高中数学 (2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)教案 新人教A版必修4

平面向量的正交分解及坐标表示教学目标：教学目标：1. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3. 了解向量的坐标表示与平面内点的坐标之间的关系.教学重点：平面向量的坐标表示与坐标运算.教学难点：正确理解平面向量坐标概念、平面向量坐标运算及其应用. 教学方法：自主学习，合作探究.一、新课探究1.从物理学中“力的正交分解”出发，引出向量的正交分解概念：把一个向量分解成互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.2.思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？二、新知讲授1.平面向量的正交分解及坐标表示（1）基底的选取：互相垂直的两个单位向量i，j，图形展示，性质：|i|=1，|j|=1，i⊥j.（2）任一向量a（以原点为起点，终点在第一象限）的正交分解：向量形式：a=xi+yj.坐标形式：a=(x，y).特别地，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).（3）用有向线段表示的向量作OA=a ，有点A(x ，y)，→ OA =(x ，y)，→OA =xi+yj..2.平面向量的坐标运算设a ()11,x y =，b ()22,x y =，有（1）a+b ()1212,x x y y =++.（2）a-b ()1212,x x y y =--.（3）λa ()11,x y =λλ.三、典型例题例1.如图，取与x 轴，y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA ，OB ，并求出它们的坐标.例2.已知a=(x 1，y 1)，b=(x 2，y 2)，求a+b ，a-b ，λb 的坐标。

例3. 已知()11,A x y ，()22,B x y ，求AB 的坐标例4已知a ()2,1=，b ()3,4=-，求a+b ，a-b ，3a+4b 的坐标.四、课堂练习1.在平面直角坐标系内，作出向量：()1,2OA =，()3,2OB =-，()1,1AC =.(O 为坐标原点)2. 已知向量a()=-，则2a-b=.2,4=，b()1,13. 已知向量a()1,2=，则b=.=，2a+b()3,2五、当堂检测1. 在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a=i-2j，则向量用坐标表示a=.2. 若a()2,3=，b()3,1=-，则a+b=.3. 已知向量a()1,2=，则b-a=.=，b()3,1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =.4. 若点()3,5M，点()2,1N，用坐标表示向量MN六、课堂小结七、课后作业1.在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.2.已知作用在坐标原点的三个力分别为F1=(3，4)，F2=(2，−5)，F3=(3，1)，求作用在原点的合力F1+F2+F3的坐标。

ABCDO2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 【学习目标】1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义；2.了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标；3.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算.4.会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标. 【知识梳理】 1.平面向量的正交分解把一向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 （1）向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与轴轴，y x 方向相同的两个 j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数y x ,使得a = ，则把有序数对 叫做向量a 的坐标. (2)向量的坐标表示在向量a 的直角坐标系中， 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做向量a 在y 轴上的表示， 叫做向量的坐标表示.(3)在平面直角坐标系中，=i ，=j ，）（0,00= 3.平面向量的坐标运算（1）已知向量）（2211,),,(y x b y x a ==和实数λ，那么 =+b a ；=-b a ；a λ= ；（2）已知),(),,(2211y x B y x A ，O 为坐标原点，则)(,1122y x y x OA OB AB --=-=）（，即一个向量的坐标表示等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去的 坐标. 即学即练1.如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是 （ ） A.OA OB AB -= B.AB AD D B -=C.BD AB AD +=D.CB AC AB +=2.已知基向量j i m j i -===4),1,0(),0,1(，则m 的坐标是 （ ） A.（4,1） B.（-4,1） C.（4，-1） D.（-4，-1）3.已知)1,2(),3,1(-==b a ，则a b -等于 （ ） A.（-3,2） B.（3，-2） C.（-3，-2） D.（-2，-3）4.已知)21(，-=MN ,则=-MN 3 （ ） A.(-3,-3) B.(-6,3) C.（3，-6） D.（-4，-1） 【合作探究】探究一、向量的坐标表示例1.如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量j i ,作为基底，分别用j i ,表示OC OB OA ，,，并求出它们的坐标.例2、设向量b a ,的坐标分别是（-1,2），（3，-5），求b a a b a b a 32,3,,+-+；第3页 第4页探究二、向量的直角直角坐标运算例3 、若向量1||||==，且.0,1），求（=+变式：已知)4,3(),1,3(,4,2----C B A ）（，且CB CN CA CM 23==，，求M,N 的坐标和MN 的坐标；【课堂检测】1. 若向量()2,3a x =-r 与向量()1,2b y =+r相等，则 （ ） A.1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =u u u r ，点B 的坐标为()2,1-，则OA u u u r的坐标为 （ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 3. 已知()3,1a =-r ，()1,2b =-r ，则32a b --r r等于 （ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =u u u r 2AB u u u r 3BC -u u ur ，求D 点的坐标.5.已知点A (－1，－5)和向量＝(2,3)，若AB →＝3，则点B 的坐标为 ( ) A ．(6,9)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(9,24)6已知(,),(,)M N ---3251，且=u u u vu u uv MP MN 12，求P 点的坐标.7已知向量()3,2a =-r ，()2,1b =-r ，()7,4c =-r ，试用,a b r r 来表示c r.。

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.3.2平面向量的正交分解及坐标运算和共线的坐标表示学案 新人教A 版必修4【学习目标】1.理解向量的正交分解及其意义。

