五年级奥数题：因数与倍数

五年级奥数因数与倍数第十四节因数与倍数，质数与合数【知识回顾】1、倍数与因数的关系是相互依存的。

2、运用这个找因数个数的方法，可以帮助我们解决一些看似无从下手的问题，关键是先将所要找因数的这个数，进行正确的分解质因数，然后利用指数之间的关系解决问题。

3、在解决质数、合数问题时，我们必须注意一下几点。

质数：（1）最小的质数是2；（2）在质数中只有2是偶数，其余的质数都是奇数；（3）每个质数只有2个因数，即1和它本身。

合数：（1）最小的合数是4；（2）每个合数至少有3个因数，1和它本身以及他某些因数。

【典型例题】（因数与倍数）例1、216的全部因数有多少个？全部因数的和是多少？例2、有8个不同因数的自然数中，最小的一个是多少？例3、在100至200中共有几个数既不是7的倍数，又不是9的倍数？它们的和是多少？【学以致用】1、24有多少个因数？这些因数的和是多少？2、3600共有多少个因数？3、一个数是3个2,1个3,2个5,1个7的连乘积，则这个数的最大的两位的因数是几？4、将400分成两个三位数之和，其中一个是9的倍数，另一个是17的倍数，这两个数分别是多少？5、求50至70之间只有4个不同因数的最大自然数。

6,、求2至1000中只有15个因数的最大自然数。

7、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1,1,2,3,5,8,13,21，……，在这串数前2000个数中，共有多少个6的倍数？【典型例题】（质数与合数）例4、用1,2,3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？例5、判断269,437这两个数是合数还是质数？例6、将50写成10个质数相加的和的形式。

如果要使其中最大的质数尽可能大，这个最大的质数是多少？【学以致用】1、刘叔叔家的电话号码可以写成ABCCDB的形式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，已知这6个数字之和是14，B 是任何自然数的因数，C不是任何自然的因数，A是质数，D是合数，你知道他家的电话号码是多少吗？2、有这样一个质数，它分别加上10和14后仍然为质数，你会求这个质数吗？3、50以内，由1——7组成的两位数的质数共有多少个？4、110可以用两个质数的和来表示，这两个质数的差（大数减小数）的最小值是几？5、有两个合数A和B，它们的和是质数。

