格子Boltzmann方法的原理及应用--第10章

格子波兹曼方法
格子波兹曼方法（Lattice Boltzmann Method, LBM）是一种广泛应用于计算流
体力学领域的数值方法。

它基于分子动力学模型，通过离散化空间网格和时间步长来模拟复杂的流体流动问题。

格子波兹曼方法通过将流体宏观物理量离散化到网格上的节点，使用分布函数
描述流体粒子的运动。

流体粒子在相邻节点之间以一种特定的方式进行碰撞和传播，模拟流体的宏观行为。

格子波兹曼方法相对于传统的Navier-Stokes方程求解方法具有多个优势。

首先，它因其并行化的能力而广泛应用于高性能计算中。

其次，LBM的离散化框架使得
它在处理具有复杂边界条件和多相流问题时更加灵活。

此外，LBM对于非连续和
非均匀流体介质的模拟效果也相对较好。

格子波兹曼方法在各个领域都有广泛的应用。

在流体力学领域，LBM被用于
模拟自由表面流动、湍流现象和多孔介质中的流动行为。

在微观领域，LBM也被
用于模拟微观流体力学现象，例如微管流动和纳米颗粒悬浮体的输运行为。

除了流体力学领域，格子波兹曼方法还被应用于其他科学领域。

例如，它被用
于模拟热传导、传质过程、相变以及复杂物质的输运现象。

此外，LBM还被用于
模拟生物流体力学、地下水流动、大气动力学和地震波传播等问题。

综上所述，格子波兹曼方法是一个高效且灵活的数值方法，用于模拟复杂的流
体流动问题。

它在计算流体力学领域以及其他科学领域都有广泛的应用前景。

这种方法的进一步发展和应用将有助于我们更好地理解和预测流体行为，并解决相关领域的实际问题。

格子玻尔兹曼方法格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它通过模拟流体微观粒子在格子空间上的运动来描述流体的宏观行为。

相比传统的有限元方法和有限差分方法，格子玻尔兹曼方法具有较好的并行性能和适应性，特别适用于多孔介质流动、复杂边界条件下的流动以及多相流等问题的模拟。

格子玻尔兹曼方法的基本思想是将流体系统离散化为一个个小的流体微团，这些微团在空间网格上运动，并通过碰撞和迁移过程来模拟流体宏观行为。

在每个时间步长内，微团在空间网格上按照一定的规则进行迁移，并在碰撞过程中遵循玻尔兹曼方程，通过碰撞和迁移过程来模拟流体的宏观行为。

通过在空间网格上迁移和碰撞的过程，可以模拟出流体的宏观运动规律，从而实现对流体流动的模拟和计算。

格子玻尔兹曼方法的优势之一是其较好的并行性能。

由于其基于网格的离散化特性，格子玻尔兹曼方法在并行计算上具有天然的优势，能够有效地利用多核、多节点的计算资源，实现对大规模流体问题的高效模拟。

这使得格子玻尔兹曼方法在计算流体力学领域得到了广泛的应用，特别是在大规模流体模拟和高性能计算方面具有很大的优势。

另外，格子玻尔兹曼方法在处理复杂边界条件和多相流问题上也具有一定的优势。

由于其基于微观粒子动力学的特性，格子玻尔兹曼方法能够比较灵活地处理复杂的边界条件，如固体边界、移动边界等，同时也能够较为方便地模拟多相流体的运动，包括气液两相流、多组分流体等，这使得格子玻尔兹曼方法在工程领域的应用具有广阔的前景。

总的来说，格子玻尔兹曼方法作为一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，具有较好的并行性能和适应性，特别适用于多孔介质流动、复杂边界条件下的流动以及多相流等问题的模拟。

它在大规模流体模拟和高性能计算方面具有很大的优势，同时也能够比较灵活地处理复杂的边界条件和多相流问题，因此在工程领域具有广泛的应用前景。

格子玻尔兹曼方法的发展将为流体力学领域的研究和工程应用带来新的机遇和挑战。

一、概述在统计物理学中，格子Boltzmann模型是一种用于研究粒子在晶格上动力学行为的模型。

在正常的Boltzmann统计力学中，粒子的分布是随机的，而多分布格子Boltzmann模型则引入了多个分布函数，用于描述粒子在不同的晶格上的分布情况。

本文将着重介绍多分布格子Boltzmann模型的相关理论和应用。

二、多分布格子Boltzmann模型的基本概念1. 格子Boltzmann模型的基本原理格子Boltzmann模型最早由硅谷大学的研究者提出，其基本原理是将晶格看作是一个离散的空间，粒子在晶格上的位置和动量也是离散的。

而多分布格子Boltzmann模型则是在每一个晶格上引入一个分布函数，用于描述该格子上粒子的分布情况。

2. 多分布格子Boltzmann模型的表达式多分布格子Boltzmann模型的表达式可以写成如下形式：\[ f_i(\mathbf{r},t) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ijk}\phi_{ik}(\mathbf{r},t)\]其中，\( f_i(\mathbf{r},t) \)表示晶格i上粒子的分布函数，\( \alpha_{ijk}\)为一个系数，\( \phi_{ik}(\mathbf{r},t) \)为关于晶格i 上粒子的分布函数。

通过引入多个分布函数，我们可以更准确地描述粒子在不同晶格上的动力学行为。

3. 多分布格子Boltzmann模型的演化方程多分布格子Boltzmann模型的演化方程可以写成如下形式：\[ \frac{\partial f_i}{\partial t} + \mathbf{v}_i \cdot \nabla f_i = \frac{1}{\tau_i}(f_{i, eq} - f_i) \]其中，\( f_{i, eq} \)为平衡态分布函数，\( \tau_i \)为弛豫时间。

这个方程描述了不同晶格上粒子的分布函数随时间的演化情况，是多分布格子Boltzmann模型的关键之一。

201020446(2)　北京师范大学学报(自然科学版)Journal of Beijing Normal University (Natural Science )　139　格子Boltzmann 方法模拟二维轴对称狭窄血管内的脉动流3张立换　康秀英 吉驭嫔(北京师范大学物理学系,100875,北京)摘要　将格子Boltzmann 方法应用到二维轴对称余弦狭窄血管模型,模拟比较加入脉动后流场速度、压强和剪切应力分布,并详细分析了不同狭窄模型、Reynolds 数和Womersley 数对血液流动规律的影响,从而为研究血管壁病变和动脉硬化形成机制提供了有用的理论参考.关键词　格子Boltzmann 方法;Reynolds 数;Womersley 数;脉动流;动脉狭窄3北京师范大学青年科学基金资助项目通信作者收稿日期:2009205219 格子Boltzmann 方法(lattice Boltzmann met hod ,简称LBM )是20世纪80年代迅速发展起来的一种新的流体动力学数值模拟方法[122].与以宏观连续方程的离散化为基础的传统数值方法不同,LBM 从微观层次出发,采用统计物理方法得出流体的宏观特性,而且在可操作性方面,它计算方便,编程易于实现,边界易于处理等优点已经得到广泛地证实.由于心血管疾病多集中于具有复杂几何形状和具有复杂流动特性的区域,流动区域和剪切应力的分布对理解、诊断和治疗这种疾病有很重要的作用.近年来,LBM 在血液动力学方面的应用越来越受到重视[326].本文的主要工作是用格子Boltzmann 方法模拟二维轴对称狭窄血管内脉动流的流动特性.首先对狭窄血管内定常流特性进行了研究,模拟比较不同狭窄模型和不同Reynolds 数对管壁切应力、压强和压力梯度分布的影响.然后对二维轴对称狭窄血管内脉动流的流动特性进行了研究,模拟比较在改变Reynolds 数、Womersley 数时动脉血流的流动特性,找到动脉血流的非定常性对狭窄血管中流场速度、压强和剪切应力分布的影响,从而对常见的心血管疾病发展机制给出物理解释,为进一步分析动脉粥样硬化的形成、发展及其影响提供新的研究方法和理论参考.1　二维轴对称狭窄血管内定常流特性的研究111　管壁几何模型　假定血管的狭窄处为轴对称,如图1所示,狭窄形状采用常用的余弦形状,即y =h2[1+co sπL(x -x 0)],(1)图1　二维轴对称余弦狭窄模型　其中h 是狭窄的最大高度,对应于x =x 0处,L 是狭窄总长度的一半,L x 是血管段的长度,L y 是狭窄发生前的血管宽度.112　数值计算　模拟中,计算网格选为N x ×N y =300×40,狭窄中心处为x 0=121,通过调整h 和L 来控制血管狭窄程度.血管出入口采用压强边界条件[7],管壁边界采用Mei 改进的曲线边界条件[8].为了研究不同狭窄情况下管壁的切应力、压强和压强梯度的变化规律,我们选择3个不同的狭窄模型,如表1.表1　不同的狭窄模型狭窄模型M1M2M3狭窄高度h L y /8L y /4L y /4狭窄长度2L16h 8h 16h 在保证Reynolds 数(Re =ρUL y μ=UL yν,ν=μ/ρ为流体运动学黏滞系数,U 为入口附近的平均速度)一定时,计算得3种模型管壁切应力、压强和压强梯度见　140　北京师范大学学报(自然科学版)第46卷　图2～4.Re =114,狭窄中心x 0=121.图2　3种狭窄模型下管壁切应力分布 从图2中可以看出,管壁切应力振荡的负峰值在靠近狭窄中心(x 0=121)的上游,这个峰值达到一定值后,该部位血管内皮组织易发生机械应力损伤.当狭窄长度一定时,狭窄高度越大,切应力的负峰值越大,如图2中的M1和M2;当狭窄高度一定时,狭窄长度越短,切应力的负峰值越大,如图2中的M2和M3.同时也可以看出在狭窄处的下游切应力变小,特别是M2,血液容易在此处发生流体分离.模拟得到狭窄区域的压强和压强梯度分布如图3和4所示.在相同狭窄长度下,狭窄高度越大,血管狭窄上游压强下降越大,下游压强上升越大,同时狭窄区域前后的压强落差越大,如图3中的M1和M2.另一方面,在相同狭窄高度下,狭窄长度越长,血管狭窄上游压强下降越大,同时狭窄区域前后的压强落差越大,如图3中的M2和M3.压强梯度在狭窄区域波动加图3　管壁上压强分布(Re =114),p 0是狭窄发生前的压强,u 0是x =20处的中心流速 图4　管壁上的压强梯度分布(Re =114) 剧,压强梯度波动最大的是狭窄模型M2(图4),其对应的切应力负峰值也为最大值,狭窄部位管壁切应力与压强梯度的变化规律具有相似性.选择模型M2,比较管壁切应力和狭窄附近的流场分布随Re 的变化规律,如图5和6.从图5中可以看出,狭窄模型一定时,随着Re 的增加,管壁切应力增大,在狭窄区域的下游,切应力的增加相对减小,这是由于出现了流体分离,如图6的流场分布.图6显示了模型M2在不同Re 下狭窄附近的流场分布,可以看出,随着Re 的增大,在狭窄下游管壁处出现流动分离区,且Re 越大,流动分离区越大.113　分析与结论　通过改变参数,我们获得了大量有关狭窄血管中的流场的信息.模拟结果表明,血管局部图5　管壁切应力随Reynolds 数的变化曲线(狭窄模型M2)　第2期张立换等:格子Boltzmann方法模拟二维轴对称狭窄血管内的脉动流141图6　不同Re下的流场分布(M2,Re=114、215、318)狭窄会对血液的流动状态产生明显的影响,从而带来一系列的生理和病理方面的复杂变化.例如,动脉硬化斑块主要发生在几何形状急剧变化和高Re流动状态的血管内.在动脉硬化斑块发展的初期,血管狭窄度比较小,对于黏度是常数的血液流体,其Re比较小,无流动分离,管壁切应力可能达到临界应力值,对狭窄上游血管壁内皮细胞造成损伤,使壁面进一步异常增生,导致血管狭窄度增加,进而导致此处流动Re的增加.当血管狭窄增大到一定值时,在狭窄下游管壁附近就会有流动分离区形成,在该区域内血液会发生滞留,血液中的血小板和纤维蛋白就会沉积,并在血管壁处形成网络结构致使血液中的脂质颗粒沉积,而最终导致动脉粥样硬化现象的出现.同时,狭窄度较大时,对应的压力梯度的值也会较大,也可以反映病变血管的异常血液流动情况.2　二维轴对称狭窄血管内脉动流的流动特性选择模型M2为研究对象,模拟中选取周期T=10000,流动的Womersley数(α=L y2ων,ω=2πf=2π/T是脉动的角频率)为α=31357,入口压强随时间周期性变化,即p(0,t)=Δp cosωt+p out,Δp为一常量,出口压强pout设为定值,图7显示一个周期8个不同时刻的脉动流管道中心中轴线上的压强分布.从图7中可以看出,中轴线上的压强不是线性变化,在靠近狭窄部位压强下降幅度明显增加,在最大狭窄处附近压强出现极小值,狭窄下游压强又逐渐回升,远离狭窄后,压强变化逐渐恢复类直管变化趋势,并且压强随时间的波动存在一定的滞后,如图中1/8T和7/8T,2/8T和6/8T以及3/8T和5/8T不完全重合.狭窄中心x0=121,狭窄长度为78.图7　iT/8时刻中轴线上的压强分布　142　北京师范大学学报(自然科学版)第46卷　脉动流前半周期的流场分布如图8所示.从图中可以看出,在T/4时刻,在狭窄下游管壁附近开始出现流动分离区,且分离区逐渐扩大,如3T/8时刻,接着又缓慢消失,如T/2时刻,流体平滑地流过凸包.图8　脉动流在前半周期内不同时刻的流场分布 需要注意的是心脏的周期性泵血作用使动脉中的血液以脉动的形式流动,动脉中血液流动的参量———压强、流量等流动参数也会随时间变化,虽然动脉中血液的流动是脉动流而不是定常流,但动脉中血流的方向平均来说却是始终不变的,即总是从动脉流向毛细血管,再流向静脉.因此,可以把由心脏收缩和舒张所引起的动脉中的脉动流看作是一定常流分量与一振荡分量的叠加,即在图8所示的流场分布中叠加上一个定常流,最终倒流的出现时间将非常短暂,且流速很小.对应于一个周期中的不同时刻,我们发现,管壁切应力的随时间的波动也存在一定的滞后.如图9给出前半周期的切应力分布.3　结束语我们讨论了二维余弦狭窄血管中血液流动的切应力、流场速度、压强和压强梯度在不同狭窄模型和不同图9　前半周期内管壁切应力的变化曲线Re下的分布规律,所得结论与用其他实验,理论和数值模拟得到的结论相同[9211],但用LBM方法编程简单,参数易于选择,从分布函数就可以得到所有主要宏　第2期张立换等:格子Boltzmann方法模拟二维轴对称狭窄血管内的脉动流143观量,证实了LBM在此模型下的适用性.考虑到血液流动的脉动性,研究了一个脉动周期中流场的变化特点,并与定常流动比较,分析其差异.由于Womersley数的选择在血流参数范围内,故认为上述结论具有参考性.值得注意的是,流动分离区并不同于定常流动所述那样在管壁处停留,而是随着时间的演化,流动分离区间歇性的出现,如对α=710797的流场分布模拟显示,与α=31357的不同点是流动分离区在管壁附近产生后,随着时间的推移,又会向管轴附近发展.与定常流情况下在Re达到300后才出现明显的分离区不同,对于脉动流,在Re较小时,就已经可以观察到明显的流动分离区了.4　参考文献[1]　Qian Y H,d’Humieres D,lallemand ttice B GKmodels for Navier2Stokes equation[J].Europhys Lett, 1992,17:479[2]　Chen H,Chen S,Matthaeus W H.Recovery of theNavier2Stokes using a lattice2gas Boltzmann method[J].Phys Rev A,1992,45:R5339[3]　Artoli A M,Kandhai D,Hoef 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TWO2DIMENSIONALSYMMETRIC STENOTIC ARTER Y BYTHE LATTICE BOL TZMANN METH ODZHAN G Lihuan　KAN G Xiuying　J I Yupin(Depart ment of Physics,Beijing Normal University,100875,Beijing,China)Abstract　In t his st udy t he lattice Boltzmann met hod has been applied to a two2dimensional symmet ric stenotic artery.The velocity,p ressure and shear st ress distribution of blood flow were simulated and compared when p ulsatio n over t he blood was added.We have observed t he impact of blood flow when changing t he steno sis struct ure,Reynolds number and Womersley number.These data provide a p hysical explanation for blood vessel lesions and arterio sclero sis.K ey w ords　lattice Boltzmann met hod;Reynolds number;Womersley number;p ulsating blood;steno sed artery。

