§2-3 洛必达法则函数的单调性与极值

洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。

这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。

洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。

通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。

洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。

洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。

洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。

若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。

示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。

假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。

首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。

总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。

单调性与极值关系解析实际上，函数的极值并不直接影响其单调性，而是函数的单调性变化“揭示”了极值的存在。

让我们更详细地探讨这一关系：1. 单调性变化的标志函数的单调性描述了函数在其定义域内某区间上是否递增或递减。

当函数从递增变为递减，或者从递减变为递增时，这种单调性的变化通常意味着函数在这一点附近有一个极值。

换句话说，极值点是单调性改变的“转折点”。

2. 极值的定义极值点是函数在其局部范围内的最大或最小值点。

如果函数在某点c处取得局部最大值，那么在该点的左侧（如果存在的话），函数是递增的；而在该点的右侧（如果存在的话），函数是递减的。

类似地，对于局部最小值点，函数在其左侧递减，在其右侧递增。

3. 导数与极值为了找到极值点，我们通常会求函数的导数，并找到导数等于零的点（驻点）。

然而，并不是所有驻点都是极值点。

为了确定一个驻点是否是极值点，我们需要检查该点附近的导数符号变化。

如果导数在该点从正变为负，那么该点是局部最大值点；如果导数从负变为正，那么该点是局部最小值点。

4. 单调性与极值的关系总结●单调性变化是极值点存在的“信号”。

●极值点是单调性变化的“转折点”。

●我们通过检查函数在其驻点附近的单调性变化来确定极值点的存在和类型。

5. 示例考虑函数f(x)=x3−3x，其导数为f′(x)=3x2−3。

●驻点：令f′(x)=0，得到x=±1。

●单调性：当x<−1时，f′(x)>0，函数递增；当−1<x<1时，f′(x)<0，函数递减；当x>1时，f′(x)>0，函数再次递增。

●极值：由于函数在x=−1处由递增变为递减，故x=−1是局部最大值点；在x=1处由递减变为递增，故x=1是局部最小值点。

在这个示例中，我们首先确定了函数的单调性变化，然后利用这些变化来找到并分类极值点。

因此，可以说单调性的变化“导致”了极值点的识别，而不是极值“影响”了单调性。

函数的单调性与极值点函数的单调性和极值点是数学中重要的概念，它们用于描述函数在定义域内的增减关系和取得最大值或最小值的点。

本文将详细介绍函数的单调性和极值点的概念，并探讨它们的性质及应用。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。

具体来说，如果对于定义域内的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，函数值f(x1)<f(x2)，则称函数为递增函数；当x1<x2时，函数值f(x1)>f(x2)，则称函数为递减函数。

为了判断函数的单调性，我们可以计算函数的导数。

对于定义在区间(a, b)上的可导函数，如果在该区间内导函数始终大于零，则函数为递增函数；如果在该区间内导函数始终小于零，则函数为递减函数。

当导函数在某一点处等于零时，该点可能是函数的极值点。

二、函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。

极值点可以分为极大值点和极小值点。

如果在某一点的邻域内，函数在该点处的值大于（或小于）邻域内其他点的函数值，则该点为极大值点（或极小值点）。

为了确定函数的极值点，我们需要计算函数的导数。

首先求得函数的导函数，然后找到导函数为零的解，即导函数的根。

根据极值点的性质，导函数在极大值点或极小值点处的值为零。

因此，将导函数等于零的解代入原函数中，即可求得极值点的值。

需要注意的是，虽然导函数为零的点可能是函数的极值点，但并不是所有导函数为零的点都是极值点。

还需要进一步分析函数的横截点和导函数的符号变化，以确定这些点是否为极值点。

三、函数的单调性与极值点的应用函数的单调性和极值点在各个科学领域中有广泛的应用。

在经济学中，函数的单调性用于分析供需关系以及市场的变化趋势。

在物理学中，函数的单调性和极值点可以用于描述物体的运动规律和力学问题。

在统计学中，函数的单调性和极值点被用于拟合数据和分析数据的趋势。

此外，在优化问题中，函数的单调性和极值点也扮演着重要的角色。

通过研究函数的单调性和极值点，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件，并在实际问题中应用这些条件进行优化。

本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法****：***学号： **********专业：数学与应用数学班级：数学1002班****：***完成日期： 2013 年 3月 8 日用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。

但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。

本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。

除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。

关键词：洛必达法则函数极限无穷小量目录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1)（一）洛必达法则定理 (1)（二）洛必达法则使用条件 (2)二、洛必达法则的应用 (2)（一）洛必达法则应用于基本不定型 (2)（二）洛必达法则应用于其他不定型 (3)三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5)（一）使用洛必达法则后极限不存在 (5)（二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6)（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6)（四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6)四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6)（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7)（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8)（三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9)五、洛必达法则求极限小结 (10)（一）洛必达法则条件不可逆 (10)（二）使用洛必达法则时及时化简 (11)（三）使用洛必达法则前不定型转化 (11)参考文献 (13)序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。

