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第1章非线性光学极化率的经典描述2

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非线性光学极化率的经典描述

非线性光学极化率的经典描述


2.光与物质相互作用关系 当一个光电场入射到介质体系中时，由于介质体系是由大 量的多种荷电粒子，如电子、原子实及离子等构成，它们 在外光电场的作用下会发生位移，这就会在介质中产生感 应的电极化强度。
P(r, t ) 0 (1) E(r, t )
配合电磁波在介质中传播的波动方程
E (r , t ) 2 E (r , t ) 2 P(r , t ) 2 E (r , t ) 0 0 0 0 0 2 t t t 2
• 相干辐射产生的另一个效应即是受激布里渊散射（ＳＢ Ｓ），当激光束射入晶体材料后，利用高分辨率光学干涉仪 器观察到在入射激光线的近旁存在着几条亮度很高的辐射线， 频差在１ｃｍ-1以下，这是与晶体等材料中声学波相联系的 ＳＢＳ效应。
• 与ＳＨＧ效应有联系的一些效应如和频（ＳＦＧ）、差频 及光学参量振荡（ＯＰＯ）也陆续地被发现。利用晶体材料 的双折射效应以补偿折射率的色散，人们在许多晶体中，如 ＫＤＰ， ＡＤＰ，ＬｉＮｂＯ3及ＬｉＩＯ3 ，实现了有效 的相位匹配并得到有很高转换效率的相干辐射。利用和频， 可以对相干辐射频率进行蓝移，而利用差频及光学参量振荡 可以将可见激光转换至红外波段。这就为人们扩展相干辐射 的波段范围又提供了几种新的方法。
•非线性光学效应的定义如下：凡物质对于外加电磁场 的响应，并不是外加电磁场振幅的线性函数的光学现 象，均属于非线性光学效应的范畴。
１.非线性光学的早期１０年（１９６１—１９７０） 非线性光学的一个重要发展时期是早期的１０年。
1961年，Franken将红宝石激光束入射到石英片上，确证 了新的ＳＨＧ效应。ＳＨＧ效应的发现极大地促进了无机 晶体材料在相干辐射产生中的应用，具有重要的意义。 １９６２年Woodbury在使用硝基苯材料研究调Ｑ红宝 石激光器时发现，从激光器出射的谱线中，除了红宝石的 激光线外，还有另一条处于红区的７６６ｎｍ谱线。而且 这条出射光束具有与红宝石激光束同样的传播方向和小的 发散角。随之人们即分析出，这是与硝基苯的分子振动密 切有关的一种新的相干辐射，即受激拉曼散射ＳＲＳ。
(非线性光学课件)第二章 非线性光学极化强度和极化率的经典

(非线性光学课件)第二章 非线性光学极化强度和极化率的经典


因果关系
因果关系: 任意时刻t1的光场E(t1)都会对其后时刻t的极 化强度产生贡献。
dP(1) (t) 0R(1) (t, t1) E(t1)dt1
线性响应函数
时刻t介质的极化强度P(t)是所有t时刻之前介质对光场
响应的积累
t
P(1) (t)
R(1)
0
(t
,
t1
)
E(t1
)dt1
线性响应函数的特性：
t3)
E(t1)E(t2 )E(t3)dt1
极化强度与极化率张量
t
P(1) (t) 0R(1) (t t1) E(t1)dt1
P(1) (t) 0R(1) ( ) E(t )d
t t
0
P(2) (t)
R(2)
0
(t
t1,
t
t2
)
:
E(t1
)E(t2
)dt1dt2
P(n) (t) d
P(1) (t)
R(1)
0
(t
t1)
E(t1)dt1
因果关系
类似地，t1、t2时刻的电场对t时刻媒质的极化强 度也有贡献，这种贡献可以写成：
dP(2) (t) 0R(2) (t t1, t t2 ) : E(t1)E(t2 )dt1dt2
P(2) (t)
dt2
R(2)
0
(t
t1
,
电极化率可以理解为耦合系数。
在非线性光学中， 由于极化强度P与电场强度E之间是非线性关系，
或者说与光电场的强度有关， 因此，电极化率就与光电场强度或者说与光电场的强度有关。
2
介质分为光学上各向同性介质和各向异性介质。
第1章 非线性光学极化率的经典描述n

