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格单调减少.
有必要指出，上述定理中[a,b]为闭区间， 如果换为开区间、半开区间或换为无穷区间仍 然有相仿的结论.
例1 讨论函数f (x) ln x的单调性. x
解 f (x) ln x的定义域为(0,). x
f
( x)
1
ln x2
x
.
f (x)在(0,)内为连续函数.令f (x) 0,
可有 1 ln x 0，解得x e.
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
x3 3为函数的极小值点. 相应极小值为y |x3 45.
上述求函数极值与极值点的方法可总结为: 欲求连续函数f(x)的极值点，需 (1) 求出f(x)的定义域. (2) 求出 f (x).在f(x)的定义域内求出f(x)的全部驻点及
(x1, x2) ， 使得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1).
由于在(a,b)内有x2 x1,因此(x2 x1) 0. 如果在(a, b)内f (x) 0，则必定有f (x2 ) f (x1) 0, 即f (x1) f (x2 ) 0. 由于x1,x2为[a,b]上任意两点,因而表明f (x)在[a,b] 上严格单调增加. 同理，在(a,b)内f (x) 0,可推出f (x)在[a,b]上严
例8 利用判定极值的第二充分条件，求 y x4 8 x3 6x2的极值与极值点. 3
解 所给的函数定义域为 (,) . y 4x3 8x2 12x 4x(x 1)(x 3).
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
述四个子区间内的符号，
表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特 殊点划分的四个区间.
第二栏标出 y在各子区间内的符号.第三栏为函 数的增减性.如本例可列表：
x (,1) －１ (1,0) 0 (0,1)
y －
0 + 不存在 －
y
1 (1,) 0+
可知所给函数严格单调增加区间为 (1,0), (1,) .
解 所给函数的定义域为 (,) .
y 3x2 3x 6 3(x 1)(x 2).
令 y 0 ，得函数的两个驻点：x1= –1，x2=2.
y在(,)内存在，函数的两个驻点x1= –1，
x2=2把 (,)分成 (,1), (1,2), (2,) 三个
子区间.
x (,1) –1 (–
y' +
导数不存在的点. (3) 判定在上述点两侧 f (x)的符号，利用判定极值第
一充分条件判定其是否为极值点.
(4) 如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利 用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.
3.3.3 函数的最大值与最小值
由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知， 如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必定能取得最 大值与最小值.如何求出连续函数在闭区间上的最大值、 最小值是本段的基本问题.
(2)当x x0时，f (x) 0，当x x0时，f (x) 0， 则x0为f (x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x) 的极值点.
分析 对于情形(1)，由函数单调性的判别定理可知， 当 x x0时，f(x)严格单调增加； 当x x0 时，f(x)严格单调减少， 因此可知x0为f(x)的极大值点. 对于情形(2)也可以进行类似分析.
由定理判定函数极值一般步骤为：
(1)求出f (x).
(2)求出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点 x1， ，xk .
(3)判定每个驻点和导数不存在的点 xi (i 1,2,, k)两 侧(在xi较小的邻域内) f (x) 的符号，依定理4.10判 定xi是否为f(x)的极值点.
例5 求y x3 3 x2 6x的极值与极值点. 2
第三章 导数的应用
第三节 函数的单调性与极值
3.3.1函数的单调性及其判别法
函数的单调性是函数的一个重要特性. 如果函数f(x)在某区间上单调增加，则它的图形是 随x的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在 非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负， 即 f (x) 0. 如果函数f(x)在某区间上单调减少，则它的图形是 随x的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存 在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非正， 即 f (x) 0 .
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
o((x x0 )2 )
f
(
x0
)
1 2!
f (x0 )(x x0 )2
o((x x0 )2 )，
当x充分接近于x0时，易见，上式右端
1 2!
f
(
x0
)( x
x0
)2
o(( x
x0
)2
)
的符号取决于
f
( x0
由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数f(x) 在区间[a,b]上的整体性质，而极大值与极小值是函数 f(x)在某点邻域内的局部性质.
例9 设f (x) 1 x3 5 x2 4x，求f (x)在[1,2]上的最大 32
值与最小值. 解 由于所给函数为[–1,2]上的连续函数.
f (x) x2 5x 4 (x 4)(x 1).
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
82
解 所给函数的定义域为(,).
y
5
x3
1
x3
x
1 3
(
x
2
1)
(x
1)(x 3x
1)
令y 0得x 1, x 1.
当x 0时，y不存在.
这三个点x=－1，0，1将y的定义域 (,)分
为(,1), (1,0), (0,1), (1,) 四个子区间.
为了研究函数的单调性，我们只关心 y在上
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有
(1) 如果在(a,b)内 f (x) 0 ，那么，函数f(x)在[a,b] 上严格单调增加.
(2) 如果在(a,b)内 f (x) 0 ，那么，函数f(x)在[a,b] 上严格单调减少.
证 在[a,b]上任取两点 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 . 由定理的条件可知，f(x)在 [x1, x2 ]上连续，在 (x1, x2 )内可导. 由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点
由4.1引理可知定理4.9成立. 注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注 意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.
例如 y x3, x 0为其驻点，但是x=0不是 y x3 的极值点.
还要指出，有些函数的不可导的点也可能是其极 值点，例如图中所示的函数在点 x4 处不可导，但 x4为 其极小值.
1
0
非极值
(1,) +
可知x=0为y的极小值点，极小值为0.
8
2
例7 求y 3 x3 3 x3的极值与极值点.
82
解 所给的函数定义域为 (,) .
y
5
x3
1
x3
x
1 3
(
x
2
1)
(x
1)( x 3x
1)
.
令y 0，得驻点x1 1, x2 1.在x 0处, y不存在.
x (,1) –1
(1) f (x) f (x0 )成立，则称 f (x0 )为f(x)的极大值， 称 x0为f(x)的极大值点；
(2) f (x) f (x0 )成立，则称 f (x0 )为f(x)的极小值， 称 x0 为f(x)的极小值点.
极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值
点统称为极值点.
定理2 (极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导， 且x0为f(x)的极值点，则 f (x0 ) 0.
在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的 最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类 问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最 大值或最小值问题，这里统称为最值问题.下面我们将 介绍函数的极值问题与最值问题.
3.3.2 函数的极值及其求法
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该 邻域内任何异于x0的x都有
由上述可知，欲求函数的极值点，先要求出其驻 点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别:
定理3 (判定极值的第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0 连续，且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻 域内
(1)当x x0时，f (x0 ) 0，当x x0时，f (x) 0， x0为f (x)的极大值点.
当0 x e时，有ln x 1，
因此
f
( x)
ln x2
x
0.
从而知f (x) ln x为严格单调增加函数. x
当e x 时有，ln x 1，
因此
f
( x)
1 ln x2
x
0.
从而知f (x) ln x为严格单调减少函数. x
例2 讨论函数y 2x3 3x2 12x的单调性. 解 所给函数的定义域为(,).
)
.
如果f (x0 ) 0，则由上式可知当x充分接近于x0时,