因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。

极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。

极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。

第5讲洛必达法则知识与方法与函数导数相关的压轴题,一般需要确定函数的值域和参数的取值范围,其传统做法是构造函数,然后通过分类讨论,求导分析单调性进行,过程相对复杂繁琐,且分类的情况较多.并且我们采用分离参数时,往往还会出现最值难以求解的情况,这时,我们就可以考虑使用“洛必达法则”来简化解题过程,快速解题. 下面,我们先来介绍一下洛必达法则：法则1:若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)lim x→a f(x)=0及lim x→a g(x)=0;(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导,且g′(x)≠0;(3)lim x→a f′(x)g′(x)=l.那么lim x→a f(x)g(x)=lim x→a f′(x)g′(x)=l.法则2:若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)limx→∞f(x)=0及limx→∞g(x)=0;(2)∃A>0,f(x)和g(x)在(−∞,A)与(A,+∞)内可导,且g′(x)≠0;(3)limx→∞f′(x)g′(x)=l.那么limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f′(x)g′(x)=l.法则3:若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)lim x→a f(x)=∞及lim x→a g(x)=∞;(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导,且g′(x)≠0;(3)lim x→a f′(x)g′(x)=l.那么lim x→a f(x)g(x)=lim x→a f′(x)g′(x)=l.利用洛必达法则解题时,应点睛意:①将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→−∞,x→a+,x→a−,洛必达法则也成立.②洛必达法则可处理00,∞∞,0⋅∞,1∞,∞0,00,∞−∞型.③在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,∞∞,0⋅∞,1∞,∞0,00,∞−∞型定式,否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限.④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.典型例题【例1】已知f(x)=(x+1)lnx.(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意x≥1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1+1x,令g(x)=lnx+1+1x (x>0),则g′(x)=1x−1x2=x−1x2,所以当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,所以x>0时,g(x)≥g(1)=2>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无减区间.(2)解法1:分离参数+洛必达法则对任意x≥1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0成立等价于对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≤0恒成立.当x=1时,a∈R;对任意x>1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0恒成立等价于对任意x>1,a≥xlnxx2−1恒成立.记m(x)=xlnxx2−1(x>1),则m′(x)=(1+lnx)(x2−1)−2x2lnx(x2−1)2=x2−1−(1+x2)lnx(x2−1)2=1x2+1(1−2x2+1−lnx)(x2−1)2.记t(x)=1−21+x2−lnx(x>1),则t′(x)=4x(1+x2)2−1x=4x2−(1+x2)2x(1+x2)2=−(1−x2)2x(1+x2)2<0,所以t(x)在(1,+∞)单调递减,又t(1)=0,所以x>1时,t(x)<0,m′(x)<0,所以m(x)在(1,+∞)单调递减.所以m(x)max<m(1)=lim x→1xlnxx2−1=lim x→1xlnxx+1−0x−1=lim x→1x+1−lnx(x+1)2=12.综上所述,实数a的取值是[12,+∞).解法2:直接讨论+分类讨论“对任意x ≥1,不等式x [f (x )x+1−ax]+a ≤0恒成立”等价于“对任意x ≥1,不等式x (lnx −ax )+a ≤0恒成立”.令ℎ(x )=xlnx −ax 2+a (x ≥1), 则ℎ′(x )=1+lnx −2ax ,令m (x )=1+lnx −2ax (x ≥1),则m ′(x )=1x −2a . ①当2a ≥1,即a ≥12时,因为x ≥1,所以0<1x ≤1,所以m ′(x )≤0,从而m (x )在[1,+∞)上单调递减, 又m (1)=1−2a ≤0,所以x ≥1时,m (x )≤0, 即ℎ′(x )≤0,所以ℎ(x )在[1,+∞)上单调递减,又ℎ(1)=0,所以当x ≥1时,ℎ(x )≤0,即a ≥12符合题意; ②若0<2a <1,即0<a <12时,所以1≤x <12a 时,m (x )≥m (1)=1−2a >0, 即ℎ′(x )>0,所以ℎ(x )在[1,12a )单调递增.所以当1≤x <12a 时,ℎ(x )≥ℎ(1)=0,故0<2a <1不符合题意. ③若a ≤0时,则m ′(x )≥0恒成立,所以m (x )在[1,+∞)上单调递增, 故当x ≥1时,m (x )≥m (1)=1−2a >0, 即ℎ′(x )>0,所以ℎ(x )在[1,+∞)上单调递增,所以当x ≥1时,ℎ(x )≥ℎ(1)=0,故x (lnx −ax )+a ≥0恒成立. 综上所述,实数a 的取值范围是[12,+∞). 解法3:构造函数+分类讨论对任意x≥1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0恒成立等价于对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≤0恒成立.令t(x)=lnx−a(x−1x)(x≥1),则t′(x)=1x −a(1+1x2)=−ax2−x+ax2,记Δ=1−4a2.①当a≥12时,Δ≤0,此时t′(x)≤0,t(x)在[1,+∞)单调递减,又t(1)=0,所以x≥1时,t(x)≤0,即对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≤0恒成立;②当a≤−12时,Δ≤0,此时t′(x)≥0,t(x)在[1,+∞)单调递增,又t(1)=0,所以x≥1时,t(x)≥0,即对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≥0恒成立,不符合题意;③当a=0时,不等式转化为lnx≤0(x≥1),显然不成立;④当−12<a<12,且a≠0时,方程ax2−x+a=0的二根为x1=1+√1−4a22a,x2=1−√1−4a22a.若0<a<12,x1>1,0<x2<1,则t(x)在(1,x1)单调递增,又t(1)=0,所以x∈(1,x1),t(x)≥0,即不等式lnx−a(x−1x)≤0不恒成立;⑤若−12<a<0,x1<x2<0,则t(x)在(1,+∞)上单调递增,又t(1)=0,所以x∈[1,+∞)时,t(x)≥0,即不等式lnx−a(x−1x)≤0不恒成立,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是[12,+∞).