格子玻尔兹曼方法格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它是由Lattice Gas Automata（LGA）经过演化和发展而来的。

LBM是一种离散的方法，它通过在空间网格上模拟分子碰撞和传输过程来描述流体的宏观运动。

与传统的有限差分法、有限体积法相比，LBM具有计算效率高、并行性好、适应复杂边界条件等优点，因此在流体力学领域得到了广泛的应用。

LBM的基本思想是将流体系统离散化，将连续的流体宏观运动转化为离散的微观碰撞和传输过程。

在LBM中，流体被看作是由大量微观粒子组成的，这些微观粒子在空间网格上按照一定的规则进行碰撞和传输。

通过对微观粒子的运动状态进行统计，可以得到流体的宏观性质，如密度、速度等。

LBM的核心是格子玻尔兹曼方程（Lattice Boltzmann Equation，简称LBE），它描述了微观粒子在空间网格上的运动规律。

在LBM中，流体的宏观性质由分布函数来描述，分布函数是表示在某一时刻某一空间点上流体微观粒子的分布情况。

在每个时间步内，分布函数按照一定的规则进行碰撞和传输，通过迭代计算可以得到流体在空间网格上的演化过程。

LBM的计算过程可以并行化，因此在计算效率上具有明显的优势。

LBM的另一个优点是它对复杂边界条件的处理能力强。

由于LBM是基于离散网格的方法，因此可以比较容易地处理复杂的边界条件，如曲面边界、移动边界等。

这使得LBM在模拟复杂流体系统时具有一定的优势。

除此之外，LBM还有一些其他的优点，如对多相流、多孔介质流动等复杂流体现象的模拟能力强，对于非稳态流动和湍流流动的模拟也有一定的优势。

总之，格子玻尔兹曼方法作为一种新兴的计算流体力学方法，具有诸多优点，逐渐得到了流体力学领域的广泛关注和应用。

随着计算机硬件性能的不断提升，LBM的应用前景将更加广阔，相信它会在流体力学领域发挥越来越重要的作用。

嵌段聚合物微相分离后期相区粗化过程的格子Boltzmann研究利用嵌段共聚物的微相分离形成有序图案,正在成为制造纳米器件和模板的一种新手段,对其有序或部分有序结构的预测、设计和控制己成为当前新材料领域关注的焦点,因此,对微相分离的动力学研究也具有明确的现实意义.由于不同单体间存在化学键的连接,嵌段聚合物发生微相分离时的动力学过程,尤其在微相分离的后期阶段,与聚合物共混物有很大不同.当共混物熔体进入亚稳相分离(spinodal decomposition,SD)分相的后期阶段,相区域的后期增长随时间的增加具有幂指数规律,而其具体的增长指数则决定于相区域的增长机理[1].对于嵌段聚合物发生的微相分离,到目前为止,其微相分离后期的标度率仍存在较大争议[2~4].格子Boltzmann方法(LBM)是一种用来模拟流体或流体中物理现象的数值方法,格子Boltzmann方法的基本思想是结合必要的微观或介观过程的物理性质建立简化的动力学模型,使其宏观性质的均值符合宏观连续性方程[5].与传统的基于宏观连续性方程的流体力学计算方法相比,格子Boltzmann方法基于微观模型和介观动力学方程,更适于与微观模型或介观理论结合,并且已经被成功地应用到二元流体相区粗化过程的标度研究中[6~8].在前面的工作中,应用格子Boltzmann模型,我们探讨了二元聚合物共混物的分相后期,相区尺寸随时间的增长指数与高分子链长和Flory-Huggins相互作用参数的关系[9].对于嵌段共聚物,以往的模型由于种种原因,多采用维象的参数,或者忽略流体效应,故这方面的研究甚为缺乏.本文采用与自洽场理论相结合的格子Boltzmann模型,对嵌段聚合物微相分离后期的相区粗化过程进行了模拟.对于多相流体的LBM模拟,以自由能形式的计算方法应用最为广泛.自由能形式的格子Boltzmann方法[10]通过引入合适的自由能形式可以达到正确的热力学平衡,并且能够对高分子共混体系的相行为进行综合描述.在前面的工作中,由于采用了Flory-Huggins的自由能函数形式,只能对共混体系进行模拟.本文通过自洽场理论的引入,实现了针对嵌段共聚物的模拟.到目前为止,自洽场理论已发展为系统、完整的理论,其不仅能够考虑高分子链的结构,提供链段密度的空间分布和相结构等热力学信息,而且在平均场层次上,也是最为精确的理论[11].应用本文所提出的模型,研究嵌段聚合物微相分离后期的相区粗化过程,对于微相分离后期的标度关系的理解,能够提供有益的补充.由于本模型不再采用维象的参数,研究高分子链长和Flory-Huggins相互作用参数对微相分离后期标度的影响将有利于加深对微相分离动力学过程的认识.1 模拟方法对于流体的模拟,在微观、介观、宏观尺度上可分别用牛顿力学、统计物理和描述动量守恒的Navier-Stokes方程描述. LBM可视为连续的Boltzmann输运方程的一种差分求解形式.LBM的演化方程为[12]:fi(x+eiΔt,t+Δt)=fi(x,t)-(fi(x,t)-feqi(x,t))/τ(1)式中,fi(x,t)是t时刻、x位置以ei速度运动的粒子数;ei为i方向的单位速度向量,由不同的速度离散模型决定[12];Δt为时间步;τ=λ/Δt为与流体黏度有关的无量纲松弛时间参数,动态黏度η与τ的关系为η=(2τ-1)/6.常用的二维条件下的速度离散模型有D2Q6,D2Q7和D2Q9模型[10].这里我们采用D2Q9模型,D表示维数,Q后面的数字表示离散得到的速度方向的个数.D2Q9模型将空间离散成正方形格子,与D2Q6模型的三角型格子相比应用更加广泛.其速度离散为9个方向的单位速度向量,分别为:ei=(0,0)Δx/Δti= 0(cos[(i-1)π/2],sin[(i-1)π/2])Δx/Δti=1→42(cos[(i-5)π/2+π/4],sin[(i-5)π/2+π/4])Δx/Δti= 5→8(2)其中,Δx为格子长度.为提高模拟的数值稳定性,我们采用了Qian提出的FP(fractional propagationscheme)格式[13],FP格式中的演化方程改进为:f′i(x,t)=fi(x,t)-(fi(x,t)-feqi(x,t))/τ(3)fi(x,+eiΔt,t+Δt)=f′i(x,t)+θ(f′i(x-eiΔt,t)-f′i(x,t)) (4)此时,动态黏度η与τ的关系为η=θ2Δx2(τ+1/(2θ)-1)/3Δt,而θ与动态黏度η有关,较小的θ可以提高模拟的数值稳定性.通过选择适当的平衡分布函数feqi,可得到密度ρ和流速u的动力学方程.对于D2Q9模型,通常采用的平衡分布函数为[2]:feqi=wiρ1+3(ei·u)+92(ei·u)2-32u2i= 0→8 (5)式中,w0=4/9,wi=1/9(i=1→4),wi=1/36(i=5→8).在Swift[10]的自由能LBM中,通过压力张量Pthαβ的引入得到了描述两相流体的动力学方程.但外加的压力张量也带来了LBM模型中f0所占比率的改变,而从LBM模型可知,此比率与温度相关,因而破坏了流体的等温性.本文通过作用力项Fi(x,t)的引入得到对两相流体的描述[9].为描述非理想流体,方程(3)化为:f′i(x,t) = (fi(x,t)-feqi(x,t))/τ+Fi(x,t)(6)其中,Fi(x,t)为两相间由于热力学作用而导致的粒子密度分布函数的改变,对于流体的宏观流动过程,Fi(x,t)表达了两相间相互作用对流动过程的影响.Fi(x,t)的定义如下[7]:∑iFi= 0(7)∑ieiαFi=aα(8)∑ieiαeiβFi= 0 (9)aα=θ(φ αΔμ)-Δq(10)这里,q为Inamuro等针对研究对象的不可压缩性提出的矫正项[14],q的计算可由解如下方程得到:Δ2q=Δθ(φαΔμ) (11)由动量和质量守恒方程可得Fi(x,t)的表达式:Fi= 3ei·ac2(12)对于二元流体,自由能LBM增加了序参量的演化方程,用以描述序参量的扩散过程[8]:g′i(x,t)=gi(x,t)-(gi(x,t)-geqi(x,t))/τg(13)gi(x+eiΔt,t+Δt) =g′i(x,t)+θ(g′i(x-eiΔt,t)-g′i(x,t)) (14)式中,τg为无量纲松弛时间参数;gi通过下式定义:φ=∑igi(15)定义高阶动量如下[10]:∑igeqieiα=φuα(16)∑igeqie1αeiβ=c2ΓΔμδαβ+φuαuβ(17)式中,Γ与流体的迁移率有关,α,β为坐标;μ为化学势;φ为熔体中AB两相的体积分数差.为简化讨论,本文假设两相流体密度相同,此假设不会改变文中所研究的相区增长的特征关系[15].geqi(x,t)的系数可通过描述动量和质量守恒的关系式(15)、(16)和(17)得到:geqi=ξi+ξ′iuαeiα+ξ″iuαuα+ξiuαuβeiαeiβi= 0→8 (18)其中,参数ξ,ξ′,ξ″和ξ分别为:ξ=φ-5ΓΔμ6 i= 0ΓΔμ6 i=1→4ΓΔμ24 i= 5→8ξ′=0i=0φ3c2 i= 1→4φ12c2 i=5→8ξ″=-2φ3c2 i= 0-φ6c2 i=1→4-φ24c2 i= 5→8ξ =0 i= 0-φ2c4 i= 1→4-φ8c4 i= 5→8(19)这里,化学势μ可由具体的自由能形式得到.针对嵌段共聚物,我们采用基于自洽平均场理论的自由能形式[11,16].自洽平均场理论为平均场模型,自洽场即是求解由多体相互作用简化成的外加势场.通过平均场近似,可以把高分子链划分为统计意义上相互独立的子链,目前一般采用高斯链近似,即无规行走的理想链模型,而通过路径积分可以计算不同构型子链的概率分布.令ri和rj分别为第i和j个链节所在位置,路径积分QI(i,ri;j,rj)为端点固定在ri和rj上的子链的统计权重,i代表链段的种类A或B,则在外加势场涨落不大的条件下,它符合以下方程[17]: iQi(0,r0;i,r) =a2I6Δ2-ωUI(r)QI(0,r0;i,r) (20)式中,aI为Kuhn链节长度,是一条粗粒化链的基本单位,ω=1/kBT,kB是玻尔兹曼常数,T是绝对温度,UI(r)为势场,它与化学势的关系为:UI(r)=χ∑I′ρI′(r)-μI(r) (21)其中,χ为两组分的相互作用参数.QI(i,ri;j,rj)的初始条件为:QI(0,r0;i= 0,r) =δ(r-r0) (22)假设所讨论的系统体积为V,采用周期性边界条件,每种高分子链的数目为nI,链长为NI,则链段密度符合以下方程:ρI(r) =nI∫NI0di∫dr0∫drNIQI(0,r0;i,r)QI(i,r;NI,rNI)∫dr0∫d rNIQI(0,r0;NI,rNI)(23)由高分子统计理论的自洽场模型有:F(ρ)=-1βlnΦnn!-∑I∫UI(r)ρI(r)dr+∫χρA(r)ρB(r)dr(24)Φ为外场UI下的高斯链的配分函数[17]:Φ≡Trcexp-ω32ωa2∑Ni=2(Ri-Ri-1)2+∑Ni=1Ui(Ri)(2 5)其中Trc(·) =1ΩV∫N(·)ΠNi=1dRi(26)Ri为描述单体位置的矢量,Ω为归一化系数.自洽场方程的求解可分为实空间的求解方法和谱方法.与实空间的求解方法相比,谱方法计算迅速准确,适于确定热力学稳定相,但要求已知微观相的对称性.Doi等提出的实空间求解方法[16],将自洽场理论推广到软物质体系动态过程的研究.本文采用的是这种实空间的自洽场模型.对于动态问题,需要叠代求解方程(20)~(23)以得到与链节分布相对应的外加势场,再通过扩散方程与流体动力学方程来描述动力学过程.需要注意的是,本文的模型没有考虑随机力的贡献,虽然考虑随机力的条件下有可能会改变最终得到的相区尺寸增长的指数.但对于实空间的模型来说,忽略涨落效应不会影响本文的结论[11].另外,考虑到计算量的关系,模拟在具有周期边界条件的尺寸为128×128的二维格子中进行.同时,为消除尺寸效应的影响,我们对比了格子尺寸分别为1282和2562的模拟结果,从结果上发现,二者在数值上总体差别不大,其原因在于,所模拟的系统相区尺寸已经远小于模拟采用的格子尺寸大小.所以,对于目前的参数条件,大小为1282的格子能够满足计算的要求,考虑到更大尺度所带来的计算量方面的问题,具体的模拟以1282为主.2 结果与讨论2·1结构因子与相区特征尺寸微相分离的动力学过程可用相区尺寸来标度,而相区尺寸的大小可以有不同的量度方式.代写论文不同的量度方法虽然都能反映基本的标度关系,但结果可能略有不同.本文采用结构因子来描述相区尺寸的变化,它具有计算方便,结果准确的优点.将模拟结果得到的相形态利用傅里叶变换可以计算出此时体系的结构因子,具体形式为:S(k,t) =〈φ(k,t)φ(-k,t)〉(27)其中,k=|k|是波矢k在Fourier空间的模,将实空间的结果变换到Fourier空间的结构因子能够提取图象的基本特征,将所得的结构因子进行逆Fourier变换可得到系统的相关长度[18].在此基础上,定义相区尺寸为[19]:R(t) =2π∫S(k,t)dk∫kS(k,t)dk(28)从相区尺寸R(t)随时间的变化就可以得到相态演化的足够信息.采用参数χ=1,NA=NB=10.为验证模拟的准确性,用相区尺寸R(t)随时间的变化作图(如图1),将本模型的模拟结果与动态自洽场的结果进行了比较[16].为简化起见,这里不考虑流体整体的流动,只考虑扩散过程.从模拟结果来看,在只考虑扩散过程的情况下,我们的模型与采用实空间数值解法的动态自洽场结果非常一致.2·2嵌段聚合物微观相分离过程的动力学模拟嵌段聚合物的微相分离与聚合物共混物的宏观相分离不同,由于不同单体间存在化学键的连接,其相分离后期的相区尺寸增长指数目前并没有统一的结论[4].对于微相分离,黏度对相区尺寸后期增长指数的影响与聚合物共混物的宏观相分离不同.图2为不同黏度下体系微相分离的相区增长关系对比,从结果可以看出,曲线的斜率始终小于1/3,而且,曲线间斜率相差不大.与共混物的宏观相分离过程相比[9],流体流动对微观相分离的影响较小,这与采用耗散粒子动力学模拟方法Fig. 1 Evolution of the domain size with parametersθ=0·01,τ=251,χ=1,NA=NB=10得到的结果一致[20].其产生原因在于,对于宏观相分离,相分离后期的增长指数取决于流体流动与扩散作用的竞争.而嵌段聚合物由于不同单体间有化学键相连,限制了单体的运动,微相分离受高分子链中单体相对运动的影响,链的总体移动对微相分离产生的贡献很小,因此,流体流动对微相分离后期相区尺寸增长指数的影响要比宏观相分离为小.Fig. 2 Simulation results of our model for block copolymers withparametersθ=0·1,NA=NB=10嵌段聚合物的链长N和不同单体间的相互作用参数χ是决定其平衡相图的重要因素,对于微观相分离的动力学过程有重要影响.图3为分别改变χ与N的模拟结果.从图中发现,随着χ与N的改变,曲线的位置与高度都发生了变化.在以前的工作中,我们针对二元聚合物共混物,通过由临界现象假设得到的约化空间尺度和时间单位,将采用不同χ或N所得到的模拟结果约化后归一到同一条曲线上,得到了χ与N的改变并不能影响到聚合物共混物相分离后期增长指数的结论[9],并验证了Oono等提出的假设[21].对于嵌段聚合物,同样有必要讨论χ和N对相区尺寸增长指数的影响.前人多采用基于Ginzburg-Landau方程的模型,根据维象参数来约化[22],对于本文采用的基于自洽场理论的自由能形式,由于嵌段共聚物的微相分离难以采用Oono等提出的约化空间尺度和时间单位,我们根据维象参数与χ或N的关系得到了类似的约化单位.微观相分离达到平衡后的相区尺寸要比宏观相分离的尺寸小得多,一般远小于模拟所采用的格子尺寸,因此,适宜采用最终平衡后所得的相区尺寸来对微相分离过程中的相区尺寸进行约化,这是微相分离模拟中较常采用的约化方式[22].因为模型达到平衡所需时间较长,本文采用约化后时间t′=600时的相区尺寸Rt′=600,得到的约化形式如下:R′(t)=R(t)/Rt′=600(29)t′=χ2t(30)Fig. 3 Evolution of the domain size with parametersθ=0·01,τ=251 图4为改变单体间的相互作用参数,同时保持其它参数不变,在128×128的格子上模拟得到的约化结果.由图4可知,当保持其它参数不变,而单独改变χ,约化后的结果基本可以归一到同一条曲线上,这表明嵌段共聚物相区的后期增长机理与单体间的相互作用参数无关,这个结论与共混物体系类似.图5为改变聚合物的链长,同时保持其它参数不变得到的约化模拟结果,由图5发现,所得曲线的斜率并不一致,所以,不可能归一到同一条曲线上,这与其它基于Ginzburg-Landau方程的模型的结果并不一致,但曲线斜率的差别很小.对于一般的嵌段共聚物来说,链长N对微观相分离后期相区尺寸增长指数的影响要远小于流体黏度的影响.事实上,自洽场理论与Landau自由能形式有天然的联系,通过数学分析并在特定条件下,可将自洽场理论基本方程的解转化为Landau自由能形式的方程[23].Landau自由能形式只考虑了一阶相关,可视为忽略了高阶关联的自洽场理论基本方程的一个解.本模型以自洽场理论为基础,与基于Landau自由能形式的模型相比具有一定的优势,因此,这种由链长N不同所导致的相区尺寸增长指数的微小改变也是可能的.由于篇幅的限制,这种与基于Landau自由能形式模型的模拟结果产生差异的原因,将在后续的文章中讨论.最后,在χN=20的条件下,改变N,得到的模拟结果在图6中给出,结果表明,曲线斜率仍然存在微小的差异,但曲线近似约化到同一条曲线上,这进一步验证了由图5得到的结论,并证实了本文提出的约化方式的有效性.3 结论本文在自由能LBM的基础上,为处理高分子体系,通过自洽场理论的引入,实现了针对嵌段共聚物微相分离行为的模拟.为验证模拟的准确性,采用相区尺寸R随时间的变化作图,将本模型的模拟结果与动态自洽场的结果进行了比较.此外,我们还对对称二嵌段共聚物微相分离后期的相区增长过程进行了模拟,结果表明流体的黏度是影响相区后期增长指数的重要因素.在此基础上,我们探讨了分相后期,相区尺寸随时间的增长指数与高分子链长和Flory-Huggins相互作用参数的关系.结果表明相区的后期增长机理与Flory-Huggins相互作用参数关系不大.此外,随着高分子链长的改变,相区尺寸的增长指数也会有微小的改变,这与前人基于Ginzburg-Landau方程模型的结果不同.产生这种变化的原因将在后续的文章中进一步讨论.。

格子Boltzmann方法的原理与应用1. 原理介绍格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann Method）是一种基于格子空间的流体模拟方法。

它是通过离散化输运方程，以微分方程的形式描述气体或流体的宏观运动行为，通过在格子点上的分布函数进行更新来模拟流体的动态行为。

格子Boltzmann方法的基本原理可以总结为以下几点：1.分布函数：格子Boltzmann方法中，将流场看作是由离散的分布函数表示的，分布函数描述了在各个速度方向上的分布情况。

