九年级中考一轮复习导学案：15课时二次函数图象及其性质

B．y＝8x ＋1
C ．y＝a x2+b x+c
D．y＝x2－8 x
2．当m不为何值时，函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)
是二次函数(
)
A．－2
B．2 C．3 D．－3
3．若y＝(m＋1)x m²－6m－5是二次函数，则m＝( A )
A．7
B．－1
C．－1或7 D．以上都不对
方法点析 利用二次函数中自变量的最高次数是2，二次 项的系数不为0列方程和不等式求解．
知识点4．二次函数图像的平移
y＝ax2 和 y＝a(x－h)2＋k 的图象关系 左 上
y＝a(x－h)2＋k 的图象．
1.(2014·海南)将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝ (x＋2)2-6，则这个平移过程正确的是(C )
A．向左平移2个单位下平移6个单位 B．向右平移2个单位上平移6个单位 C．向左平移2个单位下平移6个单位 D．向左平移2个单位上平移6个单位
② c=0
图象过原点；
③ c＜0
图象与y轴交点在x轴下方。
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x
① a，b同号 对称轴在y轴左侧；
=
b 2a
）
② b=0
对称轴是y轴；
③ a，b异号 对称轴在y轴右侧。
例1：判断下列抛物线中a,b,c的符号
y
y
y
0x 0 x
0x
例 2 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位 置如图 13－6 所示，则下列结论中正确的是( D )
A．最大值－5
B．最小值－5
C．最大值－6
D．最小值－6
3
已知二次函数 y＝－1x2－7x＋15.若自变量 x 分别取

《二次函数y＝ax2＋k的图象与性质》【学习目标】1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系，掌握y＝ax2上、下平移规律．2．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．【学习重点】抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．【学习难点】理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．情景导入生成问题二次函数y＝ax2的图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点为原点，当a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，且|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．自学互研生成能力知识模块一抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移阅读教材P7～P9，完成下列问题：问题：y＝ax2＋k与y＝ax2之间有何关系？答：二次函数y＝ax2＋k是由y＝ax2平移|k|个单位得到的，k>0，向上平移，k<0，向下平移．范例：(郴州中考)将抛物线y＝x2＋1向下平移2个单位，则此时抛物线的表达式为y＝x2－1．仿例：下列各组抛物线中，能够通过互相平移而彼此得到对方的是(D)A．y＝2x2与y＝3x2B．y＝12x2＋2与y＝2x2＋12C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2＋2与y＝x2－2知识模块二二次函数y＝ax2＋k的图象与性质问题：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质是怎样的？答：一般地，抛物线y＝ax2＋k的对称轴是y轴，顶点是(0，k)，当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．范例1：抛物线y ＝14x 2－9的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，－9)，它可以看做是由抛物线y ＝14x 2－1向下平移8个单位得到的．仿例：抛物线y ＝－12x 2＋1与抛物线y ＝ax 2＋c 关于x 轴对称，则a ＝12，c ＝－1. 范例2：一抛物线的顶点坐标为(0，5)，形状与抛物线y ＝2x 2相同，在对称轴右侧，y 随x 增大而减小，则该函数关系式为( A )A ．y ＝－2x 2＋5B ．y ＝－5x 2＋ 2C ．y ＝－5x 2－ 2D ．y ＝2x 2－5仿例：抛物线y ＝－12x 2＋4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△AB C 的面积为( B ) A ．8 B ．8 2 C ．4 D ．4 2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。

知识点梳理
知识点2：二次函数的图象和性质
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条关于 x b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线．
2a
（ 顶1点）是二（次函b 数，y＝4aacx2＋b2b）x＋．c当(aa≠>00)的时图，象抛是物抛线物的线开，口抛向物上线，的函对数称有轴最是小直值线；当x a<20ba时，，
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
3. 用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）若已知抛物线上三点Байду номын сангаас标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c． （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其 中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)． （3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）： y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
中考数学一轮复习
15 二次函数的图象及其性质
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
二次函数的 通过对实际问题情境的分析确定 常以选择题、填空题的形式考查二
1 意义和函数 二次函数的表达式，并体会二次 次函数的意义和函数解析式的求法，
表达式 函数的意义．
部分地市以解答题的形式考查．
①会用描点法画出二次函数的图 常以选择题、填空题的形式考查二
知识点2：二次函数的图象和性质
典型例题
C、∵二次函数对称轴是直线 x b = 1 ， 2a 2
∴C错误； D、∵3(x＋1)(2－x)＝3x， ∴－3x2＋3x＋6＝3x， ∴－3x2＋6＝0， ∵b2－4ac＝72＞0， ∴二次函数y＝3(x＋1)(2－x)的图象与直线y＝3x有两个交点， ∴D正确； 故选：D．

二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制和分析二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解决实际问题。

二、教学内容：1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向；3. 二次函数的图像：抛物线的基本形状；4. 实际问题中的应用。

三、教学方法：1. 讲授法：讲解二次函数的定义、性质和图像；2. 案例分析法：分析实际问题中的二次函数；3. 互动讨论法：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；4. 实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解。

