第三章第1课时3.1.1两角和与差的余弦 教案 江苏省启东中学 高中数学 必修四

《两角和与差的余弦》教学设计基于课堂演示型课件的教学媒体设计教学过程结构设计课题：两角和与差的余弦开始4JT组织观察课件1，温故知新观察周期运动的叠加（课件2）,质疑发现特例，引导探索一般规律，引出课题求值问题讲解, 黑板板书课堂小结教学过程设计详案［提问］点C在兀轴方向上是怎样运动的，是周期运动吗？可以用什么函数来刻画？题、讨论交流、总结并回答:点C在x轴方向的运动可以用三角函数来刻画，想，培养学生的观察能力及探究问题的能力［板书］点C 的坐标(cos x - sin x, cos x + sin x)cos x-— kV2sin4x -----4 \\))［提问］上述结果说明了什么？应该如何解读它?［提问］两个结果的形式不同，说明了什么？［板书］COS"®可以恒等变形为屁。

牛+ =即cosx-sinx = V2cos x + —,也可以把后者看成I 4丿是cos兀与sin x相加的结杲［陈述］对三角函数进行恒等变换是一种有用的变换，它是对三角函数研究的继续和深入，也是本章学习的内容［追问］(7l\ COS兀——I 4丿J7 J5也可以变换成——cos兀------- sin% ,2 2即cosV2 V2 . =——cos x ------ sin x2 2［追问］上式中两角差的余弦可以用两角的正余弦值表达，一般的，COS（Q±0）能否用0,0的三角函数来表示？引出课题［板书］引出课题引导学生分析运动背后的数学知识帮助学生将总结的结论顺利转化为数学语—倾听、思考、领悟、体会设计这样的引入承接了上一章对周期性变化进行研究的主题，突出三角函数刻画周期性变化的数学模型这一本质，它可以使学生体会到三角变换不仅仅是形式上的变换，而且是对三角函数研究的继续和深化，是在对周期性变化的研究中不可或缺的工具向量方法的立足点是：向量具有多种表示形式，因此就可以在不同的知识领域建立联系，上面的推导过程的实质就是用数量积的不同表达形式，沟通了不同的三角式中的联系；②向量和三角函数都是形数结合的数学模型，它们都可以把方向“数量化”，向量的夹角公式就起了这样的作用；③向量证法的关键是构造辅助向量，这是止确使用向量方法的关键，［展示］学生探索成果［板书］公式［追问］该公式对任意都成立吗?［分析］教师分析［讨论1］请用特殊角分别代替公式中a、B,你能求哪些非特殊角的值呢？(选择的特殊角：30。

