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小学数学教学论名词解释1、教材：教材是课程内容的载体。
教教材，顾名思义就是教学材料。
就广义而言，教材包括教科书、练练习册、教学挂图、教学软件、音像教材等一切教师用于指导学生生学习的教学材料，以及供教师使使用的教学指导书。
从狭义来看教教材只指教科书。
2、逻辑思维：是一种确定的、前后一贯的、有条理有根据的思维。
在进行逻辑思维的过程中，要采用比较、分析、综合、抽象、概括的思维方法，其中分析和综合是基本的方法。
3、形象思维：是依托于对形象材料的意会，从而对事物作出相关的理解和思考。
4、直觉思维：与逻辑思维不同，他不是那种有步骤、有条理、渐进式的思维，而是一种整体的、高度简约的、跳跃式的思维。
5、空间观念：是物体的大小、形状及其位置关系保留在人脑中的表象。
6、教学大纲：是由国家教育主管部门制定或批准的，根据课程计划以纲要形式规定的，有关学科的教学目的、教学要求和教学内容的指导性文件。
7、科学数学：只考虑数学本身的的内容、结构、特点极其理论意义义、应用价值是科学数学。
8、学科数学：在对学生教学时，依依据一定的教育教学目的，把数学学的内容加以处理，即把数学的是内容作为教学过程中的认识对象象，这就是学科数学。
9、重点：广义的重点就是数学知识中的飞跃，学生认识中的转折。
狭义的重点就是指在某部分知识中能起到承上启下作用的知识点，也就是学生认识中的生长点，突出这些重点知识，便可以以间驭繁，促进知识的迁移。
10、难点：是指学生在学习中普遍感到困难的知识点，也就是说，完全是依据学生的接受能力来确定的。
11、经验：是客观现实的反映，是人和动物在生活过程中通过实践或训练所获得的知识或技能的反映。
12种系经验：指的是在种系发展的过程中形成，并以无条件反射活动的形式在个体身上表现出来的，因此它带有遗传的性质，实质上是一种先天的本能。
13、个体经验：指个体在生活过程中习得的经验，也可称为后天的经验。
14、、学习：是动物和人类与环境保持平衡，维持生存和发展的必要条件。
数学教研论文(5篇)数学教研论文(5篇)数学教研论文范文第1篇所谓数学活动是指把数学教学的乐观性概念作为具有肯定结构的思维活动的形式和进展来理解的。
按这种解释，数学活动教学所关怀的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思维水平的儿童去讨论不同水平的问题，从而进展同学的思维力量，开发智力。
那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想法。
一、考虑同学现有的学问结构学问和思维是相互联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑同学的现有学问结构。
什么是学问结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从肯定角度动身，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是学问结构。
在教学中只有了解同学的学问结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新学问基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。
例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0a≠0]时，争论它的解，须用到配方法，或因式分解法等等，那么上课前老师要清晰这些方法同学是否把握，把握程度如何，这样，活动教学才能顺当进行。
二、考虑同学的思维结构数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑同学现有的思维活动水平。
心理学早已证明，思维力量及智力品质都随着青少年年龄的递增而进展，同学的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。
斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，同学把握学问，思索方式、方法，思维水平都有明显差异。
因此，要使数学教学成为数学活动的教学必需了解同学的思维水平。
下面谈谈与同学思维水平有关的两个问题。
