第1章 非线性光学极化率的经典描述n

1.1 极化率的色散特性 1.2 非线性光学极化率的经典描述 1.3 极化率的一般性质 习题
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1 极化率的色散特性
1.1.1 介质中的麦克斯韦方程
由光的电磁理论已知, 光波是光频电磁波, 它在介
质中的传播规律遵从麦克斯韦方程组:
B E t D H J t D H 0
(r)
1 1 2 2 r r



第1章 非线性光学极化率的经典描述
如果组成光波的各个频率分量是不连续的，则极化强 度表示式中的积分由求和代替，表示为
P(1) (t ) 0 (1) (n ) E(n )eint
n
(1.1 - 39)
P(2) (t ) 0 (2) (m , n ) : E(m ) E(n )ei (m n )t
P (t ) 0 d1 d2 ( 2) (1, 2 ) : E (1 ) E (2 )ei (1 2 )t

(1.1 - 35)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
并与(1.1 - 34)式进行比较, 可以得到二阶极化率张量 表示式为
(1,2 ) d1 d 2 R( 2) (1, 2 )ei (
参考书：
1、《非线性光学》
2、《量子电子学》 3、《非线性光学》
石顺祥 等著
A. 亚里夫 著 沈元壤 著 刘颂豪 等译
光与物质相互作用的半经典理论：
非线性光学现象的理论描述涉及到激光辐射场与物
质相互作用的问题，通常采用半经典理论处理。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
第1章 非线性光学极化率的经典描述
以, 下面给出(r)和(r)mic在c.g.s./e.s.u.单位制中的单位:
cm erg
(r )
3

( r 1) / 2
;
( r ) mic
cm cm erg
3
3

( r 1) / 2
在两种单位制中, 线性极化率(1)都是无量纲的, 其 它阶非线性极化率张量之间的关系为
1) 线性极化率张量 对于(1.1 - 15)式所表示的线性极化强度关系, 取E(t) 和P (1)(t)的傅里叶变换:
E (t ) E ( )eit d


(1.1 - 20) (1.1 - 21)
则有
(1)
P (t ) P (1) ( )eit d
(1)

P (t ) P(1) ( )eit d


0 R ( ) E ( )ei ( t )dd (1.1 - 22)
(1)

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第1章 非线性光学极化率的经典描述
利用频率域内线性极化强度复振幅P(1)(ω)与光电场
复振幅E (ω)的定义关系式
(r) = n(r)mic
(1.1 - 46)
在国际单位制（SI）中, (r) 和 (r)mic 的单位分别为
m V
(r)
r 1

( r ) mic
m m V
3
r 1
第1章 非线性光学极化率的经典描述
由于目前仍有文献使用高斯单位制(c.g.s./e.s.u.), 所
光学介质对外场的响应特性。
非线性光学问题可以归结为两个问题：
求出非线性光学介质感应的非线性极化强度 P NL，求得 P NL 后，将其 作为次波源。 在一定的边界条件下求解麦克斯韦方程，从而求得非线性辐射场。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
在本讲义中, 除了特别指明外, 光电场和极化强度
均采用通常的复数表示法。 对于实光电场E(r,t), 其表 示式为 E(r,t)=E0(r) cos(ωt+υ) 或 (1.1 - 7)
1.2 非线性光学极化率的经典描述
1.2.1 一维振子的线性响应
设介质是一个含有固有振动频率为 ω0的振子的集
合。 振子模型是原子中电子运动的一种粗略模型 , 即 认为介质中的每一个原子中的电子受到一个弹性恢复
力作用, 使其保持在平衡位置上。 当原子受到外加光
P (t ) 0 d 1 d 2 R( 2 ) ( 1 , 2 ) :
( 2)


(1.1 - 34)

( 2)


d1 d2 E (1 ) E (2 )ei (1 2 ) t ei (11 2 2 )



