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![麻省理工上课讲义 线性代数[第9集]线性相关性、基、维数](https://img.taocdn.com/s1/m/b68112f1856a561252d36fba.png)
第九章广义逆矩阵9.1 广义逆矩阵A-与线性方程组的解9.2 广义逆矩阵A+ 与方程组的最小二乘解9.1 广义逆矩阵A -与线性方程组的解考虑线性方程组AX = β的解，其中,,,)(2121m m n n m ij R b b b x x x X R a A ∈⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=∈=×##β}.|{)(nR Y AY A L ∈≡∈β则方程组AX = β相容的充分必要条件是定义9.1设A 是m ×n 矩阵，如果存在n ×m 矩阵G ,使得∀β∈L (A ), 总有X = G β是方程组AX = β的解,则称G 为A 的一个减号逆，记为G = A -.定理9.2设A -是A 的任一减号逆,U 是任意n ×m矩阵,则也是A 的减号逆.−−−−+=AUAAA U A G 矩阵A 的全体减号逆记为A {1}.定理9.1G ∈A {1} 的充分必要条件是AGA = A .定理9.4设A -是A 的任一减号逆,则齐次线性方程组AX = 0 的通解是.,)(nR Y Y A A E X ∈∀−=−定理9.5设A -是A 的任一减号逆且β∈L ( A ) ,则线性方程组AX = β的通解是.,)(nR Y Y A A E A X ∈∀−+=−−β定理9.3设A -是A 的任一减号逆,则线性方程组AX = β相容的充分必要条件是AA -β= β.定理9.6设.,,q m q p n m R C R B R A ×××∈∈∈;C B CB AA =−−(1)矩阵方程AXB = C 有解的充分必要条件是.,p n R Y AYBB A Y CB A X ×−−−−∈∀−+=(2)如果AXB = C 有解，则其通解是定理9.7设A 是m ×n 矩阵,则.)()()(A R A A R AA R ==−−9.2 广义逆矩阵A + 与方程组的最小二乘解;)1(A AGA =;)2(G GAG =;)()3(AG AG T =.)()4(GA GA T=定义9.2设A ∈Rm ×n ,如果存在n ×m 矩阵G ,满足如下条件：则称G 是A 的加号逆,记为G = A ＋.定理9.8设A ＋是m ×n 矩阵A 的加号逆,则(1)A ＋∈A {1} ;(2)当A 是n 阶可逆矩阵时,有A ＋= A -1;(3)方程组AX = β相容的充分必要条件是AA ＋β= β;(4)当方程组AX = β相容时,其通解是;,)(nR Y Y A A E A X ∈∀−+=++β(5)矩阵方程AXB = C 有解的充分必要条件是AA ＋CB +B = C ;(6)当矩阵方程AXB = C 有解时,其通解是.,p n R Y AYBB A Y CB A X ×++++∈∀−+=定理9.9设A ∈R m ×n , 则A ＋存在并且唯一.推论1设A 是m ×n 矩阵，若R (A ) = n ，则,)(1T T A A A A −+=且A +A = E .推论3设A 的满秩分解为A = BC ,则.+++=B C A 推论2设A 是m ×n 矩阵，若R (A ) = m ，则,)(1−+=T T AA A A 且AA += E .例9.1设，求A +.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0011A 例9.2设B 是列满秩矩阵,则.)()(1TT B B B B ++−=定理9.10设A 是m ×n 矩阵，则;)()1(A A =++;)()()2(++=T T A A ;)()()3(TT A A A A +++=.)()()()()4(A A R AA R A R A R +++===定义9.3设A ∈Rm ×n 且方程组AX = β不相容,如果存在X 0 ∈R n ,使得,min 0ββ−=−∈AX AX n RX 则称X 0是方程组AX = β的最小二乘解.定理9.11设方程组AX = β不相容,则X 0为其最小二乘解的充分必要条件是X 0为方程组A T AX = A T β的解.定理9.12设A 是m ×n 矩阵.;,)(nR Y Y A A E A X ∈∀−+=++β(1) 若方程组AX = β相容,则X 0= A +β是其极小范数解(即模最小的解);(2) 若方程组AX = β不相容,则最小二乘解的通解为(3) 若方程组AX = β不相容,则X 0= A +β是其极小最小二乘解( 即模最小的最小二乘解).1.求下列矩阵的广义逆A +：;011111)1(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A .2424220212121101)2(⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=A 2.用广义逆矩阵判定方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=−=+=+2,1,0,032113121x x x x x x x x 是否相容，如果相容求其通解；如果不相容，求其极小最小二乘解.。