1．中同学思维力量之特点我们知道，中同学的运算思维力量处于规律抽象思维阶段，尽管思维力量的几个方面的进展有所先后，但总的趋势是全都的。
初一同学的运算力量与学校四、五班级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三同学的运算力量是属于阅历型的抽象规律思维；高一与高二同学的运算力量的抽象思维，处在由阅历型水平向理论型水平的急剧转化的时期。
小学生的思维以形象思维为主，形象思维是凭借头脑中已储存的表象进行的思维。
而“每一种进入大脑的资料，不论是感觉、记忆或是想法，包括文字、数字、符号、食物、香气、线条、颜色、意象、节奏、音符等，都可以成为表象，而这一表象就可以成为一个思考中心，并由此中心向外发散出成千上万的挂勾，每一个挂勾代表与中心主题的一个连结，而每一个连结又可以成为另一个中心主题，再向外发散出成千上万的挂勾……这些挂勾连结可以视为你的记忆，也就是你的个人数据库。
”这一“数据库”的容量和组织形式决定了形象思维的优劣程度。
而思维导图是基于对人脑的模拟，所以这一“数据库”的储存方式和组织结构和思维导图的“构图”方式不谋而合。
本人在数学教学中从一年级开始采用便于生长出知识点的树状思维导图——“智慧树”的表现方式吸引学生的注意力，形成一种更能激发学生兴趣的表现形式，培养小学生的联想与创意，引导学生对其所思考的问题进行全方位、多角度的分析与思考，对所研究的问题进行富有创造性的探索，从而找到解决问题的关键因素、关键步骤。
通过富有趣味的“智慧树”，让学生的思维如枝繁叶茂的大树一样，无限延展，智慧迸发。
一、利用“思维导图”架构一年级数学知识体系，优化知识呈现方式。
低年级数学教材中的知识体系比较清晰、简单，结合一年级的小学生思维以具象思维为主的特点，通过一棵棵形象直观的思维“智慧树”将低年级的知识点呈现在学生面前，能够激发小学生思维动机，帮助小学生理清思维脉络，逐步培养小学生的抽象思维。
而在“智慧树”的建构过程中，包含了概括、判断、推理、分析与综合、具体与抽象等思维方法，因此，我在教学中重点从低年级小学生思维方式发展的角度进行研究，突出运用求同与求异的思维方法，通过对相关知识的比较，同中求异，异中求同，结合不同的课例，采用了不同的架构方法，同时赋予枝干不同的色彩，与学生共同建立了低年级数学学习知识体系的“智慧树”，包括：计算教学中的思维导图建构、图形教学中的思维导图建构等方面，形成既有共性又有个性的表现形式，提高学生解决实际问题的能力，有效地促进学生思维发展。
《农村小学数学课堂教学中提升学生数学思维能力的研究》阶段性总结2022年2月，我校理科组的小课题《农村小学数学课堂教学中提升学生数学思维能力的研究》迎来了正式研究阶段。
到如今已经过去4个月了，回顾这段时间我们针对这个小课题开展的系列工作，我们主要做了以下几方面工作:一、课题研究进展情景1.研究的目标（1）.以培养学生良好的数学素质为目的，不断积累，进而总结和提炼出在数学课堂教学中提升小学生数学思维能力的一套行之有效的教学方法和策略。
（2）.以促进学生发展为目的，构建出1--6年级小学生数学思维能力水平的测试题库。
（3）通过以理论学习为指导、行动研究为主要的研究方式，切实提高教师数学专业水平和教科研能力。
2.课题研究的资料(1)如何尝试建立新型的师生关系，转变教学理念，培养学生思维的兴趣，构建高效的课堂提问艺术，让学生乐学、乐问，展开较有计划的实践研究。
(2)学习兴趣与自信心的培养的研究;学习兴趣是学习动机中最现实、最活跃的成份。
对于我任教班级的学困生来说，任课教师更应当加强学法指导。
当他们在学习中遭受挫折和失败时，需要进行耐心的心理疏导和方法点拔，及时进行知识上的查漏补缺;当他在学习上或行为中出现“闪光点”时，哪怕是课堂上或课下出现的点滴提高，我们都应及时给予鼓励和表扬，让他们体会到信赖、满意、亲切的情感，从而树立他们的学习信心。
以满腔热情投身到学习中来，增强向优生转化的信心和勇气，培养他们积极主动思维的习惯。
(3)创造良好的教学环境的研究;新课程标准明确提出在教学过程中，应充分体现学生的主体地位，将动手、动口、动脑相结合，营造一个宽松和谐的课堂氛围。
变紧张压抑的被动理解知识为简便愉快的主动学习知识，提高每一位学生的参与意识，使每个学生都能投身到数学课堂的学习过程中来。
3.课题研究方法(1)个案研究法:研究者从数学学科出发，针对某一道题、某一课例、某一教学阶段或某个学生发展时期等进行个案研究，并从中提炼出共性的结论。