四、教学准备：1. 教学PPT：包含二次函数的定义、性质、图像及实际问题；2. 练习题：用于巩固所学知识；3. 绘图工具：如直尺、圆规等，用于绘制二次函数的图像。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二次函数的概念；2. 讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，引导学生理解；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数，让学生学会应用；4. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；5. 实践操作：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点；7. 布置作业：让学生通过练习题巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对二次函数定义和性质的理解；2. 练习题：布置针对性的练习题，评估学生对二次函数图像分析的能力；3. 小组讨论：评估学生在团队合作中解决问题的能力；4. 作业反馈：收集学生作业，评估其对课堂所学知识的掌握程度。

七、教学拓展：1. 探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线镜面、物理运动等；2. 介绍二次函数相关的数学历史故事，激发学生兴趣；3. 引导学生探究二次函数的其它性质，如最大值、最小值等；4. 组织数学竞赛，提高学生的学习积极性。

八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；2. 反思教学内容：确保教学内容符合学生认知水平，适当调整难度；3. 反思教学过程：关注学生在课堂上的参与度，优化教学过程；4. 及时与学生沟通：了解学生的学习需求，调整教学策略。

第15课 二次函数及其应用【课标要求】1、理解二次函数的意义2、会用描点法画出二次函数的图像3、会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴4、通过对实际问题的分析确定二次函数表达式5、理解二次函数与一元二次方程的关系6、会根据抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像来确定a 、b 、c 的符号【知识要点】1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；2. 顶点式的几种形式及关系：⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质：0 图像开 口 值，是4.二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ．第一课时【典型例题】【例1】.抛物线y ＝2x 2－4x ＋5的开口方向______，顶点坐标是__________，对称轴方程是直线x ＝___，当x ＝ 时，y 有最 值是 。

【例2】.二次函数 322++=x x y ，当x ＜－1时，y 随x 的增大而 。

【例3】抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 。

当y=8时x 对应的值是 。

【例4】抛物线243y x x =-+向右平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为（ ） A 、（4，-1） B 、（0，-3） C 、（-2，-3） D 、（-2，-1）【例5】已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则在“①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ）A 、①②③④B 、④C 、①②③D 、①④ 【例6一条抛物线顶点是（1，2）且经过点（－2，－4），则它的函数解析式是 ；另一抛物线经过（0，1）、（1，0）和（2，4）三点，则它的函数解析式是 。

∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴

-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与

x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代

九年级数学《二次函数》单元复习（导学案）复习目标:1.体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,并会确定最值.3.会运用待定系数法求二次函数的解析式.4.能根据图象判断二次函数a、b、c的符号及一些特殊方程或不等式是否成立.5.会将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.一、基础知识归类和整理1.二次函数的概念及图象特征:(1)二次函数:如果 ,那么y叫做x的二次函数,图象是线(2)二次函数顶点式:通过配方y=ax²+bx+c可写成 ,它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。

a值函数的图象及性质a>0 （1）开口向上，并向上无限伸展；（2）当时，函数有最小值当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.a<0 （1）开口向下，并向下无限伸展；（2）当时，函数有最大值当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.3.二次函数图象的平移规律:y=ax²⟺y=ax²+k ⟺y=a(x+h)²+k,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)可由抛物线y=ax²(a≠0)平移得到.由于平移时,抛物线上所有的点的移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动的情况,因此有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式来讨论。

4.二次函数解析式的确定:用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立的条件,根据不同的条件选择不同的设法:(1)设一般形式: ；(2)设顶点形式: ；(3)设交点式: 。

a 的作用决定开口方向a>0开口 ；a<0开口 决定开口的大小 ︳a| 越大，抛物线的开口b 的作用b 与a 同号ab2-＜0，顶点在y 轴的 侧 b 与a 异号ab2-＞0，顶点在y 轴的 侧 顶点在y 轴上c 的作用 c>0抛物线与y 轴的交点在y 轴的 c<0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的c=0 抛物线过 点 b ²-4ac b ²-4ac>0抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac<0 抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac=0抛物线与x 轴有 交点解决实际应用问题的关键是选准变量,建立好二次函数模型,同时还要注意符合实际情景。