【点睛】通过此例,我们可以发现使用“洛必达法则”的好处,可以较为简单地解决问题,在恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴的方法.【例2】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2−x),其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=ln(x+1)+a(x2−x),定义域为(−1,+∞)f′(x)=1x+1+a(2x−1)=a(2x−1)(x+1)+1x+1=2ax2+ax+1−ax+1,当a=0时,f′(x)=1x+1>0,函数f(x)在(−1,+∞)上为增函数,无极值点.设g(x)=2ax2+ax+1−a,g(−1)=1,g(−1)=1,Δ=a(9a−8)>0,当a≠0时,g(x)=0的根的个数就是函数f(x)极值点的个数.若Δ=a(9a−8)≤0,即0<a≤89时,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(−1,+∞)为增函数,无极值点.若Δ=a(9a−8)>0,即a>89或a<0,而当a<0时,g(−1)≥0,此时方程g(x)=0在(−1,+∞)只有一个实数根,此时函数f(x)只有一个极值点;当a>89时,方程g(x)=0在(−1,+∞)有两个不相等的实数根,此时函数f(x)有两个极值点;综上可知:当0≤a≤89时,f(x)的极值点个数为0;当a<0时,f(x)的极值点个数为1;当a>89时,f(x)的极值点个数为2.(2)解法1:由(1)可知当0≤a ≤89时f (x )在(0,+∞)单调递增, 而f (0)=0,则当x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意; 当a >89时,Δ=a (9a −8)>0,方程g (x )=0的两根为: x 1=−a−√a (9a−8)4a ,x 2=−a+√a (9a−8)4a,当89<a ≤1时,g (0)≥0,x 2≤0,f (x )在(0,+∞)单调递增,而f (0)=0, 则当x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意;当a >1时,g (0)<0,x 2>0,所以函数f (x )在(0,x 2)单调递减,而f (0)=0, 则当x ∈(0,x 2)时,f (x )<0,不符合题意;当a <0时,设ℎ(x )=x −ln (x +1),当x ∈(0,+∞)时ℎ′(x )=1−1x+1=x1+x >0,ℎ(x )在(0,+∞)单调递增,因此当x ∈(0,+∞)时ℎ(x )>ℎ(0)=0,ln (x +1)<x , 于是f (x )<x +a (x 2−x )=ax 2+(1−a )x ,当x >1−1a 时ax 2+(1−a )x <0, 此时f (x )<0,不符合题意.综上所述,a 的取值范围是0≤a ≤1. 解法2:函数f (x )=ln (x +1)+a (x 2−x ),∀x >0,都有f (x )≥0成立, 即ln (x +1)+a (x 2−x )≥0恒成立, 设ℎ(x )=−ln (x+1)x 2−x ,则ℎ′(x )=−1x+1(x 2−x)+(2x−1)ln (x+1)(x 2−x )2=(2x−1)[−x 2−x(2x−1)(x+1)+ln (x+1)](x 2−x )2,设φ(x )=−x 2−x(2x−1)(x+1)+ln (x +1),则φ′(x )=(x 2−x)(4x+1)(2x−1)2(x+1)2,所以x ∈(0,12)和x ∈(12,1)时,φ′(x )<0,所以φ(x )在(0,12),(12,1)上单调递减, x ∈(1,+∞)时,φ′(x )>0,所以φ(x )在(1,+∞)上单调递增, 因为φ(0)=0,lim x→12−x 2−x (2x−1)(x+1)>0,φ(1)=ln2>0,所以x ∈(0,1)和x ∈(1,+∞)时,ℎ′(x )>0,所以ℎ(x )在(0,1)与(1,+∞)上递增. 当x ∈(0,1)时,x 2−x <0,所以a ≤−ln (x+1)x 2−x,由ℎ(x )的单调性可得,a ≤lim x→0−ln (x+1)x 2−x=lim x→0−1x+12x−1=lim x→0−1(2x−1)(x+1)=1;当x =1时,f (x )=0,恒成立; 当x ∈(1,+∞)时,x 2−x >0,所以a ≥−ln (x+1)x 2−x ,由ℎ(x )的单调性可得,a ≥−ln (x +1)x 2−x =lim x→+∞−ln (x +1)x 2−x =lim x→+∞−1x +12x −1=lim x→+∞−1(2x −1)(x +1)=0,综上,a ∈[0,1].【例3】已知f (x )=(ax +1)lnx −ax . (1)当a =1时,讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )在(0,+∞)上单调递增,求实数a 的取值范围;(3)令g (x )=f ′(x ),存在0<x 1<x 2,且x 1+x 2=1,g (x 1)=g (x 2),求实数a 的取值范围.【解析】(1)当a =1时,f (x )=(x +1)lnx −x ,则f ′(x )=lnx +x+1x−1=lnx +1x ,所以f ′′(x )=1x −1x 2=x−1x 2,当x ∈(0,1)时,f ′′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f ′′(x )>0, 则f ′(x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又因为f ′(1)=1>0,所以x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增；(2)当a =0时,f (x )=lnx,f (x )在(0,+∞)上单调递增,则a =0时满足要求;当a ≠0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增,则当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )≥0恒成立,因为f ′(x )=alnx +1x ,f ′′(x )=ax −1x 2,当a <0时,f ′′(x )=ax −1x 2<0,所以f′(x )在(0,+∞)上单调递减,而f ′(e −1a)=−1+1e −1a,因为a <0,e−1a≥1,所以f ′(e −1a)=−1+1e −1a<0,所以x ∈(e −1a,+∞)时,f ′(x )<0,故a <0时不成立,当a >0时,f ′′(x )=ax−1x 2,当x ∈(0,1a )时,f ′′(x )<0,x ∈(1a ,+∞)时,f ′′(x )>0,则f ′(x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,+∞)上单调递增,因为x ∈(0,+∞)时,f ′(x )≥0,只需f ′(1a )≥0,即f ′(1a )=aln 1a +a =a (1−lna )≥0,因为a >0,所以1−lna ≥0,则0<a ≤e , 综上所述,实数a 的取值范围是[0,e].(3)因为g (x )=f ′(x )=alnx +1x ,所以g (x 1)=alnx 1+1x 1,g (x 2)=alnx 2+1x 2,因为g (x 1)=g (x 2),所以alnx 1+1x 1=alnx 2+1x 2,即alnx 2x 1+1x 2−1x 1=0,又x 1+x 2=1, 所以aln x2x 1+(x 1+x 2)x 2−(x 1+x 2)x 1=0,即aln x 2x 1+x1x 2−x2x 1=0，令t =x 2x 1,则t ∈(1,+∞),即alnt +1t −t =0方程有解.