数学认知结构范文数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学，是我们对自然界、社会现象和抽象概念的理解和表达的工具。
数学是一门在人类文明发展过程中逐渐形成的学科，具有广泛的应用和深远的影响。
它涵盖了众多的分支和学科，如代数、几何、数论、概率论、统计学等，在不同的数学分支中，我们可以看到一种具有层次关系的认知结构。
数学的认知结构可以用层次结构来概括，从基础到高级依次有：基础概念与操作、数与代数、几何与空间、函数与分析以及应用数学。
基础概念与操作是数学认知结构的基础层次，它包括数字、加减乘除等基本概念与运算。
数字是数学的基本单位，它以一定的方式代表了数量。
数学中的基本运算是对数字进行加减乘除的操作，这些操作是数学运算的基础。
数与代数是数学的核心概念，它是对数量的抽象和推理的过程。
数是用来表示、计算和比较数量的概念，它可以是整数、有理数或无理数。
代数是一种通过符号和变量来表示数的一般性质和关系的数学分支，它使用代数式和方程式来描述和解决实际问题。
几何与空间是研究形状、结构和空间关系的数学分支。
几何通过点、线、面等基本元素和它们的属性来描述物体的形状和尺寸，通过几何推理和证明来探索几何关系。
空间是物体存在的地方，它的概念是在几何的基础上发展起来的，空间的研究使我们能够理解物体的位置、方向和运动。
函数与分析是数学中的高级概念和技术，它研究数的变化规律和数学对象的特性。
函数描述了一个变量与另一个变量之间的关系，它可以用数学表达式或图形来表示，函数的研究让我们能够理解和预测各种现象和过程。
分析是对函数和数列的研究，它通过极限、连续性、微分和积分等概念和方法来探索函数和数列的性质。
应用数学是数学在实际问题中的应用，它将数学理论和方法应用到其他学科和实际问题中。
应用数学的研究范围广泛，包括物理学、工程学、经济学、计算机科学等领域，它通过建立数学模型和使用数学工具来解决实际问题。
数学的认知结构是逐步建立和发展的，每个层次都依赖于前一个层次的知识和技巧。
浅谈数学课堂中的分层教学目前，数学课堂教学中主要是“整齐划一”的班级授课制，这种课堂教学模式虽然有其优点，但也有着明显的弊端。
为了大多数学生能在数学学习上获得成功，首先应该给他们提供可能成功的机会。
《全日制义务教育数学课程标准》明确指出：义务教育阶段的数学课程应使数学教育面向全体学生，使学生人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上能得到不同的发展。
在数学教学中开展分层教学，是因材施教教学原则和数学课程理念的体现，也是实施素质教育和实现教育均衡发展的重要途径。
近几年数学教学中，我们本着“差异”教育的原则实行动态分组教学，将同一班级学生按现有基础及发展水平分为a、b、c(低、中、高)三个组，在课堂教学中对各组用不同的教学方法进行教学。
在四十分钟时间里，按照计划的教学路线，各组不同层次的学生尽可能地轮换动态语言交流，加快学生活动的时间，让学生大量参与到课堂语言实践活动中，发展他们各方面的数学素质。
一、确定层次。
编组，培养小助手通过对学生数学学习水平的检测、分析，将他们分成a、b、c三个不同层次的组，每组选出一个基础较好、动手能力较强、自觉性较强、组织能力较强的学生做小助手，在教师的指导下，他们可以帮助同学们预习新课，课堂上进行轮换动态语言交流，课后复习巩固已学知识，这样教师更能集中精力搞好直接教学，使课堂活动有条不紊地进行，有效地提高教学质量。
二、备课与授课备课时，教师认真分析初中数学教材整体及各单元构成，根据教学大纲教学内容，以及各层次学生现有的知识基础和潜在的能力。
确定各层次教学目标，同时建立反映知识、技能与学生学习水平的成绩登记表，以便阶段性地采取相应的措施进行教学。
授课时教学路线按教案中大标题一、二、三……的顺序进行，每一课基本上按固定的模式进行教学，如遇到试卷讲解或习题课，则将课型改为分组讨论，每组包括各层次的学生，学生间边研究。
边思考，互相带动，相互质疑，这样有利于培养和提高他们的自学能力、分析和解决问题的能力。
小学数学教学中学生创新思维的培养论文（大全5篇）第一篇：小学数学教学中学生创新思维的培养论文创新思维是指人们通过对所掌握的知识和经验的运用，以及对客观事物的观察、类比、联想、分析、综合，探索新的现象和规律，以产生新的思想、新的概念、新的理论、新的方法、新的成果的一种思维形式。
它与常规思维相比，具有多向性、流畅性、变通性、独特性。
可以认为凡是能创造出新事物、想出新方法、发现新路子的思维都属于创新思维。
