数学人教版九年级上册二次函数的图像和性质的复习导学案

22.1.4 二次函数y ax2bx c 的图象学习目标：1. 能经过配方把二次函数y ax 2bx c 化成 y a( x h)2 + k 的形式，进而确立张口方向、对称轴和极点坐标。

2．熟记二次函数y ax 2bx c 的极点坐标公式；3．会画二次函数一般式学习要点：掌握二次函数y ax 2bx c 的图象．y ax2bx c 的图象和性质.学习难点：运用二次函数y ax2bx c 的图象和性质解决实质问题 .学习方法：问题式五步教课法 .学习过程一、出示目标二、预习检测1. 抛物线y2；对称轴是直2 x 31的极点坐标是线；当 x =时 y 有最值是；当 x时，y 随x的增大而增大；当x时， y 随x的增大而减小。

2.二次函数分析式 y a(x h)2 +k 中，很简单确立抛物线的极点坐标为，所以这类形式被称作二次函数的极点式。

三、怀疑互动：（1）你能直接出函数y x22 x 2的像的称和点坐？（2）你有法解决（ 1）？解：y x22x 2 的点坐是，称是.（3）像我能够把一个一般形式的二次函数用的方法化点式进而直接获得它的像性 .（4）用配方法把以下二次函数化成点式：① y x 22x 2② y 1 x22x 5③2y ax2bx c（5）：二次函数的一般形式y ax 2bx c 能够用配方法化成点式：，所以抛物y ax2bx c 的点坐是；称是，（6）用点坐和称公式也能够直接求出抛物的点坐和称，种方法叫做公式法。

用公式法写出以下抛物的张口方向、称及点坐。

① y 2x 23x 4② y2x 2x 2③ yx 24x四、达用描点法画出 y 1 x2 2 x 1的像 .（1）点坐2；（2）列表：点坐填在；（列表一般以称中心，称取．）x⋯⋯y1 x2 2x 1 ⋯2（3）描点，并 ：6 y5 4 3 21 x7654321O1 2 312 3 4（4） 察：① 象有最点，即x =，y 有最是；② x，y 随 x 的增大而增大；xy 随x 的增大而减小。

5.2 二次函数的图像与性质（3）班级______学号_____姓名___________［学习目标］1、理解二次函数y ＝ax 2+k 中a 、k 和m 对函数图像的影响，能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系.2、会用描点法作出函数y ＝ax 2+k 图像，根据图像认识和理解二次函数y ＝ax 2+k 性质. 3、体会本节中图形的变化与 图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），体会数形结合的数学思想。

［活动方案］活动一 思考与探索（一）思考1：二次函数12+=x y 的图像是个什么图形？是抛物线吗？在同一直角坐标系中画出它们的图像.三个图像中对应点的坐标如何变化？ 它们的图像之间有什么关系? 为什么？抛物线12+=x y 的对称轴、顶点、最值、增减性如何？x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y =… … 12+=x y … … 22-=x y……类似的：二次函数k ax y +=2的图像与函数2ax y =的图像有什么关系？ 它的对称轴、顶点、最值、增减性如何？活动二 思考与探索（二）二次函数()23+=x y 的图像是抛物线吗？如果结合下表和看课本P 14-15你的解释是什么？x… -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … 2x y =… … 2)3(+=x y … … 2)3(-=x y……类似的：二次函数()2m x a y +=的图像与二次函数2ax y =的图像有什么关系？它的对称轴、顶点呢？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢活动三 总结与归纳：1、二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、图像的形状，位置的关系是：y=ax 2+k 图像可以看作是由y=ax 2的图像向 平移 个单位得到； y=a （x+m ）2图像可以看作是由y=ax 2的图像向 平移 个单位得到；2、它们的性质是：二次函数y=ax 2+k 中，当a>0时，当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 有最 值，为 .当a ＜0时， . y=a （x+m ）2的性质是什么?活动四例题点评：1、例1：函数y=4x2+5的图像可由y=4x2的图像向平移个单位得到；y=4x2-11的图像可由 y=4x2的图像向平移个单位得到。

22.1.4二次函数c bx ax y ++=2的图像和性质（第1课时）导学案教学目标： 二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质。