第1章 非线性光学极化率的经典描述n

1.1 极化率的色散特性 1.2 非线性光学极化率的经典描述 1.3 极化率的一般性质 习题
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1 极化率的色散特性
1.1.1 介质中的麦克斯韦方程
由光的电磁理论已知, 光波是光频电磁波, 它在介
质中的传播规律遵从麦克斯韦方程组:
B E t D H J t D H 0
(r)
1 1 2 2 r r



第1章 非线性光学极化率的经典描述
如果组成光波的各个频率分量是不连续的，则极化强 度表示式中的积分由求和代替，表示为
P(1) (t ) 0 (1) (n ) E(n )eint
n
(1.1 - 39)
P(2) (t ) 0 (2) (m , n ) : E(m ) E(n )ei (m n )t
P (t ) 0 d1 d2 ( 2) (1, 2 ) : E (1 ) E (2 )ei (1 2 )t

(1.1 - 35)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
并与(1.1 - 34)式进行比较, 可以得到二阶极化率张量 表示式为
(1,2 ) d1 d 2 R( 2) (1, 2 )ei (
参考书：
1、《非线性光学》
2、《量子电子学》 3、《非线性光学》
石顺祥 等著
A. 亚里夫 著 沈元壤 著 刘颂豪 等译
光与物质相互作用的半经典理论：
非线性光学现象的理论描述涉及到激光辐射场与物
质相互作用的问题，通常采用半经典理论处理。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
第1章 非线性光学极化率的经典描述
以, 下面给出(r)和(r)mic在c.g.s./e.s.u.单位制中的单位:
非线性光学课件

非线性光学课件


1.1.2 非线性光学是现代光学的分支学科
“传统光学”——基于自发辐射 的普通光源的光学
“现代光学”——基于受激辐射 的激光光源的光学
1.1.3 非线性光学是研究激光与物质相互作用的学科
（物质响应现象）
导致
光
物质极化、磁化，产生感生电流等等
改变原来 的光场
物质对光的反作用
产生
使物质产生 电磁场辐射
• 主动非线性光学效应的特点是：光与介质间会发生能量交 换，介质的物理参量与光场强度有关。
1.1.4非线性光学现象是高阶极化现象
在线性光学范畴，采用极化强度P(r, t)来解释所观察到的介质 中的吸收、折射及色散等现象。
P(r,t)0(1)E(r,t)
式中， 是真空介电常数； ( 1 ) 是介质的线性极化率。 0
光与物质的相互作用原理
非线性光学(激光为光源)与线性光学(普通光为 光源)有本质的区别，两种情况下，在光与物质 相互作用或光波之间的相互作用中所表现的特 性不同。
1.非线性光学与线性光学的主要区别
2.被动非线性光学与主动非线性光学
• 被动非线性光学效应的特点是：光与介质间无能量交换， 而不同频率的光波间能够发生能量交换。
+ E + :E E +
非线性光学效应的定义：
凡物质对于外加电磁场的响应，并不是外加电磁场振幅的 线性函数的光学现象，均属于非线性光学效应的范畴。
—————Bloembergen
Bloembergen是非线性光学理论的奠基人。他提出了一个能 够描述液体、半导体和金属等物质的许多非线性光学现象 的一般理论框架。他和他的学派在以下三个方面为非线性 光学奠定了理论基础： –物质对光波场的非线性响应及其描述方法； –光波之间以及光波与物质之间相互作用的理论； –光通过界面时的非线性反射和折射的理论。
非线性光学极化率的描述n.pptx