那么在数学教学中如何培养学生的创新思维和创新能力呢？一、实践和探索求异中培养学生的创新思维1、在实践中加以探索实践操作是数学教学中构建新知识最常用的手段，也是创新思维的基础。
小学生的思维以具体形象为主，教材为学生提供了许多实践、探索的机会，教师应重视学生的探索，让学生把操作和思维联系起来，在实践探索中培养学生的创新意识。
例如，教学“直线、线段、射线和角”这节课时，讲授完新知，在巩固练习中我设计了这样的问题：用我们手上的一付三角板，你能拼出哪些新的角？有的学生得到了120°=30°+90°、150°=60°+90°、180°=90°+90°、135°=45°+90°、75°=30°+45°、105°=60°+45°、15°=45o—30o等。
有的学生得到了60°、30°、45°的另一种画法：60°=90°—30°、30°=90°—60°、45°=90°—45°等。
甚至于有的学生想到角的一条边可以看成一个180°的角来得到一组新的角：135°=180°—45°、150°=180°—30°、120°=180°—60°等。
数学思维中的观念系统张乃达（一）为了使数学知识与数学能力特别是数学思维能力同步发展，必须深入研究：在数学思维活动中，数学思维能力发展的机制。
具体地讲，要研究如下两方面的问题：第一，数学思维能力如何起作用于数学思维活动以达到迅速获取数学知识的目的？ 第二，在获取具体的数学知识的过程中怎样才能形成和发展数学思维能力？下面．，我们将从分析学生的具体数学思维过程开始，来寻求上述问题的答案。
（二）研究表明，数学思维能力是通过数学观念为中介来指导数学思维活动的。
这表现为 两个方面：第一，数学思维能力通过观念作为桥梁来作用于数学思维过程。
例1． 在△ABC 中，分别用a 、b 、c 表示A ∠、B ∠、C ∠的对边，求证：()3aA bB cC a b c π++≥++ (1) 下面是一位成绩优秀的学生通过“出声想”表现的思维过程：A B C π∠+∠+∠=，因此(1)等价于1()3aA bB cC A B C a b c ++≥++++，即要证1()()3aA bB cC a b c A B C ++≥++++。
(2)考虑到A B C 、、在问题中的对称性，可先考虑二元的情况，即证明1()()2aA bB a b A B +≥++。
可用比较法，作差22()()()()aA bB a b A B a b A B +-++=--。
(3)为了证(3)非负，只须证a b -与A B -同号。
这是很容易的。
剩下的只是推广到三元。
师问：你为什么要考虑二元情况？生答：这是先退后进，找规律。
师：能不能将本题结果再推进一步呢?学生略加思索后得到：若123...n a a a a ≤≤≤≤，123...n b b b b ≤≤≤≤，则12121122(...)(...)...n n n n a a a b b b a b a b a b n+++++++++≥ 学生能独立完成本题的解答并推广，是他正确地用“特殊化”、“一般化”的观念来指导数学思维过程的结果。
高中数学几个思维
1.抽象思维
高中数学中有很多抽象的概念和问题，如函数、向量、数列等等。
因此，学生需要具备抽象思维的能力，能够将实际问题转化为数学问题，并能够运用数学模型解决问题。
2.逻辑思维
高中数学中有很多证明和推理的问题，需要学生具备一定的逻辑思维。
学生需要学会如何运用已知的知识和条件，通过逻辑推理得出结论。
3.图像思维
高中数学中有很多几何和图形的问题，需要学生具备一定的图像思维。
学生需要能够通过图像描述和理解问题，同时也需要能够通过图像解决问题。
4.函数思维
函数是高中数学中的一个重要概念，也是解决很多问题的基础。
学生需要掌握函数的概念和性质，能够运用函数解决实际问题。
5.创新思维
高中数学中有很多问题需要学生具备一定的创新思维，能够从不同的角度思考问题，并能够提出新的解决方案。
总之，学习高中数学需要具备多种数学思维，这些思维能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。
因此，学生在学习数学时应该注重培养自己的思维能力，提高自己的数学素养。