因数与倍数相关习题（ 1）一、填空题1 ．28 的所有因数之和是 _____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形, 有 _____种不同的拼法 .3. 一个两位数 , 十位数字减个位数字的差是 28 的因数 , 十位数字与个位数字的积是 24. 这个两位数是 _____.4. 李老师带领一班学生去种树 , 学生恰好被平均分成四个小组 , 总共种树 667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多 , 那么这个班共有学生 _____人 .5. 两个自然数的和是 50, 它们的最大公因数是 5, 则这两个数的差是 _____.6. 现有梨 36 个, 桔 108 个 , 分给若干个小朋友 , 要求每人所得的梨数 , 桔数相 等 , 最多可分给 _____个小朋友 , 每个小朋友得梨 _____个 , 桔 _____个.7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片 _____块 .8. 长 180 厘米 , 宽 45 厘米 , 高 18 厘米的木料 , 能锯成尽可能大的正方体木块 ( 不余料 )_____ 块.9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个 , 又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出 , 如果他要赚得 10 元钱利润 , 那么他必须卖出苹果 _____个 .10. 含有 6 个因数的两位数有 _____个 .11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解？12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4 1 米，黄鼠狼每次跳 2 3米， 2 4它们每秒钟都只跳一次 . 比赛途中 , 从起点开始每隔 12 3米设有一个陷井 , 当它们8之中有一个掉进陷井时 , 另一个跳了多少米 ?14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300, b 与 c 的最 小公倍数也是 300, 那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组 ?( 例如 : a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数 组 )———————————————答 案——————————————————————答 案:1． 5628 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因 105 的因数有105 和 1,35 和 3,21 与1,3,5,7,15,21,35,1055,15 与 7. 所以能拼成能拼成的方形的与分是4 种不同的方形 .3. 64因 28=2 2 7, 所以 28 的因数有 6 个:1,2,4,7,14,28.在数字中，只有 6 与 4 之，或者 8 与 3 之是 24，又 6-4=2，8-3=5.故符合目要求的两位数有64.0,1,2, ⋯，94. 28因667=23 29, 所以班生每人种的棵数只能是667 的因数:1,23,29,667. 然 , 每人种 667 棵是不可能的 .当每人种 29 棵 , 全班人数是 23-1=22, 但 22 不能被 4 整除 , 不可能 .当每人种 23 棵 , 全班人数是29-1=28, 且 28 恰好是 4 的倍数 , 符合目要求 .当每人种 1 棵 , 全班人数是 667-1=666, 但 666 不能被 4 整除 , 不可能 .所以 , 一班共有 28 名学生 .5. 40或20两个自然数的和是50, 最大公因数是35, 它的差分 (45-5=)40,(35-15=)20, 5, 两个自然数可能是所以填 40 或 20.5 和45,15 和[ 注 ] 这里的关键是依最大公因数是 5 的条件, 将50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108 个分若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36 的因数，又要是 108 的因数，即一定是 36 和 108的公因数 . 因要求最多可分多少个小朋友, 可知小朋友的人数是36 和 108 的最大公因数 .36 和 108 的最大公因数是36, 也就是可分 36 个小朋友 .每个小朋友可分得梨 : 3636=1( 只)每个小朋友可分得桔子 : 10836=3( 只)所以 , 最多可分得 36 个小朋友 , 每个小朋友可分得梨 1 只, 桔子 3 只.7. 56剪出的正方形布片的能分整除方形的48 厘米及 42 厘米 , 所以它是 48 与 42 的公因数 , 目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的是48 与42 的最大公因数 .因 48=2 2 2 2 3,42=2 3 7, 所以 48 与 42 的最大公因数是 6., 最大正方形的是 6 厘米 . 由此可按如下方法来剪 : 每排剪 8 , 可剪 7, 共可剪 (48 6) (42 6)=8 7=56( ) 正方形布片 .8. 200根据没有余料的条件可知、和高分能被正方体的棱整除, 即正方体的棱是180,45 和 18 的公因数 . 了使正方体木尽可能大 , 正方体的棱是180、45 和 18 的最大公因数 .180,45 和 18 的最大公因数是 9, 所以正方体的棱是 9 厘米 . , 180 厘米可公成 20 段, 45 厘米可分成 5 段, 高 18 厘米可分成 2 段. 根木料共分割成 (180 9)(45 9) (18 9)=200 棱是 9 厘米的正方体 .9. 150根据 3 与 5 的最小公倍数是 15, 老傅以 5 元 15 个苹果 , 又以 6 元出 15 个苹果 , , 他 15 个苹果与出利 1 元. 所以他利 10 元必出 150 个苹果 .10. 16含有 6 个因数的数 , 它的质因数有以下两种情况 : 一是有 5 个相同的质因数连 乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因 数的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么Ma 5 或 Ma 2b因为 M 是两位数，所以 M= a 5 只有一种可能 M=25 ，而 M= a 2 b 就有以下 15 种情况：M 22 3, M 22 5, M 227 ，M22 11, M 22 13, M 2 2 17 ， M 22 19, M 22 23, M 32 2 ，M 32 5, M32 7, M32 11 ，M52 2, M52 3, M 7 22 .