第一课时 两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：Ⅰ.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?Ⅱ.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos （α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α）、P 2（cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a ＝OP 1→＝（cos α，sin α），b ＝OP 2→＝（cos β，sin β），则：a ·b ＝︱a ︱︱b ︱cos （α－β）＝cos （α－β）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β所以：cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β （C （α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos ［α－（－β）］＝cos αcos （－β）－sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β （C （α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值.即：cos15°＝cos （45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22·32＋22·12 ＝6＋24或：cos15°＝cos （60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝12 ·22＋32·22＝6＋24请同学们将此公式中的α用π2 代替，看可得到什么新的结果? cos （π2 －α）＝cos π2 cos α＋sin π2sin α＝sin α 即：cos （π2－α）＝sin α 再将此式中的α用π2－α代替，看可得到什么新的结果. cos ［π2 －（π2 －α）］＝cos α＝sin （π2－α）即：sin （π2 －α）＝cos α Ⅲ.课堂练习①cos（45°＋30°）②cos105°解：①cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22·32－22·12 ＝6－22②cos105°＝cos （60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12 ·22－32·22＝2－62αcos β＝－34，cos （α＋β）＝－1，求sin αsin β.解：由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β得：sin αsin β＝cos αcos β－cos （α＋β）将cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1代入上式可得：sin αsin β＝143.求cos23°cos22°－sin23°sin22°的值.解：cos23°cos22°－sin23°sin22°＝cos （23°＋22°）＝cos45°＝22 P (－3，4)在角α终边上，点Q （－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值. 解：由点P （－3，4）为角α终边上一点；点Q （－1，－2)为角β终边上一点，得：cos α＝－35 ，sin α＝45 ；cos β＝－255，sin β＝－55. ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－35 ）×（－255）－45 ×（－55）＝2555.已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113，求：tan α·tan β的值. 解：由已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113可得：cos （α－β）＋cos （α＋β）＝1213 －113 ＝1113即：2cos αcos β＝1113 ①cos （α－β）－cos （α＋β）＝1即：2sin αsin β＝1 ②由②÷①得2sin αsin β2cos αcos β ＝tan α·tan β＝1311∴tan α·tan β的值为1311 .α－cos β＝12 ，sin α－sin β＝－13 ，求：cos （α－β）的值.解：由已知cos α－cos β＝12得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14 ①由sin α－sin β＝－13得：sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19 ②由①＋②得：2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1336即：2－2cos （α－β）＝1336∴cos（α－β）＝5972Ⅳ.课时小结两公式的推导及应用.Ⅴ.课后作业课本P 96习题 1，2，3两角和与差的余弦1．下列命题中的假命题．．．是 （） α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βα和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βα和β，都有cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin βα和β值，使得cos （α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值.4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.5．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值.6．在△ABC中，已知sin A＝35，cos B＝513，求cos C的值.两角和与差的余弦答案1．B2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sin A·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π即：A＋B＝π－C由已知得cos A·cos B－sin A·sin B＞0，即：cos（A＋B）＞0∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0∴C一定为钝角∴△ABC一定为钝角三角形.3．已知sinα＋sinβ＝22，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.解：令cos α＋cos β＝x ，则得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝x ①sin α＋sin β＝22② ①2＋②2得2＋2cos(α－β)＝x 2＋12∴cos(α－β)＝2x 2－34∵|cos(α－β)|≤1， ∴|2x 2－34|≤1 解之得：－142≤x ≤142∴cos α＋cos β的最大值是142，最小值是－142. 4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.解：由已知：α∈（π4 ，3π4） ⇒－α∈（－3π4 ，－π4 ）⇒π4 －α∈（－π2 ，0） 又∵cos（π4 －α）＝35 ， ∴sin（π4 －α）＝－45由β∈（0，π4 ）⇒π4 ＋β∈（π4 ，π2） 又∵sin（5π4 ＋β）＝sin ［π＋（π4 ＋β）］＝－sin （π4 ＋β）＝－1213即sin （π4 ＋β）＝1213 ， ∴cos（π4 ＋β）＝513又（π4 ＋β）－（π4－α）＝α＋β ∴cos（α＋β）＝cos ［（π4 ＋β）－（π4－α）］ ＝cos （π4 ＋β）cos （π4 －α）＋sin （π4 ＋β）sin （π4－α） ＝513 ×35 ＋1213 ×（－45 ）＝－33655．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值. 解：∵0＜α·β＜π2 ，∴0＜α＋β＜π由cos （α＋β）＝－1665 ，得sin （α＋β）＝6365又∵cos α＝45 ，∴sin α＝35∴cos β＝cos ［（α＋β）－α］＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝（－1665 ）×45 ＋6365 ×35 ＝513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513，求cos C 的值. 分析：本题中角的限制X 围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sin A ＝35 ＜22知0°＜A ＜45°或135°＜A ＜180°， 又cos B ＝513 ＜12 ，∴60°＜B ＜90°，∴sin B ＝1213若135°＜A ＜180°则A ＋B ＞180°不可能.∴0°＜A ＜45°，即cos A ＝45. ∴cos C ＝－cos （A ＋B ）＝1665.。

3.1.1两角差的余弦公式汤阴一中张文霞【教材分析】《两角差的余弦公式》是普通高中实验教科书人教版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。

本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

【教学目标】知识与技能目标：理解两角差的余弦公式的推导过程及其结构特征并能灵活运用。

过程与方法目标：应用已学知识和方法思考问题，分析问题，解决问题的能力。

3．情感态度和价值观目标：通过公式推导引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识和学习数学的兴趣。

【教学重点】通过探索得到两角差的余弦公式以及公式的灵活运用【教学难点】两角差余弦公式的推导过程【学法】1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距【教学用具】多媒体【教学过程】【板书设计】3.1.1 两角差的余弦公式1.三角函数线法2.向量法例 1 变式训练例 2变式训练当堂训练1. 2.【教学反思】本节主要考察如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，回顾公式 C αβ-（） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、猜想、论证的数学化的过程）的理解。