第14卷第1期 数 学 教 育 学 报 V ol.14, No.12005年2月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONFeb., 2005收稿日期：2004–09–28作者简介：张晓斌（1964—），男，四川通江人，高级教师，主要从事中学数学教育及教学评价的研究．论数学教学中思维层次的结构张晓斌（重庆市教育科学研究院，重庆 400015）摘要：影响思维层次的主要因素有思维的敏捷度、思维的广度、思维层次的浮动性和教师的教学艺术．思维层次就是对学生能达到的思维深度进行划分，高一级思维包含低一级思维，每一级思维都以中间联系事物或事件的次数来确定．思维层次与问题层次不一定相同，同一问题的层次是一个常数，学生的思维层次是一个变量．思维层次观是进行数学教学，培养学生能力，发现人才，命题考试，以及教学评价等的理论依据．关键词：数学教学；思维层次；思维层次观；结构中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2005）01–0020–031 问题的提出普通高中《数学课程标准》﹙实验﹚（以下简称《课标》）明确指出：“数学教学应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，也是新的数学课程的基本理念之一．数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用．”教师在教育教学过程中，对《课标》的要求进行全面的落实，就是对数学素质教育的落实．然而，《课标》对培养思维能力的思维过程只做了10个方面的方向性要求．不像对知识与技能的层次以“知道／了解／模仿、理解／独立操作、掌握／应用／迁移”规定得那样具体．发展学生思维能力，要达到怎样的水平，《课标》中没有具体的意见，这就使得培养和发展学生的思维能力带有很大的随意性．著名科学家爱因斯坦认为：对科学理论的认识是有层次的，第一层次是原始概念和原始关系；第二层次是自己的基本概念和较高的逻辑统一；第三层次是可想象的最大统一性，以及由自己的感官所觉察的兼容性．鉴于此，笔者对《课标》中要求的思维能力进行了思维层次方面的探索和研究．2 思维层次观的构建要培养学生的思维能力，应当探讨思维能力的层次问题，探讨要求学生能达到的思维深度．这样才便于教育工作者根据学生的具体实际，制定出量化的能力目标，有较好的可操作性，也为教学评价和各层次的命题提供理论依据．2.1 影响思维层次的主要因素思维能力涉及的因素非常广泛，影响思维层次的因素很多，在定义思维层次时，应对各因素加以提炼，并忽略次要因素，对一些重要因素做一些前提条件的规定．对思维层次有重要影响的因素有以下几方面． 2.1.1 思维的敏捷度思维的敏捷度也称为灵敏度，是描述思维反应快慢的因素．它可用从问题出发到思考出结果的时间来衡量．若用MD 表示思维的敏捷度，T p 表示研究群体的共享时间的平均值，T g 表示个人思考问题的时间，则敏捷度可定义如下：MD =T p ÷T g ．影响思维敏捷度的因素有：（1）遗传因素，它反映个体之间先天差异．（2）有关信息的积累量，它可以弥补遗传因素的不足．（3）心理品质，反映出个体的情绪、兴趣、意志等．（4）身体状况，反映个体大脑皮层受信息作用时的兴奋程度．在研究思维层次时，设定MD =1，即取群体的平均水平． 2.1.2 思维的广度思维的广度即思考问题时联系事物或事件多少的程度．它与个体的经历，知识水平的高低有关．普通高中学生基本上有着相似的经历，对他们的数学内容广度的要求，应以《课标》规定的知识点范围为准．若用GD 表示思维广度，N g 表示个体掌握相关信息量，N p 表示研究群体掌握相关信息的平均量．思维广度定义如下：GD = N g ÷N p ．在研究思维层次时，设定GD = 1，即取群体的平均水平． 2.1.3 思维层次的浮动性以不同年龄学生的知识和方法水平作为参照体系，划分出来的思维层次是不同的，可理解为思维层次可以在不同的知识和方法水平上下浮动．就好比初二年级与高二年级，虽都为二年级，但属于完全不同的两个层次．知识和方法水平层次越高，即知识的抽象程度和所用方法的熟悉程度越高，学生思维层次也高．例如对函数概念的认识，初中生是从具体的、直观的、描述性的角度去理解，高中生是从集合和映射的角度去理解． 2.1.4 教师采用的教学方法教师教学方法、教学模式和教学艺术水平不同，学生思维层次也就不一样．如有些教师习惯于给学生提出许多问题，表面上看，激发了学生的思维，实际上由于问题太多、太细，根本没有给学生留下思维的时间和空间，直接影响学生思维层次水平的高低，不利于培养学生的思维能力．2.2 思维层次的划分人们常说的顺向思维、逆向思维、形象思维、逻辑思维、创造性思维等，是描述人们的思维方式，并非对思维深度划分等级．