格子Boltzmann

格子boltzmann方法
格子Boltzmann方法是一种基于格子模型的统计力学方法，用于计算和模拟多体系统的平衡态和非平衡态性质。

它以物质由大量的微观粒子组成的假设为基础，通过在一个分割成小格子的空间中定义离散的状态，并考虑这些粒子之间的相互作用来描述系统的行为。

在格子Boltzmann方法中，将系统中的宏观性质与微观粒子的状态之间建立联系。

通过定义一个格子上的离散状态，如在每个格子上确定粒子是否存在或具有某些属性，并通过考虑粒子之间的相互作用以及它们在不同的状态之间转移的过程，可以模拟出系统的动力学行为。

这种方法常用于模拟气体动力学、流体力学、固体力学等领域。

格子Boltzmann方法的优点在于它能够处理复杂多体系统，并在很大程度上简化了真实系统的描述。

它可以考虑系统中的不均匀性，如存在的物理场的作用，并可以模拟非平衡态及各种传输过程，如热传导、质量传输等。

格子Boltzmann 方法还可以通过调节格子模型的分辨率以及模型参数的选择来适应不同尺度和
条件下的模拟需求。

然而，格子Boltzmann方法也有一些局限性，如对于高密度和高速度流体的模拟需要更细致的离散化格子，会增加计算复杂度。

此外，由于需要离散化描述系统，格子Boltzmann方法在处理连续和非连续性质之间的界面时可能存在困难。

因此，在具体应用时需要综合考虑这些因素，并结合其他技术和方法进行分析和模拟。

地 质 重 点 实 验 室 开 放研 究 基 金 课 题 “ 隙 裂 隙介 质 中 多 相 流 体 逾 渗 模 型 及 数 值 模 拟 ” ２ １ ． ２ ｌ ． ２ 孔 （０ ０ １ Ｏ １ １ ）
７ ６ 邻 节 点
大 学 数 学
第２ ７卷
） 撞 ， 一 个 节 点 上 从 相 邻 节 点 运 动 来 的 粒 子 发 生 碰 撞 ， 据 质 量 、 量 和 能 量 守 恒 规 则 改 碰 在 根 动
其 中 ｒ 松弛 时间 尺度 ， 制达 到平衡 的速 度 （ 是 控 可根据 需 要 进行 设 置 ） 由于稳 定 性 的原 因 ， 过 实 际测 ， 经 算 ｒ必须 大于 １ｅ ／．
事 实 上 不 同 的 网 格 剖 分 有 着 不 同 的平 衡 分 布 函数 ， Ｂ 建 立 模 型 的 核 心 问 题 就 是 根 据 不 同 的 网 格 Ｌ Ｍ
［ 键 词 ］ 格 子 Ｂ ｌ ｍａ ｎ方 法 ； 衡 态 分 布 函 数 ； Ｑ 关 ｏｔ ｎ ｚ 平 Ｄ２ ９模 型 ； ａ ｉ — ｔｋ ｓ 程 ； 流一 扩 散 方 程 Ｎ ｖｅ Ｓｏ ｅ 方 ｒ 对 ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ２ １ ８ 中 ４ ．２ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １７ —４ ４ ２ １ ） ３０ ７ —８ 文 ６ ２１ ５ （０ １ ０ —０ ５０
在 低 Ｍａｈ 马赫 ） 的假 设下 （ ｌ ｃ）其 中粒子平 衡态 分布 函数 为 ｃ（ 数 Ｉ ， Ｕ《
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第２ ７卷 第 ３期

格子玻尔兹曼方法格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它通过模拟流体微观粒子在格子空间上的运动来描述流体的宏观行为。

相比传统的有限元方法和有限差分方法，格子玻尔兹曼方法具有较好的并行性能和适应性，特别适用于多孔介质流动、复杂边界条件下的流动以及多相流等问题的模拟。

格子玻尔兹曼方法的基本思想是将流体系统离散化为一个个小的流体微团，这些微团在空间网格上运动，并通过碰撞和迁移过程来模拟流体宏观行为。

在每个时间步长内，微团在空间网格上按照一定的规则进行迁移，并在碰撞过程中遵循玻尔兹曼方程，通过碰撞和迁移过程来模拟流体的宏观行为。

通过在空间网格上迁移和碰撞的过程，可以模拟出流体的宏观运动规律，从而实现对流体流动的模拟和计算。

格子玻尔兹曼方法的优势之一是其较好的并行性能。

由于其基于网格的离散化特性，格子玻尔兹曼方法在并行计算上具有天然的优势，能够有效地利用多核、多节点的计算资源，实现对大规模流体问题的高效模拟。

这使得格子玻尔兹曼方法在计算流体力学领域得到了广泛的应用，特别是在大规模流体模拟和高性能计算方面具有很大的优势。

另外，格子玻尔兹曼方法在处理复杂边界条件和多相流问题上也具有一定的优势。

由于其基于微观粒子动力学的特性，格子玻尔兹曼方法能够比较灵活地处理复杂的边界条件，如固体边界、移动边界等，同时也能够较为方便地模拟多相流体的运动，包括气液两相流、多组分流体等，这使得格子玻尔兹曼方法在工程领域的应用具有广阔的前景。

总的来说，格子玻尔兹曼方法作为一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，具有较好的并行性能和适应性，特别适用于多孔介质流动、复杂边界条件下的流动以及多相流等问题的模拟。

它在大规模流体模拟和高性能计算方面具有很大的优势，同时也能够比较灵活地处理复杂的边界条件和多相流问题，因此在工程领域具有广泛的应用前景。

格子玻尔兹曼方法的发展将为流体力学领域的研究和工程应用带来新的机遇和挑战。

一、概述在统计物理学中，格子Boltzmann模型是一种用于研究粒子在晶格上动力学行为的模型。

在正常的Boltzmann统计力学中，粒子的分布是随机的，而多分布格子Boltzmann模型则引入了多个分布函数，用于描述粒子在不同的晶格上的分布情况。

本文将着重介绍多分布格子Boltzmann模型的相关理论和应用。

二、多分布格子Boltzmann模型的基本概念1. 格子Boltzmann模型的基本原理格子Boltzmann模型最早由硅谷大学的研究者提出，其基本原理是将晶格看作是一个离散的空间，粒子在晶格上的位置和动量也是离散的。

而多分布格子Boltzmann模型则是在每一个晶格上引入一个分布函数，用于描述该格子上粒子的分布情况。

2. 多分布格子Boltzmann模型的表达式多分布格子Boltzmann模型的表达式可以写成如下形式：\[ f_i(\mathbf{r},t) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ijk}\phi_{ik}(\mathbf{r},t)\]其中，\( f_i(\mathbf{r},t) \)表示晶格i上粒子的分布函数，\( \alpha_{ijk}\)为一个系数，\( \phi_{ik}(\mathbf{r},t) \)为关于晶格i 上粒子的分布函数。

通过引入多个分布函数，我们可以更准确地描述粒子在不同晶格上的动力学行为。

3. 多分布格子Boltzmann模型的演化方程多分布格子Boltzmann模型的演化方程可以写成如下形式：\[ \frac{\partial f_i}{\partial t} + \mathbf{v}_i \cdot \nabla f_i = \frac{1}{\tau_i}(f_{i, eq} - f_i) \]其中，\( f_{i, eq} \)为平衡态分布函数，\( \tau_i \)为弛豫时间。

这个方程描述了不同晶格上粒子的分布函数随时间的演化情况，是多分布格子Boltzmann模型的关键之一。

格子Boltzmann方法的原理与应用1. 原理介绍格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann Method）是一种基于格子空间的流体模拟方法。

它是通过离散化输运方程，以微分方程的形式描述气体或流体的宏观运动行为，通过在格子点上的分布函数进行更新来模拟流体的动态行为。

格子Boltzmann方法的基本原理可以总结为以下几点：1.分布函数：格子Boltzmann方法中，将流场看作是由离散的分布函数表示的，分布函数描述了在各个速度方向上的分布情况。

通过更新分布函数，模拟流体的宏观行为。

2.离散化模型：为了将连续的流场问题转化为离散的问题，格子Boltzmann方法将流场划分为一个个的格子点，每个格子点上都有一个对应的分布函数。

通过对分布函数进行离散化，实现流场的模拟。

3.背离平衡态：格子Boltzmann方法假设流体运动迅速趋于平衡态，即分布函数以指定的速度在各个方向上收敛到平衡分布。

通过在更新分布函数时引入碰撞过程，模拟流体的运动过程。

4.离散速度模型：分布函数描述了流体在各个速度方向上的分布情况，而格子Boltzmann方法中使用的离散速度模型决定了分布函数的更新方式。

常见的离散速度模型有D2Q9、D3Q15等。

2. 应用领域格子Boltzmann方法作为一种计算流体力学方法，已经在各个领域得到了广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：2.1 流体力学模拟格子Boltzmann方法具有良好的可并行性和模拟精度，适用于复杂流体流动的模拟。