重点：通过配方确定抛物线的对称轴、顶点。

难点：二次函数c bx ax y ++=2的性质。

一、前置预习（ 阅读教材第37至39页，自学“思考”和“探究”）1．说出函数1)2(42+--=x y 图象的开口向_____、对称轴_______、顶点坐标________ 2．抛物线24x y -=先向______平移_______个单位长度，再向______平移_______个单位长度就得到抛物线1)2(42+--=x y 。

3、抛物线的顶点为)3,3(，且经过原点O ，则此抛物线的解析式是_________________. 二、合作探究4、思考：我们已经知道二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数216212+-=x x y 的图象和性质？ 分析：这种函数形式并不是我们所熟悉的二次函数，所以考虑将其变形进行配方。

216212+-=x x y 提取二次项系数:21)___(212+-=x x y 配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方:21___)______(212+-+-=x x y 前三项化为完全平方式,后两项合并同类项:________(212+-=）x y 化简得：所以，216212+-=x x y 图像的开口向____、对称轴为__________、顶点为_________ 如果我们直接画二次函数216212+-=x x y 的图象，可按如下步骤进行:利用图形对称性列表：x ...3 4 5 6 7 8 9 (216212)+-=x x y......描点画图：从图像中可以看出：当____x 时，y 随x 的增大而减小； 当____x 时，y 随x 的增大而增大。

二次函数复习课教案复习目标:1.能根据图像确定a 、b 、c 的符号2.会用待定系数法求二次函数解析式3.理解二次函数与一元二次方程的关系。

体会类比方法和数形结合思想 一．自主学习 1、若y ＝(m ＋2)x－6m －5是二次函数，则m ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或2D ．以上都不对2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）二次函数解析为3、 二次函数y= - (x -2)+9图象开口向 ，顶点坐标为对称轴是 ，当x= 时 函数有最 值为 。

当x 时，y 随x 的增大而增大。

当x 时，y 随x 的增大而减小，,抛物线与x 轴交点坐标为 ，抛物线与y 轴的交点坐标为 。

4、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图 所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a<0,b>0,c>0 B 、a<0,b>0,c<0 C 、a<0,b<0,c>0 D 、a<0,b<0,c<0│m│2xy5、如果关于x 的一元二次方程2x+m=0 有两个相等的实数根,则m= , 此时抛物线 与x 轴有 个交点.6、抛物线y=-3(x - 5 向 平移 个单位，向 平移 个单位，所得解析式是 二．成果展示考点1 二次函数的概念定义：一般地，如果______________ (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 考点2 求抛物线的解析式1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________2、已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为______________3、已知抛物线与x 轴的两个交点、 通常设解析式为_____________考点3 二次函数的图象及性质考点4 a，b，c符号的确定21-1c C 决定与y 轴的交点： c ＞０时抛物线交于y 轴▁▁▁ c ＝０时抛物线过▁▁▁c ＜０时抛物线交于y 轴的▁▁▁△决定抛物线与x 轴的交点： △＞０时抛物线与x 轴有▁▁个交点 △＝０时抛物线与x 轴有▁▁个交点 △＜０时抛物线与x 轴▁▁▁交点二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的几个特例：1)当x=1 时，y=_________ ___(填〱,〉,= ) 0 2)当x=-1时，y=▁▁▁▁▁▁▁ ▁▁(填〱,〉,= ) 0 3)当x=2时,y=▁▁▁▁▁▁▁▁▁(填〱,〉,= ) 04)当x=-2时,y=▁▁▁▁▁▁▁ ▁▁(填〱,〉,= ) 0 5)b ²-4ac 0.(填〱,〉,= ) 6)2a+b 0.(填〱,〉,= )-2xy2 2222考点5 二次函数与一元二次方程的关系判别式： b -4ac二次函数 y=ax +bx+c （a ≠0）图像一元二次方程ax+bx+c=0 （a ≠0）的根考点6 抛物线的平移各种顶点式的二次函数的关系如下:2x yOxyOxyOy = a ( x – h )2 +法则:左加右减，上加下减三.合作研讨例1:如图所示，二次函数y=ax2+bx+c 的图像开口向上，图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.（1）问：给出五个结论：左右平移上下平移上下平移左右平移y = ax 2 + k y = ax 2y = a (x – h )2①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1; ④a+b+c<0; ⑤a -b+c>1；⑥当x>1时，y 随x 的增大而减小；其中正确的结论的序号是 （ ） （2）若与y 轴交于（0 ， -1），则函数解析式为_______ （3平移 个单位，再向 平移 . 例2:已知抛物线y=x -2x -8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。