第15课时函数的应用（二）【知识梳理】1．利用二次函数解决“图形最值”问题的一般过程：(1)将实际问题转化为________．(2)利用二次函数的________解题．2．利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般过程：(1)将利润表示成_______的二次函数．(2)利用二次函数的最值求出利润的最_______值．(3)写出答案．3．二次函数应用的常用数学思想有________．【考点例析】考点一利用二次函数求最大利润例1某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可买出180件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？提示(1)销售利润＝每件商品的利润×（180－10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；(2)利用公式法结合(1)得到的函数解析式，从而可得二次函数的最值，再结合实际意义，求得整数解即可；(3)让(1)中的y＝1920，解方程求出x的值．考点二利用二次函数求最大面积例2小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x cm的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(cm2)随x( cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x是多少时，这个三角形的面积S最大？最大面积是多少？提示三角形的边x和这条边上的高之和是40 cm，则该边上的高为(40－x)cm根据三角形的面积公式可写出S＝12·x·(40－x)，这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值．考点三二次函数与其他函数的综合应用例32012年牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元／件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x之间的函数关系．并求出函数关系式．(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少（利润＝销售总价－成本总价）?(3)菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元／件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？提示(1)把表格中的点在平面直角坐标系中画出来，可知这个函数是一次函数，所以设函数关系式为y＝kx＋b，利用待定系数法求出函数的解析式；(2)利润的最大问题是通过二次函数的知识来解决的，列出利润与销售单价之间的二次函数关系式，然后根据最值问题求解；(3)利用二次函数的性质解题．考点四二次函数与几何图形的综合应用例4如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE．垂足为P，PE交CD于点E．(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．提示(1)在Rt△ABP中，由勾股定理求得BP的长；(2)∵AP⊥PE，易知Rt△ABP∽Rt△PCE，从而构建了y与x的函数关系式．再利用配方法求得y的最大值；(3)由PE∥BD 可知△CPE∽△CBD，从而利用相似三角形构建方程解题．【反馈练习】1．某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，那么每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)．每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少时．每个月可获得最大利润？最大利润是多少？2．如图，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；(2)某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积5最大，试问，应取何值？3．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元／个）之间的对应关系如图所示．(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的进价为6元／个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元／个）之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．。

二次函数的图象与性质复习课教材分析:二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。

在前面学习中，学生已经通过大量丰富有趣的现实背景，运用由简入繁从特殊到一般的研究方法从多方面探索研究了二次函数的概念、性质以及实际应用。

因为二次函数考查的知识点比较多，因此，在复习中，应注重学生对基本概念性质的掌握情况，通过大量不同实际问题，促使学生分析问题、解决问题意识和能力的的提高以及函数模型的进一步加深巩固。

学情分析:初三的学生，已经具备一定的生活经验和有效学习方法，思维比较开阔，能独立思考和探索中形成自己的观点，他们能迅速利用周围的小组合作，共同探讨解决学习中的问题。

在复习课中，学生需要掌握二次函数的基本概念、性质以及有条理的思考和语言表达能力。

课时目标：1、熟练掌握二次函数的两种表达形式；2、体会抛物线的形成过程，以及抛物线平移规律，掌握二次函数的图象与性质；考试内容：1、二次函数的解析式2、二次函数的图象，3、二次函数图象的平移规律4、二次函数性质（二次函数的开口方向、对称轴、最值、系数与图象的关系、增减性、二次函数与不等式或方程的关系）教学过程:一、梳理函数的知识体系：研究函数的一般步骤是:二、二次函数的图象的形成过程练习：二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( ) A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位归纳总结:三、二次函数解析式的两种表达形式：顶点式：一般式:1、由顶点式直接确定顶点坐标、对称轴和最值练习：试根据下列二次函数解析式，确定顶点坐标、对称轴和最值：1、y=3x 22、y=3(x-2)23、y=3(x-2)2-54、y=3x 2-4追问：若给一般式呢？2、求函数解析式练习1：如何恰当选择方法求出二次函数的解析式呢？（1、）如果一个二次函数的图象经过（0,0）（-1,-1）（1,9）三点，试求这个二次函数的解析式.（2、）已知一条抛物线过（0,5）点，顶点坐标为(1,3), 求二次函数解析式. 变式：已知一条抛物线过（0,5）点，当x=1时，函数值有最值且为3，求二次函数解析式？归纳：四、二次函数的性质性质1、二次函数y=ax2+bx+c系数符号与图象的关系：问题：观察二次函数的图象我们又能知道哪些信息呢？a---------b---------c----b2-4ac-----a+b+c ----a-b+c ----练习：已知cbxaxy++=2的图象如图所示：则a 0, b 0, c 0,abc 0, b 2a, 2a+b 0, a+b+c 0, a-b+c 0, 4a-2b+c 0.性质2、二次函数的增减性：观察图象：当x____时，y随x的增大而减小；当x____时，y随x的增大而增大；函数值y有最__值，是______。

yxOyx O二次函数的图像和性质复习课（一）一、复习目标1.掌握并理解二次函数的性质。

2.会用二次函数的性质解决相关的问题。

二、复习重、难点重点：二次函数的性质及应用。

难点：综合应用二次函数的性质解题。

三、课前准备重点知识扫描1.二次函数的定义：形如 （a 、b 、c 为常数，a ）的函数是二次函数。

2.二次函数的图像：它是一条 ，图像是 对称图形。

3．二次函数的图像和性质4．求二次函数的解析式的方法（1）若知道抛物线上任意三个点的坐标，则设为一般式： ， （2）若知道抛物线的顶点坐标（h , k ），则设为顶点式： ，二次函数顶点式： )0()(2≠+-=a k h x a y一般式:)0(2≠++=a c bx ax y图 象a ＞0a ＜0 a ＞0a ＜0开 口对称轴 直线 x ＝ 直线 x ＝ 顶点坐标( , )( , )最 值当x ＝ 时，=最小y当x ＝ 时，=最大y当x ＝ 时，=最小y当x ＝ 时，=最大y增减性当x 时y 随x 的增大而减小；当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大； 当x 时y 随x 的增大而减小。