2.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算；3.理解并掌握用坐标表示平面向量共线的条件，能应用平面向量共线的条件解决向量共线的有关问题. 【重点、难点】重点：理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算难点：能灵活应用平面向量共线的条件解决向量共线的有关问题.自主学习案【知识梳理】1. 平面向量的正交分解由平面向量的基本定理，对于平面内的任一向量a 均可以分解为不共线的两个向量λ11a 和λ22a ，使a =λ11a +λ22a ，若 ，则称为a的正交分解，它是平面向量基本定理的特殊形式，是向量坐标表示的理论基础。

2. 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,由平面向量基本定理知，对于平面内任一向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+，即 a =________ 从原点出发的向量OA ）向量的坐标（一一对应y x ,−−−→← 3.已知a =（x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，则：（1）a +b =____________（2）a －b =____________（3）a λ=____________4. 若),(),,(2211y x B y x A ，则= .5. 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，其中0 ≠b ，当且仅当__________时，a ∥b 。

【预习自测】1、已知i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，若a =（3,4），则a 可以用i 、j 表示为（ ）A ．→→→+=j i a 43B ．→→→-=j i a 43C ．→→→+-=j i a 43D ．→→→+=j i a 34 2．已知向量)3,1(=a ，向量)1,2(-=b ，求以下向量的坐标运算： b a += b a -= =a 3 b a 32+=3．已知)4,3(),2,1(--B A ,则向量AB 的坐标是 。

平面向量的正交分解及坐标表示一、教材分析本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。

二、学情分析对于学生来说，向量是个新内容。

前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。

学生对这些知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。

因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动，想在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的，只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用，逐步深刻理解并运用它们。

三、教学目标1．知识与技能（1）掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：①能写出给定向量的坐标；②给出坐标能画出表示向量的有向线段；（2）掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；②i(1,0)=；=，0(0,0)=，j(0,1)（3）理解向量与坐标之间是一一对应关系。

2．过程与方法学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

3．情感态度与价值观在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

四、教学重点平面向量的坐标表示。

五、教学难点对平面向量坐标表示生成过程的理解。

突破方法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理。

六、教学方法启发式教学法七、教学过程（一）创设问题情境师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 师：倾斜角为30o 的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解？【设计意图】引出课题。

教师姓名单位名称填写时间学科数学年级/册高一教材版本人教版必修4课题名称 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示难点名称平面向量的坐标表示难点分析从知识角度分析为什么难如何引导把向量问题与坐标联系到一起从学生角度分析为什么难对平面向量坐标表示生成过程很难理解难点教学方法设置情景问题，让学生亲身经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

教学环节教学过程导入引入课题如图，光滑的斜面上一个物体受重力G的作用，产生两个效果，一是受平行于斜面的力1F的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F，也就是说，重力G的效果等价于1F和2F的合力的效果，即G=1F+2F.G=1F+2F叫做把重力G分解→→→→→→+=22112211eea使ee，a平面内的任意向量平面向量基本定理λλλλ，，不共线的两个向量均可以分解为，对于由在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

知识讲解（难点突破）新课探究为了研究方便，我们把向量放在平面直角坐标系内，如图设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）．则由平行四边形法则知思考：OA与坐标（2,3）有什么关系？平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量i和j作为基底。

平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x、y，使得→→→+=jyixa①这样平面内的一个向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序的实数对(,)x y叫做向量a的坐标，记为a=(,)x y. ②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示。

显然i=（1,0），j=（0,1）→0=（0,0）如图，在直角坐标系中，一原点O为起点做OA=a，则点A的位置由a唯一确定，设→→→+=jyixOA,则OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标，反过来，终点A的坐标也是OA的坐标。

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。

2.3.2平面向量的正交分解及其坐标表示例1 例3板书设计二2．2．3用平面向量坐标表示向量共线条件向量共线条件：平面基本定理介绍例1 例3例2 例4归纳小结：归纳小结：（四）教学资源建议教材、电子版教参中提供的教学课件（五）教学方法与学习指导策略建议将平面向量的基本定理的内容后置的相关考虑：（1）平面向量的基本定理由原实验教材的“掌握”变成了新课标中的“了解”。

这一基本定理是正交分解的理论基础，是向量恒等变形中“消元”的基本依据，应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课的要求，适应所有学生的学习要求。

（2）从教学功能上，平面向量的正交分解可以替代基本定理。

正交分解可以直接证明，方法及思想与基本定理相同；同样包含了“消元”的基本思想方法（平面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合）；正交分解同样有多种选择性。

(3)从学生的主体作用看，先有平面向量的正交分解，再有基本定理，更适合从特殊到一般的研究规律。

有学生前面一维向量（轴上向量）的坐标表示，以及平面直角坐标系与数轴的相关研究过程，平面向量用两个互相垂直的单位向量表示，比两个不平行的向量表示应该更自然；基本定理作为所有学生要了解的内容，也是部分同学可以有所拓展的内容，有了之前的正交分解的研究作为基础，更容易通过类比加深理解。

（4）如果允许，可以用三课时完成这部分内容的教学。

基础差的班级可以介绍平面向量基本定理，并落实巩固正交分解的方法以及向量平行条件的坐标表示；基础好的班级可以适当拓展非正交分解的思想方法（六）备注：文中“向量AB”，符号不规范（少上面的前头线），需用正常的公式编辑器修改，为修改方便均在前面注明了“向量”或者“基底｛｝”。