非线性光学极化率的描述n.pptx


(2)
i (112 2 )
1 2
12
• 同理, 若将r阶非线性极化强度表示为
(1.1 - 36)
r
P(r) (t) 0
d1
d
2
dr
(
r
)
(1,2
,,
r
)
|
E
(1
)
E
(2
)
E
(r
i
)e
mt
m 1
(1.1 - 37)
式中, (r)(ω1,ω2,…,ωr)与E(ω1)之间的竖线表示 r 个点, 则第r阶极化率张量表示式为
有关, 这种 与波矢 k 的依赖关系, 叫做介质极化率的空间色散, 其空间色散关系
可以通过空间域的傅里叶变换得到。
•
因为在光学波段，光波波长比原子内电子轨道半径大的多通常，空间色
散可以忽略 。
第17页/共37页
• 极化率的单位
•
上面引入了宏观介质的极化率(r), 实际上在文献中还经常用到单个
原子极化率这个参量, 我们用符号(r)mic表示。 宏观极化率与单个原子极化率
(1.2 - 6)
(1) ()
P( ) 0 E ( )
ne2
0m
02
1
2
2ih
(1.2 - 7)
第22页/共37页
如果引入符号
则
F
(
)
02
1 2
2ih
(1)() ne2 F() () i() 0m
(1.2 - 8) (1.2 - 9)
• 式中
( )
ne2
0m
(02
02 2 2 )2 4h2 2
/0
非线性光学 非线性光学极化率与性质

非线性光学 非线性光学极化率与性质


Kramers-Kronig色散关系 极化率 是一个复函， 1 ' i '' ，其 实部和虚部之间的关系称为Kramers-Kronig色散关 系。 '' 1 ' P.V . d ' 1 '' P.V . d
假设波的振幅随空间和时间缓慢变化，即满足以下慢 变近似条件：
2 A( z, t ) A( z, t ) k z 2 z
和
2 A( z, t ) A( z, t ) t 2 t
可以在波动方程中略去场振幅的二阶时间导数和 二阶空间导数，从而得到以下一阶的波方程：
2 A( z, t ) 1 A( z, t ) ik0 PNL ( z, t )e i ( kzt ) z v t 2 0 k
波动方程变为
2 k0 d2 d ( 2 i 2k )E( z ) P NL ( z)ei ( k 'k ) z dz dz 0
假设：在波长量级的距离内光波振幅的变化非常慢，即
则
d 2 E( z ) dE ( z ) k dz 2 dz
2 ik dE( z ) ik02 NL i i ( k 'k ) NL ikz 0 P ( z )e P ( z )e P NL ( z )eikz dz 2 0 k 2 0 k 2 0 nc
极化率的实部和虚部分别对应于介质的色散和吸收，分别 描述介质中光波的位相和振幅的变化，色散关系表明，我 们可以通过介质的色散或吸收而得到另外一个物理量。
1
13/35
非线性极化率张量
P
2
t 0 d1 d 2 R 1 , 2 : E t 1 E t 2
非线性光学-绪论-第一章

非线性光学-绪论-第一章

忽略
2、学科特点
线性光学：若介质对光的响应是呈线性关系，在线
性范畴内光在介质中的传播满足独立传播原理和线性 叠加原理
非线性光学：若介质对光的响应是呈非线性关系，
在非线性范畴内光在介质中的传播产生新的频率，不 同光波之间会耦合，独立传播原理和线性叠加原理不 成立
激光技术催生非线性光学的出现并推动了其 发展。
1965年，Bloembergen等人出版《Nonlinear Optical phenomena》一书，基本建立了以非线性 介质极化和耦合波方程组为基础的非线性光学理论
2）非线性光学研究全面深入的20年（1971-1990）
发现新的非线性光学效应：四波混频、光克尔
展开各种非线性光学效应的应用研究：
4）是认知和了解物质材料的一种重要手段；
通过强光与物质相互作用的研究，可以获得有关物质的组成、结构、状态、 能量耦合和转移等材料内部的信息。它和材料研究紧密相关。
5）是促进基础理论发展的一种动力。
1997年诺贝尔物理奖得主
Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji, William D. Phillips
2001年诺贝尔物理奖得主
Eric A. Cornell (USA)
Wolfgang Ketterle (Germany)
Carl E. Wieman (USA)
"for the achievement of Bose-Einstein condensation in dilute gases of alkali atoms, and for early fundamental studies of the properties of the condensates"
非线性光学极化率的经典描述(1)极化率的色散特性

