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第五章 时域离散系统的基本网络结构

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第5章 时域离散系统的基本网络结构09-10-1

第5章 时域离散系统的基本网络结构09-10-1

1 p z 1 q z 1 q z
1 1 r r 1 r r 1 r 1
r 1 N1

r
1 r
r 1 N2
H ( z ) A H j ( z )
j 1
K
0 j 1 j z 1 2 j z 2 H j ( z) 1 2 1 1 j z 2 j z
IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
画出该滤波器的级联型结构。 解 ： 由H(z)写出差分方程如下
y n 8 xn 4 xn 1 11xn 2 2 xn 3 5 3 1 y n 1 y n 2 y n 3 4 4 8
系统函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可 以得到滤波器的并联型结构。 当N=M时，展开式为
H ( z ) A0 H1 ( z ) H 2 ( z ) H N ( z ) Ai A0 1 d i z i i 1
N
共轭复根两两合并得到实系数的二阶网络，
F Ai 0i 1i z 1 H ( z ) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 i 1 i 1 E
成程序让计算机来执行， 这也就是用软件来实现数字滤波器。
时域离散系统可以用差分方程、单位脉冲响应以及 系统函数进行描述。系统输入、输出服从N阶差分方程
y n bi xn i ai yn i
i 0 i 1
M
N
其系统函数为
H ( z)
bi z i 1 ai z i

第5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

第5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

方程为
y(n)=ay(n-1)+x(n) 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结 构各有不同的特点，下面分类叙述。
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
1.直接型 对N阶差分方程重写如下：
y (n ) bi x (n i ) ai y (n i )
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
x(n)
0 j 1 j
(a ) z－ 1 1j
y(n)
x(n)
0 j 1 j
z－ 1 z－ 1 (b)
1j
y(n)
2 j
2j
图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H k ( z )
统均为实数。二阶网络的系统函数一般为
(5.3.4)
式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系
Hi ( z)
1 a1i z 1 a2i z 2
0i 1i z 1
式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果
(5.3.2)
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这H(z)就
分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) (5.3.3)
式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统 函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型 网络结构，如图5.3.3所示。

5 时域离散系统的网络结构

5 时域离散系统的网络结构

误差， 误差，运算速度以及系统的 复杂程度和成本
表示方法： 表示方法：网络结构
5.2 用信号流图表示网络结构
1、数字信号处理中的三种基本算法： 数字信号处理中的三种基本算法：
y(n) = ∑ b x(n − i) + ∑ ai y(n − i) i
i =0 i= 1 M N
方框图表示法 延时单元 x(n) 加法单元 x1(n) z
1 2 3 4 信号流图 Z -1 Z -1
a1y(n −1) + a2y(n − 2)
6 5
无限长脉冲响应(IIR) (IIR)基本网络结构 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 流图结构： 流图结构： 节点 -源节点 -吸收节点 -网络节点 支路 -输入支路
6 5 1 2 3 4 Z -1 Z -1
1 1−
∑
N
i =1
ai z − i
x(n)
H1(z) y1(n)
H2(z)
y(n)
x(n)
H1(z) y1(n)
H2(z)
2 ( z ) =
y(n)
1 1−
H 1( z) =
∑
M
i=0
bi z − i
H
∑
N
y1 (n) = ∑ bi x(n − i )
i =0
M
i =1
ai z −i
y (n) = y1 (n) + ∑ ai y (n − i )
Y(z) = ∑bi X (z) ⋅ z + ∑aa j(z(z) ⋅−z ,iH(z) = Y Y) ⋅ z j − ∑j i
−i i=0 j =1 i=1 M
N N
=
Y(z) H(z) = = X (z)

时域离散系统基本网络结构

时域离散系统基本网络结构

◙ Main
Return
X3
12.04.2020
1、信号流图代数方程组法 ▪ 设X为源点，Y为汇点，系统函数为H=Y/X
-G1 -G3
H1
H2
H4
X
X1
X2
X3 H3 X4
X5
Y
-G2 由流程图可得如下方程组
-G4
X1 H1 X G2 X 2 G1 X 5
X X
2 3
H2X1 X2 G3X4
1 HH21
X1
G2 H1
X2
0X3
0X4
X1 X2 0X3 0X4 0X5
X5
G1 H1
0
X
0X1X2 X3 G3X4 0X5 0
0X1 0X2 H3X3 X4 G4X5 0
用系数行列 式表示方程
0X1 0X2 0X3 H4X4 X5 0
1 H1
H2
0
0
0
G2 H1 1 1 0 0
二、信号流图的简化：
1、支路的合并 a
相加： X1 b
a+b
X2 X1
X2
相乘：
ab
X1
X2
X3 X1
ab
X3
b 2、节点的吸收： a
X1 X2 c
X3
ab X3
消去X2 X1
X4
ac X4
◄ Up
► Down
◙ Main
Return
12.04.2020
3、自环消除
X1 a X2 b X3= X1
▪ 狭义地说：滤波是把信号中的某些频率分量分离出来或去 掉，能完成这种功能的设备就称为滤波器。
▪ 广义地说：滤波是指某种信号处理成为另一种信号的过程， 因此滤波器就是一个系统。