解法1:分离参数+洛必达法则 即a =t−1tlnt,令ℎ(t )=t−1tlnt,则ℎ′(t )=(1+1t2)lnt−(t−1t)×1t(lnt )2=(1+t 2t 2)lnt+1−t 2t2(lnt )2,令F (t )=lnt +1−t 2t 2+1,F′(t )=1t +−4t(t 2+1)2=(t 2+1)2−4t 2t (t 2+1)2≥0,所以当t ∈(1,+∞)时,ℎ′(t )≥0,故ℎ(t )在(1,+∞)上单调递增, 故ℎ(t )=t−1tlnt>ℎ(1),由洛必达法则知:当t →1时,ℎ(t )=1+1t21t ,则ℎ(1)→2,则a >2,所以实数a 的取值范围是(2,+∞). 解法2:令G (t )=alnt +1t −t ,则t ∈(1,+∞)时,G (t )=0有解, G′(t )=a t −1t 2−1=−t 2+at−1t 2,因为t ∈(1,+∞)时,则t +1t >2,当a ≤2时,−t 2+at−1t 2=a−(t+1t)t≤0,即t ∈(1,+∞)时,G ′(t )≤0,则G (t )在(1,+∞)上单调递减,又G (1)=0,故t ∈(1,+∞)时,G (t )=0无解,则a ≤2时不成立;当a>2时,当t∈(1,a+√a2−42)时,G′(t)>0,t∈(a+√a2−42,+∞)时,G′(t)<0,又G(1)=0,则t∈(1,a+√a2−42),G(t)>0,而G(e a)=a2+1e a−e a<a2+1−e a(a>2),令H(x)=x2+1−e x(x>2),H′(x)=2x−e x,H′′(x)=2−e x,因为x>2,则H′′(x)=2−e x<0,则H′(x)在(2,+∞)单调递减,H′(x)≤H′(2)=4−e2<0,则H(x)在(2,+∞)单调递减,则H(x)<H(2)=5−e2<0,即G(e a)<0,故存在x0∈(a+√a2−42,e a),使得G(x0)=0,故a>2时满足要求,综上所述,实数a的取值范围是(2,+∞).【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性,求导得f′(x)=lnx+1x,则f′′(x)=x−1x2,由此得f′(x)≥f′(1)=1>0,从而得到函数的单调性;(2)分类讨论,当a=0时,f(x)=lnx,满足要求;当a≠0时,x∈(0,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,而f′(x)=alnx+1x ,f′′(x)=ax−1x2,再分a<0和a>0两种情况讨论即可求出答案;(3)由题意得alnx1+1x1=alnx2+1x2,即aln x2x1+1x2−1x1=0,进而有aln x2x1+x1x2−x2 x1=0,令t=x2x1,则转化为t∈(1,+∞)时,alnt+1t−t=0方程有解.一般地,含有参数的函数恒成立问题往往从三个角度求解:一是直接求导,通过对参数的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是借助函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即确定所求;三是分离参数,求相应函数的最值或取值范围,当函数的最值不容易求解时,利用“洛必达法则”往往能化难为易,使问题得到解决.强化训练1.已知函数f (x )=e x −x −1,若当x ≥0时,恒有|f (x )|≤mx 2e |x |成立,求实数m 的取值范围.【解析】因为f (x )=e x −x −1,所以f ′(x )=e x −1, 所以当x ∈(−∞,0)时,f ′(x )<0,即f (x )递减, 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,即f (x )递增.若当x ≥0时,恒有|f (x )|≤mx 2e |x |成立,即恒有0≤f (x )≤mx 2e x 成立, 当x =0时,不等式恒成立.当x >0时,恒有0≤f (x )≤mx 2e x 成立,即m ≥e x −x−1x 2e x,令H (x )=e x −x−1x 2e x,则H′(x )=x 2−2e x +2x+2x 3e x .今ℎ(x )=x 2−2e x +2x +2,则ℎ′(x )=2x −2e x +2,进一步ℎ′′(x )=2−2e x <0,所以ℎ′(x )=2x −2e x +2在(0,+∞)上单调递减,所以ℎ′(x )<ℎ′(0)=0, 所以ℎ(x )=x 2−2e x +2x +2在(0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x )<ℎ(0)=0, 即H ′(x )<0在(0,+∞)上恒成立,所以H (x )在(0,+∞)上单调递减. 所以lim x→0+e x −x−1x 2e x=lim x→0+e x −1e x (x 2+2x )=lim x→0+e xe x (x 2+4x+2)=12,所以m ≥12.综上,m 的取值范围为[12,+∞).2.已知函数f (x )=x 2−mx −e x +1.(1)若函数f (x )在点(1,f (1))处的切线l 经过点(2,4),求实数m 的值; (2)若关于x 的方程|f (x )|=mx 有唯一的实数解,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)f ′(x )=2x −m −e x ,所以在点(1,f (1))处的切线l 的斜率k =f ′(1)=2−e −m ,又f (1)=2−e −m ,所以切线l 的方程为:y −(2−e −m )=(2−e −m )(x −1),即l:y =(2−e −m )x ,由l 经过点(2,4)可得:4=2(2−e −m )⇒m =−e . (2)易知|f (0)|=0=m ×0,即x =0为方程的根,因此只需说明: 当x >0和x <0时,原方程均没有实数根即可. ① 当x >0时,若m <0,显然有mx <0,而|f (x )|≥0恒成立,此时方程显然无解; 若m =0,f (x )=x 2−e x +1⇒f ′(x )=2x −e x ,f ′′(x )=2−e x ,令f ′′(x )>0⇒x <ln2,故f ′(x )在(0,ln2)单调递增,在(ln2,+∞)单调递减, 故f ′(x )<f ′(ln2)=2ln2−2<0,所以f (x )在(0,+∞)单调递减,于是f (x )<f (0)=0,从而|f (x )|>0,mx =0×x =0,此时方程|f (x )|=mx 也无解; 若m >0,由|f (x )|=mx ⇒m =|x +1x −e x x−m|,记g (x )=x +1x −e x x −m ,则g′(x )=(x−1)(x+1−e x )x 2,设ℎ(x )=x +1−e x,则ℎ′(x )=1−e x <0对任意x ∈(0,+∞)恒成立,所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x)<ℎ(0)=0恒成立,令g′(x)>0⇒0<x<1⇒g(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减所以g(x)≤g(1)=2−e−m<0⇒|g(x)|≥e−2+m>m,可知原方程也无解.由上面的分析可知,当x>0时,∀m∈R,方程|f(x)|=mx均无解.②当x<0时,若m>0,显然有mx<0,而|f(x)|≥0恒成立,此时方程显然无解;若m=0,和(1)中的分析同理可知此时方程|f(x)|=mx也无解.若m<0,由|f(x)|=mx⇒−m=|x+1x −e xx−m|,记g(x)=x+1x −e xx−m,则g′(x)=(x−1)(x+1−e x)x2,由(1)中的分析可知:ℎ(x)=x+1−e x<0,故g′(x)>0对任意x∈(−∞,0)恒成立,从而g(x)在(−∞,0)上单调递增,点睛意到lim x→0−g(x)=lim x→0−x2+1−e xx −m=lim x→0−2x−e x1−m=−1−m,如果−1−m≤0,即m≥−1,则|g(x)|>m+1,要使方程无解,只需−m≤m+1,即m≥−12,所以−12≤m<0;如果−1−m>0,即m<−1,此时|g(x)|∈[0,+∞),方程−m=|g(x)|一定有解,不满足题意.由上面的分析可知:当x<0时,∀m∈[−12,+∞),方程|f(x)|=mx均无解,综合①②可知,当且仅当m∈[−12,+∞)时,方程|f(x)|=mx有唯一解.。

