var---自变量向量（自变量名称） eps---精度（默认值1.0e-6）
6．3 混合罚函数法
function [x,minf] = minMixFun(f,g,h,x0,r0,c,var,eps) while 1 FF = r0*FE + FH/sqrt(r0); %构造增广目标函数 SumF = f + FF ; [x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); %用牛顿法 求解无约束规划 if norm(x2 - x1)<=eps %精度判断 x = x2; break; else r0 = c*r0; %参数修正 x1 = x2; end end minf = Funval(f,var,x);