当x 时y 随x 的增大而减小； 当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大； 当x 时y 随x 的增大而减小。

（3）若知道抛物线与x 轴的两个交点的坐标（1x ，0），（2x ，0），则设为交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y5．抛物线的平移6．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像特征与系数a 、b 、c 及ac b 42-的关系项目字母字母符号 图像特征 aa ＞0 开口向上 a ＜0开口向下 bb=0对称轴是y 轴a 、b 同号 对称轴在y 轴左侧 左同 右异a 、b 异号对称轴在y 轴右侧cc=0 经过原点 c ＞0 与y 轴的正半轴相交 c ＜0与y 轴的负半轴相交 ac b 42-ac b 42-=0与x 轴有唯一交点（顶点）ac b 42-＞0与x 轴有两个交点 ac b 42-＜0与x 轴有没有交点四、考点剖析考点1：二次函数的定义例1.下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个考点2：二次函数的图像和性质的应用例2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+m 的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2考点3：二次函数图像的平移例3．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )（Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+ 考点4：二次函数的图像与系数关系例4．如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①b c ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④ac b 42-﹤0其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 考点5：求二次函数的解析式例5．一条抛物线经过(－2，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．五、变式训练1．二次函数22(1)3y x =-+的图象的最低点的坐标是（ ）A .（1,3）B .（－1,3）C .（1,－3）D .（－1,－3）2．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是 。

二次函数的图像与性质教案教案标题：二次函数的图像与性质教案教案目标：1. 理解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数图像的绘制方法；3. 能够分析二次函数的图像特征和性质。

教案步骤：步骤一：引入二次函数的概念和性质（10分钟）1. 引导学生回顾一次函数的概念和性质，然后引入二次函数的概念，解释二次函数与一次函数的区别。

2. 介绍二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c，并解释各项的含义。

3. 解释二次函数的性质：对称性、开口方向、顶点、轴等。

步骤二：绘制二次函数的图像（20分钟）1. 通过给定不同的a、b、c值，绘制不同形态的二次函数图像。

2. 详细解释如何确定二次函数的顶点、轴和开口方向。

3. 引导学生观察图像的变化规律，总结二次函数图像与a、b、c值的关系。

步骤三：分析二次函数的图像特征和性质（15分钟）1. 引导学生观察不同形态的二次函数图像，分析其对称性、最值、零点等特征。

2. 引导学生发现二次函数图像的对称轴与一次函数图像的x轴有何关系。

3. 引导学生讨论二次函数图像的开口方向与a值的关系，并总结规律。

步骤四：应用二次函数的图像与性质（15分钟）1. 给定实际问题，引导学生建立与之对应的二次函数模型。

2. 利用二次函数图像的性质，解决实际问题，如求最值、零点等。

3. 引导学生讨论二次函数图像在不同场景中的应用，如抛物线的运动轨迹、物体的抛射问题等。

步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结二次函数的图像特征和性质，包括对称性、开口方向、顶点、轴等。