第四章 微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续， （2）在(a, b)内可导， （3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。

拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式 定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。

§3-1 微分中值定理定理3.1 如果函数)(x f 满足下列条件： （1）在闭区间],[b a 上连续； （2）在开区间),(b a 内可导.那么在区间),(b a 内至少存在一点ξ )(b a <<ξ，使等式))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （1） 成立.这定理称为拉格郎日（Lagrange ）中值定理. （定理证明从略）下面来看一下定理的几何意义.现把（1）式改写为 )()()(ξf ab a f b f '=--从图3-1中可以看到，)(ξf ' 就是点))(,(ξξf C处的切线斜率，而ab a f b f --)()(表示过曲线)(x f y =上两端点))(,(a f a A 、))(,(b f b B 的直线的斜率，因此（1）式表示点C 处的切线平行于弦AB.由此可知，拉格郎日中值定理的几何意义是：如果连续曲线)(x f y =的弧 ACB 上除端点外每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧段ACB 的内部至少能找到一点))(,(ξξf C ，使得该点处的切线与弦AB 所在直线平行.（1）式也叫拉格郎日中值公式，若令a x =，a b x -=∆，则（1）式可写成x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ （2） 它提示了函数的增量与导数及自变量增量之间的直接联系，从而为我们开辟了用导数来研究函数的某些特性的途径.例1 求函数3)(x x f =在]2,1[-内满足拉格郎日中值定理条件的ξ值.解 因为23)(x x f ='，1)1(-=-f ，8)2(=f ，故满足拉格郎日中值定理的ξ值为)]1(2[3)1()2(2--=--ξf f即 9=92ξ， 得ξ1±= 因为 )2,1(1-∈， )2,1(1-∉-所以 ξ=1在拉格郎日中值定理中，如果加上条件)()(b f a f =，则可得到以下罗尔（Rolle ）中值定理. 定理3.2如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立.罗尔定理的几何意义是很明显的，读者可以自己分析. 利用拉格郎日中值定理，还可得到下面的推论.推论1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(≡'x f ，那么在),(b a 内C x f =)(（C 为常数）. 证 在),(b a 内任取两点21,x x ，且21x x <，由拉格郎日中值定理，可得))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ )(21x x <<ξ由于0)(='ξf ，所以0)()(12=-x f x f ，即)()(21x f x f =因为21,x x 是),(b a 内的任意两点，于是上式表明)(x f 在),(b a 内任意两点的值总是相等的，即)(x f 在),(b a 内是一个常数.推论 2 如果两个函数)(x f 、)(x g 在),(b a 内有)()(x g x f '≡'，那么在),(b a 内，)(x f )(x g =+C （C 为常数）.证 令)()()(x g x f x F -=，则0)()()(≡'-'='x g x f x F ， 由推论1知)(x F 在),(b a 内为一常数C ，即)(x f C x g +=)(.例2 求证2arccos arcsin π=+x x )11(≤≤-x .证 设)(x f x x arccos arcsin +=，当11<<-x 时有01111)(22≡--+-='xxx f由推论1，)(x f 在区间)1,1(-内为一常数C ，即C x x =+arccos arcsin 下面确定常数C 的值，不妨取0=x ，得200arccos 0arcsin )0(π+=+==f C所以当11<<-x 时， 2arccos arcsin π=+x x对于1±=x 时，等式显然成立，故命题得证.习题3-11、下列函数在指定的区间上是否满足拉格郎日中值定理的条件，若满足，求出定理结论中的ξ值.1）21)(xx f = ]2,1[-； 2）2)2()(+=x x f ]5,1[； 3）x x f =)( ]4,1[； 4）x x f arctan )(= ]1,0[.2、曲线44313+-=x x y 上哪一点的切线与连接曲线上点)4,0(和点)1,3(的割线平行？ 3、函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f 的导数有几个零点（即满足0)(0='x f 的点0x ），各位于哪个区间？4、验证函数r qx px y ++=2在区间],[b a 上应用拉格郎日中值定理时所求的点ξ位于],[b a 的中点.5、证明 2cot arctan π=+x arc x .§3-2 洛必达法则如果当0x x →或∞→x 时，两个函数)(x f 、)(x g 都趋向于零或趋向于无穷大，这时极限)()(limx g x f 可能存在也可能不存在，通常把上述极限叫做未定式，并分别记为00型或∞∞型.例如30sin lim x x x x -→，xx e x arc -+∞→cot lim 都是00型.x x x )1ln(lim 2+∞→，x x x ln csc lim 0+→都是∞∞型.显然，用第一章所学的方法很难求出极限值来.下面介绍求这类极限的一种简便而有效的方法——洛必达（L 'Hospital ）法则.一、型未定式 00型未定式极限的自变量变化状态可分为：0x x →，+→0x x ，-→0x x ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x .下面只讨论0x x →的情形，其它类似.定理3.3 如果函数)(x f 、)(x g 在),ˆ(0δxN 内可导，且满足下列条件： （1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或∞）. 那么，=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0（或∞）.（证明从略） 这个定理说明了当0x x →时，0型未定式的极限在符合定理条件时下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定.例1 求xe e xx x sin lim 0-→-.解 这是型，所以 2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x 例2 求21)1(ln lim-→x x x .解 ∞=-=-=-→→→)1(21lim )1(21lim )1(ln lim110021x x x x x x x x x 如果)()(limx g x f x x ''→仍属于0型，且)(),(x g x f ''仍满足洛必达法则中的条件，那么可以继续使用该法则进行计算，并可依次类推.但应注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法则，否则会产生错误的结果.此外在用洛必达法则时，最好能结合求极限的其它方法，如恒等变形、重要极限等，那样效果会更好.例3求3sin limx xx x -→. 解 30sin limxx x x -→616sin lim 3cos 1lim 0002000==-=→→x x x x x x 例4 求xx x 1arctan 2lim -+∞→π.解 xx x 1arctan 2lim -+∞→π11lim 111lim222200=+=-+-=+∞→+∞→x x xx x x二、∞∞型的未定式 ∞∞型的未定式极限仍有类似于00型未定式极限的洛必达法则，除00与∞∞的差别外，条件与结果极为相似，下面只举例说明它的应用.例5 求xxx ln cot ln lim 0+→. 解 xxx ln cot ln lim 0+→x x x xx x x x cos sin lim 1)sin 1(cot 1lim 020-=-=++→→∞∞ 1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=→→+xx x x x 例6 求nx x xln lim+∞→.解 n x x x ln lim +∞→01lim 1lim 1===+∞→-+∞→∞∞nx n x nx nx x三、其它类型极限求法除00型与∞∞型的未定式之外，还有,0∞⋅ ∞-∞，00，∞1，0∞等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为00或∞∞型，然后用洛必达法则进行计算.例7 求x x x ln lim 0+→.解 这是∞⋅0型，因此0lim 11lim 1ln lim ln lim 202000=-=-==++++→→∞∞→→xx xx x x x x x x x x . 