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八年级上册数学教案《三角形的高、中线与角平分线》学情分析本节课之前学生已学习了角的平分线、线段的重点、垂线和三角形的有关概念及边的性质等，在此基础上，学生进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识打下了基础。
本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等，这些知识是学习本节新知识的基础。
其中，三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，学生了解了三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
教学目的1、理解三角形的高的概念。
2、掌握三角形的高的画法。
3、掌握钝角三角形的两短边上高的画法。
教学重点三角形的高的画法、钝角三角形高的画法。
教学难点钝角三角形高的画法、等面积法的应用教学方法教学过程一、复习引入垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
你还记得过一点画已知直线的垂线的作法吗？（1）线边重合（2）平移靠点（3）画垂线（4）画垂直符号思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？二、讲授新课1、三角形的高从△ABC的顶点A，向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，顶点和垂足之间线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
思考：你还能画出一条高来吗？能，一个三角形有三条高。
（1）锐角三角形的三条高锐角三角形的三条高都在内部锐角三角形三条高的交点在内部（2）直角三角形的三条高直角三角形的两条高是直角边，另一条高在内部直角三角形的交点是直角顶点（3）钝角三角形的三条高钝角三角形的两条高在三角形外部，另一条高在内部三条高所在的直线交于三角形外一点2、三角形的中线（1）定义：连接△ABC顶点A和它所对的边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
（2）锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的中线重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的高,中线,角平分线听评课三角形是几何学中的一种基本图形，具有丰富的性质和特点。
在三角形的研究中，高、中线和角平分线是非常重要的概念和性质。
本文将分别介绍三角形的高、中线和角平分线，并探讨它们的几何性质和应用。
一、三角形的高在三角形ABC中，如果从顶点A向底边BC作一条垂线，垂足为D，则AD就是三角形ABC的高。
三角形的高具有以下几个重要性质：1. 高与底边的关系：高AD是底边BC的垂线段，所以AD⊥BC（垂直）。
这意味着高与底边之间的夹角为90度。
2. 高的长度比例：在直角三角形ABC中，高AD与斜边AC和AB的关系满足勾股定理，即AD² = AC² - CD²和AD² = AB² - BD²。
这意味着高的长度与斜边的长度有一定的比例关系。
3. 高的位置关系：三角形的高可以位于内部、外部或边上。
如果高在三角形内部，那么它与三角形的三条边都有交点；如果高在三角形外部，那么它与三角形的某条边延长线有交点；如果高在三角形的边上，那么它与另外两条边的延长线有交点。
二、三角形的中线在三角形ABC中，如果从顶点A向底边BC作一条中线，中点为E，则AE就是三角形ABC的中线。
三角形的中线具有以下几个重要性质：1. 中线与底边的关系：中线AE可以被等分为两部分，即AE = CE。
这意味着中线与底边的长度存在一定的比例关系。
2. 中线的交点：三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心G。
重心G是三角形内部的一个点，它到三角形的三个顶点的距离相等。
3. 中线的位置关系：三角形的中线可以位于内部、外部或边上。
如果中线在三角形内部，那么它与三角形的三条边都有交点；如果中线在三角形外部，那么它与三角形的某条边平行且距离相等；如果中线在三角形的边上，那么它与另外两条边平行且距离相等。
三、三角形的角平分线在三角形ABC中，如果从顶点A作一条线段AD，使得∠BAD = ∠CAD，则AD就是角BAC的角平分线。
三角形的高、中线与角平分线【知识与技能】1.掌握三角形的高、中线与角平分线定义.2.会画三角形的高、中线与角平分线.3.掌握三角形的三条高线、三条中线与三条角平分线的有关性质.【过程与方法】对学生进行操作训练，边训练边讲解，然后学以致用.【情感态度】训练同学们动手操作的能力，提高学习兴趣.【教学重点】画三角形的高线、中线与角平分线.【教学难点】画钝角三角形的高线.一、情境导入，初步认识问题1 如图，△ABC，画它的三条高.问题2 如图，△ABC，画它的三条中线.问题3如图，△ABC，画它的三条角平分线.【教学说明】对问题1，对于钝角三角形的作高要给予集体指导、分类指导，甚至要进行个别指导，以便让绝大局部同学过关.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.二、思考探究，获取新知思考 1.锐角三角形的三条高、直角三角形的三条高、钝角三角形的三条高的位置有何不同之处？2.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自有怎样的位置关系？3.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别和联系？