它可以用于模拟包括自由表面流动、多相流动、多物理场耦合等在内的各种复杂流体力学问题。

2.2 细胞生物力学研究格子Boltzmann方法在细胞力学研究中也有广泛应用。

通过模拟流体在细胞表面的流动，可以研究细胞运动、变形和介观流的形成机制。

格子Boltzmann方法在细胞生物力学领域的应用已成为一个重要的研究方向。

2.3 多相流模拟格子Boltzmann方法在多相流动模拟中的应用也非常广泛。

格子boltzmann方法格子玻尔兹曼方法是一种常用的数值计算方法，它主要用于模拟稀薄气体等流体力学问题。

下面我将从方法原理、模拟过程和应用领域三个方面详细介绍格子玻尔兹曼方法。

首先，格子玻尔兹曼方法基于玻尔兹曼方程和格子Boltzmann方程，通过将连续的物理系统离散化为网格系统进行模拟。

网格系统中的每个格子代表一个微观粒子的状态，而碰撞、传输和外部力的作用通过计算和更新这些格子的状态来实现。

该方法主要包含两个步骤：碰撞和传输。

在碰撞过程中，格子中的粒子通过相互作用和碰撞来改变其速度和方向，从而模拟了分子之间的碰撞过程。

在传输过程中，碰撞后的粒子根据流体的速度场进行移动，从而模拟了背景流场对粒子运动的影响。

其次，在格子玻尔兹曼方法中，模拟的过程可以简化为两个部分：演化和碰撞。

在每个时间步长内，系统首先根据粒子速度和位置的信息计算出相应格点上的分布函数，然后通过碰撞步骤更新这些分布函数以模拟粒子之间的碰撞效应。

通过迭代演化和碰撞步骤，系统的宏观行为可以得到。

格子玻尔兹曼方法中最常用的碰撞操作是BGK碰撞算子，它根据粒子的速度和位置信息计算出新的分布函数，并用该新分布函数代替原来的分布函数。

而在传输过程中，粒子通过碰撞后得到的新速度和方向进行移动。

最后，格子玻尔兹曼方法在流体力学领域具有广泛的应用，特别是在稀薄气体流动、微纳尺度流动和多相流等问题中。

由于其适用于模拟分子尺度和介观尺度流动问题，因此在利用普通的Navier-Stokes方程难以模拟的问题中表现出了良好的效果。

此外，格子玻尔兹曼方法还可以用于模拟流动中的热传导问题、气体分子在多孔介质中的传输问题以及颗粒与流体相互作用等多种复杂流动现象。

近年来，随着计算机性能的不断提高，格子玻尔兹曼方法也得到了快速发展，在模拟大规模真实流体问题方面取得了不错的结果。

总结来说，格子玻尔兹曼方法通过将连续的物理系统离散化为网格系统，模拟粒子碰撞和传输过程，实现了对流体力学问题的数值模拟。

第46卷 第1期华北理工大学学报(自然科学版)V o l .46 N o .12024年01月J o u r n a l o fN o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )J a n .2024收稿日期:2023-03-17 修回日期:2023-12-18基金项目:国家自然科学基金项目(32070669)㊂ 第一作者:陈梦涵,女,硕士研究生㊂研究方向:应用数理统计㊂E -m a i l :2094953965@q q .c o m. 通讯作者:王希胤,男,博士,教授㊂研究方向:生物信息学㊂E -m a i l :w a n g x i y i n @v i p.s i n a .c o m. D O I :10.3969/j.i s s n .2095-2716.2024.01.013文章编号:2095-2716(2024)01-0103-08K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解陈梦涵,王希胤,李金(华北理工大学理学院,河北唐山063210)关键词:K d V 方程;D 1Q 5模型;格子B o l t z m a n n 方法摘 要:浅水波模型被广泛地用于模拟水波传播的动力学行为㊂很多问题,如强非线性问题㊁非平衡问题㊁实际应用中发生的问题等,使得传统的理论研究手段通常无能为力㊂文章首先给出了格子B o l t z m a n n 方法(L B M )的基本理论,然后利用经典的一维五速度(D 1Q 5)的离散速度模型,给出K o r t e w e g -d eV r i e s (K d V )方程中含有修正项的格子B o l t z m a n n (L B )模型推导公式,最后进行数值模拟,将K d V 方程的精确解和模拟解进行比较,然后验证修正模型的精确性㊂实验结果表明,用格子B o l t z m a n n 方法对K d V 方程进行求解,其模拟解和精确解吻合度较高㊂中图分类号:O 212.1 文献标识码:A波动现象是自然界最普遍的现象之一,对于水波的研究也一直是科学和工程研究领域的重要课题㊂尽管波动问题所涉及的领域不同,但是描述波动现象的方程却是相同的㊂由于水波千姿百态,用肉眼就可以观察到,因此很早就引起了人们的注意,可以说是人们最为熟悉的一种波㊂波动是物质运动的重要形式,广泛存在于自然界㊂波动中被传递的物理量的扰动和振动有多种形式,例如,弦线中的波㊁空气或固体中的声波㊁水波㊁电磁波,等等㊂为了更加具体地研究各种波动,就产生了各种形式的波动方程,因此,浅水波方程也成为重要的研究对象之一㊂而K o r t e w e g -d eV r i e s (K d V )方程是1895年由荷兰数学家科特韦格(K o r t e w e g )和德弗里斯(d eV r i e s )在研究浅水中小振幅长波运动时共同发现的一种单向运动浅水波偏微分方程㊂在求解偏微分方程地过程中,我们经常用到的数值计算方法有:有限元法(F i n i t eE l e m e n tM e t h o d s),有限差分法(F i n i t eD i f e r e n c eM e t h o d s ),有限体积法(F i n i t eV o l u m e M e t h o d s )和格子B o l z m a n n (L B M )方法等㊂其中,有限差分法虽然相对其他三种方法而言简便易行,而且有丰富多样的离散方法,但是它在求解问题时对求解区域的适应性比较差㊂有限元法虽然采用的网格剖分更加灵活,从一定程度上讲对求解区域具有更强的适应性,但是它在求解间断问题时会受到很大的限制,达不到有限差分法的效果㊂而有限体积法可以被视为是上述两种方法的结合,虽然能够充分利用有限元网格灵活性和克服差分法对网格适应性差的缺陷,但是数值实验较难进行[1]㊂作为一种新兴的数值模拟方法,L B M 基于B o l t z m a n n 方程的离散,是一种自下而上的求解方法㊂它描述了微观粒子的碰撞和迁移,利用分布函数(一种概率密度分布函数)来确定粒子的分布,即分布函数描述了流体的宏观运动㊂近年来,由于L B M 具有计算简便㊁良好的并行性㊁处理不规则的复杂边界容易且对于源项的考虑简单等诸多优势,已经自然而然地发展成为了求解浅水波方程的一种新方法[2]㊂在以往的研究中,英国利物浦大学的教授Z h o u [3]较为全面地阐述了浅水波方程的L B M 理论,包括外力的不同处理格式㊁湍流模型的构造㊁多种边界条件的处理方法以及对于许多经典浅水波问题的验证㊂中山大学环境科学与工程学院的L i 和H u a n g [4]进行了对流-扩散方程与浅水波方程耦合的研究,并采用L B 的多松弛模型和双松弛模型分别对流场和污染物场进行了模拟㊂文献[5]提出了一类粘性浅水方程的晶格B o l t z m a n n (L B )模型,该模型采用源项的二阶矩来恢复控制方程中的粘性,并消除C h a p m a n -E n s k o g 分析过程中产生的附加误差㊂文献[6]建立了一种适用于浅水方程的晶格玻尔兹曼模型(L A B S W E ),它用源项如床面坡度,床面摩擦力来求解方程㊂通过求解定常和非定常流动问题,验证了该模型的有效性㊂鉴于以上背景,文章首先给出了格子B o l t z m a n n 方法(L B M )的基本理论,然后利用经典的一维五速度(D 1Q 5)的离散速度模型,给出K d V 方程中含有修正项的格子B o l t z m a n n (L B )模型推导公式,最后进行数值模拟,将K d V 方程的精确解和模拟解进行比较,然后验证修正模型的精确性㊂实验结果表明,用格子B o l t z m a n n 方法对K d V 方程进行求解,其模拟解和精确解吻合度较高㊂1方法格子玻尔兹曼方法(L a t t i c eB o l t z m a n n M e t h o d)是一种基于微观介观的流体力学计算方法,适用于二维或三维流体流动问题的模拟[7]㊂图1是格子玻尔兹曼方法的流程图:其主要思想是离散化流体的分布函数,通过对分布函数的演化来模拟流体的运动㊂近年来,L B M 由于计算简单㊁并行性好㊁易于处理复杂不规则的边界及能简单方便地考虑源项等优势,已经发展成为求解浅水波方程(S W E s )的一种新方法㊂下面是格子玻尔兹曼方法的求解步骤:图1 L B M 方法流程图(1)确定格子和速度模型:首先需要确定流场的离散化格点和速度模型㊂通常情况下,将流体分成若干个小区域,每个小区域都对应一个格点,格点上有一组离散的速度向量㊂(2)定义分布函数:为了描述格点上流体的状态,引入一个分布函数g ,用来表示在每个格点上,每个速度方向上的粒子数密度㊂它是时间和位置的函数,通常用离散的速度和离散的时间步长表示㊂(3)离散B o l t z m a n n 方程:基于B o l t z m a n n 方程,对分布函数进行离散化,得到离散化的B o l t z m a n n 方程,它描述了分布函数的演化过程㊂在格子玻尔兹曼方法中,B o l t z m a n n 方程可以看成是一个简单的微分方程,其左侧是分布函数的时间导数,右侧是一个碰撞项和一个弛豫项,用于描述粒子之间的相互作用和粒子与流体之间的相互作用㊂401 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷(4)离散碰撞项和弛豫项:将碰撞项和弛豫项进行离散化,得到离散化的碰撞算子和弛豫算子㊂碰撞算子用于描述粒子之间的相互作用,而弛豫算子用于描述粒子与流体之间的相互作用㊂(5)迭代求解:通过迭代求解离散化的B o l t z m a n n 方程,计算出每个格点上的分布函数,从而得到流场的速度场和密度场㊂(6)计算宏观量:根据格点上的分布函数,可以计算出宏观量,如速度㊁密度㊁压力等㊂(7)处理边界条件:对于边界处的格点,需要根据具体的物理问题设置边界条件㊂(8)模拟结束:当达到预设的模拟时间或达到收敛条件时,模拟结束㊂2模型简介2.1 离散速度模型L B M 中一维离散速度模型最常见的是D 1Q 3模型和D 1Q 5模型[8],具体如下:(1)对于D 1Q 3模型(见图2),模型参数如下: c ң=c 01-1[], c s =c3, ωi =2/3,c i2=01/6,c i2=c 2{(1)图2 D 1Q 3离散速度模型其中,ωi 为权重系数,c =Δx /Δt 为粒子迁移速度,c s 是与当地声速相关的量㊂(2)对于D 1Q 5模型(见图3),模型参数如下: c ң=c 01-12-2[],c s =c (2) ω0=12,ω1=ω2=16,ω3=ω4=112(3)图3 D 1Q 5离散速度模型其中,ωi 为权重系数,c =Δx /Δt 为粒子迁移速度,c s 是与当地声速相关的量㊂2.2 K d V 方程将L B 模型应用于K d V 方程中,需要将K d V 方程离散化成网格上的方程组,然后通过L B 模型求解这个方程组㊂具体来说,L B 模型中的速度分布函数被定义为格点上的波高,通过计算速度分布函数在不同时间和空间的演化来模拟K d V 方程的行为㊂与传统的有限差分法和有限元法相比,L B 模型具有计算效率高㊁适合并行计算等优点,因此在模拟非线性波等问题时得到了广泛应用㊂考虑非线性偏微分方程一般形式[9]: ∂u ∂t +αu ∂u ∂x +βu n ∂2u ∂x 2-γ∂2u ∂x 2+δ∂3u ∂x3=0(4)其中,u =u x ,t ()是物质在空间x 处和时刻t 时的密度,α,β,γ,δ为参数㊂当β=0,γ=0时,方程(4)化为K d V 方程:∂u ∂t +αu ∂u ∂x +δ∂3u∂x3=0(5)501 第1期 陈梦涵,等:K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解3模型推导采用D 1Q 5模型给出K d V 方程含有修正项的L B 模型推导,给出的演化方程为: g i x ң+c ңi Δt ,t +Δt ()-g i x ң,t ()=-1τg i x ң,t ()-g e q i x ң,t ()()+Δt h i x ң,t ()(6)其中,τ表示松弛时间,c ңi 为沿着流动方向的单位速度矢量,gi x ң,t ()表示在t 时刻,位于x ң处沿着离散速度方向c ңi 运动的粒子分布函数,Δt h i x ң,t ()为修正项㊂根据参考文献[10-12],将修正函数h i x ң,t ()和平衡态分布函数g e qi x ң,t ()分别定义为: h i x ң,t ()=λ1,i u 2+λ2,iu n +1,i =0~4(7) g e qix ң,t ()=ρ1u (8)其中,λ1,i ,λ2,i 和p i 为调整参数㊂宏观变量u x ,t ()定义为[13-15]: u =ðigi (9)为了得到稳定的宏观变量u ,假设分布函数g i 也处于平衡状态,且有: u =ðig e qi =ði g 0()i =ðigi (10)由(10)可得, ði gn ()i=0,n ⩾1(11)为了能够恢复到宏观方程,平衡态分布函数g e q i 和修正函数需要满足下面几个约束条件:ðic i g e qi()=0,ðic 2i g e q i ()=c 2λu ,ðic3i g e qi ()=c 3ηu (12) ði hi=0,ði c i h i ()=c λ1u 2+c λ2u n +1,ðic2i h i ()=0(13)使用多尺度分析将方程恢复到宏观方程,引入1个离散的时间尺度和3个连续的时间尺度,其具体表达形式为:t 0,t 1=εt ,t 2=ε2t ,t 3=ε3t (14)对分布函数g i 和时间导数进行Ch a p m a n -E n s k o g 展开,可得: g i =g 0()i +εg1()i +ε2g 2()i +ε3g 3()i +O ε4()(15)∂∂t =∂∂t 0+ε∂∂t 1+ε2∂∂t 2+ε3∂∂t 3+O ε4()(16)其中,ε表示任意小的参数,在宏观方程的推导过程中,不妨假设ε=Δt ,将(6)式的左边对时间和空间进行泰勒展开,并保留Οε4()项,可得 ε∂g i ∂t +ε∂∂x c i g i ()+12ε2∂2g i ∂t 2+ε2∂2∂t ∂x c i g i ()+12ε2∂2∂x 2c 2i g i ()+16ε3∂∂t +c i ∂∂x æèçöø÷3g i =-1τg i -g e qi ()+εh i +Οε4()(17)将(15)和(16)代入(17)式中得,并对比左右两边可得ε的同阶项:可以得出,O ε()系数: g e qi =g0()i (18)O ε1()系数:601 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷∂∂x c i g e qi ()=-1τg 1()i +h i (19)O ε2()系数: ∂g e q i ∂t 1+∂∂x c i g 1()i ()+12∂2∂x 2c 2i g e qi ()=-1τg 2()i (20)O ε3()系数: ∂g e q i ∂t 2+∂g 1()i ∂t 1+∂∂x c i g 2()i ()+∂2∂x ∂t 1c i g e qi ()+12∂2∂x 2c 2i g 1()i ()+16∂3∂x 3c 3i g 1()i ()=-1τg 3()i (21)结合约束条件(12)和(13),将方程(19)两边分别乘以c i 和c 2i 后并对i 求和得:ði c i g 1()i =τði c i h i -τ∂∂x ðic 2i ge q ()i ()=c τλ1u 2+λ2u n +1()-c 2τλ∂u ∂x (22) ði c 2i g 1()i =τðic 2i h i -τ∂∂x ði c 3i g e q ()i ()=-c 3τη∂u ∂x (23)同理,结合约束条件(12)和(13),将方程(20)式两边分别乘以c i 后并对i 求和,得出:ðic i g 2()i=τ∂∂t 1ðic 2i g e q i ()+∂∂x ði c 2i g 1()i ()+12∂2∂x 2ði c 3i g e q ()i ()æèçöø÷ =c 3τ2η∂2u ∂x 2-12c 3τη∂2u ∂x 2=c 3ητ2-12τæèçöø÷∂2u ∂x2(24)结合(7)(8)(9)和(19),将方程(16)两边对i 求和,得出: ∂u ∂t 1+2c τλ1u ∂u ∂x +n +1()c τλ2u n ∂u ∂x +c 2λ12-τæèçöø÷∂2u ∂x 2=0(25)同理,结合(10)(11)(12)和(22)~(24),将方程(20)两边对i 求和,得出: ∂u ∂t 2+c 3ητ2-τ-16æèçöø÷∂3u ∂x 3=0(26)将3.19()ˑε+3.20()ˑε2,可得: ∂u ∂t 1+2c τλ1εu ∂u ∂x +n +1()c τλ2εu n ∂u ∂x +c 2λε12-τæèçöø÷∂2u ∂x 2+c 3ηε2τ2-τ-16æèçöø÷∂3u ∂x 3=0(27)将方程(27)和(4)对比可得: α=2c τλ1ε,β=n +1()c τλ2ε(28) γ=c 2λ12-τæèçöø÷ε,δ=c 3ητ2-τ-16æèçöø÷ε2(29)其中,τ=12+112+δε2ηc 3,λ=γεc 2τ-1/2(),λ1=α2τεc ,λ2=βn +1()τεc 可以得出,方程(27)就是一维K D V 方程的L B 模型㊂由方程(7)和(13)式,得出修正函数h i 为: h 0=-12λ1u 2-12λ2u n +1h 1=h 2=13λ1u 2+13λ2u n +1h 3=16λ1u 2+16λ2u n +1h 4=-13λ1u 2-13λ2u n +1ìîíïïïïïïïïïï(30)701 第1期 陈梦涵,等:K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解联立方程(10)和(12)式,可得平衡态分布函数f e q i 为:g e q 0=η2+6ρ4-λ+1æèçöø÷u =ρ0u g e q 1=λ-η2-4ρ4æèçöø÷u =ρ1u g e q2=λ2-η6-4ρ4æèçöø÷u =ρ2u g e q 3=η6+ρ4æèçöø÷u =ρ3u g e q 4=ρ4u ìîíïïïïïïïïïïïï(31)4数值模拟将L B 模型应用于K d V 方程中,需要将K d V 方程离散化成网格上的方程组,然后通过L B 模型求解这个方程组㊂具体来说,L B 模型中的速度分布函数被定义为格点上的波高,通过计算速度分布函数在不同时间和空间的演化来模拟K d V 方程的行为㊂与传统的有限差分法和有限元法相比,L B 模型具有计算效率高㊁适合并行计算等优点,因此在模拟非线性波等问题时得到了广泛应用㊂(1)考虑如下的K d V 方程:∂u ∂t +6u ∂u ∂x +∂3u∂x3=0设置参数如下:Δx =0.001,Δt =0.00001,边界条件u 0,t ()=u 255128π,t æèçöø÷=0,t >0,初始条件u x ,0()=s i n x ,x ɪ0,255128πéëêêùûúú,该方程的精确解为: u x ,t ()=c 212s e c h 2c 212x -c 21t ()+l n c 2-l n c 3éëêêùûúú取c 1=2c ,c 2=c 3=1,得出该方程的精确解为: u x ,t ()=2c 2s e c h 2c x -4c 2t ()[],x ɪ0,255128πéëêêùûúú图4 t =0.01,L B 模拟解和精确解对比 图5 t =0.25,L B 模拟解和精确解对比模拟结果如图4㊁图5所示㊂图4和图5分别给出了t =0.01和t =0.25时刻的L B 模拟解和解析解的对比图,从图中可以看出:在t =0.25之前,模拟解和解析解吻合的程度较高,但是随之时间的推移,模拟解与解析解存在一定的偏离,这主要是原因有扰动项O ε4(),它在一定程度会对孤子高度㊁速度以及形状有影801 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷响,且当t >0.25时,方程的模拟解和精确解差别较大㊂(2)考虑如下的K d V 方程:∂u ∂t +αu ∂u ∂x +δ∂3u∂x3=0其中,u =u x ,t (),u 为波动地振幅,x 为波横向传播的位移,t 为时间㊂初始条件为:u x ,0()=3A s e c h 2B x +C (),x ɪ0,2[]边界条件为:u 0,t ()=u 2,t ()=0,t >0解析解为:u x ,t ()=3A s e c h 2B x -D t +C (),x ɪ0,2[]其中,B =12αAδ,D =αA B .设置参数如下:Δx =0.001,Δt =5ˑ10-4,α=1,δ=4.84ˑ10-4,模拟结果如图(6)和图(7)所示. 图6 t =0.0005时,模拟解与解析解对比 图7 t =0.0020时,模拟解与解析解对比图6和图7分别给出了t =0.0005和t =0.002时刻的L B 模拟解和解析解的对比图,通过对该方程的模拟结果进行分析,发现在t =0.002之前,模拟解和解析解吻合的程度较高,但是随着时间的推移,模拟解与解析解存在一定的偏离,主要的原因是含有扰动项O ε4(),当然也可能是该类波的传播速度极快,长时间模拟就会产生偏差㊂表1给出了该方程在不同时刻的误差㊂表1 方程在不同模拟时刻的误差比较时刻/tt =0.0005t =0.0010t =0.0015t =0.0020L ɕ3.2371ˑ10-43.8721ˑ10-42.0518ˑ10-33.6037ˑ10-3L 27.4783ˑ10-55.8732ˑ10-56.4976ˑ10-47.1335ˑ10-4G R E3.8516ˑ10-44.7039ˑ10-42.5450ˑ10-34.6530ˑ10-3 从表1可以看出,在L B 模型下得到的模拟解和解析解非常逼近,无论是L ɕ误差,还是均方根误差L 2和整体相对误差G R E ,其两者之间的误差数量级都达到了,说明该数值结果是比较理想的㊂5结论现在,微分方程无处不在,各个科学领域的研究都伴随着微分方程模型㊂由于实际生活中的微分方程模型形式日趋复杂,为了与实际问题相匹配,微分方程解的形式越来越多样化㊂本文对两个特殊的K D V 方程,利用格子B o l t z m a n n 模型求解并与其精确解进行比较,得出使用格子B o l t z m a n n 方法对非线性偏微分方程求解取得了较好的效果㊂在未来的工作中,将尝试继续改进格子B o l t z m a n n 模型,并对更加复杂的偏微分901 第1期 陈梦涵,等:K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解011华北理工大学学报(自然科学版)第46卷方程或者浅水波方程进行模拟㊂希望本文可以为其他学者在求解偏微分方程方面的研究工作提供一定的参考价值㊂参考文献:[1]张海军.求解浅水波方程的熵稳定格式研究[D];西安:长安大学,2018.[2]陈文文,张文欢,汪一航,等.浅水波方程的一类改进的格子B o l t z m a n n模型[J].宁波大学学报(理工版),2020,33(01):72-79.[3] R I C K,S A L MO N.T h e l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d a s ab a s i s f o r o c e a n c i r c u l a t i o nm o d e l i n g[J].J o u r n a l o fM a r i n eR e s e a r c h,1999,57(3).[4]冯士德,赵颖,茑原道久,等.旋转流场中的格子波耳兹曼模型[J].地球物理学报,2002,45(2):170-175.[5] 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h o d s a r e u s u a l l y p o w e r l e s s.I n t h i s p a p e r,t h e b a s i c t h e o r y o f l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d(L B M)w a s f i r s t l y g i v e n.T h e n,t h ef o r m u l a o f l a t t i c eB o l t z m a n n(L B)m o d e lw i t hc o r r e c t i o n t e r mi nK o r t e w e g-d eV r i e s(K d V)e q u a t i o nw a sg i v e nb y u s i n g t h e c l a s s i c a l o n e-d i m e n s i o n a l f i v e-v e l o c i t y(D1Q5)d i s c r e t ev e l o c i t y m o d e l.F i n a l l y,t h e a c-c u r a t e s o l u t i o no f t h eK d Ve q u a t i o nw a s c o m p a r e dw i t ht h e s i m u l a t e ds o l u t i o n,a n d t h e nt h ea c c u r a c y o f t h em o d i f i e dm o d e l i s v e r i f i e d.T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o wt h a t t h e l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d i s u s e d t o s o l v e t h eK d Ve q u a t i o n,a n d t h e s i m u l a t i o n s o l u t i o n i s i n g o o d a g r e e m e n tw i t h t h e e x a c t s o l u t i o n.。