不论用哪一种思维方式考察同一事物或事件，都有一个共同的起点，我们将对起点的事物或事件的再现、复述的思维深度定为一级思维．高中生对《课标》规定的知识点第1期 张晓斌：论数学教学中思维层次的结构 21概念能复述，能再现，其思维层次达到一级．例如会写数学概念的定义，会叙述定理的内容，会写公式等，属于一级思维层次．又如2003年全国高考文科数学卷第1题：直线 y = 2x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）．（A ）y = −x （B ）y = x （C ）y = −2x （D ）y = 2x 本题只要抓住关于x 轴对称的坐标特征即可，选（C ）． 二级思维：找出与起点直接发生关系的事物或事件的思维层次．就是对数学知识内在联系的理解，能理顺概念间的上位、下位、同位关系，深刻理解概念的内涵与外延．能把握定理和公式的来龙去脉，揭示定理间的联系和公式间的联系等．例如2003年全国高考理科数学卷第9题：函数)(x f = sin x , x ∈[−2, 2]的反函数)(1x f −=（ ）． （A ）−arcsin x , x ∈[−1, 1]（B ）−π − arcsin x , x ∈[−1, 1]（C ）π + arcsin x , x ∈[−1, 1] （D ）π − arcsin x , x ∈[−1, 1] 本题直接运用反正弦三角函数的概念就可解决．其关键是确定与函数值等值的角的主值区间，即)πsin()(−−=x x f ,(x −π)∈[−2, 2]，选（D ）．三级思维：与起点事物或事件不能直接发生关系，必须通过一次中间事物或事件才能发生关系的思维层次．例如2003年全国高考理科数学卷第11题中的分子不能直接用组合数的性质，这就需要把第一项“C 2”变成“C 3”．然后连续使用组合数的性质把分子求出来，属于三级思维．而分母直接运用组合数的定义和等差数列的求和公式即可求出，属于一级思维，进而轻易获得极限值为3．四级思维：必须通过两次中间事物或事件才能与起点事物或事件发生关系的思维层次．例如2003年全国高考理科数学卷第12题：一个四面体的所有棱长都为2，4个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）．（A ）3π （B ）4π （C ）33π （D ）6π 本题需要对正四面体与球的基本几何元素间的关系做出推断，必须通过沟通它们之间的联系，找到两个中间关系式才能解决，这就属于四级思维层次．用常规方法来解，先要确定球心的位置，它刚好在正四面体的4条高的交点上，再建立直角三角形相似，对应边成比例的关系式，可以获得 球半径R =23，故S 球 = 4πR 2 = 3π，选（A ）．但这种方法 运算量较大．其它五级、六级等更高级的思维，中间联系事物或事件的次数依次递增，往往高一级的思维包含低一级的思维，并以低一级的思维层次为基础．2.3 思维层次与问题层次的关系思维层次与问题层次不一定相同，不同的学生在解决同一问题时的思维层次是不同的．为此，特作如下规定：（1）思维定级中的中间事物或事件是指一个问题最本质、最核心，不易发现的关系，也即与起点事物或事件存在一定距离的关系．（2）思维定级是以学生解决某一问题需要中间联系事物或事件的多少来确定的．而问题的层次是以当前大多数学生解决同一问题的思维层次来刻画，即取MD =1，GD =1来设计问题的层次．（3）个别学生MD ＜1或GD ＜1，即该学生思维的敏捷度和广度要比一般学生低一些，解决一个问题需要较多的原始概念和原始关系，最多只能找出与起点直接发生关系的事物或事件，而不能发现中间事物或事件．这样走了不少弯路的学生的思维层次就比一般学生低一些．（4）个别学生MD ＞1或GD ＞1，即该学生思维的敏捷度和广度要比一般学生高一些，解决一个问题往往能简化中间事物或事件的联系，善于采用独特、巧妙、简单的思维方式和重要数学思想方法．表面上看这种学生用到的中间事物或事件的次数比一般学生减少了，而实质上该学生发现了一般学生不能发现的更深刻、更隐蔽的中间事物或事件，其思维层次就比一般学生高一些．（5）学生每简化一次中间事物或事件的联系，其思维层次就比一般学生高一级，简化两次就高二级，如此类推下去．由上可见，同一问题的层次是一个常数，而学生的思维层次是一个变量，不同的思维层次往往直接制约着解题的成败繁简，显现着学生不同层次的思维水平．例如1993年全国高考理科数学卷第17题：在各项为正数的等比数列{}n a 中，若965=a a ，则=+⋅⋅⋅++1032313log log log a a a （ ）．