2. 引导学生思考二次函数的应用领域，并拓展到其他数学知识的应用，如函数的复合、函数的逆运算等。

教学资源：1. 教材：包含二次函数相关知识的教材或教学参考书。

2. 白板、彩色笔等教学工具。

3. 实际问题的案例素材。

评估方式：1. 课堂练习：通过绘制二次函数图像、分析图像特征等练习，检查学生对二次函数的理解和应用能力。

y x O 第11课时 二次函数图象和性质【知识梳理】1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0 a ＜0图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最值增减性 在对称轴左侧y 随x 的增大而 y 随x 的增大而在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.【思想方法】数形结合【例题精讲】 例1、已知二次函数24y x x =+，(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =-+(其中a 、h 、k 都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.例2、下列函数中，哪些是二次函数？(1)； (2)；(3)； (4). 思考与收获O yxB A 例3、m 取哪些值时，函数是以x 为自变量的二次函数？例4、已知是二次函数，且当时，y 随x 的增大而增大.求(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴.例5、如图，直线m x y +=和抛物线 c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴ 求m 的值和抛物线的解析式；⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．(直接写出答案)【当堂检测】一、选择题1、如图所示，二次函数y=-x 2的图象的规范画法是( )2、下列各点在二次函数y=x 2的图象上的有( )①A(0，0)； ②B(-1，1)； ③C(1，-1)； ④D(-2，2)； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧H(0.8，-6.4)A.3个B.4个C.5个D.6个 3、若某函数图象的最低点为原点(0，0)，则这个函数是( )A. B.y=-x 2 C.y=x 2 D.y=-x4、在抛物线y=x 2上有两点，则m+n 的值为( )A.0B.C.D.5、观察函数y=x 2的图象，则下列判断中正确的是( )A.若a 、b 互为相反数，则x=a 与x=b 的函数值相同B.对于同一个自变量x ，有两个函数值与它对应C.对任意一个实数y ，有两个x 和它对应D.对作意实数x ，都有y>06、将抛物线y=3x 2如何平移，可得到抛物线y=3(x-2)2-1( )A.向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.向左平移2个单位，再向下平移1上单位C.向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.向右平移2个单位，再向下平移1个单位7、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.a>0，b>0，c>0B.a<0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b>0，c>08、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，点P(a+b ，ac)是坐标平面内的点，则点P 在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9、下列抛物线，对称轴所在直线是的是( )A. B.y=x 2+2x C.y=x 2+x+2 D.y=x 2-x-210、用配方法将函数y=x 2-4x+5写成y=a(x-h)2+k 的形式为( )A.y=(x+2)2+1B.y=(x-2)2+1C.y=(x+2)2-1D.y=(x-2)2-111、二次函数y=x 2-2x+4的顶点坐标，对称轴分别是( )A.(1，3)，x=1B.(-1，3)，x=1C.(-1，3)，x=-1D.(1，3)，x=-112、抛物线y=x 2-3x+2不经过第_____象限.A.一B.二C.三D.四13、抛物线y=-x 2+2kx+2与x 轴交点的个数为( )A.0B.1C.2D.以上答案都不对14、抛物线y=x 2+6x+8与y 轴交点坐标是( )A.(0，8)B.(0，-8)C.(0，6)D.(-2，0)，(-4，0)15、二次函数y=x 2+2x-5取最小值时，自变量x 的值是( )A.2B.-2C.1D.-116、已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象顶点是(1，-3)，则b 和c 的值是( )A.b=2，c=4B.b=2，c=-4C.b=-2，c=4D.b=-2，c=-417、.已知抛物线过(0，4)，(1，-1)，(2，-4)三点，那么它的对称轴是直线( )A.x=1B.x=-1C.x=-3D.x=318、已知抛物线y=x 2-2bx+4的顶点在x 轴上，则b 的值是( )A.1B.2C.-2D.±219、已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图.所示，则此抛物线的解析式为( )A.y=-x 2+2x+3B.y=x 2-2x-3C.y=-x 2-2x+3D.y=-x 2-2x-320.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.a>0，b<0，c>0B.a<0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b>0，c>0二、填空题1、二次函数y=-x 2有最_______值，它的图象是一条______线，开口向______，对称轴是______，顶点坐标是_______，该点是图象的最______点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而______，当x=_____时，y=-5.2、若点A(2，m)在抛物线y=x 2上，则点A 关于y 轴对称点的坐标是_____.3、函数y=-x 2的图象与直线y=kx-8的交点为(1，b)，则k=____，b=_____.4、若函数y=-x 2+4x+k 的最大值等于3，则k 的值等于_____.5、抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 . 6、将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．7、如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．8、二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.19、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．10、已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥311、二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个第10题图 第11题图 9. 已知二次函数243y ax x =-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；x0 1 2 3 4 y （3）根据图象回答：当函数值y<0时，x 的取值范围是什么？第7题图 第9题图。