若将二阶非线性极化强度表示成如下形式:
(1.1 - 3)
(1.1 - 4)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
光在介质中传播时, 由于光电场的作用, 将产生极化强 度。 若考虑到非线性相互作用,则极化强度应包含线性项和 非线性项, 即
P=PL+PNL
(1.1 - 5)
当光电场强度很低时, 可以忽略非线性项PNL, 仅保留线
性项PL, 这就是通常的线性光学问题。 当光电场强度较高 时, 必须考虑非线性项PNL, 并可以将非线性极化强度写成级 数形式:
第1章 非线性光学极化率的经典描述
非线性光学及其应用
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第七章 第九章 第八章 非线性极化率的经典描述 非线性极化率的量子力学描述 光波在非线性介质中传播的基本方程 二阶非线性光学效应 三阶非线性光学效应 光学相位共轭技术 超快光脉冲非线性光学 光折变非线性光学
第1章 非线性光学极化率的经典描述
式中， R(t-τ)为介质的线性响应函数, 它是一个二阶张量, 则ｔ时刻的感应极化强度为
t
P(t ) 0 R(t ) E ( ) d

(1.1 - 14)
对上式进行变量代换, 将(t-τ)用τ′代替, 则有
P(t ) 0 R( ) E (t )d
( r ) ( SI ) 4 (r) (e.s.u ) (3 104 ) r 1 ( r ) mic ( SI ) 4 6 ( r ) mic ( e.s.u ) 10 (3 104 ) r 1
(1.1 - 47)
(1.1 - 48)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
( 2)
1 1


2 2)


(1.1 - 36)
同理, 若将r阶非线性极化强度表示为
P (t ) 0 d1 d2 dr (1, 2 ,, r ) | E (1 ) E (2 ) E (r )e
(r) (r) i
m 1
(1)

(1.1 - 25)
(1.1 - 24)式和(1.1 - 25)式就是线性极化强度 P(1)(t) 和线性 极化率张量 (1)(ω) 的表示式。
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2) 非线性极化率张量
对于非线性极化强度, 进行类似上面的处理, 可以得到 非线性极化率张量关系式。 将(1.1 - 18)式中的光电场E(t-τ)进行傅里叶变换, 可得
光电场有关, 也就是说, ｔ时刻的感应极化强度与产生极化的
光电场的历史有关。 现假定在时刻ｔ以前任一时刻τ的光电场为E(τ), 它对在 时间间隔(ｔ-τ)以后的极化强度的贡献为dP(t), 且有 dP(t)=ε0 R(t-τ)· E(τ)dτ (1.1 - 13)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E(r,t)=E(ω)e-iωt+E*(ω)eiωt
式中的E(ω)为频域复振幅, 且有
(1.1 - 8)
1 E ( ) E0 (r )e i ( r ) 2
(1.1 - 9)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E0(r)是光电场中的实振幅大小。 对于极化强度, 其 表示式为 P(r,t)=P(ω)e-iωt+P*(ω)eiωt 式中的P(ω)为频域复振幅。 考虑到电场强度 E(r,t) 和极化强度 P(r,t) 的真实性 , 应 (1.1 - 10)
化率张量与光波波矢 k 有关, 这种 与波矢 k 的依赖关系, 叫做介质极化率的空间色散, 其空间色散关系可以通过空间
域的傅里叶变换得到。
因为在光学波段，光波波长比原子内电子轨道半径大 的多通常，空间色散可以忽略 。
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1.1.3 极化率的单位 上面引入了宏观介质的极化率(r), 实际上在文献中还 经常用到单个原子极化率这个参量, 我们用符号(r)mic表 示。 宏观极化率与单个原子极化率间的关系为
P (1) ( ) 0 (1) ( ) E ( )
有
(1.1 - 23)
P (t ) 0 ( ) E ( )e
(1) (1)

it
d
(1.1 - 24)
比较(1.1 - 22)式和(1.1 - 24)式, 可得
( ) R(1) ( )ei d
mt
r
(1.1 - 37) 式中, (r)(ω1,ω2,…,ωr)与E(ω1)之间的竖线表示 r
个点, 则第r阶极化率张量表示式为
(1, 2 ,, r ) d1 d 2 d r R( r ) (1, 2 ,, r )ei ( ) (1.1 - 38)

0
考虑到积分变量的任意性, 用τ替换τ′, 上式变为
P(t ) 0 R( ) E (t )d
0

(1.1 - 15)
即在介质中，t 时刻所感应的极化强度由t时刻前所有(t-) 时刻 (0) 的光电场决定。
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2. 介质极化率的频率色散