三角形的高线中线角平分线

数学导案授课教师齐晓宁迟源授课班级七年级授课时间2013年3月5日课题三角形的高、中线与角平分线导学目标1、理解并掌握三角形的三条线段的定义、画法以及表示方法；2、理解三角形的三条线段所表示的意义；3、体会转化数学思想。

导学重难点三角形的三条线段的画法以及表示方法导学流程个案补充一、知识互动1、三角形的高线（1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作，和之间的线段。

（2）图形：（3）表示方法：①AD是△ABC的BC边上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°（4）请画出△ABC另两条边上的高以及△MAN、△DEF的三条高，从高线的位置角度考虑，得出什么结论?2、三角形的中线（1）定义：三角形中，连接一个顶点和它对边的线段。

（2）图形：（3）表示方法：①AE是△ABC的BC边上的中线②BC EC BE 21== （4）请画出△ABC 另两条边上的中线以及△MAN 、△DEF 的三条中线，从中线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

3、三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

（2）图形：（3）表示方法：①AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线； ②BAC ∠=∠=∠2121 （4）请画出△ABC 另两条角平分线以及△MAN 、△DEF 的三条角平分线，从角平分线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。

【注】三角形的高、中线、角平分线都是 ；二垂线是 ； 角平分线是 。

二、例题讲解例1 如图1所示，图中共有 6 个三角形，若BC=CD=DE ，则AC 、AD 分别是 △ABD 、 △ACE 的中线。

图1 图2例2 如图2所示，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm ,BC=10cm，∠CAB=90°。

三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的高线。

2. AD⊥BC于D。

3.∠ADB=∠ADC=90°。

三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。

三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的中线。

2. BD=DC=12BC。

三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

三角形的重心在三角形的内部。

三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。

2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。

的内心。

三角形的内心在三角形的内部。

【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。

甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。

答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。

这道题是过B 点，垂直于AC 边。

例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。

思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。

答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。

根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。

三角形的角平分线、中线和高基础知识点拨三角形的角平分线、中线和高是三种重要的线段，在以后的学习中经常用到，为帮助大家理解好这三种重要的线段，总结如下。

一、三角形的角平分线1．定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

图1 图2如图1，画∠BAC 的平分线AD ，交对边BC 于点D ，则线段AD 是△ABC 的角平分线。

2．特征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角平分线交三角形内于一点。

如图2，线段AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条角平分线，则有∠1=∠2，∠3=21∠ABC ，∠ACB=2∠4。

3．提示：三角形的角平分线与一般角的平分线不同，三角形的角平分线是线段，而一般角的平分线是一条射线.二、三角形的中线1．定义：在三角形中，连接一顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。

如图3，连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得的线段AD 叫 做△ABC 的边BC 上的中线。

图3 图42．特征：任意一个三角形都有三条中线，这三条中线交于三角形内一点。

如图4，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，则有CD=BD ，AF=21AB ，AC=2AE 。

3．提示：三角形的中线是线段，而不是射线，也不是直线。

三、三角形的高1．定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

简称三角形的高。

如图5，从△ABC的顶点A，向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

2．特征：任意三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点。

如图5，锐角△ABC中，三条高AD，BE，CF在三角形的内部，并且它们相交于一点；如图6，直角△ABC中，高AD，BE分别与AC，BC重合，还有一条是斜边是上的高CF；如图7，钝角△ABC 中，钝角边上的两条高AD，CF在三角形外，最大边上的高BE在三角形的内。

三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。

三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。

2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。

角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。

边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。

3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。

典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。

例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。

求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。

例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。

例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。

三角形的高、中线与角平分线三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形的中线。

三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段。

三角形角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段。

D C B A D C B A 21D CB A∵AD 是△ABC 的BC 的高线.∵AE 是△ABC 的BC 的中线.∵AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. ∴AD⊥___ ∴BE=EC=12____. ∴∠1=∠2=12∠_____.∴∠ADB=∠AD C=____°.1．以下说法错误的是（ ）A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．如图1，BD=12BC ，则BC 边上的中线为______，△ABD 的面积=_____的面积．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC 中，高CD 、BE 、AF 相交于点O ，则△BOC•的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．三角形D ．正方形6．如图3，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，已知AB=5cm ，AC=3cm ，求△ABD•与△ACD 的周长之差． 7．如图，∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，且BD=CD ．• 可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 8.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地， 如图所示，•由于引进四个优良品种 进行对比试验，需将这块土地分成面 积相等的四块，请你制定出两种以上 的划分方案供选择（画图说明）． 10．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ． 1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。

三角形的高中线,角平分线的教学设计教学设计：三角形的高中线、角平分线教学目标•熟练掌握三角形高中线、角平分线的概念和性质。

•能够判断给定的三角形中是否存在高、中线、角平分线。

•能够灵活运用高中线、角平分线的性质进行图形推理和证明。

教学内容三角形的高中线•高：从三角形的顶点到与对边垂直的线段。

•中线：连接三角形两个边的中点。

三角形的角平分线•角平分线：从三角形角的顶点到对边上的一点，将角平分为两个相等的角。

教学方法•教师讲解：讲解三角形高中线、角平分线的定义、性质，举例说明，注重概念的把握和性质的理解。

•学生实践：学生在课堂上通过给定的图形进行练习并互相检查。

•学生合作：学生在小组中合作，通过讨论、交流和思考，掌握高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

教学步骤1.导入新知：引入三角形高中线、角平分线的知识，让学生了解学习的目的和意义。

2.概念解释：详细讲解高中线、角平分线的定义和性质，强调掌握概念的准确性。

3.举例说明：通过实例图形讲解高中线、角平分线的应用。

4.学生练习：让学生在课堂上通过给定的三角形进行练习，检查是否理解清楚高中线和角平分线的概念和性质。

5.学生合作：学生分组进行讨论和交流，探讨高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

6.案例分析：通过实际案例，让学生在掌握高中线、角平分线的基础上，在实际问题中运用所学知识进行解决。

7.总结回顾：简单回顾所学的知识点，对学生学习效果进行评估与归纳。

教学评价1.学生课堂练习：通过教师布置的练习题，检查学生是否理解清楚高中线和角平分线的概念和性质。

2.学生小组合作：通过小组探讨和交流，检查学生是否掌握高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

3.个人评价：通过课后作业，检查学生是否掌握高中线、角平分线的应用技巧。

教学资源•三角形高中线、角平分线的图形•高中数学教材及相关辅导书籍•练习题集•课堂讲授PPT教材参考1.高中数学1 第8章三角形的性质2.高中数学2 第5章平面向量与三角形3.沪教版高中数学第一册第八章三角形的性质下册第五章平面向量与三角形教学设计人：AI助手。