二次函数的图象与性质基础巩固1．若点(－1,3)，(3,3)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两点，则此抛物线的对称轴是( ) A．直线x＝－1B．直线x＝0C．直线x＝1 D．直线x＝22．抛物线y＝x2＋4x＋a2＋5(a是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，使y≥－1成立的x的取值范围是( )第3题图A．x≥－1 B．x≤－1C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥34．(2020·绥化)将抛物线y＝2(x－3)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )A．y＝2(x－6)2B．y＝2(x－6)2＋4C．y＝2x2D．y＝2x2＋45．(2020·温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )A．y3<y2<y1B．y3<y1<y2C．y2<y3<y1D．y1<y3<y26．(2020·东营)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A，C两点的横坐标分别为－1和1，下列说法错误的是( )第6题图A．abc<0B．4a＋c＝0C．16a＋4b＋c<0D．当x>2时，y随x的增大而减小7．(2020·嘉兴)已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时，m≤y≤n，则下列说法正确的是( ) A．当n－m＝1时，b－a有最小值B．当n－m＝1时，b－a有最大值C．当b－a＝1时，n－m无最小值D．当b－a＝1时，n－m有最大值8．(2020·玉林)把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a(x－1)2＋4a.若(m－1)a＋b＋c≤0，则m的最大值是( ) A．－4B．0C．2D．69．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y ＝ax＋b的图象可能是( C )A B C D10．(2020·泸州)已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b，m)，B(2b＋c，m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b＋c的值为( ) A．－1 B．2C．3 D．411．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根12．(2019·泸州)已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( ) A．a<2 B．a>－1C．－1<a≤2 D．－1≤a<213．(2020·呼和浩特)已知二次函数y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0的两根之积为( )A ．0B ．－1C ．－12D ．－1414．(2020·哈尔滨)抛物线y ＝3(x －1)2＋8的顶点坐标为______.15．把二次函数y ＝x 2＋4x －1变形为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式为y ＝_______.16．(2020·黔东南)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为(－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，则当y ＜0时，x 的取值范围是________.第16题图17．(2020·青岛)抛物线y ＝2x 2＋2(k －1)x －k (k 为常数)与x 轴交点的个数是_______. 18．二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(b ，t 为实数)在－1＜x ＜4内有解，则t 的取值范围是_________第18题图19．(2020·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线y ＝－32(x －h )2＋k (h ，k 为常数)与线段AB 交于C ，D 两点，且CD ＝12AB ，则k 的值为 ______ .第19题图20．(2020·北京)在平面直角坐标系xOy 中，M (x 1，y 2)，N (x 2，y 2)为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)上任意两点，其中x 1＜x 2.(1)若抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x 1，x 2为何值时，y 1＝y 2＝c ；(2)设抛物线的对称轴为直线x ＝t ，若对于x 1＋x 2＞3，都有y 1＜y 2，求t 的取值范围． 观察图象可知满足条件的t 的取值范围为t ≤32.21．(2020·临沂)已知抛物线y ＝ax 2－2ax －3＋2a 2(a ≠0)． (1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；(3)设点P (m ，y 1)，Q (3，y 2)在抛物线上，若y 1＜y 2，求m 的取值范围． 能力提升1．(2020·江西)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt △OAB 向右上方平移，得到Rt △O ′A ′B ′，且点O ′，A ′落在抛物线的对称轴上，点B ′落在抛物线上，则直线A ′B ′的表达式为( )A ．y ＝xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝x ＋12D ．y ＝x ＋22．(2019·济宁)如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2＋mx ＋c ＞n 的解集是________.第2题图二次函数的图象与性质(答案）基础巩固1．若点(－1,3)，(3,3)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两点，则此抛物线的对称轴是( C ) A．直线x＝－1B．直线x＝0C．直线x＝1 D．直线x＝22．抛物线y＝x2＋4x＋a2＋5(a是常数)的顶点在( B )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，使y≥－1成立的x的取值范围是( C )第3题图A．x≥－1 B．x≤－1C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥34．(2020·绥化)将抛物线y＝2(x－3)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( C )A．y＝2(x－6)2B．y＝2(x－6)2＋4C．y＝2x2D．y＝2x2＋45．(2020·温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )A．y3<y2<y1B．y3<y1<y2C．y2<y3<y1D．y1<y3<y26．(2020·东营)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A，C两点的横坐标分别为－1和1，下列说法错误的是( B )第6题图A．abc<0B．4a＋c＝0C．16a＋4b＋c<0D．当x>2时，y随x的增大而减小7．(2020·嘉兴)已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时，m≤y≤n，则下列说法正确的是( B )A．当n－m＝1时，b－a有最小值B．当n－m＝1时，b－a有最大值C．当b－a＝1时，n－m无最小值D．当b－a＝1时，n－m有最大值8．(2020·玉林)把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a(x－1)2＋4a.若(m－1)a＋b＋c≤0，则m的最大值是( D ) A．－4B．0C．2D．69．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y ＝ax＋b的图象可能是( C )A B C D10．(2020·泸州)已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b，m)，B(2b＋c，m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b＋c的值为( C ) A．－1 B．2C．3 D．411．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( C )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根12．(2019·泸州)已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( D ) A．a<2 B．a>－1C．－1<a≤2 D．－1≤a<213．(2020·呼和浩特)已知二次函数y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0的两根之积为( D )A．0 B．－1C．－12D．－1414．(2020·哈尔滨)抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为(1,8).15．把二次函数y＝x2＋4x－1变形为y＝a(x＋h)2＋k的形式为y＝(x＋2)2－5.16．(2020·黔东南)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，则当y＜0时，x的取值范围是－3<x<1.第16题图17．(2020·青岛)抛物线y＝2x2＋2(k－1)x－k(k为常数)与x轴交点的个数是2.18．二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0(b，t为实数)在－1＜x＜4内有解，则t的取值范围是－1≤t＜8.第18题图19．(2020·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)．若抛物线y＝－32(x－h)2＋k(h，k为常数)与线段AB交于C，D两点，且CD＝12AB，则k的值为.第19题图20．(2020·北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y2)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．解：(1)由题意y1＝y2＝c，∴x1＝0，∵对称轴为直线x ＝1，∴M ，N 两点关于直线x ＝1对称， ∴x 2＝2，∴当x 1＝0，x 2＝2时，y 1＝y 2＝c .(2)抛物线的对称轴为直线x ＝t ，若对于x 1＋x 2>3，都有y 1<y 2， 当x 1＋x 2＝3，且y 1＝y 2时，对称轴为直线x ＝32，观察图象可知满足条件的t 的取值范围为t ≤32.21．(2020·临沂)已知抛物线y ＝ax 2－2ax －3＋2a 2(a ≠0)． (1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；(3)设点P (m ，y 1)，Q (3，y 2)在抛物线上，若y 1＜y 2，求m 的取值范围． 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax －3＋2a 2＝a (x －1)2＋2a 2－a －3， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1. (2)∵抛物线的顶点在x 轴上，∴2a 2－a －3＝0，解得a ＝32或a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝32x 2－3x ＋32或y ＝－x 2＋2x －1.(3)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴Q (3，y 2)关于直线x ＝1的对称点的坐标为(－1，y 2)，∴当a >0，－1<m <3时，y 1<y 2；当a <0，m <－1或m >3时，y 1<y 2. 能力提升1．(2020·江西)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt △OAB 向右上方平移，得到Rt △O ′A ′B ′，且点O ′，A ′落在抛物线的对称轴上，点B ′落在抛物线上，则直线A ′B ′的表达式为( B )A ．y ＝xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝x ＋12D ．y ＝x ＋22．(2019·济宁)如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2＋mx ＋c ＞n 的解集是x ＜－3或x ＞1.第2题图。

