三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点

在三角形中，中线、高线和角平分线是三个重要的概念。

1. 中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，叫做三角形的中线。

在三角形中，一个三角形有三条中线，它们都交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

重心将每条中线分为2:1的两段。

2. 高线：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高线。

在直角三角形中，直角边上的高线是直角三角形的高线的特殊情况。

3. 角平分线：将一个角的两边分别等分，并连接这个角的顶点，得到的线段叫做角的角平分线。

角平分线上的点到角两边的距离相等。

一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形内部，且交于一点，这个交点叫做三角形的内心。

希望以上内容对您有帮助。

一. 教学内容：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线二. 教学内容1. 三角形的角平分线和中线2. 三角形的高线和中垂线3. 角平分线性质定理、中垂线性质定理三. 教学目标和要求1. 理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念，并能画出相应的线。

2. 掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征，并能在解题中灵活应用。

四. 教学重点、难点1. 重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用2. 难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用是本周难点。

五. 知识要点1. 角平分线性质定理2. 中垂线性质定理3. 三角形中的三条角平分线4. 三角形中的三条中线5. 三角形中的三条高线6. 三角形中三边上的中垂线【典型例题】例1. 如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN ⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。

解：过P作PF⊥AC，垂足为F∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC∴PN＝PF （为什么）∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC∴PM＝PF∴PM＝PN （为什么）例2. 如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。

解析：略例3. 已知△ABC ，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。

解：分法：分别画△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，交于P 点，所分得的6块面积相等。

理由：∵AD 为中线∴BD ＝CD ∴S △PBD ＝S △PCD 设S △PBD ＝S △PCD ＝a同理：可设S △PCE ＝S △PEA ＝b ；S △PAF ＝S △PBF ＝c ∵AD 为△ABC 的中线 ∴S △ABD ＝S △ACD 即a+2c ＝a+2b ∴c ＝b同理可得a ＝b ∴a ＝b ＝c∴△ABC 三条中线分得的6块三角形面积相等。

数学高线中线角平分线的三条概念数学中，线是指无限延伸的一维物体，可以用来连接两个点。

平面几何中，线是由点组成的集合，而空间几何中，直线可以看作是不受限制的无限延伸。

高线、中线和角平分线是几何中的三个重要概念，它们在解决几何问题中起到了关键的作用。

下面将分别介绍这三个概念。

一、高线：高线是指从一个点到与其所在平面垂直的直线段的长度。

在三角形中，高线指的是从一个顶点到对边的垂直线段。

一个三角形可以有三条高线，分别从三个顶点到对边。

这些高线交于一个点，被称为三角形的垂心。

垂心是三角形的一个重要特征点，它有很多有趣的性质。

例如，三角形的三条垂线（垂直于三个边并通过垂心的直线）相交于一点，且这个点是三角形外接圆的圆心。

此外，垂心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离。

垂心还与三角形的其他特征点（如重心、外心和内心）之间存在特殊的关系。

除了三角形，其他多边形（如正方形、长方形和菱形）也有高线的概念。

在任意多边形中，高线指的是从一个顶点到与其所在边垂直的线段。

二、中线：中线是指连接多边形的两个非相邻顶点并通过多边形的重心（或中点）的线段。

在三角形中，中线指的是连接两个顶点和对边中点的线段。

三角形有三条中线，分别连接两个顶点和对边中点。

这些中线交于一个点，称为三角形的重心。

重心具有很多有趣的性质。

例如，三角形的重心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离的两倍。

重心还与三角形的其他特征点（如垂心、外心和内心）之间存在特殊的关系。

除了三角形，其他多边形也有中线的概念。

在任意多边形中，中线指的是连接两个非相邻顶点并通过多边形的重心的线段。

三、角平分线：在平面几何中，角平分线指的是把一个角分为两个相等的角的线段。

角平分线分为内角平分线和外角平分线两种。

内角平分线指的是从一个角的顶点出发并通过角的内部，将角分为两个相等的角的线段。

对于任意角而言，都存在一条内角平分线。

内角平分线具有许多重要的性质。

例如，一条内角平分线将角分为两个相等的角。

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线•三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。

•三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

•垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线•三角形的中线：•在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

•每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

•角平分线：•三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

•三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

•高线：•从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

•线段的垂直平分线：•经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。

•三角形中线性质定理：•1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

•垂直平分线的尺规作法：•方法一：•1、取线段的中点。

•2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

三角形的知识点-三角形三条中线的交点三角形三条高线交于一点的证明？三角形三条高线交于一点的证明？证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。

已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。

求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽△ACF ∴ABAE＝，ACAFFAEB即AB·AF = AC·AE 又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽△ADC，△AFP ∽△ADB ∴AFAPAEAD＝＝，ADABADAQDC即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP ∴AD·AQ = AD·AP ∴AQ = AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。

证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，用四点共圆性质。

已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。

求证：CF⊥AB。

证明:∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE 同理∠2＝∠1DCA∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。

