下载文档原格式
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． 【重点难点】重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．难点：理解空间向量基本定理．【知识链接】1.平面向量基本定理：2．对平面上的任意向量，都可以分解为不共线的两个向量，当这两个向量 时，叫做把向量正交分解. 3．在坐标平面xOy 内，任作一向量a ，根据平面向量基本定理，存在 的有序实数对（x,y ），使得a = ， 就是向量a 在基底｛i ，j ｝下的坐标，记作： . 【学习过程】1. 空间向量的正交分解设,,i j k 是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p ，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量p 在,,i j k 上的分向量. 2.空间向量基本定理：____________________________________________________________ 3. 基底，基向量如果三个向量,,a b c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p |p =x a +y b + z c , x 、y 、z ∈R}.这个集合可看作是由向量,,a b c 生成的，我们把___________叫做空间的一个基底，___________都叫做基向量.空间任何___________都可构成空间的一个基底. 4. 单位正交基底：设123,,e e e 为______________________的单位向量，称它们为___________.5. 空间向量的坐标表示：在空间选定一个___________{123,,e e e }，以123,,e e e 的公共起点O 为___________，分别以123,,e e e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的___________建立空间直角坐标系O —xyz.那么对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平行移动，使它的起点___________，得到一个向量___________.由空间向量分解定理可知，_________________________________.我们把___________称作向量p (在单位正交基底123,,e e e 下)的坐标，记作___________.此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系O —xyz 中的坐标___________. 6.空间向量的坐标表示向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ， 则AB ＝___________________________，AB ＝__________________________ 例1.M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点.用向量,,.OA OB OC OQ 表示OP 和例2.已知,,i j k 是空间直角坐标系O —xyz 的坐标向量，并且=-i+j-k ,则B 点的坐标为当堂检测1. 已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，从,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量p a b =+，q a b =-构成空间的另一个基底？2. 已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 是否共面？3. 已知平行六面体OABC-''''O A BC ,点G 是侧面''BBCC 的中心，且',,OA a OC b OO c ===，用,,a b c 表示下列向量： （1）''',,OB BA CA （2）G O .课后作业1. 已知向量,,a b c 分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？2.已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底.若向量p 在基底,,a b c 下的坐标为（1,2,3），求p 在基底a b +，a b -，c 下的坐标.3.平行六面体ABCD-''''A BC D 中，',,AB a AD b AA c ===.点P ，M ，N 分别是C 'A ，C 'D ，''C D 的中点，点Q 在C 'A 上，且CQ ：Q 'A =4:1，用基底{},,a b c 表示下列向量：（1）AP ；（2）M A ；（3）N A ；（4）Q A .。
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示xx年xx月xx日contents •空间向量基本概念及性质•空间向量的坐标表示•立体几何中空间向量的应用•空间向量与立体几何的结合•例题分析和解答目录01空间向量基本概念及性质三角形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和平行四边形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和对于任意一个实数$r$和任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$。
其数乘向量$r\overset{\longrightarrow}{a}$等于$r$与$\overset{\longrightarrow}{a}$在平面上的投影向量的数乘向量的长度：对于任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$，其长度记作$\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$，其中$|\overset{\longrightarrow}{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$。
对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
设$\theta$为向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角空间向量的夹角及垂直、平行关系向量的垂直：如果两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$90^{\circ}$或者一个向量是另一个向量的零向量，则称这两个向量互相垂直。