溃坝洪水演进的格子Boltzmann模型摘要：采用基于分子动力学理论的格子boltzmann(lb)方法求解二维浅水方程。

建立了计算二维明渠非恒定流的数学模型。

应用该模型对大坝瞬间全溃或局部溃倒进行了数值模拟，并与理论解进行了比较。

结果说明该模型对模拟溃坝洪水波是有效的。

关键词：格子boltzmann方法二维浅水方程溃坝模拟中图分类号：tv122+.4 文献标识码：a 文章编号：0 引言拦河筑坝可以兴利除害。

同时，大坝溃决也会造成严重的后果。

长期以来,溃坝洪水研究始终是一项重要课题。

随着计算机技术和数值分析方法的发展，数值模拟已经成为研究的主要方法和途径。

二维溃坝波的传播通常由浅水方程来描述。

由于二维浅水方程的一般形式比较复杂，本文中使用无摩擦、无粘性、河底无倾斜的理想情况下的二维浅水方程作为求解模型。

lb方法是近几十年发展起来的一种新的数值计算方法。

它具有算法简单，边界条件易处理，适合并行计算等优点。

本文应用该方法建立了求解二维浅水方程的数学模型，并对计算结果进行了动态演示。

1lb建模1.1 控制方程在水静力学假设条件下,二维浅水波方程可以通过对纳维-斯托克方程沿水深方向进行积分得到。

二维浅水波方程可表示为如下张量形式[1]：式中:和满足爱因斯坦求和约定；表示笛卡尔坐标；表示水深；表示时间；表示方向的垂线平均速度；表示河床高程；表示水流密度；表示水的运动粘度；表示河床的切应力在方向上分量；重力加速度；忽略河床坡率源项和摩阻力源项的理想情况下的二维浅水方程可以表示为：本文将针对上述模型进行建模求解。

1.2 lb方程lb方法基于分子动力学理论，它利用在离散的时空网格上演化的lb方程来模拟宏观流动现象。

带有bgk碰撞项的lattice boltzmann 方程如下[2]：式中为粒子分布函数；为局部平衡态分布函数；为弛豫时间，反映了体系趋于平衡态的快慢。

1.3 chapman-enskog展开和多尺度方程作如下形式的chapman-enskog展开：式中表示。

Ｂ ａｎｇ ｒ ｏ ｓ ｏｋ 模 型 和 二 阶精 度 的 曲线 边 界 条 件 处 理 方 法 ， 实 现 了对 单 颗 粒 绕 流 问 题 的 定 常 及 非 定 常 ｈ ｔａａ－ ｓ— ｏ ） Ｇｒ Ｋｒ
流 动过 程 中 涡结 构 的模 拟 。采 用 动 量 交 换 法 分 别 计 算 了 Ｒ ｙ ｏｄ 数 在 ０ １ Ｏ ｅｎ ｌｓ ． ～２ Ｏ范 围 内 ２ ７个 不 同 Ｒ ｙ ｏｄ 数 时 ｅｎ ｌｓ 的 曳力 系数 ，并 将 计 算 结 果 拟 合得 到 基 于 Ｌ Ｍ 数 值 模 拟 的 曳 力 曲 线 。计 算 结 果 表 明 ， Ｌ Ｍ 在 气 固 两 相 流 的 模 Ｂ Ｂ 拟 计 算 中具 有 精 确 、可 靠 的优 点 ，使 用 Ｌ Ｍ 模 拟 计 算 曳 力 曲线 的方 法 经 济 、 易行 ，并 且 可 以克 服 由传 统 实 验 方 Ｂ
非定常单颗粒绕流模拟随着reynolds数的增大颗粒后方的对称旋涡不断增长并出现摆动一般当犚犲100对不稳定的对称旋涡开始渐渐分离形成非对称的周期交替脱落的旋转方向相反的旋涡并以比来流速度小得多的速度向后运动即形成karman给出了在犚犲200时大约一个周期内不同时刻的流线模拟结果可以看出流动分离涡街形成和脱落的过程图中的时间均为量不同reynolds数下定常单颗粒绕流流线图fig4streamlinesofsteadyflowpastsingleparticleatdifferent犚犲5犚犲200不同时刻非定常单颗粒绕流流线图fig5streamlinesofunsteadyflowpastsingleparticleatｌ ｗ ｒ ｕ ｉ ｇ ｅ ｐａ ｔｃ ｅ ｂ ｓ ｄ ｉ ｌ ｔｏ ｆ ｆｏ ａ ｏ ｎｄ ａ ｓ ｎ ｌ ｒ ｉ ｌ ａ ｅ