注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。

证法三：证两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。

证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 ,a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件kBE1kACc1b,kCF akABa则三条高的直线方程分别为：AD：x0cBE：y(x b)abCF：y(x c)aca(1)(2) (3)ba解和得(x b)(x c),(b c)x0b c(b0,c0)∴x0这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。

三角形三条高线交于一点的六种证明方法一、欧拉线证明法：欧拉线证明方法是最常见的证明三角形三条高线交于一点的方法之一。

欧拉线又称欧拉三线，由数学家欧拉提出，并以他的名字命名。

该方法通过对三角形的边、高线和重心进行关联，最终证明三条高线交于一点。

欧拉线证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三条边的中点，分别记为D、E、F。

连接B和C的垂直平分线，交于点O。

则利用垂心定理可得，AO垂直于BC。

同理，连接A和C的垂直平分线与AB的中垂线交于点O'，连接A和B的垂直平分线与AC的中垂线交于点O"，可得BO'垂直于AC，CO"垂直于AB。

因此，三条高线通过点O、O'、O"，即证明了三条高线交于一点。

二、重心证明法：重心证明法是另一种常用的证明方法。

重心是指三角形三条中线交于一点的点，也是三角形内切圆的圆心。

通过证明三角形的三条高线交于重心，可间接证明三条高线交于一点。

重心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三个顶点与相对边的中点，分别记为D、E、F。

以点D为圆心，AC的中点D为半径画圆，与AB和BC相交于点G；以点E为圆心，AB的中点E为半径画圆，与AC和BC相交于点H；以点F为圆心，BC的中点F为半径画圆，与AB和AC相交于点I。

根据圆的性质可知，AG、BH和CI与三条高线垂直且交于一点，即证明了三条高线交于一点。

三、垂心证明法：垂心证明法是通过垂心的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。

垂心是指三角形三条高线交于一点的点，也是三角形外接圆的圆心。

垂心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接任意两个顶点的垂线。

设垂足分别为D、E、F。

连接BD、CE和AF，得到三条高线。

根据垂心定义可知，BD、CE和AF都经过垂心点H。

因此，三条高线交于一点H，即证明了三条高线交于一点。

四、费马点证明法：费马点证明法是通过费马点的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。

三角形的三线在数学的世界里，三角形是一个基础且重要的图形。

而三角形的三线，即三角形的高线、中线和角平分线，更是深入理解三角形性质和解决相关问题的关键。

让我们先来聊聊三角形的高线。

高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线。

每个三角形都有三条高线，并且这三条高线所在的直线会相交于一点。

锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形有两条高线就是它的两条直角边，另一条高线在三角形的内部；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条在内部。

高线在计算三角形的面积时非常有用。

我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以二，如果知道了三角形的底和对应的高，就能轻松算出它的面积。

接下来是中线。

中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。

一个三角形有三条中线，这三条中线也相交于一点，并且这个交点位于三角形的内部。

中线的一个重要性质是，它把三角形分成了两个面积相等的部分。

为什么呢？因为中线平分了对边，所以以中线为底边的两个小三角形，高是相同的，底边也相等，面积自然就相等了。

在解决一些与三角形面积相关的问题或者证明一些线段关系时，中线的这个性质常常能发挥很大的作用。

最后要说的是角平分线。

角平分线就是三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

每个三角形同样有三条角平分线，它们也相交于一点，这个点也在三角形的内部。

角平分线的一个重要性质是，角平分线上的点到角两边的距离相等。

这个性质在很多几何证明和计算中都是很关键的依据。

为了更好地理解三角形的三线，我们不妨通过一些具体的例子来看看。

假设我们有一个等边三角形，它的边长是 6 厘米。

由于等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是 60 度。

那么它的三条高线、中线和角平分线是重合的。

我们先求它的面积。

根据等边三角形的面积公式，面积等于根号 3 乘以边长的平方除以 4，计算可得面积约为 9 倍根号3 平方厘米。

三角形三条高线交于一点得证明证法一:运用同一法证三条高两两相交得交点就是同一点。

已知:△ABC得两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点Q,交高CF于点P。

求证:P、Q、O三点重合证明:如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽△ACF∴,即AB·AF = AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽△ADC,△AFP ∽△ADB∴,即AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE,AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∴AD·AQ = AD·AP∴AQ = AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行得直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。

证法二:连结一顶点与两高交点得线垂直于第三边,运用四点共圆性质。

已知:△ABC得两条高AD、BE相交于点O,第三条高CF交高AB于点F,连结CO交AB于点F。

求证:CF⊥AB。

证明:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°,∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。

注:证法一与证法二就是证明共点线得常用方法。

证法三:证明两条高得交点在第三条高线上,建立直角坐标系运用代数方法证明。

证明:如图6,以直线BC为x轴,高AD为y轴,建立直角坐标系,设A(0 , a) , B(b ,0) , C(c , 0),由两条直线垂直得条件解(2)与(3)得∴这说明BE与CF得交点在AD上,注:有时候考虑直角坐标系这一有力得数形结合工具可以有效地解决问题。