非线性光学极化率的经典描述(1)极化率的色散特性

非线性光学系列课程---
第一章 非线性光学极化率的经典
描述
1.1 极化率的色散特性
1.1.1 介质中的麦克斯
韦方程
介质中的麦克斯韦方程
介质中的麦克斯韦方程
光电场和极化强度
1.1.2 极化率的色散特
性
介质极化的响应函数
介质极化的响应函数
介质极化的响应函数
介质极化率的频率色散
线性极化率张量
线性极化率张量
线性极化率张量
非线性极化率张量
非线性极化率张量
非线性极化率张量
非线性极化率张量
介质极化率的空间色散
1.1.3 极化率的单位
ห้องสมุดไป่ตู้
极化率的单位
极化率的单位
THANKS!
非线性光学课件

非线性光学课件


光参量放大器： 利用非线性光 学效应，通过 控制输入光的 参量如振幅、 相位、偏振态 等实现光信号
的放大。
光参量振荡器： 利用非线性晶 体产生特定波 长的激光输出， 具有频率稳定、 波长可调谐等
优点。低频率的光输
出。
非线性光学应用
光通信领域应用
添加副标题
非线性光学课件
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
非线性光学原理
PART Two
非线性光学概述
PART Four
非线性光学材料
PART Five
非线性光学器件
PART Six
非线性光学应用
单击添加章节标题
非线性光学概述
定义与性质
非线性光学的定 义
非线性光学的性 质
光孤子通信
光纤放大器
光纤激光器
光纤传感技术
生物医学领域应用
光学显微镜：利用非线性光学效应提高显微镜的成像质量，能够观察更细 微的结构。
光镊技术：通过非线性光学效应产生的光场束缚和操控细胞、病毒等生物 微粒，为生物医学研究提供新的工具。
光学成像：利用非线性光学成像技术可以对生物组织进行高分辨率、高对 比度的成像，提高医学诊断的准确性和效率。
非线性折射率
定义：非线性折射 率是指材料在强光 作用下折射率随光 强的变化而变化的 现象
产生原因：与材 料中的微观结构 和分子排列有关
表现形式：在强光 作用下，材料折射 率会发生变化，导 致光的传播方向发 生改变
应用领域：在光 学通信、光学成 像等领域有着广 泛的应用前景
非线性吸收系数
定义：非线性吸收系数是描述物质在强光作用下非线性吸收特性的参数 影响因素：包括光强、光束宽度、物质浓度等 计算方法：通过实验测量或理论计算得到 应用领域：在光学通信、光学传感等领域有着广泛的应用
非线性光学非线性极化率的微观表示

非线性光学非线性极化率的微观表示


H0i Eii
(i 1,2,n)
(3.2)
Ei为定态Φi的能量
将 向这组基函数展开 : cii (3.3) i
密度矩阵:
ρ cicj
i 1,2,,n j 1,2,,n
(3.4)
密度算符: ρ | |
(3.5)
▲因为 ij i | ρ | j i | | j cicj (3.6)
t
1 i
{[H
0
,
ρ
(1)
]
[Hint
,
ρ
(0)
]}
ρ (1)
t
T
(3.22)
ρ (2)
t
1 i
{[H0
,
ρ
(
2)
]
[Hint
,
ρ
(1)
]}
ρ (
t
2)
T
(3.23)
······
ρ (n)
t
1 i
{[H
0
,
ρ
(n)
]
[Hint
,
ρ
( n 1)
]}
ρ (
t
n)
T
(3.24)
······
(n) (i )
]}
ρ (2)
t
T
(3.22) (3.23)
ρ (n)
t
1 i
{[
H0
,
ρ
(
n)
]
[Hint
,
ρ
(
n1)
]}
ρ (n
t
)
T
······
逐级求出 (1) , (2) , (n) ,
P P(1) P(2) P(n)
第2讲-非线性极化率理论和非线性极化率性质