格子Boltzmann方法原理及其应用摘要在上世纪八十年代后期提出的格子Boltzamnn方法克服了格子气方法的缺点，其本身也在不断的发展之中.格子Boltzamnn方法在流体运动计算方面展现了非凡的风采，成功地模拟了包括均相不可压缩湍流和多孔介质中的多相流动在内的流体动力学问题.但和成熟的流体动力学计算方法相比，特别在工程实际应用上，该方法还有许多值得研究的地方.本文主要介绍工程实际应用时，具体模型的选择问题.首先从理论上对应用最为广泛的几种基本模型进行了详尽的分析和比较.选择了Poiseuille流动，然后从计算精度、数值稳定性和收敛速度这几个方面进行了细致的比较.从理论和实验两个角度验证了D2G9模型的优越性，为工程实际应用上模型的具体选择提供了一定的参考依据.通过研究二阶精确的格子Boltzamnn模型，提出了非牛顿流体.非牛顿流动性是使用幂法则模型实现的.它可以估算出模型的精确程度，同时不会限制这个模型.二阶精度由剪切变稀和剪切增稠液体的幂法则模型参数范围给出.这些结果与Gabbanelli等人的结果相比，精确度更高，并且得到了更快的计算效率.结果表明了格子Boltzamnn方法适用于非牛顿流体模拟.对于实际流动模拟，本文应用二维9速度模型模拟了四种情况的方柱绕流问题.在第一种情况中，单个方柱位于流场中央，给出了流线图，等涡线图，模拟了卡门涡街现象，并计算了升、阻力系数，Strouhal数等参数；在第二种情况中，计算细长矩板截面柱绕流问题，得到了Strouhal数随着矩形长宽不同的比值下的变化情况；在第三种情况中，两个方柱并列位于流场中央，考察了方柱间距对于流场的影响；在第四种情况中，计算了水平来流为剪切流的方柱绕流问题，比较了速度梯度取不同值下流场的变化情况.所有有关力的求解均采用动量转换法.所得结果，包括流线、等涡线、升/阻力系数曲线等均与已有文献的实验或数值结果基本一致，显示LBM方法及其力的求解方法——动量转换法是有效的，能够精确的模拟各流场.其次，我们还引入一种两相耦合机制对D2G9模型进行了修正，从而使之可以正确处理气固两相流中输运相和颗粒相之间的相互作用.随后，我们模拟了后台阶流动，并和传统CFD方法的模拟结果以及修正其他模型的模拟结果进行了验证，得到了令人满意的结论.从一定程度上验证了两相耦合机制的可行性.通过软件模拟获得了水包油、过渡流型和油包水三种流型的典型模拟图.经分析发现：由软件模拟的流型特点和由探针获得的流型特点具有较好的一致性.在本文最后，我们介绍了以经典算例一方腔流为例，对格子Boltzamnn方法的核心代码进行了优化的方法，主要讲述对时间和空间上的优化，优化的程序使计算效率提高数倍.在并行的框架下，核心演化的代码换为优化后的程序，计算效率有大幅度的提高.关键词：格子方法；格子Boltzamnn 方法；格子气自动机；格子Boltzamnn模型.AbstractIn the latter of 80’s，the Lattice Boltzamnn Method（LBM）was introduced mainlyto cope with major drawbacks of its ancestor，the Lattice Gas Automata（LGA）．Eversince，it has undergone a number of refinements and extensions which have taken it tothe point where it can successfully compute a number of non trivial flows，raging fromhomogeneous incompressible turbulence to multiphase flows in porous geometries．Yet，when compared with conventional computational fluids dynamics methods，such as finiteelement，finite difference，it is apparent that there is still a way to go before LBM canachieve full engineering status．In this paper，we mostly focus on the choice of the basic LB models in theengineering application fields．Firstly，we expatiate the basic LB models in theory．Then，we simulate the Poiseuille flow with those basic LB models．And wecompare the simulation results from the computation precision、the numerical stabilityand the convergence rate．Finally，we draw a conclusion that the D2G9 model is the bestchoice in the engineering application fields．Simulation of Flow past square cylinder with LB Method.For the simulation of actual flow，we use D2Q9 investigate fourcases of flow past square cylinders in this paper.For case 1，one singlesquare cylinder is located at the center of the channel，we describe thestreamline contour，vortices contours，simulate the Karman vortex，then compute the lift coefficient，drag coefficient，Strouhal numbersetc.For the case 2，simulate the flow past a cylinder of rectangularcross-section;compute the change of Strouhal numbers varying withthe side ratio.For case 3:two square cylinders arranged side by side inthe center of the channel，the flow features at different spacing ratiosare studied.For case 4:we compute the linear shear flow over a squarecylinder，compare the evolution of flow with different velocitygradient.The results of thesimulation including the streamlines，vorticity contours，lift and drag coefficients etc.are agreed with thoseof available literatures，and show that LB method and itsmomentum-exchange method can achieve accurate results and obtainthe reasonable flow in detail.we employ a two-way coupling mechanisms to modify theD2G9 model．With the modified D2G9 model，we can handle with the interactionsbetween carrier phase and dispersed phase in the model．Then，we simulate abackward-facing step model，and the results are compared qualitatively with the result ofthe traditional CFD method and the other modified LB models．Though the comparison，we can see that the two-way coupling mechanisms can handle with the gas-solid twophases flows successfully．Three kinds of flow pattern，which are oil-in-water flow，transitional flow andwater-in-oil flow，have been got by simulation.According to the result of simulation，theoil-water two-phase flow pattern transition boundary model has been got by.By the analysisof simulation，the characteristic of three kinds of flow pattern of vertical oil which has beengot by analysis of the signals is consistent with results by simulation.We take the classical problem-cavity flow as an example and optimize the kerne codes of the LBM. The optimization include two aspects :time and space .The efficiency of the optimized code increased much more .In the parallel frame，the efficiency also increased if the kernel code is taken the optimized code.Key word：1atrice method；1atrice bohzmann method；lattice gas automata;LBM目录第1章概述 11.1研究格子 Boltzamnn方法的意义 11.2 格子 Boltzamnn方法的发展历程 31.2.1孕育阶段 31.2.2 萌芽到成长阶段 31.3 格子 Boltzamnn方法应用概况及优缺点 51.3.1格子Boltzamnn方法应用概况 51.3.2格子Boltzamnn的优缺点 61.4本论文的研究目的 81.5 相关研究的综述与专注情况 8第2章格子Boltzamnn方法介绍 102.1 Boltzamnn方程的产生 102.2细胞自动机（CA） 112.3格子气自动机（LGA） 122.4格子Boltzamnn方法（LBM） 132.5 格子Boltzamnn的基本结构 162.6本章小结 17第3章格子Boltzamnn方法的基本模型比较 183.1 格子 Boltzamnn 方法基本模型概述 183.2 进行常压力梯度驱动的Poiseuille流动模拟比较几种基本模型 23 3.3本章小结 27第4章格子Boltzamnn方法的算法设计 284.1格子Boltzamnn方法的算法实现 284.2格子Boltzamnn方法的高效算法设计 304.2.1优化算法 304.2.2优化实验 324.3 本章小结 34第5章格子Boltzamnn方法的实际应用 355.1二阶精确格子Boltzamnn非牛顿流体的流动模拟 35 5.1.1理论背景 355.1.2方法和计算结果分析 385.1.3 本节小结 405.2 格子Boltzamnn方法的方柱绕流模拟 405.2.1 单个方柱位于流场中央的绕流问题 405.2.2 细长矩形截面住绕流问题 425.2.3 两个并列方柱的绕流问题 445.2.4来流为剪切流的绕流问题 495.3格子Boltzamnn方法模拟气固两相流 515.3.1对气固两相流的模拟模拟对象简介 515.3.2 计算结果分析 545.3.3本节小结 565.4 格子Boltzamnn方法模拟油水两相流软件设计 565.4.1 LBM油水两相流的关键因素选取 575.4.2 软件的设计 605.4.3 本节小结 635.5 简述格子Boltzamnn方法在其他领域中的应用 645.5.1 颗粒悬浮问题的模拟 645.5.2 热导和对流—扩散问题的模拟 645.5.3 偏微分方程的模拟 655.5.4 多相流和多元流的模拟 65结论及展望 67参考文献 68第1章概述1.1研究格子Boltzamnn方法的意义自从二十世纪四十年代出现了第一台电子计算机以来，人们开始进入了电子信息时代.随着高存储、高速度计算机的出现，人们所能解决的问题也越来越广泛，同时所面临的问题也越来越复杂.在对流动现象的研究中，以往人们大部分依靠的是解析方法，但所解决的问题非常有限.而现实生活中所面临的流动问题往往十分复杂，如航空航天器的亚跨超音速飞行、舰船的航行等等，依靠解析的方法来解决这些复杂的流动现象是不可能的.到现今为止，人们对流体运动的研究主要靠实验方法和数值计算方法.实验方法具有直观、结果基本可靠的特点.但也存在较大的缺点：耗费大、周期长，并且结果受实验条件的影响也较大，尤其是如今的航空航天飞行，速度高、飞行条件复杂，用风洞来模拟困难是相当大的.而流体的运动可以由一组偏微分方程描述.在大多数情况下，这些方程（如N-S方程）都是高度非线性的，采用解析的求解方法是不实际也是不可行的.随着大型计算机的出现，使人们可以借助于计算机用数值计算方法来解决复杂的流动问题.因此，在二十世纪六十年代，用数值方法分析求解流动问题的学科——计算流体力学（CFD）逐渐发展起来.伴随着电子计算机的飞速发展以及各种新颖算法的不断出现，CFD已经形成了一门独立的学科，并且在航空航天、船舶、大型能源装置（如核电站）、新型交通工具、海洋工程、环境保护等众多工程技术部门和领域都得到了广泛的应用.随着计算技术的发展、巨型计算机的出现、计算方法的不断改进，计算流体力学在解决流动的理论和工程实际问题中愈加显示出它的巨大作用.目前，计算流体力学已经成为现代计算科学的最有力的推动力之一.在计算流体力学中，传统的数值模拟方法可以分为两大类：（1）从宏观角度出发，基于连续介质假设，采用数值计算方法，求解全位势方程或Euler方程或N-S方程；（2）从微观角度出发，采用分子动力学的方法，对流动进行数值模拟.其中，格子Boltzamnn方法就是典型的一种.格子Boltzamnn方法（Lattice Boltzamnn Method，LBM）1.1.2格子Boltzamnn法（lattice Boltzamnn method）起源于格子气自动机（Lattice Gas Automata，LGA）.LGA方法是元胞自动机（Cellular Automata，CA）在流体力学中的具体应用，是空间、时间和速度空间都离散的一个虚拟微观模型，与以连续微分方程为基础的宏观计算流体力学方法有着本质的不同.LGA的微观特性使得它的边界条件非常容易实现，并且计算也很简单.因此，LGA方法非常适于处理边界复杂的问题.更为重要的是，LGA的计算具有局部性和并行性，非常容易在并行机上实现.LGA的出现不但为并行计算提供了许多新思想，而且对并行计算机制造技术产生了重要的影响.但是，LGA方法也有许多不足之处.例如，由于含有随机因素，LGA的计算结果往往包含很大的统计噪声，LGA的宏观方程也不是标准的流体运动宏观方程.格子Boltzamnn方法是为克服LGA方法的一些内在不足而发展起来的一种新方法.LBM不但克服了LGA的缺点，继承了LGA的主要优点，而且还有许多新的优点，如计算量小、计算效率高、编程简单等.LBM的产生与发展，不仅在计算流体力学领域中产生了深远的影响，它所使用的处理方法和观点对其他许多学科也是富有启发性的.格子Boltzamnn法是一种应用非连续介质思想研究宏观物理现象，并可平行运行，求解流体力学问题的新方法.它是由格子气自动机（lattice gas automata，简称LGA）方法发展而来的.该法把流体及其存在的时间、空间完全离散，把流体看成由许多只有质量没有体积的微小粒子组成，所有这些粒子同步地随着离散的时间步长，根据给定碰撞规则在网格点上相互碰撞，并沿网格线在节点之间运动.碰撞规则遵循质量、动量和能量守恒定律.流体运动的宏观特征是由微观流体格子相互碰撞并在整体上表现出来的统计规律.该法是直接从微观模型出发，经过Boole化处理后进行计算，可认为是N-S差分法逼近的一种无限稳定的格式.被广泛应用于复杂几何边界流体流动、多孔介质流、多相流及反应流等.格子气自动机的基本思想是，把计算区域分成许多均匀的正三角形（或正方形）的网格，而那些只有质量无体积的粒子只能在网格点上存在，并沿着网格线在网格间运动.当某一个粒子从某一网格点到邻近的网格点时，有可能和从其他网格点到达该点的粒子相碰撞.根据Pauli不相容原理，在同一时刻同一点上，沿着每一网格线运动方向最多只有一个粒子，流场中的粒子速度不是0（静止）就是1（设格子边长及时间间隔都为1）.以三角形网格为例，每一个网格上在某一时刻，其周围的6个网格上粒子沿着网格线聚集到该点，加上该点可能还有一个静止粒子，这样，可能有7个粒子在该点发生碰撞，然后根据碰撞规则再散射出去，演化为新的运动粒子流向各节点的邻居，形成格子气自动机.1986年MeNamaxa和Zaneltti，提出把格子气自动机中的整数运算变成实数运算，建立了格子Boltzamnn 模型，克服了格子气自动机的数值噪声的缺点.后来陈十一和钱跃宏采用了单一时间松弛方法，满足了各项同性，GalIean不变性，并得到了独立于速度的压力项．使格子Boltzamnn模型保留了格子气自动机的优点，克服了其不足，并在理论分析和数值模拟方面都具有很大灵活性，而且程序编制简单，计算效率较高.从格子Boltzamnn方法诞生至今天已有20年，20年间，其在理论和应用研究等方面都取得了迅速发展，并逐渐成为在相关领域研究的国际热点之一，受到国内外众多学者关注.与之传统模拟方法不同，格子Boltzamnn方法基于分子动理论，具有清晰的物理背景.该方法在宏观上是离散方法，微观上是连续方法，因而被称为介观模拟方法.在许多传统模拟方法难以胜任的领域，入微尺度流动与换热、多孔介质、生物流动、磁流体、晶体生长等，格子Boltzamnn方法都可以进行有效的模拟，因此它被用于多种复杂现象的机理研究，推动了相关学科的发展.可以说，格子Boltzamnn方法不仅仅是一种数值模拟方法，而且是一项重要的科学研究手段.此外，格子Boltzamnn方法还具有天生的并行特性，以及边界条件处理简单、程序易于实施等优点.可以预计，随着计算机技术的进一步发展，以及计算方法的逐渐丰富，格子Boltzamnn方法将会取得更多成果，并为科技发展发挥更重要的作用.1.2 格子Boltzamnn方法的发展历程格子Boltzamnn方法自诞生至今年已取得了长足发展，被誉为现代流体力学的一场变革.1.2.1孕育阶段：对格子Boltzamnn方法发展使得了解，得先从格子自动机说起.格子气自动机使更广泛的元胞自动机在流体学中的应用.元胞自动机是一个时间和空间离散的数学模型.20世纪60年代，Broadwell等人首先提出了离散速度模型，用以研究流体中的激波结构.20世纪70年代，为了研究流体的运输性质，法国的Hardy、Pomeau和Pazzis提出了第一个完全离散模型，该模型命名HPP模型.这是历史上的第一个格子气自动机模型.1986年，法国的Frisch、Pomeau和美国的Hasslacher提出具有足够对称的二维正六变形格子气自动机模型，，命名为FHP模型.由于这些方法在还处在一些缺点：（1）有格子气自动机演化方程推导出来的动量方程不满足Gaililei不变形；（2）流体状态方程不仅仅依赖于密度和温度，还与宏观流速有关；（3）破装蒜子具有指数复杂性，对计算量和存储量也有较大要求.因而，我们将这一段格子气自动机的发展过程称作格子Boltzamnn方法的孕育期.1.2.2 萌芽到成长阶段：自1988年底一篇关于格子Boltzamnn方法的论文出现至今，格子Boltzamnn方法从萌芽逐渐成长壮大，并成为目前一大国际研究热点，受到越来越多学者的关注.1988年，McNamra和Zanetti提出把格子气自动机中的Bool运算变成时数运算，格子点上的粒子数不是用整数0或1来表征，而是用实数f来表示系综平均后的局部粒子分布函数，用Boltzamnn方程代替格子气自动机的演化方程，并将该模型用于流体的数值计算.这是最早的格子Boltzamnn模型，从此开启了格子Boltzamnn方法的历史大门.1989年，Higuera和Jimenez提出了一种简化模型：通过引入平衡分布函数，将碰撞算子线性化.该模型不需要碰撞模型，并忽略各自粒子间的碰撞细节，相比于多粒子碰撞模型，容易构造.同年，Higuera等进一步提出了强化碰撞算子方法，以增加模型的数值稳定性.这两模型统成为矩阵模型.经历了上述两类模型，格子Boltzamnn方法消除了统计噪声，克服了碰撞算子指数复杂性，但是由于依然使用Fermi-Dirac平衡态分布函数，格子气自动机的其他缺点仍然存在.1991年，Chen等提出了单松弛时间法，用同一个时间松弛系数来控制不同例子靠近各自平衡态的快慢，进一步简化了碰撞算子；Qian等人在1992年也提出了类似的方法，称之为格子BGK（LBGK）模型.LBGK模型与矩阵模型类似，但与前面两种模型不同的是，当粒子种类数增加时，碰撞算子本身发生生变化，不会变得复杂.至此，格子Boltzamnn方法完全克服了格子气自动机的一系列缺点，并逐渐成熟，成为国际研究的热点.早期的格子Boltzamnn模型只能用于等温不可压缩流动的模拟.但因为存在可压缩效应，会引起一定的误差.为了消除或强敌有可压缩效应引起的误差，许多学者致力于新的格子Boltzamnn模型的研究，并提出了多种等温不可压模型.而后，一些不可压缩热模型成功实现了对有效范围温度变化的热力学和传热学问题的模型.其中，最成功的要数双分布函数模型.他是在密度分布函数的基础上引入了温度分度函数、或内能分布函数、或总能分布函数，并用密度分布函数演化得到速度场，这类模型具有与等温不可压模型相同的数值稳定性，而且可以从根本上解决压缩功和耗热问题.边界处理方面，经历了20年的发展，格子Boltzamnn方法已逐渐发展出适合不同边界条件、不同模型的边界处理格式.网格划分方面，最初的格子Boltzamnn方法是基于正六边形或正四边形的均匀对称网格.由于均匀网格在计算效率、计算精度等方面的不足，从而促进了非均匀网格、多快以及多重网格、无网格等多技术出现.总的来说，这些网格技术延展了格子Boltzamnn方法的应用范围，使得格子Boltzamnn方法主机去年从理论的神殿走向更可能多的实际应用领域.1.3 格子boltzamnn方法应用概况及优缺点1.3.1格子boltzamnn方法应用概况与传统的宏观数值方法相比，具有介观特性的格子Boltzamnn方法其主要优点是物理图像清晰、便捷容易处理以及并行性能好等.因而自诞生之日起，格子Boltzamnn方法就得到了国内外学术界的广泛关注，并寄希望该方法能再注入为尺度流体、多相流、多孔介质内流动与换热、化学反应流等传统法就延受限的领域取得开拓性进展.事实上，在20年的发展过程中，格子Boltzamnn方法的确也已成一个十分活跃极具发展前景的模拟手段.并迅速在微/纳米尺度流、多孔介质流、多相多质流、非牛顿流体、粒子悬隔i浮流、湍流、化学反应流、燃烧问题、磁流体、晶体生长等许多领域得到应用.下面分别以多孔介质流、多相流和非牛顿流体三个方面为例，做较详细说明.由于格子Boltzamnn方法边界条件易于实施，在模拟具有复杂几何构型的问题具有较大的优势，因而这个方向的发展非常迅速.目前，采用格子Boltzamnn方法对多孔介质流进行模拟主要在空隙尺度和代表单元尺度上进行.在孔隙尺度上，可以直接使用格子Boltzamnn方法描述孔隙内的流体流动，多孔介质则当做固体壁面，流体与介质相互作用使用边界处理格式来描述.在多相流方面，由于真实的流动问题常常是多相的，因而对其开展研究具有重要的现实意义.由于格子Boltzamnn方法的介质特性，它可以方便地描述数流动中不同相之间的相互作用，因而在多相流领域具有较好的应用前景.按照设计方法的不用，现有模拟多相流的格子Boltzamnn模型可分为四大类：着色模型、伪势模型、自由模型和其他模型.格子Boltzamnn方法在非牛顿流体领域的应用刚刚起步，主要研究对象是非牛顿幂律流体.Aharonov等最早提出使用矩阵碰撞该算子来计算幂律流问题，即在每一个时步内，调整碰撞算自来该表局部的动力学黏性系数.Boek用该模型模拟了幂律流体在简化多孔介质中模型的流动，模拟结果与达西定律符合良好.最近，Gabbanelli又对上述模型进行了改进，引入分段幂律方程描述剪切率和表现黏度的关系.以上可看出，到目前为止，格子Boltzamnn方法的研究者主要局限在科学界.尽管如此，随着格子Boltzamnn 方法理论体系逐渐完善，以及计算机技术的进一步发展，格子Boltzamnn方法也会走向更加广泛的工业实际应用中.1.3.2格子Boltzamnn的优缺点流体力学的理论描述通常建立在纳维--斯托克斯方程的基础上，作为流体力学的基石，它已处在了一个多世纪.在通常尺度下，|人们对此方程的物理可靠性即准确性并不抱异议.理论上人们一般通过求纳维--斯托克斯方程及其各种简化形式的途径来处理复杂的流体力学问题，现行的计算流体力学研究也主要是围绕着纳维--斯托克斯方程的计算方法展开的.然而，基于其本质上的非线性以及边界条件处理的困难，除少数简单问题外，解析和数值求解纳维--斯托克斯方程都是极具挑战性的任务.除了求解的困难外，作为一种对流体物理的描述，与描述经典力学运动的牛顿运动方程，或与描述量子力学运动的薛定谔方程等原理方程不同，纳维--斯托克斯方程是从更根本的原理性方程出发，在合理地假定某些物理机制可以忽略后，经过统计平均得到的.本质上纳维--斯托克斯方程当然不可能描述那些被忽略了的物理机制带来的宏观现象，比如流体系统中的相变、非牛顿的本构关系以及在分子运动自由程尺度上的物理现象，在这些领域，纳维--斯托克斯方程明显的显示出了他的局限性.从20世纪80年代末开始，一种对于流体力学的全新的理论表相及有效的计算方法初步形成，这就是现在人们通常所谓的格子Boltzamnn方法.关于格子Boltzamnn方法的早期发展，上文已有较全面的综述，在此仅作简单介绍.从历史角度来讲，格子Boltzamnn方法最初是从所谓的格子气模型演化而来的，而后者是一种抽象简化的分子运动数学模型.格子Boltzamnn方法最初的引入有两个主要原因：一是为了降低模型导致的数值噪音；而是能够克服格子气模型里处在的非物理缺陷.可以证明，格子Boltzamnn系统的宏观表象基本满足纳维--斯托克斯方程.从而，人们可以模拟格子Boltzamnn系统地方法来间接地解纳维--斯托克斯方程.标准格子Boltzamnn方程一般用一下的数学表达式描述：式中——粒子分布函数；——碰撞项.用格子玻尔兹曼模型进行流体的数值模拟有一些明显的优越性．如，它的对流（advection）过程是通过常数值速度实现的．这相应的计算是一项极其简单的操作步骤．当适当的格子网格选定后，该过程通常可以用完全平移的方式实现．用计算数学里的常规有限插值语言来讲，它对应于上风插值．但所不同的是其对应的柯郎数（Courant Number）等于1．相比之下，纳维——斯托克思方程的对流项是一个随时空变化的非线性函数．众所周知，对于它的计算不是一项简单的事，并且，数值稳定性的要求迫使人们在实际问题的计算中只能使用比1小得多的柯朗数．在给定空间分辨度的情况下，小柯朗数意味着小时间步长，从而大大延长了计算时间：同时，小柯朗数也增大了数值扩散误差，迫使人们采用更高精度格式或隐式格式．其后果是，或者算法变得极为复杂，并行效率大大降低；或者计算只限制在处理定常流的情况下．事实上，定常流是对流动情况的极大限制．许多重要的流体力学问题，如分离流，即使我们只关心它的时间平均的结果，也是不能用定常流假设来近似的．在此我们也要提一下格子玻尔兹曼方程的另一个本质特性：所有非线性效应在格子玻尔兹曼方法里都包含在碰撞项中，并且是以纯粹局部信息的方式体现的．这进一步发挥了并行计算的长处．所有这些理由意味着格子玻尔兹曼方法是对非定常流动实行大规模并行模拟计算的一种比较优越的方法．相比之下，以流体力学方程（纳维一斯托克思方程或Burnett类型方程）宏观描述为基础的传统计算方法对许多这类问题存存基本困难．除边界条件之外，利用各种封闭性假设推导出的超越纳维一斯托克思的宏观方程直至现今仍存在对其数学规范性的疑问和争议，多相流的计算也存存同样问题．众所周知，流体系统中存在多相的物理机制是分子问的长程作用力，这种机制早已超出了流体力学方程所能描述的物理现象范围．以流体力学方程为基础的多相流计算方法必须依赖额外的模型来模拟流体力学方程本身所不包含的物理现象．除了实际数值结果显示的问题之外，这种方法本质上隐含着严重的基本物理缺陷，这种缺陷集中表现在对相交界面的准确描述上面，即在十分尖锐的相界面附近，纳维一斯托克思方程之类近平衡态的近似表象是有相当疑问的．这也反映在相界面和兀滑动（no—slip）固体边界条件的互斥性上面，为了修补这一缺憾，人们不得不引入各种滑动经验模型.反之，以细观（mesoscopic）为表象基础的格子玻尔兹曼方法可容忍更大的非平衡态程度及更广义的严格边界条件．另外，压力的状态方程在细观表象中是由粒子的相互作用自然得出的，而不用直接输入和处理．在相变情况下，物体的宏观特性将产生不连续性，而对应的微观和细观力学机制并无改变．格子玻尔兹曼方法在模拟多相流上有着广泛的使用.然而，这种为大多数人所熟悉的格子玻尔兹曼方法的理论框架存在本质上的缺陷．由于它运用逆向切普曼一安斯柯格展开的途径来适定平衡态分布函数中的关键参数，以达到复建宏观物理体系的目的，这就使其。