所以 , 含有 6 个因数的两位数共有 15+1=16(个)11. 三个数都不是质数 , 至少是两个质数的乘积 , 两两之间的最大公因数只能分别是 2,3 和 5, 这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组 .12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和 , 也就是说它们的最大公因数应该是 1111 的因数 . 将 1111 作质因数分解 , 得1111=11 101最大公因数不可能是 1111, 其次最大可能数是 101. 若为 101, 则将这四个数分别除以 101, 所得商的和应为 11. 现有1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数101,1012,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111, 它们的最大公因数为 101. 所以 101 为所求 .13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 3 与 12 3 的“最小公倍数”99，4 84即跳了99 11=9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4 1 和 12 3的442 8 “最小公倍数”99 ，即跳了999=11 次掉进陷井 .2 2 2经 过 比 较 可 知 , 黄 鼠 狼 先 掉 进 陷 井 , 这 时 狐 狸 已 跳 的 行 程 是419=40.5( 米). 214.先将 12、 300 分别进行质因数分解：12=2 2 32 2300=2 3 5(1)确定 a 的值 . 依题意 a 只能取 12 或 12 5(=60) 或 12 25(=300).(2)确定 b 的值 .当 a=12 时, b 可取 12, 或 12 5, 或 12 25；当a=60,300 时， b 都只能取 12.所以 , 满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3) 确定 a, b, c 的组数 .对于上面 a、b 的每种取值，依题意， c 均有 6 个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 23，即 25，50，100，75，150，300.5 ，5 2，5 2 ，5 3，5 2 3，5 2所以满足条件的自然数 a、b、c 共有 5 6=30（组）因数与倍数相关习题（ 2）一、 填空题1 ．把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2 个，而苹果还缺 2 个，一共有 _____个小朋友 .2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个 . 这个大班的小朋友最多有 _____ 人 .3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板 _____块.4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块 _____块.5. 一个公共汽车站 , 发出五路车 , 这五路车分别为每隔 3、5、9、15、 10 分钟发一次，第一次同时发车以后， _____分钟又同时发第二次车 .6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生 , 如只分给第一群 , 则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒. 那么平均给三群猴子 , 每只可得 _____粒.7. 这样的自然数是有的 : 它加 1 是 2 的倍数 , 加 2 是 3 的倍数 , 加 3 是 4 的倍数 , 加 4 是 5 的倍数 , 加 5 是 6 的倍数 , 加 6 是 7 的倍数 , 在这种自然数中除了 1 以外最小的是 _____.8． 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是 _____. 9. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组 , 要求每一组中任意两个数的最大公因数是 1, 那么至少要分成 _____组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的 _____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆车 . 该总站发出最后一辆车是 20:00, 求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻 . 12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数 , 商是 12. 如果甲乙两数的差是 18, 则甲数是多少 ?乙数是多少 ?13. 用 5 、 15 、 1 1分别去除某一个分数，所得的商都是整数 . 这个分数28 56 20最小是几 ?14. 有 15 位同学 , 每位同学都有编号 , 他们是 1 号到 15 号 ,1 号同学写了一个自然数 ,2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被他的编号数整除 .1 号作了检验 : 只有编号连续的二位同学说得不对 , 其余同学都对 , 问 :(1) 说的不对的两位同学 , 他们的编号是哪两个连续自然数 ?(2) 如果告诉你 ,1 号写的数是五位数 , 请找出这个数 .———————————————答案——————————————————————答案:1. 9若梨减少 2 个, 则有 20-2=18( 个); 若将苹果增加 2 个 , 则有 25+2=27(个), 这样都被小朋友刚巧分完 . 由此可知小朋友人数是 18 与 27 的最大公因数 . 所以最多有 9 个小朋友 .2. 