数电第二章 第二讲

L AC ( B B) AB(C C ) = ABC ABC ABC ABC = m7 +m5 +m3 +m 2
填写卡诺图：
例3.8 用卡诺图表示逻辑函数
解： 填写卡诺图：
L AC AB
3） 逻辑函数的卡诺图化简法
① 化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。 ②卡诺图化简逻辑函数的原理
（2）圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。 （3）卡诺图中所有的 1 都必须圈到， 不能合并的 1 必须单 独画 圈。 （4）取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新 画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈 是多余的。
④ 化简步骤：
（1）画出逻辑函数的卡诺图。
Y2 CD AB 00 01 11 0 0 00 1 0 0 01 1 11 1 1 1 10 1 1 1
10 1 1
1 1
Y2 = AD =A+D
4）具有无关项的逻辑函数及其化简
无关项： 真值表内对应于某些变量组合，函数值可以是任意的。 或者说，这些变量组合根本不会出现，则这些变量组合对应 的最小项称为无关项，也称任意项。所谓任意项就是，其取 值是任意的，可取“1”，也可取“0”。
化简时可根据需要视为“1” 也 可视为“0”，使函数化到最
2、卡诺图化简法 1)卡诺图
将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑 相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列起来。
①
逻辑相邻最小项
如果两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小项为 逻辑相邻，简称相邻项。
例如： 与AB 逻辑相邻的项有： AB 、AB
与ABC逻辑相临的项有：ABC、ABC、ABC
YD 0 ABC 000 m0 001 011 010 110 111
1
Y CD AB 00 00 m0 01 11
10
01
11
10
m4 m12 m8
m1 m5 m13 m9
m3 m7 m15 m11
m2 m6 m14 m10
101
100
m2 m6 m4 m12 m14 m10 m8
m1 m3 m7 m5 m13 m15 m11 m9
1
1 1

对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0 1
④ 最小项表达式
一个全以最小项组成的“与或”式逻辑函数就是最小项表达式。 例如： F F ( A, B, C ) ABC ABC ABC ABC
※代数法化简在使用中遇到的困难： 1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程 要求对所有公式熟练掌握； 2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于 人的经验和灵活性； 3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对 代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断 有一定困难。 所以，介绍另一种方法---卡诺图化简法。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。
化简后电路简单、可靠性高
1、代数化简法（公式化简法）
方法： 并项法: 代数化简法： A A 1 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 吸收法： A + AB = A
L A B C A B C A B (C C ) A B
消去法：
L A B A BCD( E F ) A B A AB A B L AB A C B C AB ( A B )C A B AB A+AB=A+B AB ABC AB C
1
1 1
例3.12：用卡诺图化简逻辑函数 F AD AB D ABC D ABC D F CD 00 AB 1 00 01 11 10 0 0 1
01 0 0
11
10 1 0
0
0 1 1
1
1
0
1
F AD BD
例3.13：用圈 0 法化简Y2。
解：若卡诺图中1的数目远远 大于0的数目，可用圈 0 的方法。 Y2 = AD
2）最大项及最大项表达式
见课本P36－37自学
六、逻辑函数的变换与化简
一、常见的几种逻辑函数表达式
L A C D AC D AD
L AC CD
L ( A C)(C D)
“与或” “与或” “或与” “与非—与非” “与非－或非” “或非—或非” “与或非”
L ACCD
Y2 CD AB 00 01 0 00 1 0 01 1 11 1 1 10 1 1
11 0 0
10 1 1 1 1
Y2 = A + D 此例说明，为了使化简结果 最简，可以重复利用最小项。 Y2 CD AB 00 01 0 00 1 0 01 1 11 1 1 10 1 1
1 1
11 0 0 1
10 1 1
C 1 CD 1 B 1 1 BC
2个相邻的最小项合并
C 1 C 1 1 A 1 1 D 1 1 1 1 1 1
4个相邻的最小项合并
B 1
B
8个相邻的最小项合并
图2.3.4 2、4、8相邻最小项的合并
总之，2 个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为1 项。
③ 化简原则：
（1）圈要尽可能大，这样消去的变量就多。但每个圈内只能 含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性 和四角相邻性。
L AC CD
L ( A C ) (C D)
L AC C D
二、逻辑函数变换的意义
与非-与非式
L ACCD
或非-或非式
L (A C) (C D)
“与非－或非”
L AC CD
三、逻辑函数的化简
A
(A B) ≥1
1 B
L (A B)B B BC
处理方法：
1、填卡诺图时，在对应的方格内填任意符号“×”。 2、化简时根据需要可将“×”视为“1”，也可视为“0”。
含无关项的逻辑函数化简举例
例 试用卡诺图化简逻辑函数
L m(5,6,7,8,9) d (10,11,12,13,14,15)
1、画出逻辑函数的卡诺图 2、化简逻辑函数
CD AB 00 01 11 10 00 0 0 × 1 01 0 1 × 1 11 0 1 × × 10 0 1 × ×
& (A B)B ≥1 L
L AB BB B BC
B
L B(A 1) BC
L B BC
L BC
& C
BC
B
1 ≥1 L=B+C
C
最简的 “与或”表达式： ① 相与项（即乘积项）的个数最少； （门的个数少） ② 每个相与项中，所含的变量个数最少 （门的输入端少）。
ABC 000 0 m0
ABC 001 1 m1
ABC 010 2 m2
ABC 011 3 m3
ABC 100 4 m4
ABC ABC 101 5 m5 110 6 m6
ABC 111 7 m7
③ 最小项的基本性质
三个变量的所有最小项的真值表 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
A
B
C
A B C A B C A BC A BC AB C AB C ABC ABC
如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以消去 互为反变量的那个量，合并为一项。
②卡诺图的结构
卡诺图——逻辑函数的图形表示法。 将一个逻辑函数最小项表达式中的各最小项相应地填入 一个特定的方格图内，此方格图就称为卡诺图。
Y= F（A、B）
Y A 0 1 B 0 1
Y AB 00
01
11
10
AB AB AB AB Y AB 00 01 11 10
= m 2 +m 3 +m 6 +m 7 = m(2,3,6,7)
而
F F ( A, B, C ) A BC ABC
则不是最小项表达式。
？如何将非最小项表达式变成最小项表达式 ？ 方法：① 逻辑函数
例如：
真值表
最小项表达式
F F ( A, B) AB A
②
配项法： B B 1
n变量构成的全部最小项共有2n 个。 例如： 2个变量： 而 AA 3个变量： ABC 而 AB
AB
A
AB
AB
AB
A B 则不是最小项
ABC
ABC
ABC.......
A(B C)
AAC 则不是最小项
② 最小项的编号
为了叙述和书写方便，常用“mi”来表示最小项。
规定： 下标“i”的值
为原变量取1、反变量取0时得到的二进制数所对应的十进制的值。 例如：三变量的全部最小项的编号：
（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。
（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项， 规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用 反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻 辑加，即得最简与—或表达式。
例3.9 将Y2=Σ (m0 m2 m4 m6 m8 ~ m15 )化简为最简与或式。
图2.3.3 四变量卡诺图
2）用卡诺图表示逻辑函数
逻辑函数等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。
①把逻辑函数化为最小项之和的形式。
②将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格 中填 1，其余方格中填 0。