2014-2015年世纪金榜精品优质课件高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 2.1.1 曲线与方程

个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线.
问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解， 能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？ 解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标 的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为 半径的圆上半部分和方程 x 2 y 2 4 . 【提升总结】 由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为 f(x,y)=0,那么点 P0 ( x 0 , y0 ) 在曲线C上的充分必要 条件是 f ( x 0 , y 0 ) 0.
即 x1 y1 k .
y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离，因 而 x1 ，
此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是
曲线上的点.
由(1)(2)可知, xy k 是与两条坐标轴的距离的
积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
例2 方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是 ( C )
O
M ( x0 , y0 )
以( x 0 , y 0 )为坐标的点在直线上 .
x
问题2：方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 表示如图的圆， 图象上的点M与此方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2， 有什么关系？
（1）圆上任一点
M ( x 0 , y 0 )的 坐标 是 方 程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的解.
（2）若( x0 , y0 )是方程( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2的解，则以( x0 , y0 )
为坐标的点在以( a , b )为圆心， 以 r为半径的圆上 .
0 y
( x a)2 ( y b)2 r 2
.
·
M ( x0 , y0 )
x
通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明：（1）设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点. 因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x0 ， 所以 x 0 y0 k ,
即( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k的解 . （2）设点 M 1的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程 xy k的解，则 x1 y1 k ,
问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，
“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而
“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两
者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方
程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲
线的性质转化到讨论相应方程的问题上.
解析 ：以(1，0)为端点的两条射线
4.已知曲线C的方程为x＝ 4 y 2 ，说明曲线C是什 么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积． 解：由x＝ 4 y 2 ，得x2＋y2＝4，又x≥0， 所以方程x＝ 4 y 2 表示的曲线是以原点为圆心， 2为半径的右半圆, 从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
探究点1
曲线的方程与方程的曲线
问题 1 ：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系？
(1)在直线上任找一点 M ( x 0 , y 0 ),则 x 0 y 0，即（ x 0 , y 0） 是方程x-y=0的解； x-y=0 y
(2)如果 ( x 0 , y 0 ) 是 x y 0的解，那么
解析：选C.方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1 的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、 纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
故选C.
【变式练习】
方程x2＋xy＝x表示的曲线是( C )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0， 即x＝0或x＋y－1＝0. 由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线． 故选C.
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问
题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月
球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方 程吗？
1.理解曲线与方程的概念、意义.（重点、难点） 2.了解数与形结合的基本思想.（难点）
1 其面积S＝ π· 4＝2π. 2
所以所求图形的面积为2π.
在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程， 当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时 就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方 面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何 问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想， 本节课正是这一思想的基础.
所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，
都是微不足道；所有的失败，与失去自己的
失败比起来，更是微不足道.
的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形
成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程
f(x,y)=0.
点
按某种规律运动 曲线C 几何对象
坐标（x,y）
x,y制约关系
代数表示
方程f(x,y)=0
曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一
2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A ．y 2＝x 与 y ＝ x
B．y＝lg x2 与 y＝2lg x
y 1 C. ＝1 与 lg (y＋1)＝lg (x－2) x2 D．x2＋y2＝1 与 |y|＝ 1 x 2
解析：选D.主要考虑x与y的范围.
3.方程y＝ x 2 2 x 1 所表示的曲线是______．
1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( D ) A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y) ＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上
C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点 [思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．