【归纳结论】1.定义：三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，所得的垂线段叫做三角形的一条高.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的一条中线.三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与对边相交；以这个顶点和交点为端点的线段叫做三角形的角平分线.2.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点有时在形内，有时在直角顶点上，有时在形外；三角形的三条中线交于一点；三角形的三条角平分线交于一点.3.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角.三、运用新知，深化理解1.如图，AD 是△ABC 的中线；BE 是△ABC 的角平分线，CF 是△ABC 的高，填空：〔1〕BD= =21 ； 〔2〕∠ABE=∠ =21∠ ； 〔3〕∠ =∠ =90°.2.如图，△ABC 中，∠A 是钝角.〔1〕画出AC 、AB 上的高BD 、CE ；〔2〕画出∠ABC 的平分线BF ；〔3〕画出边AB 上的中线CG.3.，如图，AB ⊥BD 于B ，AC ⊥CD 于C ，且AC 与BD 交于点E.那么〔1〕△ADE的边DE 上的高为，边AE 上的高为 ；〔2〕假设AE=5，DE=2，CD=59，那么AB= .4.如下列图，等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长.“三角形的高、中线与角平分线〞后，我们知道“三角形的一条中线将原三角形分成两种相等的两局部〞.课后余老师给同学们布置了这样一道思考题：有一块三角形的厚薄均匀的蛋糕，要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，请你在图中把你的方案画出来，并说明理由.【教学说明】题1、2、3可让学生自主完成，题4、5教师可给予相应的指导当三角形两条高求其他边长或一高与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量.涉及等腰三角形边的问题时，常要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去.【答案】1.〔1〕DCBC〔2〕CBE ABC〔3〕CFA CFB2.图略. DC 29 解析：△△ADE=21DE ·AB=21AE ·DC ，即21×2×AB=21×5×95，AB=29. 4.解：设AB=AC=2x,那么AD=CD=x.(1)当AB+AD=15，BC+CD=6时，有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=1.(2)当BC+CD=15，AB+AD=6时，有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13. 因为4+4＜13，故不能组成三角形.所以三角形的腰长为10，底边长为1.5.略.四、师生互动，课堂小结三角形的高、中线与角平分线的定义与性质.请假设干名学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学以“自主探究——合作交流〞为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究，合作学习的能力。
三角形的高、中线和角平分线教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形的高、中线和角平分线的概念。
2. 让学生掌握三角形的高、中线和角平分线的性质。
3. 培养学生运用三角形的高、中线和角平分线解决问题的能力。
二、教学内容：1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
3. 三角形的角平分线：从三角形的一个顶点出发，把这个顶点的角平分成两个相等的角的射线叫做这个角的角平分线。
三、教学重点与难点：重点：三角形的高、中线和角平分线的概念及性质。
难点：三角形的高、中线和角平分线的运用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察实物，理解三角形的高、中线和角平分线的概念。
2. 采用讲解法，详细讲解三角形的高、中线和角平分线的性质。
3. 采用练习法，让学生通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示三角形的高、中线和角平分线的实物模型，引导学生思考三角形的高、中线和角平分线的概念。
2. 讲解三角形的高、中线和角平分线的定义和性质。
3. 课堂练习：让学生在纸上画出三角形的高、中线和角平分线，并判断一些特殊三角形的性质。
4. 课后作业：布置一些有关三角形的高、中线和角平分线的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角形的高、中线和角平分线在几何中的应用。
六、教学策略：1. 利用多媒体课件，展示三角形的高、中线和角平分线的动态演示，增强学生的直观感受。
2. 采用小组讨论法，让学生分组探讨三角形的高、中线和角平分线的性质，培养学生的合作意识。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在练习中不断发现规律，提高解决问题的能力。
七、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习成果评价：对学生的课堂练习和课后作业进行评价，了解学生对三角形的高、中线和角平分线的掌握程度。
