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函数的单调性与极值函数)(x f y =单调性的考察，可用当21x x <时，比较)(1x f 与)(2x f 的大小来进行判定的.但判定)(1x f 与)(2x f 的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数)(x f y =在某区间上单调增加，其图形是一条沿x 轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即0)(≥'='x f y ；若单调减少，其图形是一条沿x 轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即0)(≤'='x f y ，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？定理1 设函数)(x f 在区间),(b a （1）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调增加； （2）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调减少.证明 （1）在),(b a 内任取两点21,x x ，且21x x <，根据拉格郎日中值定理，存在一点ξ（21x x <<ξ），使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （1）因为在区间),(b a 内有0)(>'x f ，则（1）式中的0)(>'ξf ，而012>-x x ，因此由（1）式知)()(12x f x f >，这就是说)(x f 在),(b a 内单调增加. 同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）.如函数3x y =的导数23x y ='，在0=x 时，0='y ，但它在区间),(+∞-∞内是单调增加.例1 判定函数13--=-x ey x的单调性.解 因为函数的定义域为),(+∞-∞，其导数为3--='-xe y ，所以在整个定义域内都有0<'y ，故函数13--=-x e y x 在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示. 函数)(x f 在区间],[],,[21b x x a 上单调增加，而 在区间],[21x x 上单调减少，且从图3-3上容易看到，可导函数)(x f 在单调增加、减少的分界点处的导数为零，即0)()(21='='x f x f使导数等于零的点（即方程0)(='x f 的实根），叫做函数)(x f 的驻点.因此要确定可导函数)(x f 的单调区间，首先要求出驻点，然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.例2讨论函数)(x f x x x 2213123-+=的单调性 解 因为)1)(2(2)(2-+=-+='x x x x x f ，令0)(='x f ，得驻点1,221=-=x x .这两点将)(x f 的定义域),(+∞-∞分成三个部分：),1(),1,2(),2,(+∞---∞，下面用列表的形式来进行讨论，（表中“ ”表示单调增加，“ ”表示单调减少）根据上面的讨论可得：函数)(x f 在区间)2,(--∞和),1(+∞内单调增加，在区间（)1,2-内单调减少. 另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点. 例3 确定函数32x y =的单调区间. 解 函数的定义域为),(+∞-∞，而332x y ='，显然当0=x 又函数没有驻点.但当0>x 时，有0>'y ，函数在区间),0(+∞内单调增加； 当0<x 时，有0<'y ，函数在区间)0,(-∞内单调减少. 二、函数的极值定义3.1 设函数)(x f 在),(0δx N 有定义，且对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值；如果对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为极值点.从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点：（1） 函数的极大值和极小值是局部概念， 即如果)(0x f 是)(x f 的极值，只是对极值点0x 的左右近旁一个小范围来讲的.（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 极小值，且其中的极大值未必比极小值要大. 如图3-5， 极大值)(1x f 就比极小值)(5x f 还要小.（3）函数的极值只能在区间内部取到.求极值的关键是找出极值点，从图3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如0)(3='x f .定理2（极值存在的必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处导数存在，且在0x 处取得极值，则函数)(x f 在0x 处的导数0)(0='x f ，即0x 是函数)(x f 的驻点.注意，定理3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数3x y =，在0=x 处有00='=x y ，但00==x y不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点.对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点.如)(x f ||x =，显然，)0(f '不存在. 但0=x 且是它的一个极小值点，在||)(x x f =图形上，)0,0(称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点. 但问题是这些点满足什么条件才能为极值点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理 3 （极值存在第一充分条件） 设函数)(x f 在点0x 连续，在),ˆ(0δx N 内可导（0x 可除外），当x 由小增大经过0x 时，如果：（1）)(x f '的符号由正变负，则)(x f 在点0x 处取得极大值； （2）)(x f '的符号由负变正，则)(x f 在点0x 处取得极小值； （3）)(x f '的符号不变，则)(x f 在点0x 处取不到极值.