通过更新分布函数，模拟流体的宏观行为。

2.离散化模型：为了将连续的流场问题转化为离散的问题，格子Boltzmann方法将流场划分为一个个的格子点，每个格子点上都有一个对应的分布函数。

通过对分布函数进行离散化，实现流场的模拟。

3.背离平衡态：格子Boltzmann方法假设流体运动迅速趋于平衡态，即分布函数以指定的速度在各个方向上收敛到平衡分布。

通过在更新分布函数时引入碰撞过程，模拟流体的运动过程。

4.离散速度模型：分布函数描述了流体在各个速度方向上的分布情况，而格子Boltzmann方法中使用的离散速度模型决定了分布函数的更新方式。

常见的离散速度模型有D2Q9、D3Q15等。

2. 应用领域格子Boltzmann方法作为一种计算流体力学方法，已经在各个领域得到了广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：2.1 流体力学模拟格子Boltzmann方法具有良好的可并行性和模拟精度，适用于复杂流体流动的模拟。

它可以用于模拟包括自由表面流动、多相流动、多物理场耦合等在内的各种复杂流体力学问题。

2.2 细胞生物力学研究格子Boltzmann方法在细胞力学研究中也有广泛应用。

通过模拟流体在细胞表面的流动，可以研究细胞运动、变形和介观流的形成机制。

格子Boltzmann方法在细胞生物力学领域的应用已成为一个重要的研究方向。

2.3 多相流模拟格子Boltzmann方法在多相流动模拟中的应用也非常广泛。

格子boltzmann方法格子玻尔兹曼方法是一种常用的数值计算方法，它主要用于模拟稀薄气体等流体力学问题。

下面我将从方法原理、模拟过程和应用领域三个方面详细介绍格子玻尔兹曼方法。

首先，格子玻尔兹曼方法基于玻尔兹曼方程和格子Boltzmann方程，通过将连续的物理系统离散化为网格系统进行模拟。

网格系统中的每个格子代表一个微观粒子的状态，而碰撞、传输和外部力的作用通过计算和更新这些格子的状态来实现。

该方法主要包含两个步骤：碰撞和传输。

在碰撞过程中，格子中的粒子通过相互作用和碰撞来改变其速度和方向，从而模拟了分子之间的碰撞过程。

在传输过程中，碰撞后的粒子根据流体的速度场进行移动，从而模拟了背景流场对粒子运动的影响。

其次，在格子玻尔兹曼方法中，模拟的过程可以简化为两个部分：演化和碰撞。

在每个时间步长内，系统首先根据粒子速度和位置的信息计算出相应格点上的分布函数，然后通过碰撞步骤更新这些分布函数以模拟粒子之间的碰撞效应。

通过迭代演化和碰撞步骤，系统的宏观行为可以得到。

格子玻尔兹曼方法中最常用的碰撞操作是BGK碰撞算子，它根据粒子的速度和位置信息计算出新的分布函数，并用该新分布函数代替原来的分布函数。

而在传输过程中，粒子通过碰撞后得到的新速度和方向进行移动。

最后，格子玻尔兹曼方法在流体力学领域具有广泛的应用，特别是在稀薄气体流动、微纳尺度流动和多相流等问题中。

由于其适用于模拟分子尺度和介观尺度流动问题，因此在利用普通的Navier-Stokes方程难以模拟的问题中表现出了良好的效果。

此外，格子玻尔兹曼方法还可以用于模拟流动中的热传导问题、气体分子在多孔介质中的传输问题以及颗粒与流体相互作用等多种复杂流动现象。

近年来，随着计算机性能的不断提高，格子玻尔兹曼方法也得到了快速发展，在模拟大规模真实流体问题方面取得了不错的结果。

总结来说，格子玻尔兹曼方法通过将连续的物理系统离散化为网格系统，模拟粒子碰撞和传输过程，实现了对流体力学问题的数值模拟。

有限元结合格子boltzmann方法随着计算机技术的飞速发展，数值模拟方法在工程领域中的应用越来越广泛。

有限元法（FEM）和格子Boltzmann方法（LBM）作为两种常见的数值方法，各自具有独特的优势。

将这两种方法相结合，可以充分发挥它们在计算流体力学、材料科学等领域的潜力。

本文将简要介绍有限元结合格子Boltzmann方法的基本原理及其在工程中的应用。

一、有限元法与格子Boltzmann方法简介1.有限元法（FEM）有限元法是一种将连续域问题转化为离散问题求解的数值方法。

它通过将复杂的几何形状划分成简单的单元（如三角形或四边形），在每个单元内采用插值函数近似求解偏微分方程，从而实现整个域上的问题求解。

2.格子Boltzmann方法（LBM）格子Boltzmann方法是一种基于微观粒子的动力学行为的宏观现象模拟方法。

它通过离散化的Boltzmann方程，在格子网络上模拟粒子的碰撞和传播过程，从而得到宏观物理量（如速度、密度等）。

二、有限元结合格子Boltzmann方法的基本原理有限元结合格子Boltzmann方法的主要思想是将FEM的高精度与LBM 的微观模拟相结合，以解决复杂的流体力学问题。

具体步骤如下：1.划分网格：在计算域内同时采用有限元和格子Boltzmann方法进行网格划分，其中有限元网格主要用于求解宏观物理量，而格子Boltzmann网格则用于模拟微观粒子的运动。

2.确定边界条件：根据实际问题，为有限元和格子Boltzmann方法设置相应的边界条件。

3.求解宏观物理量：利用有限元法求解宏观物理量，如速度、压力等。

4.更新微观粒子分布函数：在格子Boltzmann网格上，根据微观粒子的碰撞和传播过程，更新粒子的分布函数。

5.反向映射：将格子Boltzmann方法得到的微观粒子信息映射到有限元网格上，更新宏观物理量。

6.迭代求解：重复步骤3-5，直至满足收敛条件。

三、有限元结合格子Boltzmann方法在工程中的应用有限元结合格子Boltzmann方法在工程领域具有广泛的应用前景，以下列举几个典型应用：1.计算流体力学：结合FEM的高精度和LBM的微观模拟，可以更准确地预测复杂流场中的流动现象。

格子boltzmann方法的理论及应用
格子波尔兹曼方法(Grid Boltzmann Method, GBM)是一种非离散化处理方法，其基本
思想是在空间上采用格点，并建立格点微分方程组来解决复杂流体或者其他相关物理问题. GBM以较少的计算量就可达到快速、精确求解流体动力学问题，而且将空间和时间分离，
大大减少计算量和存储量，可以说是比传统有限元技术和有限差分技术更加有效的一种方法.
格子波尔兹曼方法的具体原理是：格子波尔兹曼方法是将空间上的解释解划分成一系
列的蒙特卡洛格子点，这样可以以非离散化处理。

针对与流体物理仿真相关的变量，以格
点位置为基底，可以使用波尔兹曼分布Y(v)来描述，将原本复杂的多体相互作用模型转化为简单的蒙特卡洛定值模型，由此通过空间离散的方式可以求解波尔兹曼方程；具体的应
用也很广泛，可以应用在流体动力学中，可用来模拟很多液体问题，比如湍流传播和燃烧
等方面；在地形风化中可以用来模拟流域洪水演变和地形演化、土壤流失问题；在水质污
染领域，可以用来模拟河流污染物质运行规律；在非牛顿流体中，可用来模拟非牛顿流体
动力学问题；在金属粒子、微粒或者多组分液体中，可用来模拟粒子间相互作用，甚至可
以应用在非弹性波中进行数值模拟.
格子波尔兹曼方法因其独特的优越性深受广泛重视，在国内外都有大量的研究，结合
其他的数值方法，用于模拟复杂的流体物理系统，改善计算效率，提高建模的准确性。

