2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

知识点 2：平面向量的坐标运算 问题导思 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出 a＋b，a－b，λa 的 坐标表示吗？ 能
总结 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量 的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
试求 λ 为何值时， (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内．
解:设点 P 的坐标为(x，y)，
则A→P＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， A→B＋λ·A→C＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
解:如图，正三角形 ABC 的边长为 2，则顶点 A(0,0)，B(2,0)， C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1， 3)，D(12， 23)，∴A→B＝(2,0)，A→C＝(1， 3)， B→C＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)，B→D＝(12－2，23－0)＝(－32，23)．
规律方法 1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当 向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． 2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几 何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
例 2.(1)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)， 求A→B＋2B→C，B→C－12A→C的坐标． (2)已知 a＝A→B，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且 a＝3b－ 2c，求 A 的坐标．

yj 1
j
-2
2
4
6
O i xi
OP -1 向量
一 一 对 应P（x ，y）
-2
-3
向量的坐标表示4 OP xi y j (x, y) 3 P（x，y） 2
yj 1
j
-2
2
4
6
O i xi
OP -1 向量
一 一 对 应P（x ，y）
-2
-3
新知探究
探究2: 在平面直角坐标系内，起点不在坐标
x
a ( x, y )
典例解析
例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的 平移，将向量的起点 移到坐标的原点O处.
yA a
a
ox
平面向量的坐标表示
y
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方
D a
向相同的单位向量，若以 i, j 为基
C
底，则
A
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使
j o iB
x
a xi +y j
课堂小结
1.平面向量基本定理可以联系物理学中 的力的分解模型来理解，它说明在同一 平面内任一向量都可以表示为不共线向 量的线性组合，该定理是平面向量坐标 表示的基础，其本质是一个向量在其他 两个向量上的分解。

B
)
解析：设 c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，
λ1＋λ2＝－1 则 ，∴ λ1－λ2＝2
3 λ ＝－ 2
λ1＝
2
1 2
，
1 3 ∴c＝ a－ b，故选 B. 2 2
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要点突破
典例精析
演练广场
5．已知边长为单位长的正方形 ABCD.若 A 点与坐标原点重合，边 AB、AD 分别落在 x 轴、y 轴的正方向上，则向量 2AB― →＋3BC― →＋AC― →的坐标为________．
解析：根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为 A(0,0)、B(1，0)、 C(1,1)、D(0,1)．
D
)
1 3 1 3 解析： a－ b＝ (1,1)－ (1，－1)＝(－1,2)，故选 D. 2 2 2 2
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4．若 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c 等于( 1 3 1 3 (A)－ a＋ b (B) a－ b 2 2 2 2 3 1 3 1 (C) a－ b (D)－ a＋ b 2 2 2 2
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解：OC― →＝－OA― →＝(－1)×(－1，－1)＝(1,1)． 由正方形的对称性得 B(1，－1)， ∴OB― →＝(1，－1)，同理 OD― →＝(－1,1)．
向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，本题从以下两个方面考虑：一是相 等向量的坐标相同，二是当向量的始点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．

;
D
yj a yj
C ''
C
xi
E
j BA xi x
o i C' D'
把x叫做a的横坐标，y叫做a的纵坐标.
对向量坐标的透切理解:(1)|x|= |CE| | CE | | CE |, |i | 1
即x的绝对值等于向量a在x轴上的分向量的长度； （2）x的符号：当CE与i 同向时，x>0，当CE与i反向时，x<0， 当CE缩短为一点时，x=0.同理确定y.
y 5
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
b
4a
3
2A
A1
j 1i
同理
-4 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 x
b 2i 3 j (2,3);
-2
c 2i 3 j (2, 3);
c
-3
d
-4
d 2i 3 j (2, 3).
-5
点评：要找出向量在坐标轴上的分向量，简单
思考：i的坐标是多少？用坐标怎样表示？j 呢？
i的横坐标为1，纵坐标为0，坐标表示为：
i (1, 0).
j (0,1).
如图2.3-8，在直 角坐标平面中， 以原点O为起点 作OA a,则点A 的位置由向量a 唯一确定. 由OA a=xi y j 可以看出向量OA的 坐标（x, y）就是 点A的坐标；反过来， 终点A的坐标也是 向量OA的坐标.
例3.已知 a (2,1),b (3, 4)，求 a b, a b, 3a 4b 的坐标。
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则：