第2讲-非线性极化率理论和非线性极化率性质


二阶非线性光学介质无损耗，外光电场频率远离共振区域，则二阶极化率张
量为实数，则：
2
ijk
-3;1 ,2
*
=
2
ijk
-3;1 ,2
由真实性条件：
2
ijk
-3;1 ,2
*
=
2
ijk
3; 1 , 2
因此，
2 ijk
3;1, 2
=ij2k
-3 ;1 , 2
时间反演对称性
完全对易对称性（Full Permutation Symmetry)：
外 电 场E
宏观极化强度P ：单位体积内电偶极子电矩的矢量和，也
是电偶极矩的体密度
N
Pi
P limV 0
i 1
V
P N e r
Charge density
Electron charge
Displacement
非线性极化率经典非谐振子模型
(Nonlinear Susceptibiliy of a Classical Anharmonic Oscillator)
3;1,2
E
j
1
Ek
2
D
1 2
仅有一个可区分场，如二次谐波 两个外光电场可区分，2种对易
例如，对于三阶非线性极化：
Pi3 4 D0
3 ijkl
3
;
1
,2
,
3
E
j
1
Ek
2
El
3
jkl
1 仅有一个可区分场，如三次谐波 D 两个可区分外光电场，3种对易
6 三个可区分外光电场，6种对易
场的真实性条件(Reality of the Fields)：

非线性光学极化率的量子力学描述nPPT学习教案


21(t) 21(t)eit
12 (t) 12 (t)eit
* 21
(8.1-9) (8.1-10) (8.1-11)
利用(8.1-11)和(8.1-10)两式，(8.1-8)和(8.1-9)式可以写成
d 21 dt
i( 0 ) 21
iE0 2
(11
22
)
21 T2
第9页/共54页
(8.1-12)
I (z) I0e ( )z
n2 0
(8.2-10)
其中
(
)
k '' n
(
2
)
光强随距离按指数形式衰减，即
(8.2-7)
的虚部 ''与原子极化导致的吸收有关。
第19页/共54页
2.3 近独立分子体系的极 极化化率张率量张的量性质及性质
1. 极化率张量的完全对
易对称性
1) 极化率张量的完全对
i
k
(nk H km H nk km )
i
[(H
)
nm
(H )nm ]
该式可以简写成
t
i
[
,
H
]
通常用此密度矩阵运动方程来描述原子系统与辐射场的相互作用。
第4页/共54页
(3.16-4)
(3.16-5a) (3.16-5)
2.9 二能级原子系统的极化率
参 见 亚 里 夫 的《量 子电子 学》
(
e* it
21
21eit )
[(Re 21 i Im 21 )(cost i sin t)
(Re 21 i Im 21 )(cost i sin t)]
2[Re( 21 (t) cost Im 21 (t)sin t)

非线性光学课件第一章


极化率表示：
电极化强度：
P 1 j 0 1 j E j Nex 1 j .
可以得到：

1

j
N e / m
2
0 D j
.
极化率表示：
三阶非线性极化率为：
3 ijkl q , m , n , p
ijk 2 , 2 , 1 E j 2 Ek 1
2
2 0 ijk 2 , 1 , 2 E j 1 Ek 2 .
2
jk
二次谐波产生：
P i 3 0 ijk 2 , 1 , 1 E j 1 Ek 1 .
n
电极化和电场关系表达式：
Pi m n 0 ijk m n , n , m E j n Ek m .
2 jk
nm
2 ijk m n , n , m
表示二阶非线性极化率张量的分量。
和频产生：
2 Pi 3 0 ijk 2 , 1 , 2 E j 1 Ek 2 jk
2 jk
nm
我们需要确定六个张量
2 2 2 ijk 1 , 3 , 2 , ijk 1 , 2 , 3 , ijk 2 , 3 , 1 , 2 2 2 ijk , , , , , , 2 1 3 ijk 3 1 2 ijk 3 , 2 , 1
对于非共振激发的极化率的数量级为：

1 2 3
1,
1 2
/ Eat 1.94 10
12
m /V,
/ Eat 3.78 1024 m2 / V 2 .

