3.1.2 函数的单调性(3)

《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《函数的单调性》第一课时的学习，使学生能够：1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。

2. 能够通过实例分析，加深对函数单调性在实际问题中应用的理解。

3. 培养学生的数学逻辑思维和问题解决能力。

二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论学习：复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的含义，掌握判断函数单调性的基本方法。

2. 练习题：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，涵盖函数单调性的基本概念、判断方法和应用。

（1）选择题：挑选出几个典型的函数图像，让学生判断其单调性。

（2）填空题：提供未完成的问题，要求学生根据函数单调性的定义完成填空。

（3）解答题：设计实际问题的情境，要求学生运用函数单调性的知识解答。

3. 拓展应用：设计一些涉及函数单调性的实际问题，如经济学中的成本函数、市场营销中的价格与销售量关系等，以提高学生运用知识解决实际问题的能力。

三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性。

2. 学生在完成练习题时，应注重理解题目背后的数学原理和解题思路。

3. 对于拓展应用部分，学生需结合实际情境，运用所学知识进行分析和解答。

4. 作业需字迹工整，步骤清晰，答案完整。

四、作业评价1. 教师将根据学生作业的准确性和解题思路进行评价，对正确答案进行批改和点评。

2. 对于解题思路有创新或独特见解的学生，给予鼓励和表扬。

3. 对于作业中出现的错误，教师需进行详细指导，帮助学生找出错误原因并改正。

五、作业反馈1. 教师将根据学生作业的完成情况，进行针对性的教学调整，以提高教学效果。

2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和答疑。

3. 对于个别学生的问题，可通过课后辅导或线上交流的方式进行个别指导。

4. 定期收集学生对于作业设计的反馈意见，以便不断优化作业设计，提高学生的学习效果。

《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生巩固和深化对“函数的单调性”的理解，通过实际操作和练习，掌握判断函数单调性的方法和技巧，为后续学习打下坚实的基础。

二、作业内容1. 基础知识巩固- 要求学生复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的概念，并能够正确使用数学语言描述函数的单调性。