GBM具有更快的计算速度和精度优势，在现代的科学技术领域有着广泛的应用，如流体动
力学，地形风化，水质污染等问题。

该方法不仅可用作模拟计算复杂流体运动，而且可以
用于半定常及强力学分析中。

格子Boltzmann方法原理及其应用摘要在上世纪八十年代后期提出的格子Boltzamnn方法克服了格子气方法的缺点，其本身也在不断的发展之中.格子Boltzamnn方法在流体运动计算方面展现了非凡的风采，成功地模拟了包括均相不可压缩湍流和多孔介质中的多相流动在内的流体动力学问题.但和成熟的流体动力学计算方法相比，特别在工程实际应用上，该方法还有许多值得研究的地方.本文主要介绍工程实际应用时，具体模型的选择问题.首先从理论上对应用最为广泛的几种基本模型进行了详尽的分析和比较.选择了Poiseuille流动，然后从计算精度、数值稳定性和收敛速度这几个方面进行了细致的比较.从理论和实验两个角度验证了D2G9模型的优越性，为工程实际应用上模型的具体选择提供了一定的参考依据.通过研究二阶精确的格子Boltzamnn模型，提出了非牛顿流体.非牛顿流动性是使用幂法则模型实现的.它可以估算出模型的精确程度，同时不会限制这个模型.二阶精度由剪切变稀和剪切增稠液体的幂法则模型参数范围给出.这些结果与Gabbanelli等人的结果相比，精确度更高，并且得到了更快的计算效率.结果表明了格子Boltzamnn方法适用于非牛顿流体模拟.对于实际流动模拟，本文应用二维9速度模型模拟了四种情况的方柱绕流问题.在第一种情况中，单个方柱位于流场中央，给出了流线图，等涡线图，模拟了卡门涡街现象，并计算了升、阻力系数，Strouhal数等参数；在第二种情况中，计算细长矩板截面柱绕流问题，得到了Strouhal数随着矩形长宽不同的比值下的变化情况；在第三种情况中，两个方柱并列位于流场中央，考察了方柱间距对于流场的影响；在第四种情况中，计算了水平来流为剪切流的方柱绕流问题，比较了速度梯度取不同值下流场的变化情况.所有有关力的求解均采用动量转换法.所得结果，包括流线、等涡线、升/阻力系数曲线等均与已有文献的实验或数值结果基本一致，显示LBM方法及其力的求解方法——动量转换法是有效的，能够精确的模拟各流场.其次，我们还引入一种两相耦合机制对D2G9模型进行了修正，从而使之可以正确处理气固两相流中输运相和颗粒相之间的相互作用.随后，我们模拟了后台阶流动，并和传统CFD方法的模拟结果以及修正其他模型的模拟结果进行了验证，得到了令人满意的结论.从一定程度上验证了两相耦合机制的可行性.通过软件模拟获得了水包油、过渡流型和油包水三种流型的典型模拟图.经分析发现：由软件模拟的流型特点和由探针获得的流型特点具有较好的一致性.在本文最后，我们介绍了以经典算例一方腔流为例，对格子Boltzamnn方法的核心代码进行了优化的方法，主要讲述对时间和空间上的优化，优化的程序使计算效率提高数倍.在并行的框架下，核心演化的代码换为优化后的程序，计算效率有大幅度的提高.关键词：格子方法；格子Boltzamnn 方法；格子气自动机；格子Boltzamnn模型.AbstractIn the latter of 80’s，the Lattice Boltzamnn Method（LBM）was introduced mainlyto cope with major drawbacks of its ancestor，the Lattice Gas Automata（LGA）．Eversince，it has undergone a number of refinements and extensions which have taken it tothe point where it can successfully compute a number of non trivial flows，raging fromhomogeneous incompressible turbulence to multiphase flows in porous geometries．Yet，when compared with conventional computational fluids dynamics methods，such as finiteelement，finite difference，it is apparent that there is still a way to go before LBM canachieve full engineering status．In this paper，we mostly focus on the choice of the basic LB models in theengineering application fields．Firstly，we expatiate the basic LB models in theory．Then，we simulate the Poiseuille flow with those basic LB models．And wecompare the simulation results from the computation precision、the numerical stabilityand the convergence rate．Finally，we draw a conclusion that the D2G9 model is the bestchoice in the engineering application fields．Simulation of Flow past square cylinder with LB Method.For the simulation of actual flow，we use D2Q9 investigate fourcases of flow past square cylinders in this paper.For case 1，one singlesquare cylinder is located at the center of the channel，we describe thestreamline contour，vortices contours，simulate the Karman vortex，then compute the lift coefficient，drag coefficient，Strouhal numbersetc.For the case 2，simulate the flow past a cylinder of rectangularcross-section;compute the change of Strouhal numbers varying withthe side ratio.For case 3:two square cylinders arranged side by side inthe center of the channel，the flow features at different spacing ratiosare studied.For case 4:we compute the linear shear flow over a squarecylinder，compare the evolution of flow with different velocitygradient.The results of thesimulation including the streamlines，vorticity contours，lift and drag coefficients etc.are agreed with thoseof available literatures，and show that LB method and itsmomentum-exchange method can achieve accurate results and obtainthe reasonable flow in detail.we employ a two-way coupling mechanisms to modify theD2G9 model．With the modified D2G9 model，we can handle with the interactionsbetween carrier phase and dispersed phase in the model．Then，we simulate abackward-facing step model，and the results are compared qualitatively with the result ofthe traditional CFD method and the other modified LB models．Though the comparison，we can see that the two-way coupling mechanisms can handle with the gas-solid twophases flows successfully．Three kinds of flow pattern，which are oil-in-water flow，transitional flow andwater-in-oil flow，have been got by simulation.According to the result of simulation，theoil-water two-phase flow pattern transition boundary model has been got by.By the analysisof simulation，the characteristic of three kinds of flow pattern of vertical oil which has beengot by analysis of the signals is consistent with results by simulation.We take the classical problem-cavity flow as an example and optimize the kerne codes of the LBM. The optimization include two aspects :time and space .The efficiency of the optimized code increased much more .In the parallel frame，the efficiency also increased if the kernel code is taken the optimized code.Key word：1atrice method；1atrice bohzmann method；lattice gas automata;LBM目录第1章概述 11.1研究格子 Boltzamnn方法的意义 11.2 格子 Boltzamnn方法的发展历程 31.2.1孕育阶段 31.2.2 萌芽到成长阶段 31.3 格子 Boltzamnn方法应用概况及优缺点 51.3.1格子Boltzamnn方法应用概况 51.3.2格子Boltzamnn的优缺点 61.4本论文的研究目的 81.5 相关研究的综述与专注情况 8第2章格子Boltzamnn方法介绍 102.1 Boltzamnn方程的产生 102.2细胞自动机（CA） 112.3格子气自动机（LGA） 122.4格子Boltzamnn方法（LBM） 132.5 格子Boltzamnn的基本结构 162.6本章小结 17第3章格子Boltzamnn方法的基本模型比较 183.1 格子 Boltzamnn 方法基本模型概述 183.2 进行常压力梯度驱动的Poiseuille流动模拟比较几种基本模型 23 3.3本章小结 27第4章格子Boltzamnn方法的算法设计 284.1格子Boltzamnn方法的算法实现 284.2格子Boltzamnn方法的高效算法设计 304.2.1优化算法 304.2.2优化实验 324.3 本章小结 34第5章格子Boltzamnn方法的实际应用 355.1二阶精确格子Boltzamnn非牛顿流体的流动模拟 35 5.1.1理论背景 355.1.2方法和计算结果分析 385.1.3 本节小结 405.2 格子Boltzamnn方法的方柱绕流模拟 405.2.1 单个方柱位于流场中央的绕流问题 405.2.2 细长矩形截面住绕流问题 425.2.3 两个并列方柱的绕流问题 445.2.4来流为剪切流的绕流问题 495.3格子Boltzamnn方法模拟气固两相流 515.3.1对气固两相流的模拟模拟对象简介 515.3.2 计算结果分析 545.3.3本节小结 565.4 格子Boltzamnn方法模拟油水两相流软件设计 565.4.1 LBM油水两相流的关键因素选取 575.4.2 软件的设计 605.4.3 本节小结 635.5 简述格子Boltzamnn方法在其他领域中的应用 645.5.1 颗粒悬浮问题的模拟 645.5.2 热导和对流—扩散问题的模拟 645.5.3 偏微分方程的模拟 655.5.4 多相流和多元流的模拟 65结论及展望 67参考文献 68第1章概述1.1研究格子Boltzamnn方法的意义自从二十世纪四十年代出现了第一台电子计算机以来，人们开始进入了电子信息时代.随着高存储、高速度计算机的出现，人们所能解决的问题也越来越广泛，同时所面临的问题也越来越复杂.在对流动现象的研究中，以往人们大部分依靠的是解析方法，但所解决的问题非常有限.而现实生活中所面临的流动问题往往十分复杂，如航空航天器的亚跨超音速飞行、舰船的航行等等，依靠解析的方法来解决这些复杂的流动现象是不可能的.到现今为止，人们对流体运动的研究主要靠实验方法和数值计算方法.实验方法具有直观、结果基本可靠的特点.但也存在较大的缺点：耗费大、周期长，并且结果受实验条件的影响也较大，尤其是如今的航空航天飞行，速度高、飞行条件复杂，用风洞来模拟困难是相当大的.而流体的运动可以由一组偏微分方程描述.在大多数情况下，这些方程（如N-S方程）都是高度非线性的，采用解析的求解方法是不实际也是不可行的.随着大型计算机的出现，使人们可以借助于计算机用数值计算方法来解决复杂的流动问题.因此，在二十世纪六十年代，用数值方法分析求解流动问题的学科——计算流体力学（CFD）逐渐发展起来.伴随着电子计算机的飞速发展以及各种新颖算法的不断出现，CFD已经形成了一门独立的学科，并且在航空航天、船舶、大型能源装置（如核电站）、新型交通工具、海洋工程、环境保护等众多工程技术部门和领域都得到了广泛的应用.随着计算技术的发展、巨型计算机的出现、计算方法的不断改进，计算流体力学在解决流动的理论和工程实际问题中愈加显示出它的巨大作用.目前，计算流体力学已经成为现代计算科学的最有力的推动力之一.在计算流体力学中，传统的数值模拟方法可以分为两大类：（1）从宏观角度出发，基于连续介质假设，采用数值计算方法，求解全位势方程或Euler方程或N-S方程；（2）从微观角度出发，采用分子动力学的方法，对流动进行数值模拟.其中，格子Boltzamnn方法就是典型的一种.