二次函数的性质与图像教案一、教学目标1. 让学生理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制二次函数的图像，并分析图像的性质；4. 能够运用二次函数解决实际问题。

二、教学内容1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质；3. 二次函数的图像；4. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的性质和图像；2. 难点：二次函数图像的分析与应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像；3. 结合实际例子，让学生学会运用二次函数解决实际问题。

五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 实物模型或图形软件。

教案内容请参考下述示例：一、二次函数的定义和标准形式1. 二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数称为二次函数。

2. 二次函数的标准形式：y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）为顶点坐标。

二、二次函数的性质1. 对称轴：二次函数的对称轴为x=h。

2. 顶点：二次函数的顶点坐标为（h，k）。

3. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

三、二次函数的图像1. 绘制二次函数的图像：通过顶点、对称轴、关键点等方法绘制。

2. 分析二次函数的图像：观察开口方向、对称轴、顶点等。

四、实际问题中的应用1. 利用二次函数解决实际问题：如抛物线与坐标轴的交点、最值问题等。

2. 结合实际例子，让学生学会运用二次函数解决实际问题。

五、课堂练习1. 练习题：巩固二次函数的性质与图像知识。

2. 实物模型或图形软件：让学生直观地感受二次函数的图像。

六、教学过程1. 导入：通过回顾一次函数和线性函数的图像，引导学生思考二次函数图像的特点。

2. 新课：介绍二次函数的定义和标准形式，解释对称轴、顶点、开口方向等概念。

第二节 二次函数的图像与性质(第1课时)环节一 回顾旧知，导入新课。

1.一次函数的图像是 ，反比例函数的图像是 。

2.画函数图象的一般步骤是什么？， ， .环节二 小组合学，探究新知。

1.试画出二次函数y=x 2的图像。

（1.2.3组黑色笔完成）（1）列表（2）描点 （3）连线2. 试画出二次函数y=-x 2的图像。

（4.5.6组黑色笔完成）3. 在1中画出二次函数y ＝2x 2的图象（1.2.3组红色笔完成） 在2中画出二次函数y ＝-2x 2的图象（4.5.6组红色笔完成）环节三：归纳总结，提炼升华。

反思小结：1.当a>0时，a 越大，a ，抛物线开口 。

当a<0时，a 越小，a ，抛物线开口 。

综上：对于任意a ≠0，a越大， 抛物线开口 。

环节四:达标检测，反馈提高 A 组1．二次函数2x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 二次函数2-x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________2.判断正误（1）函数y = x2与y = －x2的图像都是抛物线（ ）； （2）函数y = x2与y = －x2的图像对称轴都是x 轴 （ ）； （3）函数y = x2与y = －x2的图像形状相同，开口方向相反（ ） （4）抛物线y = 3x2在x 轴的下方(除顶点外)（ ）（5）在抛物线y = -5x2左侧， y 随着x 的增大而增大（ ） 3.已知72)2(--=ax a y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则=a 。