信号与系统课件--第五章 时域离散系统的基本网络结构

信号与系统课件--第五章 时域离散系统的基本网络结构

1
用网络结构表示具体的算法，网络结构实际表示的是一种 运算结构
§ 5.2 用信号流图表示网络结构
一、数字信号处理中有三种基本算法：乘法、加法和单 位延迟，如下：
结构框图 加法
x1 ( n ) x1 ( n ) x 2 ( n ) x2 (n )
信号流图
•
a
乘法
x1 ( n )
a
a x1 ( n )
形成一个二阶网络
H (z) H 1(z)H 2 (z) H k (z)
H j (z)
0 j 1 j z
11jz
1
1
2jz
2
2jz
2
式中 H j ( z ) 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数， 采用直接型网络结构
x (n ) •
y (n ) • j0 •
一，直接型（卷积型,横截型） 由 H (z)
∴

N 1
h(n ) z
n
n 0
y (n)
N 1

k 0
h(k ) x(n k )
h ( 0 ) x ( n ) h (1) x ( n 1) ....
) n(x
)0( h
•
1
z
•
1
z
•
1
z •
•
•
)1( h
•
输出端的噪声功率最小。
缺点：调整零点不方便，当H ( z )有多阶极点时，部分
分式展开较麻烦
§5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构的特点：没有反馈支路，h(n)有限长度
H (z)

N 1
h(n ) z

5.1-5.3时域离散系统的基本网络结构域状态变量分析法

5.1-5.3时域离散系统的基本网络结构域状态变量分析法
对 H (z )实施以下部分分式展开：
M N
H ( z)
Bk z
k 0
k

k 1
L
Ak 1 zk z
1

k 1
P
0 k 1k z
1
1 2
1 a1k z a2 k z
可以写成：
H ( z ) H 1 ( z ) H 2 ( z ) .... H n ( z )
10
例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H (z) 8 4z 1 5 4 z
1
11 z 3 4 z2源自 2z 1 8 z3
1
2
3
画出该滤波器的直接型结构 解： 有H(z)写出差分方程如下： y(n)=5/4y(n-1)-3/4y(n-2)+1/8y(n-3) +8x(n)- 4x(n-1) +11x(n-2)-2x(n-3)
级联型
并联型
7
一、直接型
1、IIR数字滤波器的直接（I）型结构 采用信号流图所定义的符号，直接画出差分方程对 应系统的信号流图结构称为直接（I）型结构。
y ( n)
M=N
a
k 1
N
k
y ( n k ) bk x( n k )
k 0
M
8
2、IIR数字滤波器的直接（Ⅱ） 将“ IIR 数字滤波器的直接 （I）型结构”中的延时 单元 尽可能减少的一种流图结构，称为直接（Ⅱ ）型结构。 分母延时
1 z 1 0.4 z 1
由此得到级联型结构的流图
21
③ 将H(z)进行部分分式展开得：
H ( z ) 0.1 0.6 1 0.4 z

第五章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法


N 3时, H ( z ) 01 11 z 1 21 z 2
Y ( z) 01 11 z 1 21 z 2 X ( z)
H (Z )
b z
k
M
k
1 ak z
k 1
k 0 N
A
k
(1 p z ) (1 q z
1
k k
M1
M2
1
)(1 qk z )
1

1
(1 c z ) (1 d z
1
k k
k 1 N1
k 1 N2
1
)(1 d k z )
k 1
1 2
当（M=N=2）时
1 11z 21z H ( z) A 1 2 1 11z 21z
1
2
x(n)
A
B
y (n)
1
11 Z
Z
11
1
21
21
当（M=N=4）时
1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z H (Z ) A 1 2 1 2 1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
其方框图表示如下：
X(z) H(z)
Y(z)
若给定一个差分方程，不同的算法 有很多种，而不同的算法直接影响系统 运算误差、运算速度以及系统的复杂程 度和成本等，因此研究实现信号处理的 算法是一个很重要的问题。
5-2.用信号流图表示网络结构
xn
A
y (n)
11
Z 1 Z
1
11
12