非线性光学极化率的经典描述


• 在这２０年中，大量的非线性光学专著得到出版，如在四 波混频，光学相位共轭，相干辐射的扩展，光学双稳态，多 光子过程，光纤和有机材料中的非线性光学效应等领域都有 相应的书籍。至于国际学术会议的论文集及一些著名学术刊 物所编辑的专集则为数极多。
• 这段时期中，关于非线性光学的基本原理和研究工作比较 全面总结的则首推Ｙ．Ｒ．Ｓｈｅｎ的“The Principles of NonlineraOptics”。
Байду номын сангаас
•非线性光学效应的定义如下：凡物质对于外加电磁场 的响应，并不是外加电磁场振幅的线性函数的光学现 象，均属于非线性光学效应的范畴。
１.非线性光学的早期１０年（１９６１—１９７０） 非线性光学的一个重要发展时期是早期的１０年。
1961年，Franken将红宝石激光束入射到石英片上，确证 了新的ＳＨＧ效应。ＳＨＧ效应的发现极大地促进了无机 晶体材料在相干辐射产生中的应用，具有重要的意义。 １９６２年Woodbury在使用硝基苯材料研究调Ｑ红宝 石激光器时发现，从激光器出射的谱线中，除了红宝石的 激光线外，还有另一条处于红区的７６６ｎｍ谱线。而且 这条出射光束具有与红宝石激光束同样的传播方向和小的 发散角。随之人们即分析出，这是与硝基苯的分子振动密 切有关的一种新的相干辐射，即受激拉曼散射ＳＲＳ。
2.研究全面深入的２０年
• 自1971年至1990年，非线性光学经历了深入发展的２０年。 一些新的重要的非线性光学效应相继被发现，新型的非线性光 学晶体材料的试制成功，微微秒激光器件的广泛使用以及飞秒 激光器的研制进展，使得利用超快脉冲进行非线性光学的研究 得到重大推进。 • 在1970年代至1980年代，四波混频（ＦＷＭ）作为一种重 要的产生相位复共轭光束的方法，在畸变相位的恢复，相位共 轭腔的设计方面得到了广泛的应用。ＤＦＷＭ所具有的复共轭 特性，ＮＤＦＷＭ的窄带反射特性，共振ＤＦＷＭ的高反射等 等使得ＦＷＭ这种技术可以用于消除激光束在大气中传播 时产生的相位畸变和研制光束自导迹系统。

非线性光学 第一章

(1) (1) P (t ) 0 ( ) E ( )e it d
( 2) ( 2) P (t ) d1 d 2 0 (1 , 2 ) : E (1 ) E ( 2 )e i (1 2 )t
( n) ( n) dP(t ) 0 R (t 1 ,..., t n ) | E( 1 )...E ( n )d 1...d n
( 2) (n) P (t ) d 1... d n 0 R (t 1 ,..., t n ) | E ( 1 )...E ( n )
第二章 极化率理论