- 布置相关练习题，如填空题和选择题，考察学生对基本概念的掌握情况。

2. 函数单调性判断- 指导学生通过图像、导数、差分等方法判断函数的单调性。

- 设计一定数量的应用题，让学生在具体情境中应用单调性的概念。

3. 函数单调性与实际生活的联系- 通过实例分析，如气温变化、商品销售量与价格的关系等，让学生理解函数单调性在实际生活中的意义。

- 要求学生分析生活中的一些现象，用数学语言表达其单调性，并给出简要的解释。

4. 综合练习- 设计一组综合题目，涵盖函数单调性的判断、计算和实际应用等内容。

- 要求学生独立完成综合练习，并在课堂上进行讨论和交流。

三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和规范性。

2. 对于每个题目，学生需写出详细的解题步骤和思路，以便于教师了解学生的掌握情况。

3. 学生在完成作业过程中，应注重理解题目的意图和解题方法，而不仅仅是追求答案的正确性。

4. 对于涉及图像的题目，学生需使用数学软件绘制准确的函数图像，并标注关键点。

5. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。

四、作业评价1. 教师将根据学生的答案，对学生的理解和应用能力进行评估。

2. 教师将对解题步骤和思路的规范性、准确性和完整性进行评价。

3. 对于有创意的解题思路和方法，教师将给予额外的加分和表扬。

4. 对于存在的问题和不足，教师将给出具体的指导和建议。

五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，帮助学生纠正错误并加深理解。

2. 学生需根据教师的反馈和建议，对作业进行修正和完善。

函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。

(3) 举例说明函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。

(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。

1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。

教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。

(3) 举例说明函数单调性性质的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。

(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。

教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。

(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。

(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。

函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。

举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。

1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。

通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。

引导学生学会识别函数图像中的单调区间。

2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。

教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。

第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。

通过例题让学生掌握求解极值的方法。

3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。

通过例题让学生理解最值的求解过程。

第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。

通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。

4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。

通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。

第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。

引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。

5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。

提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。

第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。

通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。

6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。

通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。

3．1.2 函数的单调性课时作业24 单调性的定义与证明知识点一 函数单调性的定义1.设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定答案 D解析 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D.2．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＞f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)答案 B解析 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34＞0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.故选B.知识点二 函数单调性的判断 3.函数f (x )的图像如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数 答案 A解析 由图像知，f (x )在[－1,2]上是增函数，在(2,4]上是减函数，故选A. 知识点三 函数单调性的证明4.(1)证明：函数f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)证明：函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． 证明 (1)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＋1x 1x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上是增函数．(2)设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，而f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1)＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1＞0，x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)．因此函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数.知识点四判断复合函数的单调性5.已知函数f(x)＝8＋2x－x2，g(x)＝f(2－x2)，试求g(x)的单调区间．解令u(x)＝2－x2，则u(x)在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，且u(0)＝2.f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．令－x2＋2＝1，则x＝±1.∴当x∈(－∞，－1]时，u(x)为增函数，值域为(－∞，1]，且f(x)在(－∞，1]上也为增函数．∴g(x)在(－∞，－1]上为增函数．同理，g(x)在[－1,0]上为减函数，在[0,1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．所以函数g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞).知识点五函数的最大值、最小值6．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2答案C解析由图像可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.故选C.易错点 忽视单调区间的端点值而致误7.函数y ＝xx ＋a 在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．易错分析 分离常数后，函数解析式为y ＝1－ax ＋a，根据单调性得出函数的单调递增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，由于忽视了端点值而得出a >2的错误结论．答案 a ≥2正解 y ＝x x ＋a ＝1－ax ＋a ，依题意，得函数的单调递增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.一、选择题1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝5－x B ．y ＝x 2＋2 C ．y ＝1x D ．y ＝－|x |答案 B解析 A ，C ，D 中的函数在(0,2)上都是减函数，只有函数y ＝x 2＋2在(0,2)上是增函数． 2．函数f (x )的图像如图，则f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (0)，f (－1)答案 C解析 观察图像，利用函数的单调性及最大值、最小值的几何意义可知，f (0)是最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32是最小值．故选C. 3．当y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈(－∞，1))是单调函数时，b 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－∞，－2] C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－2)答案 B解析 由y ＝x 2＋bx ＋c 可知，二次函数的对称轴为 x ＝－b2，要使函数y ＝x 2＋bx ＋c 在(－∞，1)上是单调函数，则－b2≥1，所以b ≤－2.故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,1) C ．(0,1) D ．(0,1] 答案 D解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，得a ≤1.由函数g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，得a >0，故a 的取值范围为(0,1]．5．已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－17∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 C解析 要使f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件： ①g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h (x )＝－x ＋1在[1，＋∞)上为减函数； ③g (1)≥h (1)．所以⎩⎨⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－1＋1，所以17≤a ＜13. 二、填空题6．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调________函数．