4.设边长为x 的正方形的面积为y ，y 是x 的二次函数，该函数的图象是下列各图形中（ ）B 组：1．在函数y = x 2上有两点，（－1，y 1），（－3，y 2），那么y 1，y 2，0的大小关系是（ ）A .y 1 ＜ y 2 ＜0 B. y 2 ＜ y 1 ＜0 C. y 1 ＞ y 2 ＞0 D. y 2 ＞ y 1 ＞02、直线1+-=x y 与抛物线2x y =有（ ）A ．1个交点B . 2个交点C ．3个交点D ．没有交点3、如图边长为2的正方形ABCD 的中心在直 角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，抛物线y = x 2和 y = －x 2别经过A ，B ，C ，D 点，将正方形成几部 分，则图中阴影部分的面积为 ．探索乐趣 ：课下猜想并验证抛物线y = 3x2与y = 3x2+4之间有什么关系？它们是轴对称图形吗？开方方向，对称轴、定点坐标分别是什么？温馨提示：只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m=代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-． ∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． )图(1)图(2)(天)故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x=，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对AB ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=．B A D MFB 图(1)图(2)l130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、新课导入1.导入课题：问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=a x2的图象.板书课题：二次函数y=a x2（a≠0）的图象.2.学习目标：（1）用描点法画二次函数y=a x2的图象,知道抛物线y=a x2是轴对称图形，知道抛物线y=a x2的开口方向与a的符号有关.（2）能根据图象说出抛物线y=a x2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.3.学习重、难点：重点：画二次函数y=a x2的图象，理解抛物线的相关概念.难点：画二次函数y=a x2的图象.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第29页到第31页的“思考”.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：数形结合.（4）自学参考提纲：①画出函数y=x2的图象.x…-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …②二次函数y=a x2+b x+c的图象是抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.③函数y=x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0），顶点是图象的最低点.④在①中的坐标系中画出函数y=12x2与y=2x2的图象，观察所画三个图象，说明它们有哪些共同点和不同点.⑤由④，说明二次函数y=a x2(a>0)的图象的形状、对称轴、开口方向、顶点.二次函数y=a x2(a>0)的图象是抛物线，对称轴是y轴，开口向上，顶点是（0,0）.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否熟练地用描点法画出函数的图象，能否观察图象得到所需的结论.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导,对列表取值进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化：(1)交流学习成果：展示画图效果，总结a>0时二次函数y=a x2的图象的相关性质.(2）总结：①二次函数的图象是抛物线，一般地，二次函数y=a x2+b x+c的图象就叫做抛物线y=a x2+b x+c，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.②抛物线y=a x2关于y轴对称，抛物线y=a x2的对称轴是y轴，顶点是原点(0，0).③a>0时，抛物线y=a x2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.1.自学指导：（1）自学内容：探究y=a x2(a<0)的图象特点.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：画图，从开口方向、对称轴、顶点、开口大小等方面观察图象，寻找它们的共同特点.（4）探究提纲：①完成探究，回答这些抛物线异同点：共同点：开口都向下，对称轴是y轴，顶点是（0,0）.不同点：x2的系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.②总结a<0时，抛物线y=a x2的性质.当a＜0时，抛物线a x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小.③观察前面所画的六条抛物线，你能说说抛物线y=a x2与y=-a x2有何关系吗？抛物线y=a x2与y=-a x2关于x轴对称.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生画图和识图的情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化:（1）交流：a<0时二次函数y=a x2的图象的性质.（2）强调a的符号对二次函数y=a x2的图象的开口方向的影响，|a|的大小对二次函数y=a x2的图象的开口大小的影响.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性，小组交流与回答问题的情况，学习效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是让学生在经历动手操作、探究归纳的过程中，逐步获取图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（15分）抛物线y=2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）.2.（15分）已知下列二次函数①y=-x2；②y=35x2；③y=15x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.(1)其中开口向上的是②③⑤(填序号)；(2)其中开口向下且开口最大的是①(填序号)；(3)有最高点的是①④(填序号).3.（20分）分别写出抛物线y=4x2与y=-14x2的开口方向、对称轴及顶点坐标.解：抛物线y=4x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.抛物线y=-14x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.4.（20分）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=13x2；y=-13x2.解：列表：…-3-2-10123…y=13x2 (34)3130 13433…x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=-13x2…-3 -43-130 -13-43-3 …作图如图所示.二、综合应用（20分）5.（20分）已知一次函数y=a x+b和二次函数y=a x2，其中a≠0,b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（C）三、拓展延伸（10分）6.（10分）m 为何值时，函数－m my mx=2的图象是开口向下的抛物线？解：由题意得，，m m m ⎧-=⎨<⎩220解得m=-1∴当m=-1时，函数－m my mx=2的图象是开口向下的抛物线.。

二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式；2. 引导学生探究二次函数的性质，包括对称性、单调性等；3. 让学生学会绘制二次函数的图像，并能分析图像的特点；4. 培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点：重点：二次函数的定义、性质及图像特点；难点：二次函数图像的绘制及分析。

三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像特点；3. 采用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

四、教学准备：1. 教师准备PPT，包括二次函数的定义、性质、图像等；2. 准备一些实际问题，用于巩固所学知识。

五、教学过程：1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用；2. 讲解：介绍二次函数的定义、一般形式，引导学生探究二次函数的性质；3. 演示：利用PPT展示二次函数的图像，让学生直观地理解二次函数的图像特点；4. 练习：让学生绘制一些二次函数的图像，并分析其性质；5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数的性质及图像的特点；6. 作业：布置一些练习题，巩固所学知识。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生主动探究二次函数的性质，培养学生的动手能力。

通过实际问题的分析，让学生感受二次函数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣。

在讲解二次函数的图像时，要注重让学生理解顶点、对称轴等关键点的作用，以便能更好地分析二次函数的性质。

六、教学拓展：1. 引导学生探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线运动、最优化问题等；2. 介绍二次函数与其他数学知识的关系，如导数、积分等；3. 引导学生思考二次函数在自然界中的体现，如物体的自由落体运动等。

七、课堂小结：1. 回顾本节课所学内容，让学生总结二次函数的性质及图像特点；2. 强调二次函数在实际问题中的应用价值；3. 提醒学生注意在学习过程中积累经验，提高解决问题的能力。