格子Boltzamnn方法（Lattice Boltzamnn Method，LBM）1.1.2格子Boltzamnn法（lattice Boltzamnn method）起源于格子气自动机（Lattice Gas Automata，LGA）.LGA方法是元胞自动机（Cellular Automata，CA）在流体力学中的具体应用，是空间、时间和速度空间都离散的一个虚拟微观模型，与以连续微分方程为基础的宏观计算流体力学方法有着本质的不同.LGA的微观特性使得它的边界条件非常容易实现，并且计算也很简单.因此，LGA方法非常适于处理边界复杂的问题.更为重要的是，LGA的计算具有局部性和并行性，非常容易在并行机上实现.LGA的出现不但为并行计算提供了许多新思想，而且对并行计算机制造技术产生了重要的影响.但是，LGA方法也有许多不足之处.例如，由于含有随机因素，LGA的计算结果往往包含很大的统计噪声，LGA的宏观方程也不是标准的流体运动宏观方程.格子Boltzamnn方法是为克服LGA方法的一些内在不足而发展起来的一种新方法.LBM不但克服了LGA的缺点，继承了LGA的主要优点，而且还有许多新的优点，如计算量小、计算效率高、编程简单等.LBM的产生与发展，不仅在计算流体力学领域中产生了深远的影响，它所使用的处理方法和观点对其他许多学科也是富有启发性的.格子Boltzamnn法是一种应用非连续介质思想研究宏观物理现象，并可平行运行，求解流体力学问题的新方法.它是由格子气自动机（lattice gas automata，简称LGA）方法发展而来的.该法把流体及其存在的时间、空间完全离散，把流体看成由许多只有质量没有体积的微小粒子组成，所有这些粒子同步地随着离散的时间步长，根据给定碰撞规则在网格点上相互碰撞，并沿网格线在节点之间运动.碰撞规则遵循质量、动量和能量守恒定律.流体运动的宏观特征是由微观流体格子相互碰撞并在整体上表现出来的统计规律.该法是直接从微观模型出发，经过Boole化处理后进行计算，可认为是N-S差分法逼近的一种无限稳定的格式.被广泛应用于复杂几何边界流体流动、多孔介质流、多相流及反应流等.格子气自动机的基本思想是，把计算区域分成许多均匀的正三角形（或正方形）的网格，而那些只有质量无体积的粒子只能在网格点上存在，并沿着网格线在网格间运动.当某一个粒子从某一网格点到邻近的网格点时，有可能和从其他网格点到达该点的粒子相碰撞.根据Pauli不相容原理，在同一时刻同一点上，沿着每一网格线运动方向最多只有一个粒子，流场中的粒子速度不是0（静止）就是1（设格子边长及时间间隔都为1）.以三角形网格为例，每一个网格上在某一时刻，其周围的6个网格上粒子沿着网格线聚集到该点，加上该点可能还有一个静止粒子，这样，可能有7个粒子在该点发生碰撞，然后根据碰撞规则再散射出去，演化为新的运动粒子流向各节点的邻居，形成格子气自动机.1986年MeNamaxa和Zaneltti，提出把格子气自动机中的整数运算变成实数运算，建立了格子Boltzamnn 模型，克服了格子气自动机的数值噪声的缺点.后来陈十一和钱跃宏采用了单一时间松弛方法，满足了各项同性，GalIean不变性，并得到了独立于速度的压力项．使格子Boltzamnn模型保留了格子气自动机的优点，克服了其不足，并在理论分析和数值模拟方面都具有很大灵活性，而且程序编制简单，计算效率较高.从格子Boltzamnn方法诞生至今天已有20年，20年间，其在理论和应用研究等方面都取得了迅速发展，并逐渐成为在相关领域研究的国际热点之一，受到国内外众多学者关注.与之传统模拟方法不同，格子Boltzamnn方法基于分子动理论，具有清晰的物理背景.该方法在宏观上是离散方法，微观上是连续方法，因而被称为介观模拟方法.在许多传统模拟方法难以胜任的领域，入微尺度流动与换热、多孔介质、生物流动、磁流体、晶体生长等，格子Boltzamnn方法都可以进行有效的模拟，因此它被用于多种复杂现象的机理研究，推动了相关学科的发展.可以说，格子Boltzamnn方法不仅仅是一种数值模拟方法，而且是一项重要的科学研究手段.此外，格子Boltzamnn方法还具有天生的并行特性，以及边界条件处理简单、程序易于实施等优点.可以预计，随着计算机技术的进一步发展，以及计算方法的逐渐丰富，格子Boltzamnn方法将会取得更多成果，并为科技发展发挥更重要的作用.1.2 格子Boltzamnn方法的发展历程格子Boltzamnn方法自诞生至今年已取得了长足发展，被誉为现代流体力学的一场变革.1.2.1孕育阶段：对格子Boltzamnn方法发展使得了解，得先从格子自动机说起.格子气自动机使更广泛的元胞自动机在流体学中的应用.元胞自动机是一个时间和空间离散的数学模型.20世纪60年代，Broadwell等人首先提出了离散速度模型，用以研究流体中的激波结构.20世纪70年代，为了研究流体的运输性质，法国的Hardy、Pomeau和Pazzis提出了第一个完全离散模型，该模型命名HPP模型.这是历史上的第一个格子气自动机模型.1986年，法国的Frisch、Pomeau和美国的Hasslacher提出具有足够对称的二维正六变形格子气自动机模型，，命名为FHP模型.由于这些方法在还处在一些缺点：（1）有格子气自动机演化方程推导出来的动量方程不满足Gaililei不变形；（2）流体状态方程不仅仅依赖于密度和温度，还与宏观流速有关；（3）破装蒜子具有指数复杂性，对计算量和存储量也有较大要求.因而，我们将这一段格子气自动机的发展过程称作格子Boltzamnn方法的孕育期.1.2.2 萌芽到成长阶段：自1988年底一篇关于格子Boltzamnn方法的论文出现至今，格子Boltzamnn方法从萌芽逐渐成长壮大，并成为目前一大国际研究热点，受到越来越多学者的关注.1988年，McNamra和Zanetti提出把格子气自动机中的Bool运算变成时数运算，格子点上的粒子数不是用整数0或1来表征，而是用实数f来表示系综平均后的局部粒子分布函数，用Boltzamnn方程代替格子气自动机的演化方程，并将该模型用于流体的数值计算.这是最早的格子Boltzamnn模型，从此开启了格子Boltzamnn方法的历史大门.1989年，Higuera和Jimenez提出了一种简化模型：通过引入平衡分布函数，将碰撞算子线性化.该模型不需要碰撞模型，并忽略各自粒子间的碰撞细节，相比于多粒子碰撞模型，容易构造.同年，Higuera等进一步提出了强化碰撞算子方法，以增加模型的数值稳定性.这两模型统成为矩阵模型.经历了上述两类模型，格子Boltzamnn方法消除了统计噪声，克服了碰撞算子指数复杂性，但是由于依然使用Fermi-Dirac平衡态分布函数，格子气自动机的其他缺点仍然存在.1991年，Chen等提出了单松弛时间法，用同一个时间松弛系数来控制不同例子靠近各自平衡态的快慢，进一步简化了碰撞算子；Qian等人在1992年也提出了类似的方法，称之为格子BGK（LBGK）模型.LBGK模型与矩阵模型类似，但与前面两种模型不同的是，当粒子种类数增加时，碰撞算子本身发生生变化，不会变得复杂.至此，格子Boltzamnn方法完全克服了格子气自动机的一系列缺点，并逐渐成熟，成为国际研究的热点.早期的格子Boltzamnn模型只能用于等温不可压缩流动的模拟.但因为存在可压缩效应，会引起一定的误差.为了消除或强敌有可压缩效应引起的误差，许多学者致力于新的格子Boltzamnn模型的研究，并提出了多种等温不可压模型.而后，一些不可压缩热模型成功实现了对有效范围温度变化的热力学和传热学问题的模型.其中，最成功的要数双分布函数模型.他是在密度分布函数的基础上引入了温度分度函数、或内能分布函数、或总能分布函数，并用密度分布函数演化得到速度场，这类模型具有与等温不可压模型相同的数值稳定性，而且可以从根本上解决压缩功和耗热问题.边界处理方面，经历了20年的发展，格子Boltzamnn方法已逐渐发展出适合不同边界条件、不同模型的边界处理格式.网格划分方面，最初的格子Boltzamnn方法是基于正六边形或正四边形的均匀对称网格.由于均匀网格在计算效率、计算精度等方面的不足，从而促进了非均匀网格、多快以及多重网格、无网格等多技术出现.总的来说，这些网格技术延展了格子Boltzamnn方法的应用范围，使得格子Boltzamnn方法主机去年从理论的神殿走向更可能多的实际应用领域.1.3 格子boltzamnn方法应用概况及优缺点1.3.1格子boltzamnn方法应用概况与传统的宏观数值方法相比，具有介观特性的格子Boltzamnn方法其主要优点是物理图像清晰、便捷容易处理以及并行性能好等.因而自诞生之日起，格子Boltzamnn方法就得到了国内外学术界的广泛关注，并寄希望该方法能再注入为尺度流体、多相流、多孔介质内流动与换热、化学反应流等传统法就延受限的领域取得开拓性进展.事实上，在20年的发展过程中，格子Boltzamnn方法的确也已成一个十分活跃极具发展前景的模拟手段.并迅速在微/纳米尺度流、多孔介质流、多相多质流、非牛顿流体、粒子悬隔i浮流、湍流、化学反应流、燃烧问题、磁流体、晶体生长等许多领域得到应用.下面分别以多孔介质流、多相流和非牛顿流体三个方面为例，做较详细说明.由于格子Boltzamnn方法边界条件易于实施，在模拟具有复杂几何构型的问题具有较大的优势，因而这个方向的发展非常迅速.目前，采用格子Boltzamnn方法对多孔介质流进行模拟主要在空隙尺度和代表单元尺度上进行.在孔隙尺度上，可以直接使用格子Boltzamnn方法描述孔隙内的流体流动，多孔介质则当做固体壁面，流体与介质相互作用使用边界处理格式来描述.在多相流方面，由于真实的流动问题常常是多相的，因而对其开展研究具有重要的现实意义.由于格子Boltzamnn方法的介质特性，它可以方便地描述数流动中不同相之间的相互作用，因而在多相流领域具有较好的应用前景.按照设计方法的不用，现有模拟多相流的格子Boltzamnn模型可分为四大类：着色模型、伪势模型、自由模型和其他模型.格子Boltzamnn方法在非牛顿流体领域的应用刚刚起步，主要研究对象是非牛顿幂律流体.Aharonov等最早提出使用矩阵碰撞该算子来计算幂律流问题，即在每一个时步内，调整碰撞算自来该表局部的动力学黏性系数.Boek用该模型模拟了幂律流体在简化多孔介质中模型的流动，模拟结果与达西定律符合良好.最近，Gabbanelli又对上述模型进行了改进，引入分段幂律方程描述剪切率和表现黏度的关系.以上可看出，到目前为止，格子Boltzamnn方法的研究者主要局限在科学界.尽管如此，随着格子Boltzamnn 方法理论体系逐渐完善，以及计算机技术的进一步发展，格子Boltzamnn方法也会走向更加广泛的工业实际应用中.1.3.2格子Boltzamnn的优缺点流体力学的理论描述通常建立在纳维--斯托克斯方程的基础上，作为流体力学的基石，它已处在了一个多世纪.在通常尺度下，|人们对此方程的物理可靠性即准确性并不抱异议.理论上人们一般通过求纳维--斯托克斯方程及其各种简化形式的途径来处理复杂的流体力学问题，现行的计算流体力学研究也主要是围绕着纳维--斯托克斯方程的计算方法展开的.然而，基于其本质上的非线性以及边界条件处理的困难，除少数简单问题外，解析和数值求解纳维--斯托克斯方程都是极具挑战性的任务.除了求解的困难外，作为一种对流体物理的描述，与描述经典力学运动的牛顿运动方程，或与描述量子力学运动的薛定谔方程等原理方程不同，纳维--斯托克斯方程是从更根本的原理性方程出发，在合理地假定某些物理机制可以忽略后，经过统计平均得到的.本质上纳维--斯托克斯方程当然不可能描述那些被忽略了的物理机制带来的宏观现象，比如流体系统中的相变、非牛顿的本构关系以及在分子运动自由程尺度上的物理现象，在这些领域，纳维--斯托克斯方程明显的显示出了他的局限性.从20世纪80年代末开始，一种对于流体力学的全新的理论表相及有效的计算方法初步形成，这就是现在人们通常所谓的格子Boltzamnn方法.关于格子Boltzamnn方法的早期发展，上文已有较全面的综述，在此仅作简单介绍.从历史角度来讲，格子Boltzamnn方法最初是从所谓的格子气模型演化而来的，而后者是一种抽象简化的分子运动数学模型.格子Boltzamnn方法最初的引入有两个主要原因：一是为了降低模型导致的数值噪音；而是能够克服格子气模型里处在的非物理缺陷.可以证明，格子Boltzamnn系统的宏观表象基本满足纳维--斯托克斯方程.从而，人们可以模拟格子Boltzamnn系统地方法来间接地解纳维--斯托克斯方程.标准格子Boltzamnn方程一般用一下的数学表达式描述：式中——粒子分布函数；——碰撞项.用格子玻尔兹曼模型进行流体的数值模拟有一些明显的优越性．如，它的对流（advection）过程是通过常数值速度实现的．这相应的计算是一项极其简单的操作步骤．当适当的格子网格选定后，该过程通常可以用完全平移的方式实现．用计算数学里的常规有限插值语言来讲，它对应于上风插值．但所不同的是其对应的柯郎数（Courant Number）等于1．相比之下，纳维——斯托克思方程的对流项是一个随时空变化的非线性函数．众所周知，对于它的计算不是一项简单的事，并且，数值稳定性的要求迫使人们在实际问题的计算中只能使用比1小得多的柯朗数．在给定空间分辨度的情况下，小柯朗数意味着小时间步长，从而大大延长了计算时间：同时，小柯朗数也增大了数值扩散误差，迫使人们采用更高精度格式或隐式格式．其后果是，或者算法变得极为复杂，并行效率大大降低；或者计算只限制在处理定常流的情况下．事实上，定常流是对流动情况的极大限制．许多重要的流体力学问题，如分离流，即使我们只关心它的时间平均的结果，也是不能用定常流假设来近似的．在此我们也要提一下格子玻尔兹曼方程的另一个本质特性：所有非线性效应在格子玻尔兹曼方法里都包含在碰撞项中，并且是以纯粹局部信息的方式体现的．这进一步发挥了并行计算的长处．所有这些理由意味着格子玻尔兹曼方法是对非定常流动实行大规模并行模拟计算的一种比较优越的方法．相比之下，以流体力学方程（纳维一斯托克思方程或Burnett类型方程）宏观描述为基础的传统计算方法对许多这类问题存存基本困难．除边界条件之外，利用各种封闭性假设推导出的超越纳维一斯托克思的宏观方程直至现今仍存在对其数学规范性的疑问和争议，多相流的计算也存存同样问题．众所周知，流体系统中存在多相的物理机制是分子问的长程作用力，这种机制早已超出了流体力学方程所能描述的物理现象范围．以流体力学方程为基础的多相流计算方法必须依赖额外的模型来模拟流体力学方程本身所不包含的物理现象．除了实际数值结果显示的问题之外，这种方法本质上隐含着严重的基本物理缺陷，这种缺陷集中表现在对相交界面的准确描述上面，即在十分尖锐的相界面附近，纳维一斯托克思方程之类近平衡态的近似表象是有相当疑问的．这也反映在相界面和兀滑动（no—slip）固体边界条件的互斥性上面，为了修补这一缺憾，人们不得不引入各种滑动经验模型.反之，以细观（mesoscopic）为表象基础的格子玻尔兹曼方法可容忍更大的非平衡态程度及更广义的严格边界条件．另外，压力的状态方程在细观表象中是由粒子的相互作用自然得出的，而不用直接输入和处理．在相变情况下，物体的宏观特性将产生不连续性，而对应的微观和细观力学机制并无改变．格子玻尔兹曼方法在模拟多相流上有着广泛的使用.然而，这种为大多数人所熟悉的格子玻尔兹曼方法的理论框架存在本质上的缺陷．由于它运用逆向切普曼一安斯柯格展开的途径来适定平衡态分布函数中的关键参数，以达到复建宏观物理体系的目的，这就使其。