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函数 设定 了计 算 区域 的网格疏 密分布 ） 划分 出的 四周 密 ， 中间稀疏 的 的四叉树 网格 ．
具 ． Ｂ方法 的前 身格子 气 自动机 方法完 全 使用 均 匀 的格 子 网格 进行 计算 ， 统 的 Ｌ Ｌ 传 Ｂ方法 也是 使 用 均匀
格子 ， 而限制 了 Ｌ 从 Ｂ方法处 理如绕 流等存在远 场条 件问题 的 能力． 来 ， 些改 进 的基于 非均 匀 网格 的 Ｌ 后 一 Ｂ 方法被提 出 ， 主要 有 Ｈ ｉｏｉ １ ９ ） ， ｕＤ ｚｉ ２ ０ ）３，Ｍｅ Ｒ （９ ８ 等 ． ｅＸａｙ （９ ６ Ｙ ａｈ （ ０ ２ ［ ３ ｉ １９ ） 这些 方法有 的需 要二 阶 插值 ， 的需要特 别处理稀 疏 网格 界面 ， 有 增加 了 Ｌ Ｂ方 法的复杂 度．
等分 ；
收 稿 日期 ： ０ ８— ９—０ ； 回 日期 ： ０ ９— ４—２ ２０ ０ ５ 修 ２０ ０ ０
基 金项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 （ ｏ １８２ ０ 资助 项 目 Ｎ ．０ ７０５） 作者 介 ： 瑜 （ ９３～） 浙 江 天 台 ， 士 生 ， 陈 １８ ， 博 主要 从 事 流体 力 学 研 究
号．
在 四叉树 网格 中 ， 利用 尺度 函数控 制各个 区域 网格的疏 密． 正方 形区域 的四叉树 网格 的构 造方法 如下 ： １ ）以正方形 区域 四个 角点作 为 ０号树单 元 的四个 组成节 点 ； ２ ）比较 ０号单元 中心 点尺度 函数 值与 ０号单元 边 长 ， 果边 长 大于 尺度 函数值 ， 对 ０号 单元 进行 四 如 则
关键 词 ：四 叉树 网 格 ； Ｆ Ｃ ； 子 玻 尔 兹 曼方 法 ；方 腔流 ； 柱 绕 流 ＢＥ Ｃ 格 圆 中 图分 类 号 ：０ ５ ３１ 文 献 标 识 码 ：Ａ