证明 （1）由条件，)(x f 在点0x 左近旁单调增加，在点0x 右近旁单调减少，即当0x x <时，有)()(0x f x f <，当0x x >时，有)()(0x f x f <，因此)(x f 在点0x 处取到极大值.同理可证明结论（2）、（3）.此外还可利用二阶导数来判定极值.定理4（极值存在的第二充分条件）设函数)(x f 在),(0δx N 内有二阶导数)(x f ''存在且连续，又0)(0='x f ，如果（1）0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 处取得极大值；（2）0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值.（证明从略） 例4 求函数322)4()(-=x x f 的极值.解 因为)2(434)(32±≠-='x x x x f ， 令 0)(0='x f ，得驻点 0=x ，所以函数有驻点0=x ，尖点2±=x列表考察)(x f '的符号故当=x 0时，函数)(x f 有极大值316， 当=x 2±时，函数)(x f 有极小值0. 例5 求函数x x x f sin 23)(+=在区间]2,0[π内的及值 解 因为x x f cos 23)(+='，x x f sin 2)(-=''.令 0)(0='x f ，得驻点 67,6521ππ==x x 而01)65(<-=''πf ，所以=)65(πf 1635+π为极大值； 01)67(>=''πf ，所以1637)67(-=ππf 为极小值. 例6 求函数)(x f =1)1(32+-x 的极值.解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞ 32)1(6)(-='x x x f 由0)(0='x f ，得驻点1,0,1321==-=x x x . 列表：故函数)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ，而1,131=-=x x 不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 一定存在最大值和最小值. 由于函数的最值可在区间内部取到，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值，因此求)(x f 在区间],[b a 上的最值，可求出一切可能的极值点（驻点及尖点）和端点处的函数值，进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值.例7 求函数6424+-=x x y 在区间]3,3[-上的最大值和最小值. 解 因为x x y 843-='令,0='y 得驻点 2,0,2321==-=x x x因此 51,6,232===±==±=x x x yyy而.经比较，得函数的最大值为51=y如果函数)(x f 在一个开区间内连续且有惟一的极值点0x ，则当)(0x f 为极大值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最大值；当)(0x f 为极小值时，)(0x f 就是)(x f 在开区间上的最小值（见图3-7）.例8 求函数1)1()(32+-=x x f.解 由例6可知，0=x 是函数)(x f 极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故 函数的极小值就是函数的最小值，为0)0(=f ，不存在最大值.下面讨论求最值的应用题.在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数)(x f 在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数)(x f 在这定义区间内又只有惟一的驻点0x ，则可断定)(x f 在点0x 处取到了相应的最值.例9 有一块长为a ，宽为a 83的长方形铁片，将它的四角各剪去一个 大小相同的小正方形，四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大.解 如图3-8，设小正方形的边长为x ，则其容积为x a ax x x a x a x x V 223834114)283)(2()(+-=--=， （a x 1630<<） )83)(121(128321112)(22a x a x a ax x x V --=+-='得驻点 a x 1211=，a x 832=（舍），所以a x 1211=是惟一的驻点，又该实际问题的最值一定存在，故当小正方形的边长为a x 1211=时，长方体的容积最大. 例10 设铁路边上离工厂C 最近的点A 距工厂20km ，铁路边上B 城距A 点200km ，现要在铁路线AB 上选定一点D 修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为3：5，问D 选在何处时，才能使产品从工厂C 运到B 城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）解 设D 点选在距离A 处x 千米，又设铁路与公路的每吨千米货运费分别为k k 5,3（k 为常数）则产品从C 处运到B 城的每吨总运费为BD k CD k y ⋅+⋅=35)200(340052x k x k -+= )2000(≤≤x因为，222400)40035(34005xx x k k xx ky ++-=-+='令0='y ，即240035x x +=，得15=x .将 k yx 68015==，与闭区间]200,0[端点处的函数值比较，由于k yx 7000==，k k yx 1000404005200>==，因此，当D 点选在距离A 点km 15处，这时每吨货物的总运费最省.习题1、 求下列函数的单调区间：（1）x xe y =； （2）7186223---=x x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）322)1()12(x x y --=. 2、 求下列函数的极值：（1）1156)(23+-+=x x x x f ； （2）4334)(x x x f -=；（3）32)1()(x x x f -=； （4）)20(,cos sin )(π≤≤+=x x x x f . 3、 已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值12-，试确定系数b a ,的值. 4、 求下列函数在给定区间上的最值： （1）,62)(24+-=x x x f ]3,2[-； （2）4)1()(+=x x f ， ),(+∞-∞.。