a＞0
2
第10
5. 二次函数
2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①20a b +>；②0abc <；③2
40b ac ->；④0a b c ++<；⑤
420a b c -+<，其中正确的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
第5题
6.把抛物线y=x 2
+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x 2-3x+5，则 （ ）
A ．b=3，c=7
B ．b=6，c=3
C ．b=-9，c=-5
D ．b=-9，c=21 7. 若抛物线2
28y x x m =++与x 轴只有一个交点，则m 的值______
8. 已知二次函数
2
2y x x m =-++的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程2
20x x m -++=的解为
9. 已知函数y=x 2-2x-2的图象如图，根据图中信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）
A ．-1≤x ≤3
B ．-3≤x ≤1
C ．x ≥-3
D ．x ≤-1或x ≥3
10. 已知二次函数
2
43y ax x =-+的图象经过点（－1，8）. （1）求此二次函数的解析式；
（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
，求此二次
B(0，3)，与第9题。

新人教版九年级数学上册导学案：22.1.4二次函数的图像和
性质
.1
2化成2()y a x h k =-+的形式为： ，顶点坐标为( )，对称轴是直线x = .
小)值，当 时，
学以致用
1、二次函数2321y x x =-+的图像开口方向______，
顶点是_______， 对称轴是________． 2、二次函数
2
2y x bx c =++的顶点坐标是（1，－2）
，则b=_____，c=_____ 3、抛物线247y x x =-++的顶点坐标为（ ）
A （-2 , 3）
B （2 , 11）
C （-2 , 7）
D （2 ，-3） 4、已知二次函2(0)y ax bx c a =++≠数的图象如图所示对称轴
为1
2
x
=-
．下列结论中，正确的是（ ） A ．0abc > B ．0a b +=
C ．20b c +>
D ．42a c b +<
5、已知函数
2y ax bx c =++图像如图所示，则函数y ax b
=+的图像是（ ）
巩固提升
1、下列关于抛物线
221y x x =++的说法中，正确的是（ ）
A ．开口向下
B ．对称轴为直线x=1
C ．与x 轴有两个交点
D ．顶点坐标为（－1，0） 2、已知二次函数2y x px q =++的图像与X 轴只有一个公共点，坐标为（-1 , 0）
求p , q 的值。

3、如右图
（1）求该抛物线的解析式
（2）根据图像回答：当X 为何范围时，该函数值大于0
课后反思：。

二次函数的图象与性质复习课教学设计考试内容：1、二次函数的解析式2、二次函数的图象，3、二次函数图象的变换规律4、二次函数性质（二次函数的开口方向、对称轴、最值、系数与图象的关系、增减性、二次函数与不等式或方程的关系）能力要求：通过对二次函数问题的研究，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力。

情感态度与价值观，通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣；教学过程：一、梳理二次函数的知识点：1、根据二次函数解析式判断函数图象与性质2、根据二次函数图象判断相关结论3、二次函数图象与a、b、c的特殊关系4、二次函数解析式的确定5、图象的平移（以一般式y=ax2+bx+c为例）6、与一元二次方程、不等式的关系二、夯实基础：1、二次函数解析式的表达形式：顶点式：y=a(x-h)2+k ，一般式：y=ax 2+bx+c ，它们的关系如图，练习：如何恰当选择方法求出二次函数的解析式呢？归纳：用待定系数法求解析式,选择恰当形式，利于快速求解2、二次函数的性质性质1、直接y=ax2+bx+c 确定顶点坐标、对称轴和最值 利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--解决。