数字信号处理 第五章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法


448
画出该滤波器的直接型结构。
解：由H (z)写出差分方程：
y(n) 5 y(n 1) 3 y(n 2) 1 y(n 3) 8x(n) 4x(n 1)
4
4
8
11x(n 2) 2x(n 3)
H (z) 8 4z1 11z2 2z3 1 5 z1 3 z2 1 z3 448
(二) 级联型结构
M
(1 cr z1)
H (z)
A
r0 N
(1 dr z1)
r 1
H j(z)
0 j 1 j z1 1 1 j z1 2 j z2 1 1 j z1 2 j z2
H (z)
L
A
j 1
0 j 1 j z1 1 1 j z1
L j 1
i0
i1
系统函数H (z)为
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0 N 1 ai zi
i1
H1(
z)
1
0.8z
1 1
0.15z
2
H2(z)
1
1.5 0.3z1
1
2.5 0.5 z 1
H3(z)
1
1 0.3 z 1
1
1 0.5 z 1
H1(z) H2(z) H3(z)
end
§5.2 用信号流图表示网络结构
y(n)
直接II型结构
M
bi zi
H(z)
i0 N
1 ai zi
i1
x(n)
b0
y(n)
a1
z1 b1
a2
z 1 b2
z 1
aN z1 bN
优缺点：

时间离散系统网络结构

8
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
按照系统函数或者差分方程直接画出它的 结构图如图所示。
23
2 FIR级联型网络结构 将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对 的根放在一起，形成具有实系数的二阶网络。
例 5.4.1 设FIR网络系统函数如下式： H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出它的直接型结构和级联型结构图。
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0
N
1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
3
两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回 到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路。
环路增益等于：环路上所有增益的乘积。
3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路 （前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路）。 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积。

丁玉美《数字信号处理》笔记和课后习题(时域离散系统的网络结构)