三角形的高,中线与角平分线说课稿篇一：三角形高、中线与角平分线说课稿17.1.2《三角形的高、中线与角平分线》说课稿一、教材分析与学生分析（一）教材分析。
本节课是义务教育课程标准试验教科书《数学》七年级下册第十七章三角形高、中线与角平分线的知识。
本课时属于概念教学的范畴，在小学初步认识三角形的基础上，进一步学习三角形的高、中线、角平分线。
它们分别与已学习过的垂线、线段的中点、角的平分线知识有关．它既是上述知识的延续，又是后继学习重心，内切圆、等腰(边)三角形等知识的基础．在知识体系上具有承上启下的作用。
通过三角形的高、中线与角平分线的学习，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能。
（二）学生分析。
初二学生好奇心强，思维活跃。
已经具备了基本图形作图能力与简单推理能力，有一定的与人合作、归纳总结、主动探究的经验。
但学生小也存在着注意力易分散这一缺点，教师要注意创设情境，调动学生的积极性，恰当的点拨引导。
二、教学目标分析。
依据课标数学课程应致力于学生数学素养的形成与发展及对教材的剖析和学生的实际情况确定本课的教学目标为：三、教学方法分析。
根据本课教学内容运用到以几种教学方法： 1、情境教学法。
设置疑问情境，引起兴趣，激发学习欲望，活跃课堂气氛，使学生进入积极的学习状态。
2、对比教学法。
三角形的高、中线、角平分线与已学过的垂线、线段的中点，角的平分线有关，讲解时将新旧知识融合贯通，进行对比，既利于学生掌握新知，又可帮他们形成一定的知识体系。
3、启发激励教学法。
教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，要激发学生的兴趣，适时点拨，指导他们进行自主学习，进行合作探究学习，鼓励学生发言，适当表扬评价，营造民主和谐的氛围，使学生受到鼓舞，充满自信，积极思维，发展能力。
4、多媒体辅助教学法。
运用多媒体辅助教学，增强学生的直观感受，扫除学生从形象思维难以跨越到抽象思维的障碍，突出重点，突破难点。
四、学习方法分析。
依据课标的要求，学生是学习和发展的主体，数学课程必须依据学生身心发展和数学学习的特点，关注学生的个体差异和不同的学习需求，爱护学生的好奇心、求知欲，充分激发学生的主动意识和进取精神，倡导自主、合作、探究的学习方法。
三角形的高、中线与角平分线一、新课导入1.导入课题：在与三角形有关的线段中, 除了它的三边外, 还有它的高、中线和角平分线, 这节课我们来学习三角形的高, 中线和角平分线的意义、作法和发现的规律性结论.2.学习目标：(1)了解三角形的高、中线和角平分线的意义.(2)会画出三角形的高、中线和角平分线.(3)结合图形写出三种线段分别得到的相应结论.3.学习重、难点：重点：三角形的高、中线和角平分线的意义和画法.难点：结合三角形高、中线和角平分线的定义探索相应的规律结论.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第4页《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》的第1自然段.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容, 划出你认为是重点的语句.〔4〕自学参考提纲：①表述出什么是三角形的高？从三角形的一个顶点向它的对边作垂线, 所得线段叫做三角形的高.②如图1, ∵AD是△ABC的高,∴AD⊥BC于点D〔或∠ADB=∠ADC=90°〕.反之, ∵AD⊥BC于点D〔或∠ADB=∠ADC=90°〕,∴AD是△ABC中BC边上的高.③请画出以下三角形三边上的高, 并说说你有什么发现？发现：三角形的高可以在三角形内, 也可以在三角形边上, 还可以在三角形外.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：三角形的高, 这局部知识实际上是探讨线与线之间的位置关系, 学生会作锐角三角形的高, 但直角三角形、钝角三角形三边上的高线, 学生容易混淆, 所以应跟踪学情点拨引导.②差异指导：引导学生找准要作哪条边上的高, 及掌握直角三角板的两条直角边的用法.〔2〕生助生：学生互助交流不同类别三角形的高的画法.4.强化：〔1〕强调三角形的高线是一条线段.〔2〕作三角形高的方法.〔3〕练习：如图, 写出以AE为高的三角形.解：△ABE, △ABD,△ABC,△AED,△AEC,△ADC.1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第4页《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》的第2自然段到第5页的第1自然段.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容, 结合图形划出你认为是重点的语句及存有疑点之处.〔4〕自学参考提纲：①连接三角形一个顶点和它对边中点的线段, 叫做三角形的中线.②结合右图填空：∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD=1BC.2S△ABC.∴S△ABD=S△ADC=12反之：∵BD=DC, ∴AD是△ABC的中线.③画出以下三角形三边的中线, 说说你的发现.发现：它们的中线都在三角形内部且相交于一点.④要找到一块质地均匀的三角形钢板的平衡点, 你应怎样做？作它的三条中线, 交点即为平衡点〔即重心〕.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：重点了解学生对画中线的根本步骤, 及三条中线交于一点即重心的掌握.②差异指导：引导学生寻找画中线的方法：a.先要找准边的中点；b.连接该中点与这边所对的顶点的线段.〔2〕生助生：学生相互讨论交流学习疑难点.4.