§1 介质对光场的非线性响应
§2 非线性极化率的经典描述
§3 非线性极化率的量子力学描述
§4 双费曼图法
§5 共振增强的极化率
§6 局域场对极化率的修正
§1
介质对光场的非线性响应
一、电场强度和极化强度的表示方法：
E (r , t ) E0 (r ) cos(t )
虚部对应介质的吸收。
( n 1) P E (n) E原子 P
( n) : n 1 阶张量，张量元一般为复数，实部对应介质的折射率，
E原子 是介质中的原子内场，典型值为 3 1010 V / m
二、学科特点
1、非线性光学（强光光学）与线性光学（弱光光学）的区别：
( 3) ( 3) P (t ) d1 d2 d3 0 (1 , 2 , 3 ) E (1 ) E (2 ) E (3 )e i (1 2 3 )t
入射光场具有分立的频率情况下：
(1) (1) P (t ) 0 (n ) E (n )e int n ( 2) ( 2) P (t ) 0 ( m , n ) : E ( m ) E ( n )e i (
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(1.2 - 14) (1.2 - 15) (1.2 - 16)
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
e r1 = − E (ω ) exp(−ιωt ) F (ω ) + C.C. m
（1.2-17）
e2 r2 = 2 AE 2 (ω ) exp( −2ιω t ) F ( 2ω ) F (ω ) F (ω ) m e2 （1.2-18） + 2 AE (ω ) E * (ω ) exp( −2ιω t ) F (ω ) F ( −ω ) F (0) + C .C . m
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
P (t ) =
∑
∞
P ( k ) (t )
（1.2-20） （1.2-21）
k =1
P
(k )
(t ) = − nerk (t )
P ( 2) (t ) = −ner2 (t ) ne 3 = − 2 AE 2 (ω ) exp(−2ιωt ) F (ω ) F (ω ) F (2ω ) m （1.2-22） ne 3 − 2 AE (ω ) E * (ω ) F (ω ) F (−ω ) F (0) + C.C. m
则
1
ω − ω − 2ihω
2 0 2
(1.2 - 8)
ne2 (1) F (ω ) = χ ′(ω ) + iχ ′′(ω ) χ (ω ) = ε 0m
式中
(1.2 - 9)
ω02 − ω 2 ne 2 χ ′(ω ) = ε 0m (ω02 − ω 2 ) 2 + 4h 2ω 2 2 ne 2 hω χ ′′(ω ) = ε 0m (ω02 − ω 2 ) 2 + 4h 2ω 2
χ
( 3)
ne 4 2 2 (ω1 , ω 2 , ω 3 ) = [ B + A {F (ω1 + ω 2 ) + F (ω 2 + ω 3 ) + 3 3 ε0m
（1.2-30）
F (ω 3 + ω1 )}]F (ω1 ) F (ω 2 ) F (ω 3 ) F (ω1 + ω 2 + ω 3 )
P
(1)
(ω n , t) = [
P
(1) (ω n , t )]*
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
2.
本征对易对称性
频率为ω 频率为 ω1 和 ω2 光电场所产生的极化强度 ,交换两个频率作 光电场所产生的极化强度, 用的次序,二阶极化率保持不变,相应的极化强度相等. 用的次序,二阶极化率保持不变,相应的极化强度相等.
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
在χ(3)(ω1, ω2, ω3)的表示式中, 用 的表示式中, -(ω1+ω2+ω3)代替ω1、 ω2或ω3时, 其值不变, 即有 代替ω 其值不变, χ(3) ［-(ω1+ω2+ω3), ω2,ω3］ = χ(3) ［ω1,-(ω1+ω2+ω3), ω3］ = χ(3) ［ω1,ω2,-(ω1+ω2+ω3)］ = χ(3)(ω1,ω2,ω3) (1.3 - 11)
当外加光电场频率ω远离共振频率ω 当外加光电场频率ω远离共振频率ω0时 , 式中的虚部可以忽略不 此时, 介质与外加光电场之间没有能量交换, 为实数, 计。 此时, 介质与外加光电场之间没有能量交换, F(ω)为实数, 且 F(ω)=F(-ω) )=F 有 可以得到如下结论: 可以得到如下结论: 的表示式中, 代替ω 其值不变, 在χ(1)(ω)的表示式中, 用-ω代替ω时, 其值不变, 即有 χ(1)(-ω)=χ(1)(ω) )=χ (1.3 - 9) 1,ω2)的表示式中 的表示式中, 1+ω2)代替 代替ω 在χ(2)(ω1,ω2)的表示式中, 用-(ω1+ω2)代替ω1或ω2, 其值不 变, 即有 χ(2)［-(ω1+ω2), ω2］ 1+ω =χ(2)［ω1, -(ω1+ω2)］ 1+ω2)］ (1.3 - 10) =χ(2)(ω1,ω2) 1,ω
2
（1.2-24）
e3 χ 2 (ω ,−ω ) = − nA 2 F (ω ) F (−ω ) F (0) m
e3 χ 2 (ω 1 , ω 2 ) = −nA (ω 1 ) F (ω 2 ) F (ω1 + ω 2 ) 2 ε 0m
