初中数学等腰三角形中的一个重要命题专题辅导

等腰三角形性质定理（提高）【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a2.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180°﹣100°=80°， 则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角， 则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°． 故答案为：50°或80°． 类型二、等腰三角形的操作题2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；（2）例如，在△EFG 中，∠G =2∠F ，若△EFG 有等腰线段，请直接写出∠F 的度数的取值范围．【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图； （2）分类讨论等腰线段，从而求得∠F 的度数. 【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F=x ，则∠G=2x ， 如图2，线段EM 是等腰线段， ∵△EMG 是等腰三角形，C A∴EM=EG，ME=MF，∴∠F=∠MEF=x，∠EMG=∠G=2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，∴NF=NG，GN=GE，∴∠F=∠NGF=x，∠E=∠ENG，∴∠EGN=x，∠ENG=2x，∴∠E=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了等腰三角形的性质．举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交 AC 于F.求证：AF ＝EF.【思路点拨】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点H ，得到△ADC ≌△HDB ，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF ． 【答案与解析】证明：延长AD 到H 使DH ＝AD ，连接BH.∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD在△ADC 和△HDB 中，BD D BDH CDA AD HD C ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDB ， ∴∠1＝∠H ，BH ＝AC ∵BE ＝AC ， ∴BE ＝BH ， ∴∠3＝∠H ， ∴∠1＝∠3 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AF ＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE ＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， ∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. A BCDE FG∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC, ∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ） ∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决． 举一反三：【变式】如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． （1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BFAFE BFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．5、如图，△ABC 是等边三角形，D是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ． 求证：AE ∥BC ．【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE ，根据SAS 证△ACE ≌△BCD ，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB ，根据平行线的判定推出即可． 【答案与解析】证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA ， 即∠BCD=∠ACE ，∵在△ACE 和△BCD 中AC BC ACE BCD CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE ≌△BCD ，主要考查学生的推理能力.。

中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略等腰三角形是中考数学中常见的一个题型，掌握解题思路和攻略对于中考数学的顺利通过非常重要。

本文将介绍等腰三角形问题的解题思路和攻略，希望能帮助同学们更好地应对这类问题。

一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两条边相等的三角形，其性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边所对的角）相等。

2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（顶边所对的角）平分底边。

二、解题思路解等腰三角形问题的关键在于利用等腰三角形的性质，找到已知条件和需要求解的未知量之间的关系。

下面将介绍几种常见的解题思路。

1. 使用底角性质解题：如果已知等腰三角形的两个底角相等，可以利用这一性质来解题。

通过已知条件和底角性质，可以建立方程或找到相应的关系式，从而求解未知量。

2. 利用顶角平分底边性质解题：如果已知等腰三角形的顶角平分底边，可以利用这一性质来解题。

可以通过已知条件和顶角平分底边性质，建立方程或找到相应的关系式，进而求解未知量。

3. 利用勾股定理解题：有时候，等腰三角形问题中可能会涉及到与直角三角形相关的内容。

此时，可以尝试利用勾股定理和等腰三角形的性质进行解题。

三、解题攻略除了解题思路外，下面还列举了一些常见的解题攻略，帮助同学们更好地解决等腰三角形问题。

1. 注意题目中给出的条件：在解题时，要仔细阅读题目，将已知条件和需要求解的未知量提取出来，明确问题的要求。

2. 利用图形性质：画图是解决等腰三角形问题的有效方法之一。

合理利用等腰三角形的性质和图形的特点，可以更好地理解和解决问题。

3. 运用代数方法：当图形给出的信息较少或者不便于直接利用几何性质时，可以尝试使用代数方法，建立方程或者列举可能的条件，以求解未知量。

4. 反证法解题：有时候，可以运用反证法来解决等腰三角形问题。

假设某个结论不成立，通过推理推导出矛盾，从而得出正确结论。

四、总结通过上述的解题思路和攻略，相信同学们对于中考数学中的等腰三角形问题能够有更清晰的认识和更高的解题能力。

等腰三角形培优辅导知识要点1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。

（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。

⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

5、等边三角形的判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。

7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高.角平分线，中线。

或者或者构造等腰三角形。

”遇到中线常延长中线，构造全等三角形。

遇到线段和差，常截取线段等于已知线段。

构造等腰三角形E DCAHF典型例题1、如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE •都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．2、如图,△ABC 中,D 在BC 延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF 平分∠ACB,交AB 于F,求证:(1)CE ⊥CF;(2)CF ∥AD.3. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数AD CAB 4.已知：如图在△ABC 中AB=AC,D 是AC 上一点，过D 作DE ⊥BC 于E,与BA 的延长线交于F.求证：AD=AF5如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形．6、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ，求证：BC=3AD.辅助线类题目解析：7.已知△ABC 中AB=AC,D 是AB 上一点,E 是AC 延长线上一点,且BD=CF,DE 交BC于F 求证:DF=EF23.如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF20.如图， △ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=CDB8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。