强化:〔1〕强调三角形的中线是一条线段.〔2〕三角形的中线的概念和中线的画法.〔3〕练习：如下图, AM是△ABC的中线, 假设△ABM的面积是20平方厘米, 求△ABC的面积.S△ABC=2S△ABM=40平方厘米1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第5页图11.1-5到“练习〞前的内容.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容, 结合图形完成参考提纲.划出你认为重点的语句和学习疑点.〔4〕自学参考提纲：①定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交, 这个角的顶点与对边上的交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线.②结合右图填空：∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2=1∠BAC.2反之, ∵∠1=∠2, ∴AD是△ABC的角平分线.③如右图, △ABC中, ∠B、∠C的平分线相交于O, ∠A=70°, 那么∠BOC=125°.④画出以下三角形的三条角平分线, 你有什么发现？发现：三角形的角平分线都在三角形内部且相交于一点.⑤你怎样来区别三角形的高线、中线、角平分线？三角形的高线垂直于三角形的边;三角形的中线平分三角形的边；三角形的角平分线平分三角形的角.2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.3.助学:〔1〕师助生：①明了学情：三角形的角平分线是探究角之间的数量关系, 学生已经掌握了量角器的用法, 能很快地画出一个角的角平分线.②差异指导：引导学生从概念、画法等方面区别高线、中线、角平分线.〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助解决学习中的疑惑.4.强化:(1)三角形的角平分线的概念及其画法.(2)练习：①, AD是△ABC的中线, AE是∠BAC的平分线, 那么BD＝DC＝12BC,∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC.②, BD是△ABC的角平分线, DE∥BC, ∠DBC＝20°, 求∠AED.解：∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠DBC=12∠ABC.∵DE∥BC,∠DBC=20°,∴∠AED=∠ABC=2∠DBC=40°.三、评价1.学生自我评价〔围绕三维目标〕：学生交流自己的学习收获和存在的困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、学习成果及存在的缺乏进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价〔教学反思〕:本课时教学以“自主探究——合作交流〞为主体形式, 先给学生独立思考的时间, 提供学生创新的空间与可能, 再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机, 培养学生独立探究, 合作学习的能力.一、根底稳固〔每题10分, 共50分〕1.三角形的高、中线和角平分线都是〔C〕2.如图,在△ABC中, AD是角平分线, AE是中线, AF是高, 那么:(1)BE=EC=12BC；(2)∠BAD=∠DAC=12∠BAC；(3)∠AFB=∠AFC=90°；(4)△ABC的面积=12BC·AF.3.如图, 在△ABC中, AD平分∠BAC且与BC相交于点D, ∠B=40°, ∠BAD=30°, 那么∠C的度数是80°.4.以下说法错误的选项是〔A〕D.一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点5.如下图, 在△ABC中, ∠1＝∠2, G为AD的中点, 连接BG并延长, 交AC于点E, CF⊥AD于点H, 交AB于点F.以下说法中, 正确的有〔A〕①AD是△ABE的角平分线②BE是△ABD的边AD上的中线③CH是△ACD的边AD上的高.二、综合应用〔每题10分, 共20分〕6.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为多少度？解：如图, △ABC中, ∠B=90°,AD、CE是△ABC的角平分线, 那么∠DAC+∠ECA=12〔∠BAC+∠BCA〕=45°,∴∠AFC=180°-(∠ECA+∠DAC)=135°.所以直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为135°.7.如图, AD是△ABC的边BC上的中线, AB=5cm,AC=3cm.△ABD的面积为acm 2,(1)S △ABC=2acm 2；(2)△ABD 与△ACD 的周长之差为2cm.三、拓展延伸〔每题15分, 共30分〕△ABC 中, AD 是∠A 的平分线, DE ∥AC 交AB 于E, EF ∥AD 交BC 于F, 试问EF 是△BED 的角平分线吗？说说你的理由.解：EF 是△BED 的角平分线, 理由如下：∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠1=∠2.∴DE ∥AC,∴∠5=∠2=∠1. ∵EF ∥AD,∴∠3=∠5,∠4=∠1,∴∠3=∠4,∴EF 是△BED 的角平分线.△ABC 中, ∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D, AB=13,CD=6,BC=10, 求AC 的长.