（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）5log 23+ 学生甲的做法是由已知条件求出n a 的表达式，进而逐项求各个对数值再相加，这是不可能办到的．这种直接再现与起点事物或事件的关系，“小题难做”的思维层次属一级思维．学生乙的做法是由已知9215141659q a q a q a a a =⋅==，从而==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++9211011021q a a a a 1059213)(=q a ，故原式=103log )(log 10310213==⋅⋅⋅a a a ，选（B ）．该学生直接利用等比数列的通项公式以及幂的运算法则、对数运算法则等，就找出了已知与未知的关系的“小题大做”的思维层次属二级思维．这种思维层次也是大多数学生认识该问题的思维层次，即本题为二级思维问题层次．学生丙的做法是由101928374659a a a a a a a a a a =====知，原式=10356533log )(log =a a =10．通过运用等比数列的性质，发现了一次中间事物：5651021)(a a a a a =⋅⋅⋅，这种“小题小做”的思维层次就属三级思维．学生丁的做法是结论暗示，不管已知数列的通项公式是什么，答案都是唯一确定的．因此只需取一个满足条件的特殊数列1,365===q a a ，此时心算就可做出选择．通过逆向思考，发现了一次更隐蔽中间事件：不论数列通项公式怎样，答案惟一确定；再用特殊化思想破解问题．这样，学生丁的“小题巧做”的思维层次就比学生乙的思维层次高两级，比学生丙的思维层次高一级，即四级思维．3 思维层次观的应用3.1 正确把握知识目标与能力目标的关系《课标》中规定的“了解”，“理解”，“掌握”是知识与技能目标规定的学生学习数学应达到的知识与技能水平，都是不能随意拓宽的．但对于同一知识目标层次，可根据学生的实际情况，制定出不同的思维层次目标，发展学生的智力．例如关于函数的奇偶性的定义，《课标》中规定的知识目标为“了解”，但可根据所教班学生实际情况，设计不同的思维层次目标．假设定为二级思维层次，教师可引导学生22 数学教育学报第14卷从概念的内涵与外延、符号翻译、变化形式、判断函数奇偶性的一般步骤等进行分析讲解．假设定为三级或四级思维层次，可以研究奇（偶）函数的代数运算，也可以把函数的奇偶性与函数的图像、单调性和反函数等联系起来，这样又可以得到许多重要的性质．3.2 在导学达标中突破难点难点在客观上表现为学生对所学某知识的不理解，不会应用，不会分析等．在理论上表现为思维障碍，缺乏中间事物或事件将起点和结果联系起来．突破难点，就是将每级思维的中间事物或事件转化为前级思维的结果，将高级思维解析为低级思维，达到化难为易，逐步引导学生达标．遵循教学的循序渐进原则，而不是直接给出结果，让学生死记硬背．如难点属三级思维，则可化分为几个一级或二级思维来解决．3.3 有利于进行层次（思维）教学文[1~6]都大同小异给出了知识教学分层次性；例习题教学分层次性；章节教学分层次性；复习教学分层次性等．实际上对每一种教学层次的化分，就是思维层次相应层级的反映．又如根据学生的思维层次，对数学问题进行适当的搭配和组合，可以形成再现性题组、巩固性题组、掌握性题组、创造性题组等，分别对应于一、二、三、四级及以上的思维层次．这样对搞好习题教学和复习教学是非常有利的．3.4 能发现思维能力强的学生用思维层次观去分析学生就是说不能只看学生做题的结果（成绩），要分析学生的做题过程，思维方式，思维层次．由此可发现数学思维能力较强的学生．3.5 给命题考试提供理论依据目前，我国的中考、高考试题的稳定性、科学性、新颖性都是较好的，但还存在思维能力方面的目标层次不够明确，试题难度、梯度处理得不够好，有些试题的难度标准掌握得不好，甚至有超纲现象．我们认为，命题应当将思维层次目标纳入双向细目表，会增强下面的有利因素．（1）增强水平测试，选拔测试，数学竞赛试题的功能．（2）有利于从理论上预测试题的难度、区分度等．（3）有利于引导学校重视学生的素质教育，让命题工作发挥出使应试教育向素质教育转变的导向作用．4 用思维层次观指导教学应注意的几个问题用思维层次观指导的教学与将学生分层次进行教学是不同的．我们反对把学生按思维层次分类，进行所谓的“因材施教”，造成学生心灵上的伤害．