格子boltzmann法
格子波尔兹曼法（Grid-Based Boltzmann Method）是用于计算复杂系统的一种数值模拟方法，该方法基于玻尔兹曼方程，采用格子划分的非总熵方案计算分布函数所描述的传播动力学系统的平衡性质。

格子波尔兹曼方法由三个部分组成，分别是分子动力学基础、格子化方案以及格点迭代方案。

在空间上，格子波尔兹曼方法采用密度聚类格子，由于每个格子内节点之间的影响，允许改变每个节点状态。

在时间上，格子波尔兹曼方法通过欧拉法和龙格-库塔法，将弹性系统的猝灭问题转换为一个接近平衡态的迭代问题。

最终，根据初始条件和格子化方案计算本征周期、如粒子操纵力学系统中的陷阱模式等。

格子玻尔兹曼方法入门攻略参考书1格子Boltzmann方法的原理及应用（郭照立科学出版社）格子Boltzmann方法的理论及应用（何雅玲王勇李庆编著科学出版社）起步时不需要读得非常细，但要知道LBM是怎么回事，能解决什么问题。

这本书关于微尺度流动的进展涉及较少。

参考书2数值分析孙志忠东南大学出版社（限于东南大学研究生，其他学校可参考类似图书）研究生必修课程之教科书，要知道数值计算基本方法，掌握偏微分方程的基本解法。

参考书3流体动力学人民教育出版社[美] J.W.戴莱等这本书比较老，可能借不到。

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理解流体、流动、黏性等基本概念以及Euler方程、Navier-Stokes方程等。

参考书4[美] S.V.帕坦卡著传热和流体流动的数值方法安徽科学技术出版社可称为数值传热学和计算流体力学经典入门教材。

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初级阶段第一步：能够编程实现一维和二维传热或扩散问题的计算，只计算传热不考虑源项。