解：∵S △ABC=12AB·CD=12AC·BC, AB=13,CD=6,BC=10, ∴AC=AB CD BC •=13610⨯=7.8. 三角形全等的判定一、教学目标知识技能1掌握三角形全等的“ASA 和AAS 〞条件.2.能初步应用ASA 和AAS 〞条件判定两个三角形全等.数学思考1.使学生经历探索三角形全等条件的过程, 体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.2.在探索三角形全等条件及其运用过程中, 能够进行有条理的思考并进行简单的推理.解决问题会用ASA 和AAS 〞条件证明两个三角形全等.情感态度1.通过探索和实际的过程体会数学思维的乐趣,激发应用数学的意识.2.通过合作交流,培养合作意识,体验成功的喜悦.二、教学方法探究式、讨论式三、教学手段多媒体辅助教学.四、教学过程Ⅰ、创设情境, 引入新课一天, 小明的妈妈叫他去玻璃店画一块三角形玻璃,小明不小心把画的三角形玻璃打碎成了三块,他为了省事,他从打碎的三块玻璃中选一块去,小明想法能办得到吗? 假设能,你认为小明应该拿哪块玻璃去呢? 为什么?【师生行为】教师通过〔Flash课件〕展示视频内容, 提出情境问题.学生独立思考, 发表自己的见解.【设计意图】创设性的设计问题, 变“教教材〞为“用教材〞.①使学生快速集中精力, 调整听课状态.②知识的呈现过程与学生已有的生活密切联系起来, 学有用的数学, 激发学生的学习兴趣. ③使学生产生认知上的冲突, 从而引入本课课题, 明确本节课的探究方向, 激发学习欲望.Ⅱ、实践操作、探索新知问题1、如图, △ABC是任意一个三角形, 画△A1B1C1,使A1B1=AB,∠A1=∠A,∠B1=∠B把画得△A1B1C1剪下来放在△ABC进行比拟, 它们是否重合？问题2、如图,△ABC是任意一个三角形, 画△A1B1C1,使A1C1=AC, ∠A1=∠A,∠B1=∠B, 请你猜想△A1B1C1与△ABC是否全等? 假设它们全等,你能用"ASA"来证明你猜想结论成立吗?【师生行为】教师提出问题, 学生思考问题, 动手实践、小组讨论、交流.学生在探索过程中, 难免有困难, 教师要鼓励学生争论和启发引导下及时作出正确的结论. 教师通过动画演示作图过程. 得出结论：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA〞〕用数学语言表示为：在△ABC与△A1B1C1中∠A=∠A1AB=A1B1∠B=∠B1∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)【设计意图】对于问题1, 因为学生已经在学习“SSS〞条件有了一定的作图和探究图形的根底. 所以这里就直接提出问题让学生动手操作, 教师适时引导. 对于问题2, 学生在问题1的根底上通过类比思想可以得出结论. 〔即：可以通过"角边角"(ASA)来证明在△ABC和△A1B1C1中因为∠A1=∠A,∠B1=∠B所以∠C1=∠C在△ABC与△A1B1C1中∠A=∠A1AC=A1C1∠C=∠C1∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)〕让学生在合作学习中共同解决问题, 使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力. 培养学生的合作意识和竞争意识. 体会合作交流的重要性.Ⅲ、例题讲解、应用新知例1、如图,点D在AB上, 点E在AC上, BE和CD相交于点O, AB=AC,∠B=∠C,求证：BE=CD例2、例2、如图, 海岸上有A、B两个观测点, 点B在点A的正东方, 海岛C在观测点A的正北方, 海岛D在观测点B的正北方, 从观测点A看C, D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C, D的视角∠CBD相等, 那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等, 为什么？【师生行为】先让学生独立思考, 在互相讨论、交流.然后引导学生分析题设中的条件, 以及两个三角形全等还需要的条件, 判断两个三角形全等的过程.证明：〔1〕在△ADC和△AEB中,∠A=∠A 〔公共角〕AC=AB∠C=∠B∴△ACD≌△ABE (ASA)∴AD=AE 〔全等三角形的对应边相等〕又AB=AC∴BE=CD证明：〔2〕∵∠CAD=∠CBD, ∠1=∠2∴∠C=∠D.在△ABC与△BAD∠CAB=∠ABD〔〕∠C=∠D 〔已证〕AB=BA 〔公共边〕∴△ABC≌△BAD〔AAS〕∴AC=BD即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等【设计意图】培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力, 会用“ASA或AAS“判断三角形全等, 标准地书写证明过程. 培养学生合情合理的逻辑推理能力, 语言表达能力, 标准地书写证明过程.培养学生的符号感, 体会数学知识的严谨性. Ⅳ、课堂练习、稳固新知1、如图1,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃, 那么最省事的方法〔〕A、选①去,B、选②C、选③去2、如图2, O是AB的中点, 要使通过角边角〔ASA〕来判定△OAC≌△OBD, 需要添加一个条件,以下条件正确的选项是(〕A、∠A=∠BB、AC=BDC、∠C=∠D3、如图, 要测量河两岸相对的两点A、B的距离, 可以在AB的垂线BF上取两点C、D, 使BC=CD, 再定出BF 的垂线DE, 使A, C, E在一条直线上, 这时测得DE的长度就是AB的长度, 为什么？4、如图, AB⊥BC, AD⊥DC, ∠BAC=∠CAD, 求证：AB=AD【师生行为】教师提出问题. 学生思考、交流, 解答问题. 