格子玻尔兹曼方法入门攻略参考书1格子Boltzmann方法的原理及应用（郭照立科学出版社）格子Boltzmann方法的理论及应用（何雅玲王勇李庆编著科学出版社）起步时不需要读得非常细，但要知道LBM是怎么回事，能解决什么问题。

这本书关于微尺度流动的进展涉及较少。

参考书2数值分析孙志忠东南大学出版社（限于东南大学研究生，其他学校可参考类似图书）研究生必修课程之教科书，要知道数值计算基本方法，掌握偏微分方程的基本解法。

参考书3流体动力学人民教育出版社[美] J.W.戴莱等这本书比较老，可能借不到。

可以去图书馆借一本较老的流体力学书看一看，了解流体力学基本知识。

理解流体、流动、黏性等基本概念以及Euler方程、Navier-Stokes方程等。

参考书4[美] S.V.帕坦卡著传热和流体流动的数值方法安徽科学技术出版社可称为数值传热学和计算流体力学经典入门教材。

阅读此书，学习传热问题、对流扩散、边界条件......认真学习第4章之后的内容。

可参考书中离散方程，编程实现一维、二维、三维传热和扩散问题。

****************预备知识学会使用Visual Studio 2010或更新版本C++编译器编程。

学会使用tecplot、paraview、gnuplot、sigmaplot等软件进行数据可视化。

初级阶段第一步：能够编程实现一维和二维传热或扩散问题的计算，只计算传热不考虑源项。

第二步：能够编程关于传热和扩散问题的实现三类边界条件，并深刻相关物理意义。

第三步：能够编程实现温度回升法、等效热熔法和焓方法计算包含潜热释放的问题。

中级阶段第四步：参考郭照立教授、何雅玲院士的书，编程实现单松弛LBM程序计算流场，周期性边界。

第五步：理解并掌握LBM边界条件处理格式，能够实现Newmann边界与Dirichlet边界，能够计算Poiseuille流、Coutte流及顶盖驱动流。

第六步：结合LBM流场计算程序，编程实现LBM计算对流扩散方程，起步时采用周期边界且不包含源项。

格子boltzmann方法模拟磁场作用下的融化传热过程格子Boltzmann方法模拟磁场作用下的融化传热过程在磁场作用下的融化传热过程中，格子Boltzmann方法是一种有效的模拟方法。

本篇文章将介绍格子Boltzmann方法的基本原理，以及如何将其应用于磁场作用下的融化传热过程的模拟。

一、格子Boltzmann方法的基本原理格子Boltzmann方法是一种将Boltzmann方程离散处理的方法，其基本思想是将连续的时间、空间和速度分别离散化为有限的格子、节点和速度。