答案 减解析 y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数， ∴a <0，b <0，y ＝ax 2＋bx ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，对称轴x ＝－b2a <0，二次函数图像开口向下， ∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调减函数．7．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 作出函数f (x )＝|2x ＋a |的图像，大致如图所示，根据图像可得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，即－a 2＝3，a ＝－6.8．二次函数f (x )＝12x 2－2x ＋3在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是________．答案 [2,4]解析 因为f (x )＝12x 2－2x ＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m <2时，⎩⎨⎧f (0)＝3，f (m )＝1，此时无解；当2≤m ≤4时，x ＝2时有最小值1，x ＝0时有最大值3，此时条件成立；当m >4时，最大值必大于f (4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m 的取值范围是[2,4]．三、解答题9．已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．解 F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上为减函数．证明如下：任取x 1，x 2，使0<x 1<x 2，则 F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 1)f (x 2).∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 1)·f (x 2)>0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 2)<F (x 1)． ∴函数F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x ＞1是减函数，求实数a 的取值范围．解由题意可得⎩⎨⎧－a ≥1，a ＜0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．课时作业25 函数的平均变化率知识点一 函数平均变化率的定义1.已知函数f (x )的定义域为A ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则( )A ．f (x )在这个区间上为增函数B ．f (x )在这个区间上为减函数C ．f (x )在这个区间上的增减性不确定D ．f (x )在这个区间上为常函数 答案 A解析 解法一(利用定义)：①当x 1＞x 2时，x 1－x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在区间I 上是增函数．②当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在区间I 上是增函数．综合①②可知，f (x )在区间I 上是增函数．故选A. 解法二(利用函数的平均变化率)：由题意知，Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，又I ⊆A 且f (x )在I 上是增函数的充要条件是Δy Δx ＞0在I 上恒成立，故选A.知识点二 函数单调性的证明及判定2.证明：函数f (x )＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数． 证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则 Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 ＝x 2－x 1x 2－x 1＝x 2－x 1(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝1x 2＋x 1＞0.故函数f (x )＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数． 3．求函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调区间． 解 由题意知函数f (x )的定义域是(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)．设x1，x2是区间(－b，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1＝x2＋ax2＋b－x1＋ax1＋bx2－x1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a－bx2＋b－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a－bx1＋bx2－x1＝a－bx2＋b－a－bx1＋bx2－x1＝(a－b)(x1－x2)(x2＋b)(x1＋b)x2－x1＝b－a(x1＋b)(x2＋b).∵a＞b＞0，x2＞x1＞－b，∴b－a＜0，x1＋b＞0，x2＋b＞0，∴ΔyΔx＜0，∴函数f(x)在(－b，＋∞)上为减函数，即函数f(x)＝x＋ax＋b(a＞b＞0)的单调递减区间为(－b，＋∞)．同理，可得函数f(x)＝x＋ax＋b(a＞b＞0)的单调递减区间还有(－∞，－b)．综上可得，函数f(x)＝x＋ax＋b(a＞b＞0)的单调递减区间为(－∞，－b)和(－b，＋∞).知识点三函数平均变化率的应用4．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是()答案B解析因为高度不是均匀上升的，应排除D；图像中没有出现对称情况，应排除C；随着V的不断增加，h的变化越来越快，水瓶的形状应为下粗上细，故选B.5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事物吻合得最好的图像是()答案C解析先分析小明的运动规律，再结合图像作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明开始时是匀速运动，故前段是直线段，距学校的距离均匀减小，途中堵塞停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降的快，故选C.易错点对函数的平均变化率理解不到位致误6.若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k＞12B．k≥12C．k≤－12D．k＜－12易错分析 对“ΔyΔx ＜0是函数f (x )在定义域上单调递减的充要条件”理解不到位，误认为ΔyΔx ≤0，而误选C.答案 D正解 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，则有ΔyΔx ＜0，即f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝(2k ＋1)x 2－(2k ＋1)x 1x 2－x 1＝2k ＋1＜0，故k ＜－12.一、选择题1．下列说法中，正确的有( )①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④函数y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数，故①正确；②函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y ＝－1x 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数，但在整个定义域内不是增函数，故③错误；④y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成并集的形式，故④错误．故选B.2．以固定的速度向如下图所示的瓶子中注水，则水深h 与时间t 的函数关系是( )答案 B解析 因为图中瓶子下粗上细，则以固定的速度向瓶子中注水时，随着时间t 的增加，水深h 增高得越来越快，易知B 符合题意．3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝(x －1)2 B ．y ＝x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝|x |答案 B解析 对于函数y ＝(x －1)2，显然定义域为R ，但在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；对于y ＝x 3，显然定义域为R ，令y ＝f (x )＝x 3，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则ΔyΔx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝x 32－x 31x 2－x 1＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)x 2－x 1＝x 21＋x 1x 2＋x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 22＋34x 22＞0，故函数y ＝x 3在R 上单调递增；函数y ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于函数y ＝|x |，显然定义域为R ，但在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故选B.4．函数y ＝x ＋2x －1( ) A ．有最小值12，无最大值 B ．有最大值12，无最小值 C ．有最小值12，有最大值2 D ．无最大值，也无最小值 答案 A解析 设y 1＝x ，y 2＝2x －1，则y ＝y 1＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12，∵y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴y ＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴y 有最小值12，无最大值．5．客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1 h 到达乙地，在乙地停留了0.5 h ，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1 h 到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图像中，正确的是( )答案 C解析 解法一：根据已知条件，结合图像知，在第1个小时内四个图像都正确；之后的半小时，图像B 不正确，因为图中此段时间内路程为0，与事实不符；最后1个小时，图像A 的错误在时间和路程上，图像D 的错误在时间上，因此图像C 正确．解法二：由题意可知，客车在整个过程中的路程函数s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，60，1＜t ≤32，80t －60，32＜t ≤52，对比图像可知C 正确．二、填空题6．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最小值是________．答案 54解析 任取2≤x 1＜x 2≤5，则Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝x 2x 2－1－x 1x 1－1x 2－x 1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)x 2－x 1＝－1(x 2－1)(x 1－1)＜0.所以f (x )＝x x －1在区间[2,5]上单调递减，所以f (x )min ＝55－1＝54. 7．若函数f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2， 则Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝(－x 32＋ax 2)－(－x 31＋ax 1)x 2－x 1＝(x 31－x 32)＋a (x 2－x 1)x 2－x 1＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )x 2－x 1＝a －(x 21＋x 1x 2＋x 22)．