性质2、二次函数的增减性：观察图象：当x____时，y 随x 的增大而减小；当x____时，y 随x 的增大而增大；函数值y 有最__值，是______。

观察图象：当x____时，y 随x 的增大而减小；当x____时，y 随x 的增大而增大；函数值y 有最__值，是______。

判断二次函数的增减性的关键是什么？归纳：以对称轴为分界线，左右增减性相反3、二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号与图象的关系：问题：观察二次函数的图象我们又能知道哪些信息呢？ a----开口方向和大小，a>0开口向上,a<0开口向下；b----对称轴相对于y轴的位置，b与a的符号左同右异；c----与y轴交点的位置，在y轴上面c>0, 在y轴下面c<0,在原点a=0；b2-4ac-----与x轴交点的个数；b2-4ac>0,有2个交点, b2-4ac=0有一个交点, b2-4ac<0没有交点.a+b+c ----把x=1代入y=a+b+c，即特殊值法。

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、新课导入1.导入课题：问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=a x2的图象.板书课题：二次函数y=a x2（a≠0）的图象.2.学习目标：（1）用描点法画二次函数y=a x2的图象,知道抛物线y=a x2是轴对称图形，知道抛物线y=a x2的开口方向与a的符号有关.（2）能根据图象说出抛物线y=a x2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.3.学习重、难点：重点：画二次函数y=a x2的图象，理解抛物线的相关概念.难点：画二次函数y=a x2的图象.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第29页到第31页的“思考”.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：数形结合.（4）自学参考提纲：①画出函数y=x2的图象.x…-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …②二次函数y=a x2+b x+c的图象是抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.③函数y=x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0），顶点是图象的最低点.④在①中的坐标系中画出函数y=12x2与y=2x2的图象，观察所画三个图象，说明它们有哪些共同点和不同点.⑤由④，说明二次函数y=a x2(a>0)的图象的形状、对称轴、开口方向、顶点.二次函数y=a x2(a>0)的图象是抛物线，对称轴是y轴，开口向上，顶点是（0,0）.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否熟练地用描点法画出函数的图象，能否观察图象得到所需的结论.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导,对列表取值进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化：(1)交流学习成果：展示画图效果，总结a>0时二次函数y=a x2的图象的相关性质.(2）总结：①二次函数的图象是抛物线，一般地，二次函数y=a x2+b x+c的图象就叫做抛物线y=a x2+b x+c，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.②抛物线y=a x2关于y轴对称，抛物线y=a x2的对称轴是y轴，顶点是原点(0，0).③a>0时，抛物线y=a x2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.1.自学指导：（1）自学内容：探究y=a x2(a<0)的图象特点.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：画图，从开口方向、对称轴、顶点、开口大小等方面观察图象，寻找它们的共同特点.（4）探究提纲：①完成探究，回答这些抛物线异同点：共同点：开口都向下，对称轴是y轴，顶点是（0,0）.不同点：x2的系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.②总结a<0时，抛物线y=a x2的性质.当a＜0时，抛物线a x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小.③观察前面所画的六条抛物线，你能说说抛物线y=a x2与y=-a x2有何关系吗？抛物线y=a x2与y=-a x2关于x轴对称.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生画图和识图的情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化:（1）交流：a<0时二次函数y=a x2的图象的性质.（2）强调a的符号对二次函数y=a x2的图象的开口方向的影响，|a|的大小对二次函数y=a x2的图象的开口大小的影响.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性，小组交流与回答问题的情况，学习效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是让学生在经历动手操作、探究归纳的过程中，逐步获取图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（15分）抛物线y=2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）.2.（15分）已知下列二次函数①y=-x2；②y=35x2；③y=15x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.(1)其中开口向上的是②③⑤(填序号)；(2)其中开口向下且开口最大的是①(填序号)；(3)有最高点的是①④(填序号).3.（20分）分别写出抛物线y=4x2与y=-14x2的开口方向、对称轴及顶点坐标.解：抛物线y=4x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.抛物线y=-14x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.4.（20分）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=13x2；y=-13x2.解：列表：…-3-2-10123…y=13x2 (34)3130 13433…x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=-13x2…-3 -43-130 -13-43-3 …作图如图所示.二、综合应用（20分）5.（20分）已知一次函数y=a x+b和二次函数y=a x2，其中a≠0,b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（C）三、拓展延伸（10分）6.（10分）m 为何值时，函数－m my mx=2的图象是开口向下的抛物线？解：由题意得，，m m m ⎧-=⎨<⎩220解得m=-1∴当m=-1时，函数－m my mx=2的图象是开口向下的抛物线.。