例8 求).1sin 1(lim 0xx x -→ 解 这是∞-∞型，因此0s i n c o s 2s i n lim cos sin cos 1lim sin sin lim )1sin 1(lim 00000000=-=+-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x x x例9 求xx x 2tan 4)(tan lim +→π.解 这是∞1型，因此ee eeex xx xxx xx x xx x x 1lim )(tan lim 1)cos sin 22sin (lim 2cot tan ln lim tan ln 2tan 42tan 444=====--⋅→→+→+→++ππππ. 但洛必达法则不是万能的.有时我们还会碰到某些特殊情形.例10 求xxx x sin lim+∞→.解 这极限属于∞∞型，但因为xxx x sin lim+∞→1cos 1lim x x +=∞→∞∞不存在，所以不能用洛必达法则求这极限， 事实上 x x x x sin lim +∞→101)sin 11(lim =+=+=∞→x xx例11 求xx x 21lim++∞→. 解 xx x 21lim++∞→221lim1122lim xx x xx x +=+=+∞→+∞→∞∞xx x x x x 221lim1221lim+=+=+∞→+∞→∞∞ 两次运用洛必达法则后，又还原为原来的问题，因此洛必达法则失效.事实上xx x 21lim++∞→111lim 2=+=+∞→xx 所以在使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1） 每次使用法则前，必须检验是否属于00型或∞∞型未定式.若不是，就不能使用该法则. 否则会导致错误的结果.并在计算的过程中，注意不断化简其中间过程，使之求极限顺利进行.（2）当)()(l i mx g x f ''不存在时，并不能断定所求的极限)()(lim x g x f 不存在，此时应该使用其它方法来求极限.（3）洛必达法则并不是万能的，在某些特殊情形下，洛必达法则会失效，需寻求其它解法.习题3-21、 用洛必达法则求下列极限（1）x x x cos 2lim 2ππ-→； （2）x e e x x x -→-0lim ；（3）xx e xarc -+∞→cot lim ； （4）123lim 2331+--+-→x x x x x x ；（5）x xx 2tan ln 7tan ln lim 0+→； （6）xx x )1ln(lim 2+∞→；（7）x arc x x cot )11ln(lim++∞→； （8）xx x ln csc lim 0+→. 2、 求下列极限（1）)111(lim 0--→x x e x ； （2）2tan )(lim xx x ππ-→； （3）xx x )arctan 2(lim π+∞→.3、 求下列极限（1）xx x x sin 1sinlim20→； （2）3312lim++∞→x x x ；（3）xx xx x sin sin lim +-∞→； (4 )x x x x x e e e e --+∞→+-lim .§3-3 函数的单调性与极值函数)(x f y =单调性的考察，可用当21x x <时，比较)(1x f 与)(2x f 的大小来进行判定的.但判定)(1x f 与)(2x f 的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数)(x f y =在某区间上单调增加，其图形是一条沿x 轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即0)(≥'='x f y ；若单调减少，其图形是一条沿x 轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即0)(≤'='x f y ，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？定理3.4 设函数)(x f 在区间),(b a （1）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调增加；（2）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调减少.证明 （1）在),(b a 内任取两点21,x x ，且21x x <，根据拉格郎日中值定理，存在一点ξ（21x x <<ξ），使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （1）因为在区间),(b a 内有0)(>'x f ，则（1）式中的0)(>'ξf ，而012>-x x ，因此由（1）式知)()(12x f x f >，这就是说)(x f 在),(b a 内单调增加.同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）.如函数3x y =的导数23x y ='，在0=x 时，0='y ，但它在区间),(+∞-∞内是单调增加.例1 判定函数13--=-x ey x的单调性.解 因为函数的定义域为),(+∞-∞，其导数为3--='-xe y ，所以在整个定义域内都有0<'y ，故函数13--=-x e y x 在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但 在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示. 函数)(x f 在区间],[],,[21b x x a 上单调增加，而 在区间],[21x x 上单调减少，且从图3-3上容易看到， 可导函数)(x f 在单调增加、减少的分界点处的导数为零，即0)()(21='='x f x f .使导数等于零的点（即方程0)(='x f 的实根）， 叫做函数)(x f 的驻点.因此要确定可导函数)(x f 的单调区间，首先要求出驻点，然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.例2 讨论函数)(x f x x x 2213123-+=的单调性 解 因为)1)(2(2)(2-+=-+='x x x x x f ，令0)(='x f ，得驻点1,221=-=x x .这两点将)(x f 的定义域),(+∞-∞分成三个部分：),1(),1,2(),2,(+∞---∞，下面用列表的形式来进行讨论，（表中“”表示单调增加，“ ”表示单调减少）根据上面的讨论可得：函数)(x f 在区间)2,(--∞和),1(+∞内单调增加，在区间（)1,2-内单调减少.另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点.例3 确定函数32x y =的单调区间. 解 函数的定义域为),(+∞-∞，而332x y ='，显然当0=x 又函数没有驻点.但当0>x 时，有0>'y ，函数在区间),0(+∞内单调增加； 当0<x 时，有0<'y ，函数在区间)0,(-∞内单调减少. 二、函数的极值定义3.1 设函数)(x f 在),(0δx N 有定义，且对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值；如果对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点： （1） 函数的极大值和极小值是局部概念， 即如果)(0x f 是)(x f 的极值，只是对极值点0x 的左右近旁一个小范围来讲的.（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 极小值，且其中的极大值未必比极小值要大. 如图3-5， 极大值)(1x f 就比极小值)(5x f 还要小.（3）函数的极值只能在区间内部取到.求极值的关键是找出极值点，从图3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如0)(3='x f .定理3.5（极值存在的必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处导数存在，且在0x 处取得极值，则函数)(x f 在0x 处的导数0)(0='x f ，即0x 是函数)(x f 的驻点.注意，定理 3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数3x y =，在0=x 处有00='=x y ，但00==x y不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点.对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点.如)(x f ||x =，显然，)0(f '不存在. 但0=x 且是它的一个极小值点，在||)(x x f =图形上，)0,0(称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点. 但问题是这些点满足什么条件才能为极值点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理 3.6 （极值存在第一充分条件） 设函数)(x f 在点0x 连续，在),ˆ(0δxN 内可导（0x 可除外），当x 由小增大经过0x 时，如果：（1）)(x f '的符号由正变负，则)(x f 在点0x 处取得极大值； （2）)(x f '的符号由负变正，则)(x f 在点0x 处取得极小值； （3）)(x f '的符号不变，则)(x f 在点0x 处取不到极值.证明 （1）由条件，)(x f 在点0x 左近旁单调增加，在点0x 右近旁单调减少，即当0x x <时，有)()(0x f x f <，当0x x >时，有)()(0x f x f <，因此)(x f 在点0x 处取到极大值.