因为f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数，所以Δy Δx ＞0，即a ＞x 21＋x 1x 2＋x 22.又x 1，x 2∈(0,1)，所以x 21＋x 1x 2＋x 22＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围是[3，＋∞)．8．一水池有2个进水口，1个出水口，每个口进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是________．答案 ①解析 设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图像知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4时不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，因为至少打开一个水口，所以是所有水口都打开，进出均衡，故③不正确．三、解答题9．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (1＜a ＜3)在x ∈[1,2]上的单调性． 解 设1≤x 1＜x 2≤2，则Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x1x 2－x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2x 2－x 1＝a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得2＜x 1＋x 2＜4,1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，即ΔyΔx ＞0.故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5a ，x ≥2，ax ＋5，x ＜2，其中a 为常数．(1)对任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[1,3]上的最小值h (a )． 解 (1)由题意，函数在定义域上为增函数，则实数a 应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a ＞0，22－2a ＋5a ≥2a ＋5，解得1≤a ≤4.(2)g (x )＝x 2－4ax ＋3＝(x －2a )2＋3－4a 2，其图像的对称轴为x ＝2a ， 由(1)得2≤2a ≤8.①当2≤2a ≤3，即1≤a ≤32时，h (a )＝g (2a )＝3－4a 2； ②当3＜2a ≤8，即32＜a ≤4时，h (a )＝g (3)＝12－12a . 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2，1≤a ≤32，12－12a ，32＜a ≤4.课时作业26 单调性的应用知识点一 函数单调区间的划分 1.函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，[1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1] D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)答案 C解析 函数f (x )＝|x |的递增区间是[0，＋∞)，g (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1的递增区间为(－∞，1]．2．求函数y ＝－12 x 2＋2x －3 的单调递减区间．解 y ＝－12x 2＋2x －3的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．设y ＝－12u ，u ＝x 2＋2x －3.当x ≥1时，u 是x 的增函数，y 是u 的减函数，故y 是x 的减函数． ∴[1，＋∞)是y ＝－12x 2＋2x －3的单调递减区间．当x ≤－3时，u 是x 的减函数，y 是u的减函数，故y 是x 的增函数．∴(－∞，－3]是y ＝－12 x 2＋2x －3的单调递增区间．故所求函数的单调递减区间为[1，＋∞).知识点二 比较大小3.若函数f (x )在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a 2)答案 D解析 因为f (x )是R 上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f (a 2＋1)＜f (a 2)．故选D. 4．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋c ，则( ) A ．f (1)＜c ＜f (－2) B ．c ＜f (－2)＜f (1) C ．c ＞f (1)＞f (－2) D ．f (1)＞c ＞f (－2) 答案 D解析 二次函数f (x )＝x 2＋4x ＋c 图像的对称轴为x ＝－2，且开口向上，所以函数f (x )在[－2，＋∞)上为增函数，所以f (－2)<f (0)<f (1)，又f (0)＝c ，所以f (1)＞c >f (－2)．故选D.知识点三 利用函数单调性解决范围问题5.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23解析 由题意知0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.6．已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图像开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.知识点四 利用函数单调性求最值7.已知函数f (x )＝x 2－2x －1，x ∈A ，当A 为下列区间时，分别求f (x )的最大值和最小值． (1)A ＝[－2,0]； (2)A ＝[－1,2]； (3)A ＝[2,3]．解 (1)当A ＝[－2,0]时，函数f (x )在[－2,0]上为减函数，∴f (x )max ＝f (－2)＝7，f (x )min ＝f (0)＝－1.(2)当A ＝[－1,2]时，函数f (x )在[－1,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2. (3)当A ＝[2,3]时，f (x )在[2,3]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－1. 易错点 漏掉定义域致误8.已知函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围． 易错分析 解不等式f (1－a )<f (2a －1)时，考虑到函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即1－a >2a －1来解，容易忽视定义域(－1,1)导致错误．正解由题意可知，⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.一、选择题1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性 答案 D解析 例如y ＝－1x 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故选D.2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－x D ．y ＝x 2＋2x ＋1答案 C解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数．故选C. 3．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调递减区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图像开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调递减区间是(1，＋∞)．4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图像的对称轴为x ＝2.又因为函数图像开口向下，所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．若函数y ＝f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 答案 B解析 令t ＝f (x )，由于函数y ＝f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，即12≤t ≤3，从而y ＝f (x )＋1f (x )＝t ＋1t .又因为当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，y ＝t ＋1t 为关于t 的减函数；当t ∈[1,3]时，y ＝t ＋1t 为关于t 的增函数，所以当t ＝1时，y 有最小值为2.又因为当t ＝3时，y 有最大值为103，所以F (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.所以选B.二、填空题6．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ＜12，解得－1≤x ＜12.7．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a ＜b ＜3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________.答案 －2 0解析 ∵y ＝－(x －3)2＋18，a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9， 解得b ＝0(b ＝6不符合题意，舍去)． －a 2＋6a ＋9＝－7，解得a ＝－2(a ＝8不符合题意，舍去)．8．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥1，ax －1，x <1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,3]解析 当x ≥1时，函数f (x )＝x 2＋1单调递增．要使f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥1，ax －1，x ＜1在R 上单调递增．需满足⎩⎨⎧ a ＞0，a －1≤12＋1，即⎩⎨⎧a ＞0，a ≤3.0＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(0,3]． 三、解答题 9．已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明． 解 (1)由x 2－1≠0，得x ≠±1， 所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x ∈R |x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1－1x 22－1＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2)(x 21－1)(x 22－1).因为x 2>x 1>1，所以x 21－1>0，x 22－1>0，x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数．10．函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )＞1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m －2)<3. 解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)＞1. ∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．故f (x )在R 上是增函数． (2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴原不等式可化为f (3m －2)<f (2)．∵f (x )在R 上是增函数，∴3m －2<2，解得m ＜43.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43.。