第二步：能够编程关于传热和扩散问题的实现三类边界条件，并深刻相关物理意义。

第三步：能够编程实现温度回升法、等效热熔法和焓方法计算包含潜热释放的问题。

中级阶段第四步：参考郭照立教授、何雅玲院士的书，编程实现单松弛LBM程序计算流场，周期性边界。

第五步：理解并掌握LBM边界条件处理格式，能够实现Newmann边界与Dirichlet边界，能够计算Poiseuille流、Coutte流及顶盖驱动流。

第六步：结合LBM流场计算程序，编程实现LBM计算对流扩散方程，起步时采用周期边界且不包含源项。

热格子Boltzmann法分析及应用陈杰;钱跃竑【摘要】格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method,LBM)是一种基于气体动理论的介观计算方法,其物理背景清晰、边界处理简单,已成功应用于等温(或无热)流动中.简要介绍现有的几种热格子Boltzmann模型,并运用几种热格子模型求解热Couette流、方腔自然对流等典型算例,对比不同热格子模型的数值稳定性、准确性、模型的计算效率等.将两种热格子模型用于多孔介质内的流动与传热问题中,对比热格子模型在处理复杂结构时的数值特性.%Lattice Boltzmann method (LBM) is a mesoscale computational method based on the gas kinetic theory. For solving Fourier-Navier-Stokes equations, the thermal lattice model has attracted much research attention. This paper compares several thermal lattice models in terms of accuracy, stability and computational efficiency. The thermal flow in pore-scale porous is also studied using different thermal lattice models.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)005【总页数】7页(P489-495)【关键词】格子Boltzmann方法;热格子Boltzmann方法;多孔介质【作者】陈杰;钱跃竑【作者单位】上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072;上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072【正文语种】中文【中图分类】O351格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)是近20年发展成熟起来的一种数值计算方法.LBM基于气体动理论，通过分布函数的演化获得宏观信息.作为一种简单且能处理复杂流动问题的有效数值方法［1-2］，LBM具有良好的数值稳定性、天然的并行性、简单的边界处理等优点，自出现之日起就被广泛用于多孔介质流［3］、多相流［4］、反应扩散系统［5］等诸多领域.早期的LBM只应用于等温流动(或无热流动)的模拟，但是基于这种方法具备处理复杂问题的能力以及解决传热问题的需要，研究者一直在不断地探索研究热格子Boltzmann模型，已形成了一些经过数值验证具有模拟热流动能力的热LBM［6-10］，并应用于多孔介质流动与传热、燃烧及化学反应流、湍流等问题.本研究简述了不同热格子Boltzmann模型的基本理论，并通过数值分析对比了不同热格子Boltzmann模型的计算结果及数值特性，进而用于多孔介质流动传热问题中.1 等温LBM基本原理LBM中除时间、空间被离散之外，无限维的粒子速度空间也都被离散成有限的速度序列.在标准LBM模型中，物理空间被离散成正方形(体)格子，流体粒子在格点x上碰撞并按离散速度E=［e0，e1，…，eq－1］迁移到x+eiδt格点.fi(x，t)定义为t时刻在格点x上速度为ei的粒子密度，满足如下的格子Boltzmann方程：式中为平衡态函数，ω为松弛因子.通过简单地向平衡态不断趋近的过程代替真实的复杂碰撞，即BGK(Bhatnagar-Gross-Krook)近似，所以此模型也称为LBGK 模型.平衡态分布函数的选取是LBM的关键.DnQm系列［1］中均采用式中，cs为格子声速，Wi为不同速度粒子的权重.本研究在数值模拟中均采用D2Q9模型.宏观密度和速度分别定义为2 热格子Boltzmann模型现有的热格子Boltzmann模型通常可以分为两大类：第一类是流场温度场耦合统一求解的模型，如多速格子Boltzmann模型(multi-speed LBM，MSLBM)、熵格子Boltzmann方法(entropic LBM，ELBM);另一类则是对流场与温度场分别求解，如被动标量格子Boltzmann模型(passive scalar LBM，PSLBM)、双分布函数(double-distribution-function，DDF)模型，以及其他与传统计算流体动力学(computational fluid dynamics，CFD)结合的混合方法，如混合热格子Boltzmann方法(hybrid-thermal LBM，HTLBM).2.1 多速格子Boltzmann模型(MSLBM)多速格子Boltzmann模型是等温LBM模型的直接推广，其密度、速度、内能等均由速度分布函数的各阶速度矩得到.Qian［6］基于等温LBGK模型，提出了D1Q5，D2Q13，D3Q21，D3Q25热力学LBGK模型.在这些模型中，除了要满足等温模型的守恒条件外，还应满足能量守恒和平衡态热通量为0的条件：平衡态分布函数是Maxwell分布的截断形式：式中，Ap，Bp，Dp为待定参数，由满足的守恒条件确定.平衡态包含了速度的三阶项，离散速度也在D2Q9的基础上在主坐标轴上增加了4个速度.Qian［6］采用此模型对一维激波管、二维 Rayleigh-Benard对流进行了模拟，证明了该模型的有效性.MSLBM具有良好的物理基础，宏观方程绝对耦合，已成功模拟了一些传热现象，但只能模拟狭窄的温度范围和较小的Ma数，存在稳定性问题，限制了该模型的广泛应用.2.2 熵格子Boltzmann方法(ELBM)熵格子Boltzmann方法考虑了H定理，通过在守恒约束下最小化波尔兹曼H函数求解平衡态分布函数，由此得出的正定的分布函数保证了模型的稳定性和准确性［11］.Prasianakis等［10］将ELBM拓展到热流动问题的求解中，证实了该方法的有效性，本研究参照此方法.H函数定义为平衡态分布函数则是在满足守恒约束条件：的情况下，求H函数最小值得到的，具体形式详见文献［10］.Prasianakis等［12］采用在ELBM中加入高阶量的补偿算法，较大地提高了基于D2Q9标准格子的ELBM可模拟的温差和Ma数，但是模型实施较为复杂.2.3 双分布函数模型双分布函数模型，即存在两个分布函数：密度分布函数和内能(温度或总能)分布函数，其中密度分布函数用于模拟速度场，而内能(温度或总能)分布函数则用来模拟温度场.温度、内能或总能分布函数均通过不同的方式构造，但其演化都独立于密度分布函数.2.3.1 被动标量格子Boltzmann模型(PSLBM)被动标量格子Boltzmann模型基于如下原理：在忽略压力做的功和粘性热耗散的情况下，温度可以看作是随流体运动的一个标量，遵循对流扩散方程.由于此方程与组分浓度场的控制方程一样，于是Shan［7］提出使用两组分模型模拟单组分热流动问题：组分1模拟流体的运动;组分2模拟被动的温度场.平衡态密度函数为式中，σ表示组分，两组分共享速度，2.3.2 内能双分布函数模型内能双分布函数模型最早由He等［8］提出，其速度场仍用密度分布函数演化模拟，温度场则由内能分布函数模拟.该模型的基本思想是通过对连续Boltzmann方程进行特殊的离散得到等温LBM，如果进行同样的操作，则热LBM可以由离散内能的演化方程得到.根据内能的定义ρε=∫(ξ－u)2/2f dξ，引入内能分布函数g(r，ξ，t)=(ξ－u)2f/2，并引入新的碰撞模型，得到内能分布函数满足的演化方程：式中，q=(ξ－u)·［∂tu+(ξ·)u］.然后对演化方程离散，得到可用于数值计算的离散的分布演化方程，具体的离散过程详见文献［8］.相比于PSLBM，内能DDF的构造更具有物理基础，并包含了粘性热耗散和可压缩功.相比于MSLBM，DDF模型具有更好的数值稳定性，Pr数不受限制，因此被广泛用于各种近似不可压流体流动与传热问题.2.4 混合热格子Boltzmann模型(HTLBM)HTLBM是指使用 LBM解速度场，使用传统CFD解温度场，并通过一定的方式相互影响.这种方法利用了LBM能简单处理复杂流动问题的优势以及传统CFD在传热问题上的成熟技术，可以处理一些仅仅使用传统CFD较难解决的复杂流动传热问题.最初，Lallemand等［13］将多速多松弛模型和有限差分法(finite difference method，FDM)相结合，提出了混合模型，速度场用多松弛LBM求解，温度场采用FDM求解.本研究采用有限容积法(finite volume method，FVM)与LBM相结合的混合方法，即采用如下的FVM求解能量守恒方程：式中，S为广义源项，包括压力做的功和粘性热耗散.速度场与温度场的耦合通过在LBM中添加温度相关的外力项以及在FVM中添加广义源项S来实现.此外，普朗特数、比热容等热物性以及随温度变化的输运系数可以实现相应的调节.本研究中FVM与LBM采用同一套网格系统，FVM采用绝对稳定且具有与LBM相同精度的二阶迎风格式(second-order upwind scheme，SUS).PSLBM，DDF以及HTLBM这类模型的一个关键之处在于流场与温度场之间的耦合，其模型往往不满足气体完全状态方程，温度场对速度场的影响只是通过施加一个外力来实现.如Guo等［9］针对Boussinesq方程组，通过在密度分布函数演化方程中增加一个外力项以实现温度对流场的影响.Filippova等［14］基于HTLBM研究了小Ma数下高温燃烧，用温度场修正密度场以满足状态方程.3 计算结果及分析为了进一步对比各类模型，本研究采用ELBM，PSLBM，内能DDF模型以及HTLBM，对热Couette流、封闭方腔自然对流和多孔介质内非等温流动等问题进行了模拟对比.3.1 热Couette流模拟考虑两平板间热Couette流，上平板以速度U向右运动，下板静止，且上下平板分别保持恒温Th，Tc，且Th＞Tc.横截面温度廓线的解析形式为式中，H为平板间距离，Pr=ν/χ为普朗特数，χ为热扩散系数，Ec=U2/［Cp(Th －Tc)］为埃克特数.热Couette流中不考虑流体可压缩性的影响，而粘性耗散效应明显，因而分别运用ELBM，内能DDF模型和HTLBM对该问题进行了模拟，网格数均为64×64.模拟中Re=UH/ν=20，计算结果如图1所示.固定Pr=4，Ec分别为1，10和20的无量纲温度廓线，散点为不同方法的计算值，曲线为解析解公式(10).由图可见，三种模型都成功模拟了粘性耗散效应，且与解析解吻合得很好.本工作进一步研究了三种模型的计算效率问题.图2给出了温度残差随CPU时间的变化曲线，可见ELBM和HTLBM明显优于内能DDF模型.3.2 封闭方腔自然对流模拟封闭方腔尺寸为H(正方形边长)，左右壁面分别保持恒温Th，Tc，且Th＞Tc，上下壁面绝热，四壁面速度均为无滑移边界.方腔内充满均质空气，考虑向下的重力.描述自然对流的无量纲参数Ra数定义为图1 热Couette流温度廓线Fig.1 Temperature variation of the thermal Couette flow图2 热Couette流温度残差变化曲线Fig.2 Temperature residuals variation of the thermal Couette flow式中，β为热膨胀系数.物性满足Boussinesq假设，这里通过施加外力G=－β(T－T0)g实现温度场对速度场的影响.在方腔自然对流中，可压缩效应以及粘性耗散效应可忽略不计.从模型分析可以看出，PSLBM在这种情况下与DDF模型类似，而ELBM边界实施较为复杂.因此，本研究分别采用不包含粘性耗散效应的PSLBM和HTLBM对该问题进行了模拟，模拟中Pr=0.71，Ra数分别为104，105和106.图3和图4分别为HTLBM在不同Ra数下流动稳定后得到的流线、等温线，与以往的数值及实验结果一致.由图3可见，随着Ra数的增大，方腔中心的近似圆形的涡逐渐变成椭圆形，进而分裂成两个涡.当Ra= 106时，两个涡分别向左右壁面移动，在中心出现了第三个涡.由图4可见，随着Ra数的增大，竖直的等温线逐渐变得水平，主导的传热机理由导热变为对流.为了进一步定量考核，本研究计算了努塞尔数Nu和平均努塞尔数 Numean.表1给出了热壁面的Numean、最大Nu数Numax及相应位置的yNumax、水平中心线上最大速度vmax及相应的位置x、垂直中心线上最大速度umax以及相应的位置y.HTLBM和PSLBM求解的结果与Barakos等［15］的基准解一致.同样，本研究对HTLBM和PSLBM的计算效率进行了对比，图5所示为两种方法模拟自然方腔对流Ra=105时，速度残差随CPU时间的变化曲线.可以明显看出，两种方法中残差均呈现震荡下降趋势，且HTLBM收敛快于PSLBM，HTLBM残差收敛到10－7以下时的耗时为PSLBM的57%.图3 方腔自然对流不同Ra数的流线Fig.3 Predicted streamlines of natural convection图4 方腔自然对流不同Ra数的等温线Fig.4 Predicted temperature profiles of natural convection表1 数值解与基准解对比Table 1 Comparison of numerical results between thermal models and benchmarksRa数模型 Numean Numax(y/H) umax(y/H) vmax(x/H) PSLBM 2.247 3.538(0.141) 0.194(0.824) 0.234(0.121) Ra=104 HTLBM 2.242 3.553(0.145) 0.194(0.824) 0.234(0.121) Barakos等［16］2.2453.539(0.143) 0.193(0.818) 0.234(0.119) PSLBM4.512 7.827(0.075)0.128(0.854) 0.256(0.065) Ra=105 HTLBM 4.507 7.723(0.085) 0.134(0.854) 0.260(0.065) Barakos等［16］ 4.510 7.636(0.085) 0.132(0.859) 0.258(0.066) PSLBM 8.809 17.454(0.033) 0.079(0.852) 0.261(0.037) Ra=106 HTLBM 8.792 17.435(0.040) 0.081(0.854) 0.263(0.040) Barakos等［16］ 8.80617.442(0.037) 0.077(0.859) 0.262(0.039)图5 方腔自然对流速度残差变化曲线Fig.5 Velocity residuals variation of thenatural convection3.3 多孔介质非等温流动模拟多孔介质内部结构十分复杂，其流动传热现象也相当复杂.格子Boltzmann方法在模拟孔隙内的流体运动时可以方便地使用反弹格式处理复杂流场，因此，该方法在孔隙尺度模拟多孔介质内部复杂流动上有明显的优势及较高的计算率.对于多孔介质内流动与传热的问题，以往使用比较广泛的是PSLBM和内能DDF模型.本研究将HTLBM用于多孔介质流动与传热分析中，并与PSLBM进行了对比.本研究分析了分形多孔介质中的自然对流，分形结构采用Sierpinski地毯，依次对分形等级N=2和3的Sierpinski情况进行了模拟.无量纲控制参数Pr=0.71，Ra数分别为104，105和106，固体区域温度保持线性温度分布.图6为采用HTLBM计算N= 2分形结构内自然对流得到的流线图，图7为相应的等温线.由图可见，模拟结果与PSLBM一致，随Ra数的逐步增大，传热机理由导热主导变化为对流主导.图8为N=3，Ra=106时的流线图及等温线.由图可见，固体的增多明显地抑制了对流作用.同样对HTLBM在计算效率的问题上和PSLBM进行了对比.图9为Ra=106时两种方法模拟N=2分形结构时的速度残差曲线，此时HTLBM耗时为PSLBM的76%，仍具有优势.图6 多孔介质方腔自然对流流线(N=2)Fig.6 Predicted streamlines of porous cavity(N=2)图7 多孔介质方腔自然对流等温线(N=2)Fig.7 Predicted temperature profiles of porous cavity(N=2)图8 多孔介质方腔自然对流流线及等温线(N=3)Fig.8 Predicted streamlines and temperature profiles of porous cavity(N=3)4 结论本研究简要介绍了几种热格子Boltzmann模型(MSLBM，ELBM，PSLBM，内能DDF模型及HTLBM)，并运用不同热格子模型求解了两个典型算例以及多孔介质流动传热问题，得到如下结论.图9 多孔方腔自然速度残差变化曲线Fig.9 Velocity residuals variation of porous cavity(1)速度场温度场耦合求解的模型还需要进一步发展才能被广泛应用.(2)相比于PSLBM和DDF模型，HTLBM在保证计算精度的前提下，具有较高的计算效率.(3)数值模拟验证了HTLBM在处理多孔介质复杂结构时可行、有效，且比PSLBM 的效率高.参考文献：［1］ QIANY H，D’HUMIERESD，ttice BGK models for Navier-Stokes equation ［J］.Europhysics Letters，1992，17(6)：479-484. ［2］ QIANY H，SUCCIS，ORSZAGS A.Recent advances in lattice Boltzmann computing［M］∥ DIETRICH S.Annual reviews of computational physicsⅢ.New J ersey：World Scientific Publishing Company，1995：195-224.［3］ ZHAOC Y，DAIL N，TANGG H，et al.Numerical study of natural convection in porous media(metals) using lattice Boltzmann method (LBM) ［J］.International Journal of Heat and Fluid Flow，2010，31 (5)：925-934. ［4］严永华，石自媛，杨帆.液滴撞击液膜喷溅过程的LBM模拟［J］.上海大学学报：自然科学版，2008，14(4)：399-404.［5］李青，徐旭峰，周美莲.三维斑图形成的格子Boltzmann方法模拟［J］.上海大学学报：自然科学版，2007，13(5)：516-518.［6］ QIANY H.Simulating thermohydrodynamics with lattice BGK 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第41卷第1期东北电力大学学报Vol.41，H 2021年2月Journal Of Northeast Electric Power University Feb,2021D O I： 10. 19718/j.issn. 1005-2992.2021-01-0048-08求解辐射传输方程的多松弛格子-Boltzmann模型刘晓川\王存海2,黄勇、朱克勇1(1.北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京100191,2.北京科技大学能源与环境工程学院，北京100083)摘 要：针对福射传输方程，文中提出了一种多松弛格子-B o l t z m a n n模型（m u l t i p l e-r e l a x a t i o n-t i m el a t t i c e B o ltz m a n n m o d e l).基于扩散尺度下的M a x w e l l迭代，辐射传输方程可以严格地从格子B o l t z m a n n方程推导得出•一些数值案例用来验证本文提出的多松弛（M R T)格子-B o l t z m a n n模型的数值特性.结果表明本文提出的多松弛格子-B o l t z m a n n模型可以稳定及精确地求解参与性介质中的瞬态及稳态辐射传输问题.并且，该模型具有二阶精度.关键词：辐射传输方程;格子-B o l t z m a n n方法;多松弛模型中图分类号：T K121 文献标识码：A辐射传输方程描述了辐射能量在介质中的传递，在许多科学和工程领域具有重要作用，例如大气辐 射传输[1]、光学层析成像[2]、天体物理学[3]及核工程[4]等.辐射传输方程是一个高维、复杂的积分微分 方程，辐射强度涉及波长、时间、空间和角度等,求其解析解十分困难.学者们提出发展了很多种数值方 法来求解辐射传输方程,如蒙特卡洛法[5]，离散坐标法[6]，有限体积法[7]，有限元法[8]等.近年来，利用格子-Boltzmann方法（L B M)来求解辐射传输方程吸引了许多学者的兴趣.L B M起源 于格子气自动机，已经发展成为了一种计算流体力学的有力数值工具[9].并且,L B M已经被拓展到求解 许多线性和非线性系统问题，例如声子输运[1°],波传播[11]，反应扩散,对流扩散等.相比于其他的求解辐射传输方程的数值方法，L B M不需要计算大量的光线轨迹，也不需要离散复杂的偏微分方程. L B M具有容易实现，高并行效率等优点•目前，对于利用L B M来求解辐射方程还不完善，发展完善的 L B M用于求解辐射传输方程是必要的.1^3111^等[14]假定了可调节的虚拟光速和辐射平衡条件，将L B M推广到分析参与性介质中的辐射 问题.M a等[~基于辐射流体力学，提出了一维辐射的格子-Boltzmann模型.Zhang等[16]通过采用全隐 式后项差分格式处理辐射方程中的瞬态项，将L B M扩展到求解参与性介质中的一维瞬态辐射传输. Mink等[171在将P1近似应用辐射传输方程的基础上提出了一种三维的格子-Boltzmann模型，然而此模 型仅适用于光学厚介质.Y i等[18]通过引入虚拟的扩散项，将辐射传输方程视为一种特殊的对流扩散方 程，从而提出了一种二维稳态射传输方程的格子-Boltzmann模型.W a n g等[19_将瞬态辐射传输方程处 理为双曲守恒方程，然后提出了 一■种求解瞬态辅射和中子输运的格子-Boltzm ann模型.目前，求解辐射方程的多松他的格子-Boltzmann模型还未见报道.本文提出了一种多松她格子-Bo­ltzmann 模型 （multiple-relaxation-time l a t t i c e Boltzmann mode丨）■基于扩散尺度下的 Maxwell 迭代，福射传收稿日期：2020-11-09基金项目：国家自然科学基金（s is M o o w g c te o i4)第一作者：刘晓川（1992-),男，在读博士研究生，主要研究方向：航空科学与工程通讯作者：黄勇（1974-),男，博士，教授，主要研究方向：航空科学与工程电子邮箱：liuxiaochuan@(刘晓川），wangcunhai@ustb_(王存海），huangy@(黄勇），zhukeyong@buaa.edu_cn(朱克勇）第1期 刘晓川等：求解辐射传输方程的多松弛格子-Bohmiami模型 49输方程可以严格地从格子Boltzmann方程推导得出，并且不引人任何限制和近似.本文发展的多松弛格 子-Boltzmann模型可以精确地求解参与性介质内的多维瞬态及稳态辐射传输问题.数值结果表明该模 型具有二阶精度和收敛速率.并且，相比于单松弛模型，多松弛模型具有更好的稳定性.该模型可以进一 步推广到求解参与性介质内的辐射传输问题.1福射传输方程的多松她格子-B o l t z m a n n模型1-1辐射传输方程考虑吸收、发射和散射介质内的辐射传输方程，其离散坐标形式可以写为[2°]dl(r,rr,t) +f f, v/(r；i T^)+/3(r)l(r,f r,t)=S(r,n r,t)，(1)cLdt公式中心为介质内的光速;/为辐射强度;r为位置坐标冶+屹为衰减系数;/r + V")+ 为离散方向，源项S可以表示为s(r,n r,t)^kaib(r,{T,t)+^J j i{r,i r')(p(n r\n n)w m',(2)47T m，=1公式中A为总的离散方向，=1,2,…，八^' = 1,2,…，yv;M；m'为对应方向的权重.考虑漫发射和反射壁面，边界条件可以写为I(rw,{r,t)^e wIb(rw,t)+^-^I(rw ,f T') \nw -HT'\w m' + (\ - p j r\rw J F",t) ,(3)17 <Q公式中:&为发射率;Pu，为反射率;广‘为外部人射辐射强度.1.2 多松弛格子-Boltzm ann模型瞬态辐射常常发生于极短的时间内，在瞬态辐射的模拟中，通常引入无量纲时间来避免过小的时间 步长.将无量纲时间T心代人方程（1)中，得到时间无量纲形式的辐射传递方程[21]di(r,n",t) +L f f. v/(r)/2m,r)= F(r,/r,f*),⑷dt'公式中F{r,n r,r) = i R s{r,{r,r)-L^i(r,f r,r),(5)公式中:心为介质的参考长度.本文提出的时间无量纲形式的辐射传输方程的格子Boltzmann方程如下/(r + c^*,t*+A t')-/(r,t*)=--^(r.t*)] + A t'X),j(6)公式中:/(r，〇为分布函数;M为变换矩阵;S = 士叫U a,…人）为松弛参数矩阵，平衡函数的表达 式为r i(r,n r x)•跑-改2c?辐射强度可以由平衡函数给出，关系如下/(r，/r，〇=-(7)(8)50东北电力大学学报第41卷L B M方法中采用D m Q n格子模型，对于一维和二维问题，本文分别采用D1Q3和D2Q9模型.对于 D1Q3模型,其格子信息为[c〇,c, ,c2] =e；c = [0 1 -l]c,c [2/3,i =0c s=—,(0： = \ll/6,i = 1,2(9)(10)M0 12 一：-1对于D2Q9模型，其格子信息为(11)M C6,C7，C8] y =.0100 1-1-111-11-1l-l- i.c, (12)「4/9，/ =:0ccs = — 〇jt=,1/9,i =]，2,3,4(13).1/36,i=5,6,7,8111111111)-4-1- 1--122224-2- 2-2- 21111010-01—1一 110-20201-1-11•(14) 00 10-111-1-100 - 20211-1-101- 11-1000000 0001-11-h13从格子Boltzm ann方程到辐射传输方程本节基于扩散尺度=7(4幻2下的Maxwell迭代，不引入任何限制和假设，从多松弛格子- Boltzmarm模型严格推导得出辐射传输方程.这种扩散尺度是针对模型中的无量纲时间步长和空间步长 的尺度.首先，令/8U，r))f，w =(叫,叫，…，叫）'时间无量纲形式的 辐射传递方程(6)可以写成矢量形式f(r + ciA t，,r+A t f)-/e9(r,〇] + A t'wF(r,t m),(15)方程（15)左边应用Taylor展开，其中微分算子D' 矩阵/(r + e,A%,«* +y{Ax)2)~^ (A x)*£)s/(r,t*),s = 1〇,=y(E,dx+ E yd y)p(ydt'),P*^s p\q\’A s d i a M e o y e m…，e8,J…，e^)，(16)(17)(18)第1期刘晓川等：求解辐射传输方程的多松弛格子-Bohzmami 模型51公式中和g 均为非负整数.令m = M •/>〃 = M •/%，将Taylor展开形式代入方程（15)并整理得到00工(A x )sDsm =- S [m - me tf] + y (A x )2FMco ,s= 1其中D ^-M D ^-y CE,SX +E ,3y V (y s r yI'*^sp \ q \E t =ME M'E y =M E M '1 .(21)**jJ、’c o定义算子A = X (4幻]5\方程（19)可重新写为s= 1m =m e " -S 'Lm + y (A x )2FS~'Mu , (22)基于扩散尺度下的Maxwell1221迭代，从m° = m 〜开始，方程（19)经过三次迭代得到：m = m" -S ~'[A x D ' + (A x )2D2 + (A x )3D ,]me ，1 + [A x S ^D 1 + (A x )2S ^,Lf2]2ma ,-+7(4.«)2厂5_|财如 + 0((4x )4) ,(23)根据矢量方程(23)的第零项及各算子作用结果，可以得到辐射传递方程a /(r ,/7",f } +L r H" • V /(r ,/T ,<*) = F (r ,/T ,t *) +0((A x )2) ,(24)dt *至此，我们从多松弛格子-Boltzmann模型出发，基于扩散尺度下的Maxwell迭代，严格推导得出了辐射 传输方程，并且可以从方程(24)理论上得出该模型具有二阶的精度.一般而言，对于对流扩散问题，计 算流体力学等问题的L B 模型，其中的松弛系数与宏观方程中的扩散系数，流体黏性系数等有定量关系. 需要指出的是，根据从多松弛格子-Boltzmann模型严格推导得出辐射传输方程可知，本文提出的多松 弛格子-Boltzmann模型中的松弛参数均是自由的，与其他参数无关.对于一维和二维L B 模型，我们取 如下的松弛参数矩阵(19)(20)S = diag( 1 ,ir,l ) ,(25)S = diag(l,l,l,ir,l,5r,1,1,1) ,(26)对流扩散方程的多松弛L B 模型也采用了同样的处理方法，其中一维模型中的松弛参数，二维模型中 的松弛参数h 和s 5与扩散系数有关，而其他的松弛参数均取1.由于松弛矩阵中的松弛参数有无限种组 合方式，因此出于通用性考虑，我们选择了这种处理方法.同时需要指出的是当松弛参数矩阵中的松弛 系数相同时，多松弛模型退化到单松弛模型，即松弛矩阵中的松弛参数均为V2 结果及分析2.1 具有高斯型发射场的一维无限大平板考虑一充满吸收发射性介质的一维无限大平板内的辐射传递问题，平板内具有一高斯型发射场，该 问题由如下方程控制^+/3l ^e -u -b )2/a 2,z,b e [0,1] ,(27)考虑如下边界条件52东北电力大学学报第41卷I (〇,〇 =f 3-]e -b 2/a \ ^>0,(28)该问题存在解析解形式，其表达式如下/(2〇 =/(0，f )e x p ( —,)| 2 - (^ + 6)}X [erf (|+^)-erf (f +a )l ^>0, (29)考虑方向f = 1. 〇，a =〇• 02,6 = 0. 5，采用L B M 来模拟衰减系数为/3 = 1，10和50 时介质内辐射强度的分布，取1〇〇个格子，无量纲时间步长取土‘ =0.000 1，单松弛模型得到的结果和解析解对比，如图1所示,L B M 得到的辐射强度分布和解析解得到的辐射强度分布吻合地很好.接下来，我们进一步研究一维多松弛模型的稳 〇.〇4定性和精度.为了研究稳定性，我们考虑衰减系数为 10 nT1的情况，取100个格子，研究不同松弛参数下|所允许的最大时间步长.数值解和解析解的相对误| 〇.〇2 差定乂为Er = ^-------------(30)丨稳定性标准为数值解和解析解的相对误差小于 10'表1给出了不同松弛参数下所允许的最大时间 步长，不同参数的最大时间步长得到是根据我们定 义的稳定性标准，然后通过数值实验得到的，可以发现多松弛模型允许的最大时间步长可以随松弛参数调整，尤其当松弛参数小于1时，所允许的时间步长 大于单松弛模型，结果表明相比单松弛模型，多松弛模型可以在更大的时间步长内保持稳定，具有更好 的稳定性•多松弛模型的碰撞过程发生在矩空间，与多个速度分布函数相关联，相比单松弛模型发生在 速度空间的碰撞，多松弛模型本身在稳定性方面展现了很大的优势,数值结果证明了多松弛模型在稳定 性上的优势.此外，表2给出了不同格子数下单松弛和多松弛模型的相对误差，可以看出多松弛模型相 比单松弛模型具有更高的精度.图1衰减系数为卢=1,丨〇和501^时LBM 得到的辐射强度分布和解析解对比表1衰减系数/3 = 1〇 n T 1,100个格子下，单松弛（B G K )和多松她（M R T )模型允许的最大时间步长sr =0• 6sr =0. 8 sr =l.O(BGK)sr = 1 • 2sr = l • 4y m a x 22.618.413.28.2 4.1W ax2.26 e-31 • 84 e-31.32 e-30. 82 e-30.41e-3表2衰减系数/3 = 10n不同格子数下,单松弛（B G K )和多松弛（M R T )模型的相对误差格子数sr =0. 65r =0. 85r = l .2sr = 1.4BGK MRT BGKMRT BGK MRT BGK MRT 100 4.24 e-27.72 e-3 1. 14 e -2 3.09 e-3 4. 14 e-3 1.71 e-3 5.79 e-3 3.02 e-3150 1.82 e-2 3.24 e-3 4.84 e-3 1.25 e-3 1.85 e-37.77 e-4 2.54 e-3 1.35 e-32001.01 e-21.79 e-32.68 e~36.83 e—41.04 e-34. 40 e-41.42 e-37.57 e -42.2受高斯型脉冲照射的一维纯散射介质考虑厚度为1 m 的一维半透明平板介质内的瞬态辐射传输问题.介质为各向同性散射，壁面和 介质温度均为〇K，无发射.介质边界为透明边界，环境为真空.平板介质的衰减系数为1 nT1，右侧边界 无照射，左侧边界受到如下法向平行光人射辐射的照射：第1期刘晓川等：求解辐射传输方程的多松弛格子-Boltoimmi 模型53lp(0,t ) = /〇exp [//(〇 ,(31)公式中:/。