同理可证明结论（2）、（3）.此外还可利用二阶导数来判定极值.定理3.7（极值存在的第二充分条件）设函数)(x f 在),(0δx N 内有二阶导数)(x f ''存在且连续，又0)(0='x f ，如果（1）0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 处取得极大值；（2）0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值.（证明从略）例4 求函数322)4()(-=x x f 的极值.解 因为)2(434)(32±≠-='x x x x f ，令 0)(0='x f ，得驻点 0=x ，所以函数有驻点0=x ，尖点2±=x 列表考察)(x f '的符号故当=x 0时，函数)(x f 有极大值316， 当=x 2±时，函数)(x f 有极小值0. 例5 求函数x x x f sin 23)(+=在区间]2,0[π内的及值 解 因为x x f cos 23)(+='，x x f sin 2)(-=''.令 0)(0='x f ，得驻点 67,6521ππ==x x 而01)65(<-=''πf ，所以=)65(πf 1635+π为极大值； 01)67(>=''πf ，所以1637)67(-=ππf 为极小值. 例6 求函数)(x f =1)1(32+-x 的极值. 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞32)1(6)(-='x x x f 由0)(0='x f ，得驻点1,0,1321==-=x x x .列表：故函数)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ，而1,131=-=x x 不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 一定存在最大值和最小值. 由于函数的最值可在区间内部取到，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值，因此求)(x f 在区间],[b a 上的最值，可求出一切可能的极值点（驻点及尖点）和端点处的函数值，进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值.例7 求函数6424+-=x x y 在区间]3,3[-上的最大值和最小值. 解 因为x x y 843-='令,0='y 得驻点 2,0,2321==-=x x x因此 51,6,232===±==±=x x x yyy而.经比较，得函数的最大值为51=y如果函数)(x f 在一个开区间内连续且有惟一的极值点0x ，则当)(0x f 为极大值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最大值；当)(0x f 为极小值时，)(0x f 就是)(x f 在开区间上的最小值（见图3-7）.例8 求函数1)1()(32+-=x x f .解 由例6可知，0=x 是函数)(x f 极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故 函数的极小值就是函数的最小值，为0)0(=f ，不存在最大值.下面讨论求最值的应用题.在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数)(x f 在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数)(x f 在这定义区间内又只有惟一的驻点0x ，则可断定)(x f 在点0x 处取到了相应的最值.例9 有一块长为a ，宽为a 83的长方形铁片，将它的四角各剪去一个 大小相同的小正方形，四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大.解 如图3-8，设小正方形的边长为x ，则其容积为x a ax x x a x a x x V 223834114)283)(2()(+-=--=， （a x 1630<<）)83)(121(128321112)(22a x a x a ax x x V --=+-='得驻点 a x 1211=，a x 832=（舍）a 1211是惟一的驻点，又该实际问题的最值一定存在，故当小正方形的边长为a x 1211=时，长方体的容积最大.例10 设铁路边上离工厂C 最近的点A 距工厂20km ，铁路边上B 城距A 点200km ，现要在铁路线AB 上选定一点D 修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为3：5，问D 选在何处时，才能使产品从工厂C 运到B 城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）解 设D 点选在距离A 处x 千米，又设铁路与公路的每吨千米货运费分别为k k 5,3（k 为常数）则产品从C 处运到B 城的每吨总运费为BD k CD k y ⋅+⋅=35)200(340052x k x k -+= )2000(≤≤x因为，222400)40035(34005xx x k k xx ky ++-=-+='令0='y ，即240035x x +=，得15=x . 将 k yx 68015==，与闭区间]200,0[端点处的函数值比较，由于k yx 7000==，k k yx 1000404005200>==，因此，当D 点选在距离A 点km 15处，这时每吨货物的总运费最省.习题3-31、 求下列函数的单调区间：（1）xxe y =； （2）7186223---=x x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）322)1()12(x x y --=.2、 求下列函数的极值：（1）1156)(23+-+=x x x x f ； （2）4334)(x x x f -=；（3）32)1()(x x x f -=； （4）)20(,cos sin )(π≤≤+=x x x x f . 3、 已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值12-，试确定系数b a ,的值. 4、 求下列函数在给定区间上的最值： （1）,62)(24+-=x x x f ]3,2[-； （2）4)1()(+=x x f ， ),(+∞-∞.5、 如图3-10，三块长度一样，宽为a 的木板，做成一横截面为等腰梯形的水槽，问如 何安装，水槽的横截面面积最大？6、 从直径为d 的圆木中切出横截面为矩形的梁，此矩形的长为b ，宽为h ，若梁的强 度与2bh7、图3-11，某矿物局拟从A 处掘一巷道至C 处，设AB 长为600m ，C 到AB 的距离为200m ， 若沿水平AB 方向掘进费用5元/m ，水平面以下是岩石，掘进费用13元/m ，问怎样掘法费用最省？§3-4 曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义3.2 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理3.8 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的.例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义3.3 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x '' 必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右 近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点. 解 定义域为(,)-∞+∞，2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3.4 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b-=+=为双曲线12222=-b y a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321l i m 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5）由上面的讨论，画出函数的图形.例6 作函数32()31f x x x =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '=得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的， ”表示上升且为凹的.（3）无渐近线；（4）取辅助点（1,3)--、（3（6） 画图（如图3-13） 例7作函数1)2(12---=x x y 解 定义域为2()2,(⋃-∞42)2()2)(1(2)2(-----='x x x x y 令0='y ，得0=x ；623)2()2(3)2(=-----=''x x x x y 令0=''y ，得1-=x ；渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题3-41、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxey -=.*3-5曲率在生产实践中常会遇到曲线弯曲程度的问题，如梁在荷栽的作用下会产生弯曲变形，设计时对梁的允许弯曲程度就要有一定的限制.又如设计铁路的转弯，需选择适当的曲线来衔接，使火车能平稳地转入弯道.