教师正确引导学生正确运用〞ASA/AAS条件来解决实际问题. 针对练习可以通过让学生来演示结果, 形成共识.【设计意图】使学生正确地理解定理, 并能用它来解决实际问题. 稳固知识, 及时了解学生掌握定理的情况.Ⅴ、反思小结、布置作业1、通过本节课你学到了哪些内容？你有何收获？2、判断两个三角形全等有哪些方法呢？【师生行为】教师以问题的形式提出, 让学生归纳、总结所学知识, 进行自我评价, 自我总结.学生把作业做在作业本上, 教师检查、批改.【设计意图】通过回忆本节课的所学内容, 从知识、技能、数学思考等方面加以归纳, 有利于学生掌握、运用知识.教学反思《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆, 学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流, 以促进学生自主、全面、可持续开展〞.数学教学是数学活动的教学, 是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同开展的过程, 是“沟通〞与“合作〞的过程.本节课我结合情景问题自然地引入课题, 让学生亲身体验到数学知识来源于实践, 从而激发学生的学习积极性.为学生提供了大量的操作、思考和交流的学习时机,通过“画图〞——“观察“——“操作〞——“交流〞发现“ASA/AAS〞定理. 在信息社会, 信息技术与课程的整合必将带来教育者的深刻变化.我充分地利用多媒体教学, 为学生创设了生动、直观的现实情景, 具有强列的吸引力, 能激发学生的学习欲望.本节课, 通过情景引入问题, 让学生亲身体验、动手操作来探究三角形全等的条件. 整个探索过程, 不仅教师引导学生的过程, 同时也是教师从学生的角度考虑问题, 顾及全面、充分准备好自己的心理提升.缺乏之处：本节课安排学生的活动较多, 教师必须准备到位, 操作有序、收放自如. 教学中出现学生有自己的语言描述时、语言不够准确简练, 描述不够完整等等, 都需要教师及时纠正.。
第二讲三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念。
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法。
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法。
【温故知新】1.垂线的定义2.线段中点的概念3.角平分线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段中点。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
【新课学习】知识点1：三角形的高1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2.如图所示，AD是边BC上的高。
3.三角形的高的做法：锐角三角形的高直角三角形的高钝角三角形的高4. 三角形的三条边上的高的交点锐角三角形的高交于三角形内部一点；交点在内部的三角形是锐角三角形。
直角三角形的高交于直角顶点；交点在顶点的三角形是直角三角形。
钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点。
交点在外部的三角形是钝角三角形。
5.与三角形高相关的解题方法（1）记住三角形面积公式=BC AD/2（2）等面积法。
=BC AD/2= AC BE/2= AB CF/26.例题演练【例题1】如图，于点B，于点C，且AC与BD相交于点E，则的边DE上的高是____，边AE上的高是_____；若，，，则______．【答案】AB；DC；．【解析】的边DE上的高为线段AB，边AE上的高为线段DC．知识点2：三角形的中线1. 三角形的中线定义在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线.2. 三角形的重心.每一个三角形都有三条中线，并且三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.【例题2】在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长。
【答案】20cm.【解析】∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.知识点3：三角形的角平分线1.三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.注意：“三角形的角平分线”是一条线段.如上图线段AD是∠A的平分线。
2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页授课教师：临川一中陈良琴[教材分析]1、本节教材的地位与作用：学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线．通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的．2、教学重点：能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点：在钝角三角形中作高．4、教学关键：运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。