图 5-10 FIR 滤波器频域采样结构
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三、FIR 系统的基本网络结构 FIR 网络结构特点是没有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应 h（n） 长度为 N，其系统函数 H（z）和差分方程分别为：
1．直接型 按照 H（z）或者卷积公式直接画出的结构图，称为直接型网络结构或者称为卷积型结 构。
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图 5-2 信号流图 3．网络结构分类 一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称 FIR 网络，另一类 称为无限长单位脉冲响应网络，简称 IIR 网络。 （1）FIR 网络中一般丌存在输出对输入的反馈支路，因此，差分方程用下式描述： 单位脉冲响应 h（n）是有限长的，表示为： （2）IIR 网络结构存在输出对输入的反馈支路，信号流图中存在反馈环路。这类网络 的单位脉冲响应是无限长的。
3．并联型 （1）系统函数和流图形式 ①将级联形式的 H（z）展成部分分式形式，则得到：
对应的网络结构为这 k 个子系统并联。Hi（z）通常为一阶网络或二阶网络，网络系数 均为实数。二阶网络的系统函数一般为：
式中，β0j、β1j、α1i 和 α2i 都是实数。如果 β1j＝α2i＝0，则构成一阶网络。
图 5-3 IIR 网络直接型结构 2．级联型 （1）系统函数和流图形式 ①将直接型表达式中分子、分母多项式分别迚行因式分解得到：
上式中，A 是常数，cr 和 dr 分别表示 H（z）的零点和极点。cr 和 dr 是实数或者是共轭
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数字滤波器和FFT一样，是数字信号处理 的重要内容。
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
设系统函数H(z)如下式：
H
(z)
1
8 4z 1.25z 1
1
11z2 0.75z 2
2 z 3 0.125z
3
试画出其级联型网络结构。
h(0) h(1) h(2) h(N－ 2) h(N－ 1) y(n)
FIR直接型网络结构
级联型
将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在 一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级 联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联 结构，其中每一个因式都用直接型实现。
例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
数字信号处理第五章
时域离散系统的基本网络结构 与状态变量分析法
基本内容
5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 状态变量分析法
数字滤波器的表述
数字信号处理的目的之一，是设计某种设 备或建立某种算法用来分析处理序列，是 序列具有某些确定的性质，这种设备或是 算法结构就是数字滤波器。
IIR的并联型例
H
(z)
16
1
8 0.5z 1
16 20z1 1 z1 0.5z2
每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构为：
x(n)
16
y(n)
0.5 － 0.5
8 z－ 1
－ 16 z－ 1
20 z－ 1
IIR的并联型特点
并联型调整极点位置方便，但调整零点不如级联 型方便。
各并联基本节的误差不相互积累，故比级联型的 误差来的小。
IIR的并联型
将因式分解的H(Z)展开成部分分式的形式，就可 得到IIR的并联型滤波器。
H (z) H1(z) H2(z) Hk (z)
Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均 为实数。
Hi
输出Y(z)表示为
(
z)
1
0i 1i z1
a1i z1 a2i z2
Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
表示将输出加延时，组成N节的延时网络， 把每节延时抽头后加权（加权的系数是ak）, 然后把结果相加，最后的输出y(n)是把 这两 个和式相加而构成的。
IIR 直接 I型
因为含有输出延时部分，它是反馈网络。IIR直接I型结 构
由下图可以看出，该网络是两部分的级联。第一网络对 应系统函数的分子，全零点系统；第二网络对应与系统 函数的分母，意味着这是系统函数的全极点系统。
y(n)-ay(n-1)=x(n)
单位脉冲响应h(n)=anu(n)
5.3 IIR无限长脉冲响应基本网络结构
IIR滤波器的特点 单位冲激响应h(n)是无限长的；故称IIR滤波器。 系统函数H(z)在有限平面（0<|z|<∞ ）上有极点
存在； 结构上存在输出到输入的反馈，也就是所谓的递
归结构。 同一系统函数，可以有多种不同结构，它的基本
H (z)
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
ax(n)
x(n)
a
ax(n)
x1(n)
a x1(n)＋x2(n)
x2(n)
x1(n)
x2(n)
x1(n)＋x2(n)
信号流图
基本信号流图
(Primitive Signal Flow Graghs)
(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益 是常数或者是z-1；
(a)
(b)
频率采样结构
频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采
样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采 样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起 信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样 值H(k)满足下面关系式：
H (z) (1 zN ) 1 N 1
N k0
H (k ) 1 WNk z1
网络结构有三种：直接型、级联型以及并联型。
IIR 直接型
IIR的差分方程
M
N
y(n) bi x(n i) + ai y(n i)
i0
i 1
系统函数
M
- H (z)
Y (z) X (z)
i0 N
1
bi z i ai z i
i 1
这本身就是一种实现方法。
IIR 直接I型
表示将输入加延时，组成M节的延时网络， 把每节延时抽头后加权（加权的系数是bk）, 然后把结果相加，这就是一个横向结构的网 络。
频率采样结构
设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统 函数H(z)=ZT［h(n)］，式中H(k)用下式表示：
H (k) H (z) j2 k , k0,1, 2 , N 1 ze N
频率采样结构
要求频率域采样点数N≥M。上式提供了一种称 为频率采样的FIR网络结构。将其写成下式：
式中
最小化了延迟单元的IIR 直接II型结构，通常被 认为是典范型结构。
IIR 直接型
IIR 直接I型和IIR 直接II型，之所以称为“直接 型”，是因为它们的结构是直接从系统函数中得 到的，没有对系统函数做任何的重排。
遗憾的是：这样的结构对参数量化十分敏感。当 N较大时，数字滤波器会因参数量化（有限字长） 的小变化，导致系统的零、极点位置出现重大的 变化。故通常不推荐使用在实际应用中。
并联型中，输入信号同时在各基本节中传递运算， 因此相对其它两种IIR滤波器而言，速度最快。
由于其不能单独调整零点，故不适宜用在要求准 确传输零点的场合下。
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路(非递归)，即 没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。
设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z) 和差分方程为
IIR 直接 I型
该结构需要N+M级延时单元。 直接I型特点：直观、速度慢、不经济（需要N+M）
个延时器
H(z)=H1(z)H2(z)
IIR 直接 I型 II型 = H2(z)H1(z)
x(n)
（a ）
x(n－ 1) x(n－ 2)
x(n)
（b ）
x(n) （c ）
b0 z－1
b1 z－1
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
直接型
按照H(z)或者差分方程
N 1
y(n) h(m)x(n m) m0
直接画出结构图，x(n)延时链的横向结构。这种结构称 为直接型网络结构或者称为卷积型结构(横向型结构)。
x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
路后的剩余部分；
系统函数（梅逊公式法）
三个前向通道： p b
1
0
p b z 1
2
1
两个回路： 所以
p b z 2
3
2
L a z 1 a z 2
a
1
2
1 L 1 a z 1 a z 2
a
1
2
1 1
1 1
2
3
P
Y(z)
1
1
p
b b z 1 b z 2
0
1
2
X (Z ) k3 k K 1 a z 1 a z 2
IIR的级联型特点
这是一种常用的IIR系统结构。 级联结构中，每个一阶、二阶结构有其各自的零
极点对。调整不同的零极点对，不会影响其他零 极点。这种结构便于准确实现滤波器的零极点， 便于调整滤波器的频率响应性能。 该结构的主要优点：二阶基本节搭配灵活，可按 需调换各节的次序，还可直接控制系统的零极点。 后一节的输出不会对前一节造成影响，不易产生 误差积累效应。
b2 H1(z)
w1 a1 z－1 a2 z－1