36根据题意不难看出 , 这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以 , 这个大班的小朋友最多有36 人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数 , 也就是长方形木板的长和宽的公倍数 , 又要求最少需要多少块 , 所以正方形木板的边长应是 14 与16 的最小公倍数 .先求 14 与 16 的最小公倍数 .2 161487故14 与 16 的最小公倍数是 2 8 7=112.因为正方形的边长最小为112 厘米 , 所以最少需要用这样的木板112112=7 8=56(块 )16 144． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9， 6， 7 的最小公倍数， 9，6，7 的最小公倍数是126. 所以 , 至少需要这种长方体木块126 126 126=14 21 18=5292(块 )9 6 7[ 注 ] 上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广. 将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一. 希望引起小朋友们注意.5. 90依意知 , 从第一次同到第二次同的是 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数 .因 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数是 90, 所以从第一次同后90 分又同第二次 .6. 5依意得花生粒数 =12 第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数由此可知 , 花生粒数是 12,15,20 的公倍数 , 其最小公倍数是 60. 花生粒数是60,120,180, ⋯⋯，那么第一群猴子只数是5， 10，15，⋯⋯第二群猴子只数是4， 8， 12，⋯⋯第三群猴子只数是3， 6， 9，⋯⋯所以，三群猴子的只数是 12，24，36，⋯⋯ . 因此 , 平均分三群猴子 , 每只猴子所得花生粒数是 5 粒.7. 421依意知 , 个数比 2、3、4、5、6、7 的最小公倍数大 1,2 、3、4、5、6、 7 的最小公倍数是 420，所以个数是 421.8. 999768由意知 , 最大的六位数是 3,7,8,11 的公倍数 , 而 3,7,8,11 的最小公倍数是1848.因 999999 1848=541⋯⋯ 231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848 的 541 倍，或者是 999999 与 231 的差 . 所以 , 符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据目要求 , 有相同因数的数不能分在一,26=2 13,91=7 13,143=11 13, 所以 , 所分数不会小于 3. 下面出一种分方案 :(1)26 ， 33，35； (2)34 ，91；(3)63 ， 85，143.因此 , 至少要分成 3.[ 注 ] 所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5， 21=3 7，35=5 7， 3， 5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外 , 有多种分法 , 下面再出三种 :(1)26,35 ； 33，85， 91；34，63， 143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数 =甲数乙数”，将 210 330 分解因数，再行合有210 330=2 3 5 7 2 3 511=223252711=（ 2 3 5）（2 3 5 7 11）因此，它的最小公倍数是最大公因数的 7 11=77（倍） .11.根据意 , 先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80, 即从第一次三同出后 , 每隔 80 分又同 .从早上 6:00 至 20:00 共 14 小 , 求出其中包含多少个80 分 .6014 80=10⋯40 分由此可知 ,20:00 前 40 分 , 即 19:20 最后一次三同的刻.12.甲乙两数分除以它的最大公因数 , 所得的两个商是互数 . 而两个互数的乘 , 恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它的最大公因数所得的商—— 12. 一的根据是 :( 我以“ ”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数) 甲数乙数 =倍甲数乙数倍约=，所以：约约约约甲数乙数倍甲数乙数约约=约，约 =12约将 12 成互的两个数的乘：①12=4 3，② 12=1 12先看① , 明甲乙两数：一个是它最大公因数的 4 倍，一个是它最大公因数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互的两数 ( 即 4 和 3) 之差 , 所得的商 , 即甲乙两数的最大公因数 .18(4-3)=18甲乙两数 , 一个是 :18 3=54，另一个是： 18 4=72.7再看② ,18 (12-1)= 1 , 不符合意 , 舍去 .13.依意 , 所求最小分数M,NM 5=a M 15 =b M 11=cN 28 N 56 N 20即M28 =a M 56 =b M 20 =c N 5 N 15 N 21其中 a, b, c 整数 .因M是最小 , 且 a, b, c 是整数 , 所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数 , N 是N28,56,20 的最大公因数 , 因此 , 符合条件的最小分数 :M =105= 261N4 414.(1) 根据 2 号~15 号同学所述 ,将合数 4,6,⋯，15 分解因数后，由 1 号同学果，行分析推理得出的 .4=22,6=2 3,8=2 3,9=3 2,10=2 5,12=2 2 3,14=2 7,15=3 5由此不断定得不的两个同学的号是8 与 9 两个自然数 ( 可逐次排除 , 只有 8 与 9 足要求 ).(2)1 号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,1512 个数整除 , 也就是它的公倍数 . 它的最小公倍数是2 25 7 11 13=60060 3因为 60060 是一位五位数 , 而这 12 个数的其他公倍数均不是五位数, 所以 1 号同学写的五位数是60060.。

