第5章-时域离散系统的基本网络结构Word版

第五章 时域离散系统的基本网络结构§5.1 引言一个时域离散系统或网络的表示方法有三种： 1． 差分方程 ∑∑==---=Ni i M i i i n y a i n x b n y 1)()()( (6.1.1)2． 系统函数∑∑=-=-+==Ni ii Mi i iza zb z X z Y z H 101)()()( (6.1.2)3． 单位脉冲响应)]([)(1z H ZT n h -=上述三种表示方法实际上是一致的，在实际中，我们经常采用一种信号流图来表示一个系统，这种流图直观地反映了在实现该系统时具体的算法，如延迟单元，加法和乘法等一些基本运算单元，构成了系统转移函数实现的功能，我们称这种流图为网络结构。

网络结构实际表示的是一种运算结构。

§5.2 用信号流图表示网络结构一．基本运算单元的流图表示数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。

三种基本运算用流图表示如图6.1.1所示。

(x x )(n x )(n x )1)1(-n x )n )(ax 2)(2n x x (1x )(2n x +)()2n x +1-z图6.1.1 三种基本运算的流图表示说明：1．1-z 与系数a 作为支路增益写在支路箭头旁边，如果箭头旁边没有标明增益符号，则认为支路增益是1。

2．箭头表示信号流动方向。

3．两个变量相加，用一个圆点表示，称为网络节点。

4．每个节点处的信号称节点变量，节点变量等于所有输入支路之和。

二．基本信号流图不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图与之相对应。

从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。

（1）信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是1-z ； （2）流图环路中必须存在延迟支路； (3)节点和支路的数目是有限的。

例1：根据下图的网络结构，写出该系统的传输函数。

2a -)(n y )(z H )(n )(n y )(a )(b (a)基本信号流图； (b)非基本信号流图图6.1.2 信号流图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=-=-=)n (w b )n (w b )n (w b )n (y )n (w a )n (w a )n (x )n (w )n (w )n (w )n (w )n (w '''20211212212222111 （6.1.3）对(6.1.3)式进行Z 变换，得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--===--)z (W b )z (W b )z (W b )z (Y )z (W a )z (W a )z (X )z (W z )z (W )z (W z )z (W )z (W '''20211212212122121经过联立求解得到：2211221101----++++==z a z a z b z b b )z (X )z (Y )z (H图6.1.2(a)是基本信号流图，图中有两个环路，环路增益分别为11--z a 和22--za ，且环路中都有延时支路，而图 6.1.2(b)不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。

例2：对于同一个系统函数，可以有很多信号流图与之对应。

21115.08.011)(--+-=z z z H 1125.015.23.0115.0)(---+--=z z z H 1135.0113.011)(---⋅-=zz z H 可以证明以上)()()(321z H z H z H ==，但它们具有不同的算法。

不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等。

三．网络结构的分类一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR(Finite Impulse Response)网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR(Infinite Impulse Response)网络。

1．FIR 网络FIR 网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：∑=-=Mi i i n x b n y 0)()( (6.1.4)其单位脉冲响应)(n h 是有限长的，按照(6.1.4)式，)(n h 表示为⎩⎨⎧≤≤=n M n b n h n 其它,00,)(2．IIR 网络IIR 网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。

这类网络的单位脉冲响应是无限长的。

∑∑==---=Ni i M i i i n y a i n x b n y 1)()()(§5.3 IIR 基本网络结构IIR 网络的特点是信号流图中含有反馈支路，即含有环路，其单位脉冲响应是无限长的。

基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。

1．直接型将N 阶差分方程重写如下：∑∑==---=Ni i M i i i n y a i n x b n y 1)()()(设M=N=2,其系统函数如下：)()(11)(21212z H z H z a z b z H i ii i i i ⋅=+⋅=∑∑=-=-x ))(2z H )(1z H )(1z H (x )n )(n (x (-n x (-n x )1-)2-(b)(c)图6.2.1 IIR网络直接型结构(a))(2z H按照差分方程可以直接画出网络结构如图6.2.1(a)所示。

图中第一部分系统函数用)(1z H 表示，第二部分用)(2z H 表示，那么)()()(21z H z H z H ⋅=，当然也可以写成)()()(12z H z H z H ⋅=，按照该式，相当于将图6.2.1(a)中两部分流图交换位置，如图6.2.1(b)所示。

该图中节点变量21w w =，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图6.2.1(c)所示的网络结构流图，我们将图6.2.1(c) 所示的的这类流图称为IIR 直接型网络结构。

例6.2.1 设IIR 数字滤波器的系统函数)(z H 为321321814345121148)(-------+--+-=z z z z z z z H画出该滤波器的直接型结构。

解 由)(z H 写出差分方程如下：)3(81)2(43)1(45)(-+---=n y n y n y n y )3(2)2(11)1(4)(8---+--+n x n x n x n x按照差分方程画出如图6.2.2所示直接型网络结构。

(x )图6.2.2 例6.2.1图上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照)(z H 表达式，直接画出直接型网络结构。

2．级联型在(6.1.2)式表示的系统函数)(z H 中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。

现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：∏∏=-=---=Nr rMr r zd z C A z H 1111)1()1()( (6.2.1)式中A 是常数，r C 和r d 分别表示零点和极点。

由于多项式的系数是实数，r C 和r d 是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络)(z H j 。

)(z H j 如下式：2211221101)(------++=zz z z z H j j j j j j ααβββ (6.2.2)式中，j j j j 1210αβββ、、、和j 2α均为实数。

这样)(z H 就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：)()...()()(21z H z H z H z H k = (6.2.3)式中)(z H i 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个)(z H i 的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图6.2.3所示。

(a)直接型一阶网络结构(b)直接型二阶网络结构图6.2.3 一阶和二阶直接型网络结构例6.2.2 设系统函数)(z H 如下式：321321125.075.025.1121148)(-------+--+-=zz z z z z z H 试画出其级联型型网络结构。

解 将)(z H 的分子、分母进行因式分解，得到：)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z z z z z z z H 为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出结构图如图6.2.4所示。

级联型结构特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。

在(6.2.2)式中，调整j j j 210βββ和、三个系数可以改变一对零点的位置，调整j j 21αα和可以改变一对极点的位置。

因此，相对直接型结构，调整方便是优点。

此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。

x 24)图6.2.4 例6.2.2图3．并联型如果将级联形式的)(z H 展成部分分式形式，则得到IIR并联型结构。

)(...)()()(21z H z H z H z H k +++= (6.2.4)式中，)(z H i 通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。

二阶网络的系统函数一般为22111101)(-----+=z z z z H i i i i i ααββ式中，i i i 110αββ、、和i 2α都是实数。

如果02=i α，则构成一阶网络。

由(6.2.4)式，其输出)(z Y 表示为)()(...)()()()()(21z X z H z X z H z X z H z Y k +++= 上式表明将)(n x 送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出)(n y 。

例6.2.3 画例题6.2.2中)(z H 的并联型结构。

解 将例6.2.2中)(z H 展成部分分式形成：21115.0120165.01816)(----+-+-+-+=zz z z z H 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图6.2.5所示。

(x )n 16图6.2.5 例6.2.3图并联型特点：在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。

另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不象直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。

由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。