主张研究如何把概念理解、知识掌握、例习题分析、问题解决等，按思维层次结构进行层次设计，使每一个学生经历由浅入深、由易到难、由具体到抽象的探索过程．这样层层递进，环环相扣，符合学生的认识规律，增加了知识的反馈频率，给学生较多的校正和补偿的机会，能有效地调动学生学习的主动性，使学生的思维能力在原有的基础上都有所发展，逐渐提升到同一平台，最终达到“共同富裕”的目的．由于思维层次观注重思维的层次性，因而在教学中应充分暴露学生的思维过程．让学生参与揭示知识的发生过程，让学生参与例习题分析的全过程，让学生参与数学思想方法总结的全过程．要给学生时间和机会讲出解决问题的各种想法和思路，哪怕思路受阻或是错误的，也要让学生暴露出受阻或错误的原因，决不允许教师一言堂或直接给出结果．用思维层次观进行的数学教学中的层次设计，是使学生的思维不断深入的基本保证．但要设计合理的思维跨度，应根据所教内容的不同和学生的实际情况．有时可以缩小思维跨度，有时需要适当增大思维跨度，有时先以较大的思维跨度引入，再逐步减小思维跨度等．总之，要根据不同的教学内容和学生的思维状态，灵活设计数学教学中的层次．这样以学生和教材的实际为起点进行层次教学，由近及远，逐步引向深入，学生、教师和教学内容3者达到“和谐共振”的佳境，从中训练和培养学生的思维能力．［参考文献］[1] 黄光荣．问题链方法与数学思维[J]．数学教育学报，2003，12（2）：35–37．[2] 耿玉明．思维程序教学法与学生素质的培养[J]．中学数学，2000，（7）：9−11．[3] 梁学友，戴宇．当前我国中小学数学教师教学思维模式初探[J]．数学教育学报，2002，11（3）：75．[4] 涂荣豹，陈嫣．数学学习中的概括[J]．数学教育学报，2004，13（1）：17−20．[5] 张晓贵．论数学教育中的“简单化”[J]．数学教育学报，2003，12（3）：18．[6] 涂荣豹，宁连华．论数学活动的过程知识[J]．数学教育学报，2002，11（2）：9–13．On Structure of Thinking Levels in Mathematics TeachingZHANG Xiao-bin(Mathematics Teaching and Research Office, Chongqing Education and Science Institute, Chongqing 400015, China) Abstract: The main factors which affect thinking levels were: quickness of thinking, width of thinking, soaring of thinking levels and the teachers’ thinking skills. Thinking levels, which could be classified as level 1, 2, 3, 4 and upper, were the division ofthinking depth, which students could reach. Higher thinking level usually comprised the higher one. Every thinking level was decided by the middle affiliation of alternatives or times of occurrences. Thinking levels were not always the same as questionlevels. The level of the same questions a constant, while the thinking level of students was a variable. Concepts of thinking levelsprovided theoretic bases for teaching of mathematics, nurturing of abilities, discovery of talented people, paper-setting of examinations, evaluation of teaching and so on.Key words: mathematics teaching; thinking levels; view on thinking levels; structure[责任编校：陈汉君]。