[教学目标]基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：（1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．（2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．[学情分析]七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养．[教学过程]本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．一、创设情境，引入新课为了迎接“阳光体育与奥运同行”活动，同学们利用课外活动时间积极参加体育锻炼，小希和皮皮进行了跳远训练．那么如何测量他们的跳远成绩呢？过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?（引出三角形高）数学来源于生活．通过学生身边的跳远，激发学生好奇心和强烈的求知欲，让学生在生动具体的情境中学习数学．二、合作交流，探究新知活动1(一)探究三角形的高1．三角形高的定义：（你能描述三角形的高吗？）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，在△ABC 中，AD⊥BC , 点D 是垂足，AD是△ABC的一条高．2．做一做：（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有怎样的位置关系）（（可以反过来画好高后，找哪条边上高））3．议一议：（使折痕过顶点，,顶点的对边边缘重合）如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们的高有几条？它们又有什么样的位置关系？4．练一练：（1）AD为ABC∆的高，则ADB∠=∠=（2）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形（3）在下图中，正确画出△ABC中BC边上高的是（）．借助学生对问题的解决，唤醒学生对三角形的高的认识与确认，有助于新知的解决，并且发展学生的观察力与语言表述能力．通过折或画出三角形的高，提高学生的基本作图能力，发展其空间观念．小组合作交流，并通过观察、猜想经历知识的发展形成过程，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究．设计练习，使学生对三角形高的的有关知识加以巩固，让学生从运用所学知识解决问题的过程，获得成功的体验，从而激发他们学习的积极性．教学环节教学过程设计意图二、合作交流，探究新知活动2(二)探究三角形的中线问题1：你能将ABC分为面积相等的两个三角形吗？（引出三角形中线）1．三角形中线的定义：三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．）如图，D是BC的中点，则线段AD是△ABC的中线，此时有BD=DC=21BC．2．做一做：你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些发现？与同伴交流．（分组合作交流）3．练一练：如图，AD、BE为△ABC的中线交于点G,连结CG,并延长交AB于点F.(1)则AC= AE= EC，CD= , AF= AB.(2)若S△ABC=12cm2，则S△ABD= .通过解决面积问题，由三角形高自然引入三角形的中线，培养学生动脑、动手能力，语言表达能力．让学生继续动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，并且在这个过程中学会与人合作．重点考察：①学生对三角形中线定义的理解及运用；②学生对图形的观察能力及数形结合的能力活动3(三)探究三角形的角平分线问题：准备一个三角形纸片ABC ，按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2两部分．观察∠1和∠2有什么关系？（由学生动手操作，观察思考，引出三角形的角平分线）1．三角形角平分线定义：三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图,BD是∠BAC的角平分线,那么有∠ABD=∠DBC=21∠ABC2.做一做:(分组合作,交流讨论)（准备三个三角形）(1) 你能分别画出或折出这三个三角形的角平分线吗?(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?3.练一练:如图，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ，∠3=21，∠ACB=2从学生熟悉的折纸入手，为三角形的角平分线的学习作铺垫。
提高学生对不同知识点的识别能力，感受数学语言的准确性。
通过折出或用量角器、直尺画出角平分线，提高学生的作图能力，并从中体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究。
教学环节教学过程设计意图B 'CBA三 ． 拓 展 创 新 ， 挑 战 自 我1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 是( )A.边BB ′上的中线B.边BB ′上的高C.∠BAB ′的角平分线D.以上答案都正确2．一个残缺的三角形残片如图2所示，，请你作出AB 边上的高所在的直线．你是怎样作的？为什么？如果不恢复这个缺角呢?前面基础练习之后，通过生活实例的解决，让学生感受数学和生活的联系及数学在生活中的重要性，充分体现数学来源于生活又还原于生活．让学生多角度、全方位发挥其思维的深度和广度．四． 课堂小结 ， 感悟反思学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结．（辅以几何画板动画来演示，加深学生对这三种重要线段的理解） 在此活动中，教师应重点关注：（1）不同学生总结知识的程度和能力； （2）对练习中反馈的信息及时处理．五． 走出课堂，应用数学1．课本P66 练习1、22．数学趣味题：要载7棵树，请你来帮忙，每行栽3棵，恰好成6行．