（ n － 1） = f0 （ 1） （ n － 1） = f1 （ 2） （ n － 1） = f2 （ 3） eq 3
（ 5） （ i = 0， 1， 2， 3）
有关 （ 3 ） 式 是建立在离散速度模型的基础上， 最具 ［17 ］ 有代表性 的 离 散 速 度 模 型 是 DaQk 模 型 ， 此处 Da 表示空间维数， a 的取值为 1 、 2、 3 等； Qk 表示离 k 的取值为 3 、 5、 7、 9、 15 、 19 等。 对 散速度方向数， 常用的离散速度模型是 D1Q3 模型和 于一维情况， D1Q5 模型， 本文选用 D1Q5 模型。在多尺度问题处 理上， 采用改进的多尺度处理方法， 即空间坐标不进 只对时间坐标引入 5 个时间尺度的 行多尺度处理， 方法 ； 然后以多尺度分析为手段通过待定系数法 可以确定 D1Q5 模型对应的修正的 Burgers 方程的 平衡态分布函数为
1
坡面流运动方程
坡面流运动过程可用运动波方程进行描述 ， 即
{
q h + =r x t 1 /2 q = h5 / 3 S1 0 n
S0 = q— — —单宽流量， m3 / s t— — —时间， s x— — —坡面某点至坡顶的距离， m n— — —曼宁糙率系数 S0 — — —坡面坡度 r— — —净雨强度， m /s — —坡面倾角 ω—
的关 注
［5 － 12 ］
。已 有 研 究 人 员 成 功 地 运 用 格 子
Boltzmann 方法， 对一些复杂的流动与传热问题进行 了卓有成效的研究， 但迄今有关格子 Boltzmann 方 法 应 用 于 坡 面 水 流 运 动 的 研 究 寥 寥 无 几， 格子 Boltzmann 方法和 Preissmann 隐式差分法在坡面水 流运动过程的应用对比研究更是寥寥无几 。本文拟 运用格子 Boltzmann 方法和 Preissmann 隐式差分法 通过算例进行对比分析并深 求解坡面流运动方程， 入探讨。

格子玻尔兹曼方法格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它是由美国物理学家Hardy-Pomeau-Zaleski和Frisch-Hasslacher-Pomeau两组独立研究小组在20世纪80年代末提出的。

LBM模拟流体的基本思想是将流体看作由大量微观粒子（或分子）组成的，这些微观粒子遵循玻尔兹曼方程描述的碰撞-漫射过程，从而实现对流体宏观宏观流动行为的模拟。

LBM的基本思想是在一个规则的空间网格上，通过碰撞和漫射过程来模拟流体的宏观运动。

在每个网格节点上，通过分布函数来描述流体粒子的密度和速度。

通过在每个时间步内，首先对流体粒子进行碰撞，然后进行漫射，来模拟流体的宏观运动。

这种方法不需要求解流体的宏观宏观运动方程，而是通过模拟微观粒子的运动来得到流体的宏观运动行为。

LBM的优势之一是其并行计算能力强，适合于在大规模并行计算机上进行流体动力学模拟。

另外，LBM还可以很容易地处理复杂的边界条件和多相流等问题，这使得它在工程领域得到了广泛的应用。

LBM的发展历程可以追溯到20世纪80年代末，当时，美国物理学家Hardy-Pomeau-Zaleski和Frisch-Hasslacher-Pomeau两组独立研究小组提出了这一方法。

随着计算机技术的不断进步，LBM在流体动力学领域得到了快速的发展。

目前，LBM已经成为了流体动力学研究领域的一个重要分支，得到了广泛的应用。

总的来说，LBM是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它通过模拟流体微观粒子的碰撞和漫射过程来模拟流体的宏观运动行为。

LBM具有并行计算能力强、适合处理复杂边界条件和多相流等问题的优势，因此在工程领域得到了广泛的应用。

希望随着计算机技术的不断进步，LBM能够在工程实践中发挥更大的作用，为工程问题的解决提供更加有效的方法。