初中数学竞赛培训讲义-第六讲—等腰三角形的性质跟判定初中数学竞赛培训讲义第十讲等腰三角形的性质研究一竞赛知识简介（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问B /A /EDCBAGFEDCBN MCBA题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

等腰三角形专题复习（一）教学目标1、能熟练地运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算。

2、能运用等腰三角形的性质和判定进行简单的推理证明。

3、进一步培养学生的分类思想、画图思想和辅助线思想。

重点：运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和证明。

难点：1、正确地写出推理证明的过程。

2、分类讨论思想的培养。

教学过程一、知识点回顾（一）等腰三角形的性质性质一等腰三角形的两个＿＿＿＿相等（简写成“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”）；性质二“三线合一”的“三线”指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；用几何语言表示“三线合一”（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（二）等腰三角形的判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、你会填吗？1．在△ABC中，AB=AC。

(1)若∠A=50°，则∠B=_____°，∠C=_____°；(2)若∠B=45°，则∠A=_____°，∠C=_____°；(3)若∠A=∠B，则∠A=_____°，∠C=_____°。

2．等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个角的度数分别为 ( )A.40°、40°B.100°、20°C.50°、50°D.40°、40°或20°、100°3．等腰三角形中的一个角是50°，则另两个角的度数分别是( )A.65°、65°B.50°、80°C.65°、65°或50°、80°D.50°、50°4．等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是( )A.26cmB.22cmC.16cmD.22cm或26cm5．等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是 _____ _____ 。