格子Boltzmann方法的核心是通过在节点上求解宏观量来间接地求解微观分布函数。

在格子Boltzmann方法中，宏观量的演化由Boltzmann方程确定，微观分布函数的演化由碰撞规则确定。

二、磁场作用下的融化传热过程的模拟1.建立模型在磁场作用下的融化传热过程中，我们需要先建立一个三维的模型。

该模型应包括固体、液体和磁场三个部分。

我们需要将模型离散化为有限的节点、格子和速度。

2.设置初始条件在模拟之前，我们需要设置初始条件，包括初始温度、磁场强度和方向等。

这些参数将决定模拟的精度和效果。

3.计算流场和热传递在模拟过程中，我们需要通过求解Navier-Stokes方程和能量方程来计算流场和热传递。

这些方程可以通过格子Boltzmann方法来解决。

4.模拟磁场作用在模拟过程中，我们还需要考虑磁场的作用。

磁场可以通过求解Maxwell方程组来模拟。

这些方程组也可以通过格子Boltzmann方法来解决。

5.反馈效应在模拟过程中，我们需要考虑反馈效应。

反馈效应是指液体的运动将会影响磁场的分布，而磁场的分布又会影响液体的运动。

这种反馈效应可以通过将磁场和流场相互耦合来解决。

三、总结在磁场作用下的融化传热过程中，格子Boltzmann方法是一种有效的模拟方法。

通过建立模型、设置初始条件、计算流场和热传递、模拟磁场作用和考虑反馈效应，我们可以成功地模拟出这一过程。

热格子Boltzmann法分析及应用陈杰;钱跃竑【摘要】格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method,LBM)是一种基于气体动理论的介观计算方法,其物理背景清晰、边界处理简单,已成功应用于等温(或无热)流动中.简要介绍现有的几种热格子Boltzmann模型,并运用几种热格子模型求解热Couette流、方腔自然对流等典型算例,对比不同热格子模型的数值稳定性、准确性、模型的计算效率等.将两种热格子模型用于多孔介质内的流动与传热问题中,对比热格子模型在处理复杂结构时的数值特性.%Lattice Boltzmann method (LBM) is a mesoscale computational method based on the gas kinetic theory. For solving Fourier-Navier-Stokes equations, the thermal lattice model has attracted much research attention. This paper compares several thermal lattice models in terms of accuracy, stability and computational efficiency. The thermal flow in pore-scale porous is also studied using different thermal lattice models.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)005【总页数】7页(P489-495)【关键词】格子Boltzmann方法;热格子Boltzmann方法;多孔介质【作者】陈杰;钱跃竑【作者单位】上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072;上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072【正文语种】中文【中图分类】O351格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method，LBM)是近20年发展成熟起来的一种数值计算方法.LBM基于气体动理论，通过分布函数的演化获得宏观信息.作为一种简单且能处理复杂流动问题的有效数值方法［1-2］，LBM具有良好的数值稳定性、天然的并行性、简单的边界处理等优点，自出现之日起就被广泛用于多孔介质流［3］、多相流［4］、反应扩散系统［5］等诸多领域.早期的LBM只应用于等温流动(或无热流动)的模拟，但是基于这种方法具备处理复杂问题的能力以及解决传热问题的需要，研究者一直在不断地探索研究热格子Boltzmann模型，已形成了一些经过数值验证具有模拟热流动能力的热LBM［6-10］，并应用于多孔介质流动与传热、燃烧及化学反应流、湍流等问题.本研究简述了不同热格子Boltzmann模型的基本理论，并通过数值分析对比了不同热格子Boltzmann模型的计算结果及数值特性，进而用于多孔介质流动传热问题中.1 等温LBM基本原理LBM中除时间、空间被离散之外，无限维的粒子速度空间也都被离散成有限的速度序列.在标准LBM模型中，物理空间被离散成正方形(体)格子，流体粒子在格点x上碰撞并按离散速度E=［e0，e1，…，eq－1］迁移到x+eiδt格点.fi(x，t)定义为t时刻在格点x上速度为ei的粒子密度，满足如下的格子Boltzmann方程：式中为平衡态函数，ω为松弛因子.通过简单地向平衡态不断趋近的过程代替真实的复杂碰撞，即BGK(Bhatnagar-Gross-Krook)近似，所以此模型也称为LBGK 模型.平衡态分布函数的选取是LBM的关键.DnQm系列［1］中均采用式中，cs为格子声速，Wi为不同速度粒子的权重.本研究在数值模拟中均采用D2Q9模型.宏观密度和速度分别定义为2 热格子Boltzmann模型现有的热格子Boltzmann模型通常可以分为两大类：第一类是流场温度场耦合统一求解的模型，如多速格子Boltzmann模型(multi-speed LBM，MSLBM)、熵格子Boltzmann方法(entropic LBM，ELBM);另一类则是对流场与温度场分别求解，如被动标量格子Boltzmann模型(passive scalar LBM，PSLBM)、双分布函数(double-distribution-function，DDF)模型，以及其他与传统计算流体动力学(computational fluid dynamics，CFD)结合的混合方法，如混合热格子Boltzmann方法(hybrid-thermal LBM，HTLBM).2.1 多速格子Boltzmann模型(MSLBM)多速格子Boltzmann模型是等温LBM模型的直接推广，其密度、速度、内能等均由速度分布函数的各阶速度矩得到.Qian［6］基于等温LBGK模型，提出了D1Q5，D2Q13，D3Q21，D3Q25热力学LBGK模型.在这些模型中，除了要满足等温模型的守恒条件外，还应满足能量守恒和平衡态热通量为0的条件：平衡态分布函数是Maxwell分布的截断形式：式中，Ap，Bp，Dp为待定参数，由满足的守恒条件确定.平衡态包含了速度的三阶项，离散速度也在D2Q9的基础上在主坐标轴上增加了4个速度.Qian［6］采用此模型对一维激波管、二维 Rayleigh-Benard对流进行了模拟，证明了该模型的有效性.MSLBM具有良好的物理基础，宏观方程绝对耦合，已成功模拟了一些传热现象，但只能模拟狭窄的温度范围和较小的Ma数，存在稳定性问题，限制了该模型的广泛应用.2.2 熵格子Boltzmann方法(ELBM)熵格子Boltzmann方法考虑了H定理，通过在守恒约束下最小化波尔兹曼H函数求解平衡态分布函数，由此得出的正定的分布函数保证了模型的稳定性和准确性［11］.Prasianakis等［10］将ELBM拓展到热流动问题的求解中，证实了该方法的有效性，本研究参照此方法.H函数定义为平衡态分布函数则是在满足守恒约束条件：的情况下，求H函数最小值得到的，具体形式详见文献［10］.Prasianakis等［12］采用在ELBM中加入高阶量的补偿算法，较大地提高了基于D2Q9标准格子的ELBM可模拟的温差和Ma数，但是模型实施较为复杂.2.3 双分布函数模型双分布函数模型，即存在两个分布函数：密度分布函数和内能(温度或总能)分布函数，其中密度分布函数用于模拟速度场，而内能(温度或总能)分布函数则用来模拟温度场.温度、内能或总能分布函数均通过不同的方式构造，但其演化都独立于密度分布函数.2.3.1 被动标量格子Boltzmann模型(PSLBM)被动标量格子Boltzmann模型基于如下原理：在忽略压力做的功和粘性热耗散的情况下，温度可以看作是随流体运动的一个标量，遵循对流扩散方程.由于此方程与组分浓度场的控制方程一样，于是Shan［7］提出使用两组分模型模拟单组分热流动问题：组分1模拟流体的运动;组分2模拟被动的温度场.平衡态密度函数为式中，σ表示组分，两组分共享速度，2.3.2 内能双分布函数模型内能双分布函数模型最早由He等［8］提出，其速度场仍用密度分布函数演化模拟，温度场则由内能分布函数模拟.该模型的基本思想是通过对连续Boltzmann方程进行特殊的离散得到等温LBM，如果进行同样的操作，则热LBM可以由离散内能的演化方程得到.根据内能的定义ρε=∫(ξ－u)2/2f dξ，引入内能分布函数g(r，ξ，t)=(ξ－u)2f/2，并引入新的碰撞模型，得到内能分布函数满足的演化方程：式中，q=(ξ－u)·［∂tu+(ξ·)u］.然后对演化方程离散，得到可用于数值计算的离散的分布演化方程，具体的离散过程详见文献［8］.相比于PSLBM，内能DDF的构造更具有物理基础，并包含了粘性热耗散和可压缩功.相比于MSLBM，DDF模型具有更好的数值稳定性，Pr数不受限制，因此被广泛用于各种近似不可压流体流动与传热问题.2.4 混合热格子Boltzmann模型(HTLBM)HTLBM是指使用 LBM解速度场，使用传统CFD解温度场，并通过一定的方式相互影响.这种方法利用了LBM能简单处理复杂流动问题的优势以及传统CFD在传热问题上的成熟技术，可以处理一些仅仅使用传统CFD较难解决的复杂流动传热问题.最初，Lallemand等［13］将多速多松弛模型和有限差分法(finite difference method，FDM)相结合，提出了混合模型，速度场用多松弛LBM求解，温度场采用FDM求解.本研究采用有限容积法(finite volume method，FVM)与LBM相结合的混合方法，即采用如下的FVM求解能量守恒方程：式中，S为广义源项，包括压力做的功和粘性热耗散.速度场与温度场的耦合通过在LBM中添加温度相关的外力项以及在FVM中添加广义源项S来实现.此外，普朗特数、比热容等热物性以及随温度变化的输运系数可以实现相应的调节.本研究中FVM与LBM采用同一套网格系统，FVM采用绝对稳定且具有与LBM相同精度的二阶迎风格式(second-order upwind scheme，SUS).PSLBM，DDF以及HTLBM这类模型的一个关键之处在于流场与温度场之间的耦合，其模型往往不满足气体完全状态方程，温度场对速度场的影响只是通过施加一个外力来实现.如Guo等［9］针对Boussinesq方程组，通过在密度分布函数演化方程中增加一个外力项以实现温度对流场的影响.Filippova等［14］基于HTLBM研究了小Ma数下高温燃烧，用温度场修正密度场以满足状态方程.3 计算结果及分析为了进一步对比各类模型，本研究采用ELBM，PSLBM，内能DDF模型以及HTLBM，对热Couette流、封闭方腔自然对流和多孔介质内非等温流动等问题进行了模拟对比.3.1 热Couette流模拟考虑两平板间热Couette流，上平板以速度U向右运动，下板静止，且上下平板分别保持恒温Th，Tc，且Th＞Tc.横截面温度廓线的解析形式为式中，H为平板间距离，Pr=ν/χ为普朗特数，χ为热扩散系数，Ec=U2/［Cp(Th －Tc)］为埃克特数.热Couette流中不考虑流体可压缩性的影响，而粘性耗散效应明显，因而分别运用ELBM，内能DDF模型和HTLBM对该问题进行了模拟，网格数均为64×64.模拟中Re=UH/ν=20，计算结果如图1所示.固定Pr=4，Ec分别为1，10和20的无量纲温度廓线，散点为不同方法的计算值，曲线为解析解公式(10).由图可见，三种模型都成功模拟了粘性耗散效应，且与解析解吻合得很好.本工作进一步研究了三种模型的计算效率问题.图2给出了温度残差随CPU时间的变化曲线，可见ELBM和HTLBM明显优于内能DDF模型.3.2 封闭方腔自然对流模拟封闭方腔尺寸为H(正方形边长)，左右壁面分别保持恒温Th，Tc，且Th＞Tc，上下壁面绝热，四壁面速度均为无滑移边界.方腔内充满均质空气，考虑向下的重力.描述自然对流的无量纲参数Ra数定义为图1 热Couette流温度廓线Fig.1 Temperature variation of the thermal Couette flow图2 热Couette流温度残差变化曲线Fig.2 Temperature residuals variation of the thermal Couette flow式中，β为热膨胀系数.物性满足Boussinesq假设，这里通过施加外力G=－β(T－T0)g实现温度场对速度场的影响.在方腔自然对流中，可压缩效应以及粘性耗散效应可忽略不计.从模型分析可以看出，PSLBM在这种情况下与DDF模型类似，而ELBM边界实施较为复杂.因此，本研究分别采用不包含粘性耗散效应的PSLBM和HTLBM对该问题进行了模拟，模拟中Pr=0.71，Ra数分别为104，105和106.图3和图4分别为HTLBM在不同Ra数下流动稳定后得到的流线、等温线，与以往的数值及实验结果一致.由图3可见，随着Ra数的增大，方腔中心的近似圆形的涡逐渐变成椭圆形，进而分裂成两个涡.当Ra= 106时，两个涡分别向左右壁面移动，在中心出现了第三个涡.由图4可见，随着Ra数的增大，竖直的等温线逐渐变得水平，主导的传热机理由导热变为对流.为了进一步定量考核，本研究计算了努塞尔数Nu和平均努塞尔数 Numean.表1给出了热壁面的Numean、最大Nu数Numax及相应位置的yNumax、水平中心线上最大速度vmax及相应的位置x、垂直中心线上最大速度umax以及相应的位置y.HTLBM和PSLBM求解的结果与Barakos等［15］的基准解一致.同样，本研究对HTLBM和PSLBM的计算效率进行了对比，图5所示为两种方法模拟自然方腔对流Ra=105时，速度残差随CPU时间的变化曲线.可以明显看出，两种方法中残差均呈现震荡下降趋势，且HTLBM收敛快于PSLBM，HTLBM残差收敛到10－7以下时的耗时为PSLBM的57%.图3 方腔自然对流不同Ra数的流线Fig.3 Predicted streamlines of natural convection图4 方腔自然对流不同Ra数的等温线Fig.4 Predicted temperature profiles of natural convection表1 数值解与基准解对比Table 1 Comparison of numerical results between thermal models and benchmarksRa数模型 Numean Numax(y/H) umax(y/H) vmax(x/H) PSLBM 2.247 3.538(0.141) 0.194(0.824) 0.234(0.121) Ra=104 HTLBM 2.242 3.553(0.145) 0.194(0.824) 0.234(0.121) Barakos等［16］2.2453.539(0.143) 0.193(0.818) 0.234(0.119) PSLBM4.512 7.827(0.075)0.128(0.854) 0.256(0.065) Ra=105 HTLBM 4.507 7.723(0.085) 0.134(0.854) 0.260(0.065) Barakos等［16］ 4.510 7.636(0.085) 0.132(0.859) 0.258(0.066) PSLBM 8.809 17.454(0.033) 0.079(0.852) 0.261(0.037) Ra=106 HTLBM 8.792 17.435(0.040) 0.081(0.854) 0.263(0.040) Barakos等［16］ 8.80617.442(0.037) 0.077(0.859) 0.262(0.039)图5 方腔自然对流速度残差变化曲线Fig.5 Velocity residuals variation of thenatural convection3.3 多孔介质非等温流动模拟多孔介质内部结构十分复杂，其流动传热现象也相当复杂.格子Boltzmann方法在模拟孔隙内的流体运动时可以方便地使用反弹格式处理复杂流场，因此，该方法在孔隙尺度模拟多孔介质内部复杂流动上有明显的优势及较高的计算率.对于多孔介质内流动与传热的问题，以往使用比较广泛的是PSLBM和内能DDF模型.本研究将HTLBM用于多孔介质流动与传热分析中，并与PSLBM进行了对比.本研究分析了分形多孔介质中的自然对流，分形结构采用Sierpinski地毯，依次对分形等级N=2和3的Sierpinski情况进行了模拟.无量纲控制参数Pr=0.71，Ra数分别为104，105和106，固体区域温度保持线性温度分布.图6为采用HTLBM计算N= 2分形结构内自然对流得到的流线图，图7为相应的等温线.由图可见，模拟结果与PSLBM一致，随Ra数的逐步增大，传热机理由导热主导变化为对流主导.图8为N=3，Ra=106时的流线图及等温线.由图可见，固体的增多明显地抑制了对流作用.同样对HTLBM在计算效率的问题上和PSLBM进行了对比.图9为Ra=106时两种方法模拟N=2分形结构时的速度残差曲线，此时HTLBM耗时为PSLBM的76%，仍具有优势.图6 多孔介质方腔自然对流流线(N=2)Fig.6 Predicted streamlines of porous cavity(N=2)图7 多孔介质方腔自然对流等温线(N=2)Fig.7 Predicted temperature profiles of porous cavity(N=2)图8 多孔介质方腔自然对流流线及等温线(N=3)Fig.8 Predicted streamlines and temperature profiles of porous cavity(N=3)4 结论本研究简要介绍了几种热格子Boltzmann模型(MSLBM，ELBM，PSLBM，内能DDF模型及HTLBM)，并运用不同热格子模型求解了两个典型算例以及多孔介质流动传热问题，得到如下结论.图9 多孔方腔自然速度残差变化曲线Fig.9 Velocity residuals variation of porous cavity(1)速度场温度场耦合求解的模型还需要进一步发展才能被广泛应用.(2)相比于PSLBM和DDF模型，HTLBM在保证计算精度的前提下，具有较高的计算效率.(3)数值模拟验证了HTLBM在处理多孔介质复杂结构时可行、有效，且比PSLBM 的效率高.参考文献：［1］ QIANY H，D’HUMIERESD，ttice BGK models for Navier-Stokes equation ［J］.Europhysics Letters，1992，17(6)：479-484. ［2］ QIANY H，SUCCIS，ORSZAGS A.Recent advances in lattice Boltzmann computing［M］∥ DIETRICH S.Annual reviews of computational physicsⅢ.New J ersey：World Scientific Publishing Company，1995：195-224.［3］ ZHAOC Y，DAIL N，TANGG H，et al.Numerical study of natural convection in porous media(metals) using lattice Boltzmann method (LBM) ［J］.International Journal of Heat and Fluid Flow，2010，31 (5)：925-934. ［4］严永华，石自媛，杨帆.液滴撞击液膜喷溅过程的LBM模拟［J］.上海大学学报：自然科学版，2008，14(4)：399-404.［5］李青，徐旭峰，周美莲.三维斑图形成的格子Boltzmann方法模拟［J］.上海大学学报：自然科学版，2007，13(5)：516-518.［6］ QIANY H.Simulating thermohydrodynamics with lattice BGK 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流体动力学的格子boltzmann方法及其具体实现格子Boltzmann方法是以Boltzmann方程为基础的，该方程描述了流体中粒子的运动。