同学们，你能想出几种栽法吗？发挥教材的扩张作用，培养学生的发散思维能力和对数学的兴趣． 六． 板书设计7．1．2三角形的角平分线、中线和高三角形的高线三角形的 中线三角形的 角平分线基本图形：性质：三角形的三条高所在的直线交于一点．三角形的三条中线交于一点．三角形的三条角平分线交于一点．要点出一点：三高（所在直线）、三中线、三角平分线分别交于一点！图1§7.1.2三角形的高、中线与角平分线·教案说明临川一中：陈良琴一．【授课内容的数学本质与教学目标定位】本节课是在小学初步认识三角形的基础上，又具体介绍了三角形的有关概念和三角形三边的，初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征，会简单的说理．三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关．它既是上学期所学线段、角、相交线以及平行线等知识的延续，又是后继学习内切圆及等腰三角形等知识的基础．在知识体系上具有承上启下的作用．《数学课程标准》指出：“有意义的学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆”．动手实践、自主探究、合作交流是学习数学的重要方式．为了充分体现新课标的要求，培养学生的动手实践能力、逻辑思维能力，因此本节课的设计上充分让学生从生活中体验数学的无处不在，运用数学无时不有，激发学生的学习兴趣，自然地将学生的思维引入本节课的学习重点，顺利的突破难点，为学生的有效思维营造一个广阔的空间．从而实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展．基于上述分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：（1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线所在直线、三条角平分线、三条中线会交于一点．（2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．二．【学习内容的基础以及今后有何用处】学生在前面已学习了角的平分线、线段的中点、垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形．为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线．通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形性质的基础．故学好本节内容是十分必要的三．【教学诊断分析】1．本课时内容教学重点主要是正确了解三角形的三种重要线段——高、中线、角平分线，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望．但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，学生的空间观念还没有充分地建立起来，对高的认识以及如何作出三角形的高有一定的难度，特别是对钝角三角形高的认识更是有一定的难度．而突破难点的关键是运用好数形结合的数学思想，让学生从折纸或画图入手，获得三种线段的直观形象，进一步架起数与形之间的桥梁，加强知识间的相互联系．2．三角形的高、角平分线与垂线、角的平分线有很强的联系，但又有区别，故要用类比法讲清其联系与区别，加深对所学知识的理解，又复习已学内容．3．小组讨论、合作探究，既可让学生互相启发，互相促进，积极交流，表达思想又可促进数学思考，扩大和加深对问题的认识，本节课中我让学生以小组进行探究，归纳图形特征，做到仔细观察，大胆探索，勇于发现，抽象概括．让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，从而改变学生学习的方式，发展创新思维能力．4．数学《课程标准》要求学生“能认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值”．基于这点，我设计了一些利用三角形这三种重要线段性质解决生活实例，让学生感受数学和生活的联系及数学在生活中的重要性，充分体现数学来源于生活又还原于生活．让学生多角度、全方位发挥其思维的深度和广度，发挥教材的扩张作用，培养学生的发散思维能力．四．【本节课的教法特点以及预期效果分析】1．情境创设法：利用同学们身边的跳远成绩的测量，引出三角形的特殊线段，使数学能密切联系实际体现知识的形成和应用过程．以实际问题为出发点和归宿，更能贴近学生生活，体现由具体到抽象再到具体的过程，以激发学生对学习本节内容的求知欲，培养他们运用所学知识解决问题的能力．2．加强新旧知识的联系：三角形的高、中线、角平分线与已学过的垂线、线段的中点，角的平分线有关，讲解时将新旧知识融合贯通，既利于学生掌握新知，又可帮他们形成一定的知识体系，进一步丰富了学生对图形的认识和感受．3．加强学生学习的主动性与探究性：课堂上通过同学们在折纸、画图等实践活动中充分调动学生自主学习的潜能，丰富学生对此内容的体验和理解，同时发展他们的空间观念，从而发展他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦．当学生在探究过程中遇到困难时，我层层设问，启发诱导，设计适当的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不是替代他们思考，并鼓励探究多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获．4、运用多媒体等作为教辅工具：运用flash演示画图、折纸以及用几何画板展示三角形三条重要线段的位置变化，增强学生的直观感受，扫除学生从形象思维难以跨越到抽象思维的障碍，突出重点，突破难点．。