函数的单调性教案（获奖）第一章：引言1.1 现实生活中的单调性1.引入概念：单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

2.举例说明：（1）商品价格随时间的变化；（2）物体的高度随时间的变化。

1.2 函数单调性的意义1.函数单调性在实际生活中的应用：（1）优化问题；（2）经济决策。

2.函数单调性在数学领域的应用：（1）导数的定义；（2）最值问题的求解。

第二章：函数单调性的定义与性质2.1 函数单调性的定义1.单调递增函数：若对于定义域内的任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则函数f（x）为单调递增函数。

2.单调递减函数：若对于定义域内的任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则函数f（x）为单调递减函数。

2.2 函数单调性的性质1.若函数f（x）在定义域内单调递增，则在任意子区间内也单调递增；2.若函数f（x）在定义域内单调递减，则在任意子区间内也单调递减；3.单调递增函数的导数大于等于0；4.单调递减函数的导数小于等于0。

第三章：函数单调性的判断与证明3.1 函数单调性的判断1.利用导数判断：若函数f（x）在定义域内可导，且导数f'（x）≥0（或≤0），则函数f（x）在定义域内单调递增（或单调递减）。

2.利用图像判断：观察函数图像，若图像随着x的增大而上升，则为单调递增函数；若图像随着x的增大而下降，则为单调递减函数。

3.2 函数单调性的证明1.利用导数证明：假设函数f（x）在定义域内可导，且导数f'（x）≥0（或≤0），则对于定义域内的任意x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），从而证明函数f（x）单调递增（或单调递减）。

2.利用数学归纳法证明：对于定义域内的任意x1＜x2，证明f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），从而得出函数f（x）单调递增（或单调递减）。

第四章：函数单调性与最值问题4.1 函数单调性与最值的关系1.若函数f（x）在定义域内单调递增，则函数在定义域内的最小值出现在定义域的左端点；2.若函数f（x）在定义域内单调递减，则函数在定义域内的最大值出现在定义域的左端点。