格子Boltzmann方法将模拟的流体区域划分为一个个离散的格子，并在每个格子中表示流体的宏观属性，如密度、速度等。

在每个格子中，通过计算碰撞和分布函数来模拟粒子的运动。

具体实现格子Boltzmann方法的步骤如下：1.离散化：首先，将流体区域离散化为一个个格子。

格子的大小可以根据需要进行调整。

2.分布函数：在每个格子中，引入分布函数来描述粒子的密度和速度。

分布函数是一个概率密度函数，表示在给定位置和速度的条件下，粒子在该位置具有该速度的概率。

3.碰撞模拟：在每个格子中，模拟粒子之间的碰撞。

根据碰撞模型，计算粒子之间的相互作用，并更新分布函数。

4.传输：根据速度和分布函数，计算粒子的传输过程。

传输过程描述了粒子从一个格子到另一个格子的流动。

5.边界条件：在模拟流体区域的边界上，需要设置适当的边界条件。

边界条件可以影响流体的流动模式。

6.时间步进：通过迭代计算，不断更新格子中的分布函数。

每个时间步长都对应着碰撞和传输的过程。

格子Boltzmann方法与其他常用的计算流体力学方法相比具有一些优势：1. 高效性：格子Boltzmann方法使用离散化格子的方式来模拟流体运动，计算量相对较小，能够高效地处理大规模流体问题。

2. 并行性：由于格子Boltzmann方法的计算是在各个格子之间进行的，因此可以方便地实现并行计算，利用多核处理器或分布式计算系统，加速计算速度。

3. 多尺度：格子Boltzmann方法可以在不同的尺度上进行模拟，从宏观的流体行为到微观的分子动力学。

4. 可分析性：格子Boltzmann方法建立在Boltzmann方程的基础上，可以通过对方程的分析来推导流体的宏观行为。

总结而言，格子Boltzmann方法是一种基于离散化格子的流体动力学模拟方法，通过计算碰撞和传输过程来模拟流体的运动。

格子botlzmann方法的原理及应用格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种用于模拟流体流动的计算方法。

它基于Boltzmann方程，通过离散化空间和速度空间，采用微小时间步长进行离散时间演化，来模拟流体的宏观流动行为。

LBM 的基本原理是通过碰撞和迁移两个步骤来模拟流体的运动。

LBM的基本原理可由以下几个步骤来说明：1. 离散化空间：将空间划分为一系列离散的格点（或称为格子），每个格点上的物理量（如密度、速度）用一个分布函数表示。

2. 离散化速度：对于每个格点，为其附加一个速度分布，这个分布可能是以不同速度朝不同方向运动的分布。

常用的速度模型包括D2Q9和D3Q19等。

3. 碰撞：对于每个格点的速度分布函数，根据Boltzmann方程中的碰撞项，通过碰撞模型来更新速度分布函数，使其达到平衡态。

碰撞模型通常选取BGK碰撞模型。

4. 迁移：将每个格点的速度分布函数根据其相邻格点上的速度分布函数进行迁移，即将速度信息传递给相邻的格点。

通过重复以上步骤，LBM可以模拟流体在空间和时间上的演化，从而得到流体的宏观行为。

格子Boltzmann方法具有一些明显的优势和特点，因此在流体力学领域有广泛的应用：1. 并行计算优势：LBM的计算是基于格点的，因此在并行计算方面具有很大的优势，在大规模计算的流体模拟中有很高的效率。

2. 简化边界条件：LBM可以通过对网格设置不同的物理边界条件，如固壁、自由边界和入口出口等，来模拟不同的流场。

相比传统方法，LBM不需要进行边界条件的复杂推导和处理，简化了问题的求解。

3. 适用于复杂几何形状：由于LBM的离散特性，它对于复杂几何形状的模拟相对容易。

与传统有限元方法相比，LBM更适用于较复杂的流体流动领域，如多孔介质的渗流、微尺度流体等。

4. 多相流模拟：LBM在模拟多相流动中的应用也比较广泛。

通过添加适当的边界条件和相互作用模型，可以对液体、气体和固体等不同相之间的相互作用进行有效的模拟。

1维格子boltzmann方法1维格子Boltzmann方法引言：1维格子Boltzmann方法是一种用于模拟粒子与固体表面相互作用的数值方法。

它基于Boltzmann方程和离散化的空间网格，通过模拟粒子在网格上的运动来研究物质的输运和反应过程。

本文将介绍1维格子Boltzmann方法的基本原理、数值实现以及应用领域。

一、基本原理1维格子Boltzmann方法的基本原理是通过离散化的空间网格，模拟粒子与固体表面相互作用的过程。

它基于Boltzmann方程，该方程描述了粒子在空间中的运动和碰撞过程。

通过将空间分为离散的格子点，并在每个格子点上计算粒子的运动和碰撞，可以得到粒子在空间中的分布和运动状态。

二、数值实现1维格子Boltzmann方法的数值实现包括以下几个步骤：1. 确定空间网格的大小和分辨率：根据模拟系统的尺寸和精度要求，确定空间网格的大小和分辨率。

2. 初始化粒子分布：根据初始条件，初始化粒子在空间中的分布。

可以根据需要设置不同的初始条件，如均匀分布、高斯分布等。

3. 计算粒子的运动：根据粒子在空间中的速度和位置，计算粒子的运动。

可以使用经典力学的运动方程或者基于概率的运动模型。

4. 计算粒子的碰撞：根据粒子之间的相互作用力和碰撞模型，计算粒子的碰撞过程。

可以使用经典力学的碰撞理论或者基于概率的碰撞模型。

5. 更新粒子分布：根据粒子的运动和碰撞过程，更新粒子在空间中的分布。

可以使用离散化的方法，将粒子的分布离散化到空间网格上。

6. 重复步骤3-5，直到达到模拟结束的条件。

三、应用领域1维格子Boltzmann方法在许多领域有着广泛的应用，包括材料科学、电子学、光学等。

以下是一些典型的应用案例：1. 材料表面反应：通过模拟粒子在材料表面的吸附、反应和解吸过程，可以研究材料的表面反应动力学和机理，从而优化材料的性能和制备工艺。

2. 电子输运：通过模拟电子在半导体器件中的输运过程，可以研究器件的电流特性和性能，从而优化器件设计和制造工艺。