五年级奥数因数与倍数(B级)因数和倍数的关系一天，因数和倍数相遇了。

倍数傲慢地问因数：“你见到我怎么不下拜呢？”因数气愤地回答：“你算老几呀？我为什么要拜你？”倍数自信地说：“我是老大，因为一个数的因数只有几个，而一个数的倍数有无数个。

我的家庭庞大，你的家庭成员少得可怜。

你应该拜我。

”因数反驳：“是的，你的家庭庞大，但你知道自己是老几吗？我们的家庭成员虽少，但我们都知道自己的位置。

离开我们这些因数，你们这些倍数还能成立吗？”倍数想了想，承认自己说错了，因数和倍数握手言和，成为密不可分的好伙伴。

因数的概念与最大公因数因数是能够整除一个数的数，倍数是某个数的整数倍。

最大公因数是两个或多个数的公共因数中最大的一个。

求最大公因数的方法有三种：分解质因数法、短除法和辗转相除法。

分解质因数法先将数分解质因数，然后将相同的因数连乘；短除法找出所有共有的因数，然后相乘；辗转相除法每次用除数和余数相除，直到余数为止，最后一个除数就是最大公因数。

最大公因数有以下性质：1）两个数的最大公因数等于它们的公因数中最大的一个；2）最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；3）若两个数互质，则它们的最大公因数为1.因数和倍数是密不可分的好伙伴，它们共同存在于自然数中。

没有因数，就没有倍数；没有倍数，就没有因数。

因数和倍数应该紧密团结在一起，共同发挥作用。

性质（3）指的是“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

虽然不是常见考点，但对于理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系有帮助。

求一个整数的因数个数，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数的指数加1后相乘。

例如，对于整数1400，它的因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个，包括1和1400本身。

这个公式的推导过程建立在数字“唯一分解定理”的基础上，结合乘法原理推导而来，需要掌握。

求一个整数的所有因数的和，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些和相乘。

因数与倍数专题提高（3月5日）
专题精华
几个自然数a,b 的最大公因数记作（a,b）,若（a,b）=1,则a和b互质。

自然数a,b的最小公倍数可以记作[a,b],当（a,b）=1时，[a,b]=axb。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数x最小公倍数=两数的乘积。

掌握以上数量关系，根据题目中的已知条件，就可以解决因数与倍数的问题。

教材深化：
1.1 小张，小王，小李三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，小张3天去一次，小王4天去一次，小李5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会。

问至再过多少天他们三人又在图书馆相会？
1.2 某市3路，5路，8路车都从东站出发，3路车每隔10分钟发一次车，5路车每隔15分钟发一次车，而8路车每隔20分钟发一次车。

当这三种路线的车同时发车后，至多少分钟后这三种路线又同时发车？
1.3 大雪后的一天，小轩与爸爸共同步测一个圆形花园的周长。

他们走的起点，路线，方向完全相同。

小轩的步长为54厘米，爸爸的步长为72厘米。

由于两人的脚印有重合，所以雪地只留下60个脚印。

这个花坛的周长是多少？
1.4 四个连续的自然数，它们从小到大一次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。

这四个连续自然数的和最小是多少？
2.1两个数的最大公因数是10，最小公倍数为140。

已知其中一个数为70，则另一个数是
多少？
2.2 现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使4个数的公因数尽可能大，那么四个数的公因数最大可能是多少？
生活数学：
感受奥赛：。

一、 因数的概念与最大公因数0被排除在因数与倍数之外1． 求最大公因数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公因数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公因数是15．2． 最大公因数的性质①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n ．3． 求一组分数的最大公因数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公因数b ；b a即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．知识框架 因数与倍数数b；ba即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4==注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦三、最大公因数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

因数与倍数1．数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?2．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．4．今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?5．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?6．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70后，3人又可以相聚?7．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．那么甲数、乙数是多少?8．A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少?9．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?10．a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b 的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?11．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？12．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？13．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？14．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？15．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？16．有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?10．两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?11．3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?15．有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少?。