曲线的弯曲程度在数学上是用曲率来描述的.在研究曲率之前，先介绍弧微分的概念.一、弧微分 设曲线C （如图3-15）的方程是)(x f y =， 且)(x f 在区间),(b a 内具有连续导数，在曲线C 上固定一点A 作为度量弧长的起点，通常规定x 增大方向作为弧的正向，从点A 到曲线上任一点))(,(x f x M 之间的弧长为s （即⋂AM ）.显然，弧长s 是随点))(,(x f x M 的确定而确定的，即s 是x 的函数，记为)(x s s =，为了方便起见，假定s 是x 的单调增加函数. 图3-15现在要求弧长)(x s s =的微分ds .但由于给出的是曲线方程)(x f y =，而)(x s s =是未知的，因此需寻求一种关系，使ds 能由)(x f y =或其导数来表出.设x ，x x ∆+),(b a ∈分别对应曲线上点M ，N ，⋂==AM x s s )( 则改变量⋂=∆MN s ，因此弧长s 关于x 的变化率为xsdx ds s x ∆∆=='→∆0lim 在直角三角形MPN 中，22222||||||||||y x PN MP MN ∆+∆=+=可变形为 2221||⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x y x s s MN注意到，当x ∆足够小时，弧的改变量⋂=∆MN s 和弦||MN 足够接近， 即1||||≈=∆⋂MNMN s MN 可以证明： 当0→∆x ，即 M N →时 1||l i m ||l i m0==∆⋂→→∆MNMN s MN MN x因此 ]1[lim ||lim 2220⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆→∆→∆x y x s s MN x x 即 221⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx ds开方得 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=dx ds dx ds 考虑到上面的规定，s 是x 的单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有dx dx dy ds 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 或 dx dy dx ds 22)()(+=.这就是弧微分公式.例1 求曲线123++=x x y 的弧微分. 解 因为232+=x dxdy，所以有曲线弧微分公式 dx dx dy ds 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx x x dx x 5129)23(12422++=++=例2 求曲线⎩⎨⎧-=-=211t y tx 的弧微分. 解 由弧微分公式得22)()(dy dx ds +=dt t tdt dt 22241)2()(+=-+-=二、曲率有了弧微分的概念，就可以对曲线的弯曲程度进行研究了.为了从数量上刻画曲线的弯曲程度， 先从几何图形上直观地分析曲线的弯曲程度与哪些量有关.设有两条光滑的曲线l 与l '，在这两条曲线上各取长度相等的弧段⋂11N M 和⋂22N M （见图3-16（a ）、（b ））.且当动点沿弧段从)(21M M 移动到)(21N N 时，在动点处的切线也相应地沿着弧段在转动，切线转过的角度（简称转角）记为)(21αα∆∆，显然⋂11N M 的弯曲程度要比⋂22N M 的弯曲程度小，而转角1α∆也比转角2α∆小，这就是说，两曲线弧的长度相等时，其转角小（大）的曲线弧的弯曲程度小（大），即曲线的弯曲程度与转角成正比.但从图3-16（c ）中可以看到，有相同转角的两个小弧段，弯曲程度也不同.因此转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度，在图3-16（c ）中的两个小弧段⋂33N M 和⋂44N M 中，短的曲线弧⋂44N M 比长的曲线弧⋂33N M 弯曲得厉害些，由此可见曲线的弯曲程度与弧长成反比.根据以上分析，弧的弯曲程度可用弧两端的切线的转角α∆与弧长⋂MN 之比⋂∆MNα来刻划.，即 ⋂∆=MNK α一般说来，曲线上各点处的弯曲程度不一定都是相同的，弧的平均曲率只能表示整段弧的平均弯曲程度. 为了更精确地描述曲线在各点的弯曲程度，我们给出曲线上某一点的曲率定义.定义3-5 设M 、N 是曲线l 上两点，当点N 沿着曲线趋于点M 时，若弧段⋂MN 的平均曲率K 有极限，这极限称为曲线在点M 的曲率，记作K ，即⋂→→∆==⋂⋂MNK K MN MN α0lim lim例3 求半径为R 的圆上任一点的曲率.解 如图3-17所示，圆上任一段⋂MN ，其平均曲率为RR K 1=∆⋅∆=αα其上任一点的曲率为R RK K MN MN 11lim lim 00===→→⋂⋂ 上述结论说明，圆上任一点处的曲率K 都等于半径R 的倒数，即圆周的弯曲程度是均匀的，且半径愈小，曲率愈大，即弧弯曲的越厉害，这与直观是相符的.下面介绍曲率的计算公式.设曲线l 的方程为)(x f y =，点),(y x M 是曲线上任一点，点),(y y x x N ∆+∆+为曲线上异于M 的点.若设切线MT 的倾斜角为α，则切线T M '的倾斜角为αα∆+，得⋂MN 的转角为α∆（图3-18）曲线上点A 作为弧长的起点，故可设,s AM =⋂ 则s MN ∆=⋂因此，⋂MN 的平均曲率为sMNK ∆∆=∆=⋂αα 由曲率的定义，在点),(y x M 的曲率为ds d sMNK MN MN ααα=∆∆=∆=→⋂→⋂⋂00lim lim 因为切线的斜率为y '=αtan两边微分得 dx y d ''=αα2sec 所以 dx y y dx y dx y d 222)(1tan 11sec 1'+''=''+=''=ααα而 dx y ds 2)(1'+=故 23222])(1[||)(1)(1||y y y y y ds d K '+''='+'+''==α由此，得曲率的计算公式为 232])(1[||y y K '+''=.另外，由于圆的半径等于圆的曲率的倒数，所以对于一般的曲线，把它在各点的曲率的倒数称为在该点的曲率半径，记为R ，因此KR 1=. 例4 求直线b ax y +=的曲率. 解 a y ='，0=''y所以，直线b ax y +=上任一点处的曲率为 232])(1[||y y K '+''==0除直线上点的曲率为零外，还有曲线的拐点（在二阶导数存在的情况下）处的曲率也为零. 例5 求曲线xe y =上曲率达到最大的点.解 因为 xe y ='，xe y ='' 所以 232)1(x x e e K +=252232212232)1()21()1(2)1(23)1(x x x x xx xxxe e e e e e e e e K +-=+⋅+-+=' 令0='K ，得驻点 2ln 21-=x当2ln 21-<x 时，0>'K ；当2ln 21->x 时，0<'K ；当2ln 21-=x 时，K 取得最大值，即曲线xe y =上点)22,2ln 21(-处，曲率最大. *习题3-51、 求下列曲线的弧微分（1）)ln(sec x y =； （2）342+-=x x y ；（3）e xy e y=+； （4）⎩⎨⎧==-ttey e x 2. 2、 求下列曲线在指定点处的曲率：（1）222+-=x x y 的顶点处； （2）1222=+y x 的)1,1(点处. 3、 对于曲线弧x y ln =上哪一点处的曲率最大？本章内容小结1、基本概念未定型、极值点、驻点、极值、最值、凹的曲线弧、凸的曲线弧、拐点、渐近线、水平渐近线、铅直渐近线、弧微分、平均曲率、曲率.2、基本方法用洛必达法则求未定型的极限，函数单调性的判定，单调区间的求法，可能极值点的求法与极值的求法，连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法，求实际问题中的最大值（最小值）的方法. 曲线的凹凸区间及拐点的求法，曲线的渐近线的求法，一元函数图形的描绘方法.3、定理拉格朗日中值定理及两个推论，罗尔中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定定理，极值的必要条件，极值的第一充分条件，极值的第二充分条件，凹凸曲线弧的判别法则.4、要求理解微分中值定理；会利用洛必达法则求极限；能熟练运用函数单调性判别法和凹凸性判别法来判别函数的单调性和凹凸性；理解极值的概念，掌握极值与最值之间的关系，会求解现实情况中的最值问题. 学习本章的知识并不是我们的最终目的，最终目的是运用它们来解决现实问题.复习题三1、求下列极限：（1）xxx 3sin 5tan lim π→； （2）n n m m a x a x a x --→lim ；（3）2321lim4--+→x x x ； （4）xx xx x x sin cos sin lim20-→；（5）xx x x x ln ln lim 2++∞→； （6）xx x 1arctan)11ln(lim ++∞→； （7）23lim x e x x +∞→； （8）xxx ln ln lim +∞→；（9）)tan (sec lim 2x x x -→π（10）)1cos 1(lim 2xx x -∞→.2、求下列函数的单调区间与极值：（1）2)2(x x y -=； （2）xex y -+=；（3）26432+-=x x y ； （4）22)4(-=x y ；（5）],0[,12cos 2sin π∈-+=x x x y ； （6）211xy +=. 3、求下列函数的最值：（1）]4,0[,149323∈+--=x x x x y ； （2）]3,3[,122-∈+=x x xy . 4、求下列函数的凹凸区间：。