（1.2-25）
（1.2-26）
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
[P
( 2) (ω 2 +ω1 )
( (t ) x = P(ω22)+ω1 ) (t ) x
] [
]
(2 (2 χ xyz) (ω1 , ω2 ) = χ xyz) (ω2 , ω1 )
( 2) ( 2) χ µαβ (ω1 , ω2 ) = χ µαβ (ω2 , ω1 )
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
−∞
∞
(1.2 - 3) (1.2 - 4)
E (t ) = ∫ E (ω )e −iωt 2)是一个线性微分方程, 因此其解r(t)只与光电 是一个线性微分方程, 因此其解r 成线性关系, 场E(t)成线性关系, 所以对任何一个频率分量都可以得到
e − ω r (ω ) − 2ihωr (ω ) + ω r (ω ) = − E (ω ) m
(1.2 - 10)
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
4 2 0 0.5 －2
χ ′′(ω )
1.0
χ ′(ω )
1.5
ω / ω0
图 1.2 - 1 χ′(ω)和χ″(ω)与频率ω的关系曲线 与频率ω
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
2. 一维振子的非线性响应
如果振子恢复力中存在小的非简谐项， 在考虑到三次项时， 如果振子恢复力中存在小的非简谐项 ， 在考虑到三次项时 ， 振子运动方程为
d 2r dr e 2 + 2h + ω 0 r = − E 2 dt dt m
式中, 是阻尼系数, 是电子的质量。 式中, h是阻尼系数, m是电子的质量。
(1.2 - 2)
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
现将r 现将r和E傅里叶展开: 傅里叶展开:
r (t ) = ∫ r (ω )e −iωt dω
2 2 0
由此可解得
e 1 r (ω ) = − E (ω ) 2 m ω0 + ω 2 − 2ihω
(1.2 - 5)
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
根据介质极化强度的定义, 根据介质极化强度的定义, 单位体积内的电偶极矩复 振幅P 振幅P(ω)为
ne2 1 P(ω ) = −ner (ω ) = E (ω ) 2 (1.2 - 6) 2 m ω0 − ω − 2ihω
2 * P ( 2 ) (t ) = ε 0 χ ( 2 ) E12 e − i 2ω1t + E 2 e − i 2ω2t + 2 E1 E 2 e − i (ω1 +ω2 ) t + 2 E1 E 2 e − i (ω1 −ω2 ) + C.C
[(
)]
* + 2ε 0 χ ( 2 ) ( E1 E1* + E 2 E 2 )
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
P ( 2) (t ) = ε 0 χ 2 (ω , ω ) E 2 (ω ) exp(−2ι ω t)
3
+ ε 0 χ 2 (ω , − ω ) E (ω ) E * (ω ) + C.C.
（1.2-23）
e χ (ω , ω ) = − nA F (ω ) F (ω ) F (2ω ) 2 ε 0m
e2 3 r3 (t ) = − 2 E (ω )(2 A 2 F (2ω ) + B) exp(−3ιωt ) F (3ω ) F 3 (ω ) m 2 e3 2 4A * − 3 E (ω ) E (ω ) 2 A F (2ω ) + 2 + 3B ϖ0 m （1.2-19） × exp(−ι ω t ) F 3 (ω ) F (−ω ) + C.C.
因此, 对极化率张量取复共轭, 因此, 对极化率张量取复共轭, 应有
[χ
(1)
(ω ) = ∫
]
∗
∞
−∞
[R
(1)
(τ ) e
]
∗ −iω ∗τ
dτ = χ (1) ( −ω ∗ )
(1.3 - 2)
[ χ (1) (ω )]* = χ (1) (−ω ) [ χ ( 2) (ω1 , ω 2 )]* = χ ( 2) (−ω 1 ,-ω 2 ) [ χ ( 3) (ω1 , ω 2 , ω 3 )]* = χ (3) (−ω1 , - ω 2 ,-ω 3 )
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
1.2 非线性光学极化率的经典描述
1. 一维振子的线性响应 设介质是一个含有固有振动频率为ω 的振子的集合。 设介质是一个含有固有振动频率为ω0的振子的集合。 振 子模型是原子中电子运动的一种粗略模型, 子模型是原子中电子运动的一种粗略模型, 即认为介质中的每 一个原子中的电子受到一个弹性恢复力作用, 一个原子中的电子受到一个弹性恢复力作用, 使其保持在平衡 位置上。 当原子受到外加光电场作用时, 位置上。 当原子受到外加光电场作用时, 原子中的电子作强 迫振动, 迫振动, 运动方程为
3.
完全对易对称性
对于F 对于F(ω)的(1.2 - 8)式, 如果展成实部和虚部表示形式, 有 如果展成实部和虚部表示形式,