五年级因数倍数奥数一，判断1，两个质数的积是39，这两个质数的和是40.（）,2，在11到20的10个数中，所有的质数和是70（）3，一个奇数和一个偶数（0除外），它俩的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是合数。

（）4，两个合数一定不是互质数（）。

,5，最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7（）6，六位数MNNNMN，其中N=6.要使这个六位数既是2的倍数又是3的倍数，那么代表M的数字只能是6.（）7，相邻的两个奇数一定是互质数。

（）。

8，是12的倍数的数一定是12的因数的倍数。

（）9，a,b,c是三个不同的非零的自然数，如果a/b=c,那么，a的因数至少有 3个。

（）10，甲数是乙数的的2倍，乙数一定是甲数的因数。

（）。

二，填空1，三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。

2，三个连续自然数的和是33，这三个数的最小公倍数是（）。

3，三个质数的最小公倍数是105，这三个质数是（）。

4，1路汽车每3分钟发一次，3路汽车每5分钟发一次，两辆汽车同时发车，至少再过（）分钟后有同时发。

5，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米，丙每秒跑4米，三人沿着600米的环形跑道从同一点同时同向跑步，经过（）秒三人有同时从出发点出发。

6，AB两只青蛙进行跳跃比赛，A每次跳10cm,B每次跳15cm，他们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，再比赛途中，每隔12米有一陷阱，当他们中第一只掉进陷阱时，另一只距离它最近的陷阱（）cm.7,在1×2×3×4×5×·····×2002的积中，末尾有（）连续的0.一，判断1，两个质数的积是39，这两个质数的和是40.（）,2，在11到20的10个数中，所有的质数和是70（）3，一个奇数和一个偶数（0除外），它俩的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是合数。

（）4，两个合数一定不是互质数（）。

因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。

倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？” “我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。

“我是老大呀。

”“你是老大？为什么”“你说，一个数的个数有多少个呀？”“这我知道，一个数的因数有无数个。

”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。

而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。

你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。

再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。

只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。

刚才是我不对，我向你道歉了。

”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。

在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。

没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。

因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。

一、 因数的概念与最大公因数0被排除在因数与倍数之外1． 求最大公因数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公因数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公因数是15．2． 最大公因数的性质①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；知识框架课前预习 因数与倍数②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n ．3． 求一组分数的最大公因数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公因数b ；b a即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公因数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦三、最大公因数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元：因数和倍数提高题和奥数题板块一：因数和倍数例题1：一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练1：一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2：有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练2：既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3：妈妈买来30个苹果，让XXX把苹果放入篮子里。

不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。

XXX共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练3：五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个研究小组，每组多于2人且少于8人。

可以分成几个小组呢？板块二：2、5、3的倍数的特征例题1：一个五位数29ABC（A、B、C是～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练1：在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5.这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2：5□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练2：4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三：奇数和偶数例题1：一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。

已知小船最初在南岸。

1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？2）XXX说摆渡2016次后，小船在北岸。

他说得对吗？为什么？练1：傍晚XXX开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。

你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2：有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练2：（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？可以做到。

五下第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元《因数和倍数》1. 整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。

整数与自然数的关系：整数包括自然数。

最小的自然数是02. 因数、倍数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。

例：12÷2=6， 12是6的倍数，6是12的因数。

为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数是自然数（一般不包括0）。

数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。

因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的因数的求法：成对地按顺序找。

一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。

一个数的最大因数=最小倍数=它本身3. 2、3、5的倍数特征1）奇数和偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

①自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。

奇数：不能被2整除的数，叫奇数。

也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

②最小的奇数是1，最小的偶数是0.③奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数（大减小）奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数例题：1、从0、4、5、8、9中取出三个数字组成三位数，①在能被2整除的数中，最大的是（984），最小的是（450）②在能被3整除的数中，最大的是（984），最小的是（405）③在能被5整除的数中，最大的是（980），最小的是（405）2、在四位数21□0的方框中填入一个数，使它能同时被2、3、5整除，最多能（ 4 ）种填法。

4. 质数和合数①质数和合数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质素和（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。