专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP ＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB 向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D 点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB 的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO ＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB＝∠ABO ＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE 交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在则OP的最小值为．直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB ＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF 和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC ＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C （n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD （AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB ＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB ＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E ＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB ＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB ＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM 中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，⊥⊥QAH+⊥HAP＝⊥HAP+⊥P AD＝90°，⊥AQH＝⊥APD＝90°，⊥⊥QAH＝⊥P AD，⊥⊥P AQ为等腰直角三角形，⊥AQ＝AP，在⊥AQH和⊥APD中，，⊥⊥AQH⊥⊥APD（ASA），⊥AH＝AD，QH＝PD，⊥HA⊥AC，⊥BAC＝45°，⊥⊥HAF＝⊥DAF，在⊥AHF和⊥ADF中，，⊥⊥AHF⊥⊥ADF（SAS），⊥HF＝DF，⊥＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，⊥BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证⊥ABO＝⊥CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求⊥CEM的度数；（3）如图3，⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：⊥⊥BOA＝90°，⊥⊥BAO+⊥ABO＝90°，又⊥⊥BAC＝⊥BAO+⊥CAM＝90°，⊥⊥ABO＝⊥CAM；（2）解：⊥CM⊥y轴，⊥⊥AMC＝⊥BOA＝90°，⊥AB＝AC，⊥ABO＝⊥CAM，⊥⊥AMC⊥⊥BOA （AAS），⊥CM＝AO，AM＝BO，⊥BD＝BE，BD⊥BE，⊥⊥BDE是等腰直角三角形，⊥⊥BDE＝⊥BED ＝45°，⊥EBO＝⊥DBE＝45°，⊥⊥EBO＝⊥BEO，⊥BO＝EO＝AM，⊥EO﹣OM＝AM﹣OM，⊥EM＝AO＝CM，⊥⊥CME是等腰直角三角形，⊥⊥CEM＝45°；（3）解：⊥AB＝AC，⊥BAC＝90°，⊥⊥ACB＝45°，⊥⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P A＝QA，⊥P AQ＝⊥CAB＝90°，⊥⊥P AQ+⊥QAC＝⊥CAB+⊥QAC，即⊥P AC＝⊥QAB，⊥AC＝AB，⊥⊥P AC⊥⊥QAB（SAS），⊥⊥APC＝⊥AQB，⊥⊥AKP＝⊥QKN，⊥⊥QNK＝⊥P AK＝90°，⊥CM⊥y 轴，⊥CM⊥NO，⊥⊥NCM＝⊥KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：⊥CN＝CM，⊥CNI＝⊥CMH＝90°，⊥⊥CNI⊥⊥CMH（SAS），⊥⊥NCI＝⊥MCH，CI＝CH，⊥⊥NCG+⊥NCI＝⊥NCG+⊥MCH＝⊥NCM﹣⊥GCH＝90°﹣45°＝45°＝⊥GCH＝⊥GCI，⊥⊥GCI⊥⊥GCH（SAS），⊥GI＝GH，⊥GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，⊥GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt⊥ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt⊥APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt⊥FGH，始终保持⊥GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：⊥m﹣n为定值；⊥m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，⊥CM⊥OA，AC⊥AB，⊥⊥MAC+⊥OAB ＝90°，⊥OAB+⊥OBA＝90°则⊥MAC＝⊥OBA在⊥MAC和⊥OBA中，则⊥MAC⊥⊥OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，⊥APO+⊥QPD＝90°⊥APO+⊥OAP＝90°，则⊥QPD＝⊥OAP，在⊥AOP和⊥PDQ中，则⊥AOP⊥⊥PDQ（AAS），⊥OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论⊥是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T 点，则FS＝FT＝2，⊥FHS＝⊥HFT＝⊥FGT，在⊥FSH和⊥FTG中，则⊥FSH⊥⊥FTG（AAS），则GT＝HS，又⊥G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），⊥OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，⊥GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求⊥AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）⊥﹣+b2+4b+8＝0，⊥﹣+（b﹣4）2＝0，⊥a＝4，b＝4，⊥A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥AB＝BC＝OC＝OA＝4，⊥四边形OABC是菱形，⊥⊥AOC＝90°，⊥菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，⊥⊥PNQ ＝90°，⊥⊥QPN+⊥PQN＝90°，⊥BP⊥BQ，⊥⊥BPQ＝90°，⊥⊥BPC+⊥QPN＝90°，⊥⊥PQN ＝⊥BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥BC＝4，BC⊥x，⊥⊥BCP＝⊥PNQ＝90°，在⊥BCP和⊥PNQ中，，⊥⊥BCP⊥⊥PNQ（AAS），⊥CP＝QN，BC＝PN，⊥OC＝PN＝4，⊥当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，⊥⊥AOQ＝45°，⊥当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP ＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。

初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导赵春祥等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

例1. 如图1，在AB C ∆中，AB=AC ，D 是形外一点，且CD BD =。

求证：AD 垂直平分BC 。

证明：由于AD AD ,CD BD ,AC AB ===，所以)SSS (ACD ABD ∆≅∆。

故C AD B A D ∠=∠。

AD 平分∠BAC 。

在等腰ABC ∆中，由“三线合一”知BC AD ⊥，且AD 平分BC 。

评注：若能证出两直线之一是等腰三角形的底边所在的直线，另一条为等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线所在的直线，则这两条直线互相垂直。

例 2. 如图2，BM ，CN 分别是ABC ∆的外角A C EA B D ∠∠、的平分线。

CN AN ,BM AM ⊥⊥，M 、N 为垂足。

求证：BC //MN 。

证明：这里有角平分线BM 、CN ，也有垂直于BM 、CN 的直线，若延长AM 、AN ，交CB 、BC 的延长线于D 、E ，如图3。

由“角平分线和高重合”可知构成了等腰ABD ∆和等腰ACE ∆，且M 、N 分别为这两个等腰三角形底边的中点。

这样，MN 是ADE ∆的中位线，故有MN//BC 。

例3. 如图4，锐角ABC ∆中，∠B=2∠C ，AD 为BC 边上的高，求证：BD AB DC +=。

证明：在DC 边上取点G ，使DB DG =，连接AG 。

如图5。

BD AB DC BD GD AB GC AB AG GA GC C 2+=⇒⎭⎬⎫==⇒⎭⎬⎫==⇒∠=∠⇒。

评注：利用“三线合一”证明两直线垂直，应具备两个条件：（1）三角形是等腰三角形；（2）两线中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线。