§3.1.1 两角和与差的余弦(1)学习目标：⒈建立两角差的余弦公式，掌握两角差的余弦公式及其推导过程．⒉初步理解公式的结构及其功能，灵活掌握两角差的余弦公式的正用与逆用．教学重点：建立两角差的余弦公式．教学难点：探索两角差的余弦公式的证明方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：问题引入：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约）约为45 ．求这座为67米，从A观测电视发射塔的视角（CAB电视发射塔的高度．设电视发射塔高BC x =米，CAD α∠=，则30sin 67α=． 在Rt ADB ∆中，30tan(45)tan 30x αα++=，于是 30tan(45)30tan x αα+=- ．如果能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值，那么就能得出电视发射塔的高度了．能不能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45)α+ 表示出来呢？更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把αβ+或αβ-的三角函数值表示出来呢？本节课开始，我们就着手解决此类问题．（Ⅱ）讲授新课：问题1.请问cos cos αβ-和cos()αβ-相等吗？请举例说明．（举例说明cos cos αβ-和cos()αβ-不相等）．由α、β的具体取值我们可以看到，一般来说，cos()cos cos αβαβ-≠-．那么，应该如何用任意角α、β的正弦、余弦值来表示cos()αβ-呢？请同学们阅读课本P93的内容得到cos()αβ-与任意角α、β的正弦、余弦值的关系的方法并不唯一．事实上，我们在上一章课本P83第15题就已经得到了一个表达式：000000cos(7515)cos75cos15sin 75sin15-=+如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ= ．由向量数量积的定义，有 ||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-． 由向量数量积的坐标表示，有(cos ,sin )(cos ,sin )OA OB ααββ⋅=⋅cos cos sin sin αβαβ=+ 所以，cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+．问题 2.我们这里的角α、β是任意角，因此角αβ-也是任意角．你认为上述推导过程严密吗？哪里有问题呢？依据向量数量积的概念，角αβ-必须符合条件0αβπ≤-≤，因此只有在这个条件下上面的推导才是正确的．这就要求我们研究当αβ-是任意角时，以上的推导是否正确的问题．事实上，当αβ-是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角[0,2)θπ∈，使cos cos()θαβ=-．若[0,)θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ⋅==-； 若[,2)θππ∈，则2(0,]πθπ-∈，且cos(2)cos cos()OA OB πθθαβ⋅=-==-．于是，对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-．问题3.这个公式有什么用途呢？根据这个共识，我们只要知道了角α、β的正弦、余弦值，就可以求出cos()αβ-的值了．对于任意角α、β都有αβαβ+的余弦值之间的关系，称为和角的余弦公式，简记作()C αβ+．例1.(课本P94例1)解析:练习:例2.(课本P95例2)练习:例3.能!练习: (课时训练P74第5)答案:5.cos例4. (课时训练P73例3)已知锐角α、β满足10103cos ,55sin ==βα，求α＋β.分析: 本题考查两角和与差的余弦公式的应用和已知三角函数值求角的方法.在求角的过程中，要求值与判断角的范围相结合.解析:∵α、β为锐角且10103cos ,55sin ==βα 2210105510103552 sin sin cos cos )cos(10101091cos 1sin 552511sin 1cos 22=⋅-⋅=-=+∴=-=-==-=-=βαβαβαββαα 由0＜α＜2π，0＜β＜2π得 0＜α+β＜π 又cos （α＋β）＞0 ∴α＋β为锐角, ∴α＋β＝4π思考: 1.65sin 1211cos 611cos 1225sin ππππ-等于( ) A.-22 B.22 C.-sin 2π D.sin 12π 2. 若sin α·sin β＝1，则cos （α＋β）的值为( )A.0B.1 Ｃ.±1 Ｄ.－13.对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是（ ）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+答案:BDD. (特殊值法验证即可得!)（Ⅲ）课后练习：课本P95练习P96习题3.1（Ⅳ）课时小结:⑴三角变换的基本要求是：思维有序、表述条理．⑵三角变换中角的拆分的多样性，决定了变换的多样性．⑶三角公式的应用也具有多样性，要注意正勇、逆用、变形用．（Ⅴ）课后作业：⒈课本P96习题3.1(1) 1～7⒉预习课本P96～P97，思考下列问题：⑴怎样应用差角的余弦公式推导和角的余弦公式？⑵怎样进行一个角的正弦、余弦之间的转化？你能将两角和（差）的正弦转化为余弦吗？⑶怎样推导两角和（差）的正切公式？应用两角和（差）的正切公式需要些怎样的条件呢？⑷通过例题2的解答，你有些什么体会呢？板书设计：教学后记。

、45°、60°等特殊角的三角函数值，不查表如何求cosl5°的值呢?(1)cos75° =cos(2)cosl5° =cos+ 30° )cos （45°究这个问题。

（板书(45° +30° )与cos45° +cos30° 是否相等?(45° -30° )与cos45° —cos30° 是否相等?+ cos30° ,那么cos (45° +30° ) =?,今天我们就(45°+30° )（问题一）我们已经知道30° cos75° 、设问第三章三角恒等变换第1节两角和与差的余弦一、教学目的：1、知识与技能：（1）、理解两角和与差的余弦公式的推导过程；（2）、掌握两角和与差的余弦公式初步应用（公式的正用和逆用）；（3）、着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。

2、过程与方法：启发、讲练结合，合作交流，突破难点。

3、情感、态度与价值观：培养学生的探索与创新意识，激发学生学习兴趣，提高学生解题的灵活性。

二、教学过程：（一）问题情境（问题二）一般地，cos（a _ 0） Hcosa-cos0,那么cos（a - 0）能否用a与0的三角函数来表示呢？（问题三）设a = （cos a, sin a）, b = （cos0,sin0）, a 与》的夹角为&，那么 & = a - 0 吗？cos&= cos(a —0)吗？我们可以把cos（a - 0）看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。

（见书本93页）两角差的余弦公式：cos（庄_Q = cos mcosQ+sin处垃/因为G-0中Q Q可以是任意角，所以在2"中用_ ”代妙可以得公式：cos（m+Q =cos MOS严sin min 0 j ,这就是两角和的余弦公式。

案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，
进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
复习：1。

余弦的定义
在第一章三角函数的学习当中我们知道，。

3.1.1两角和与差的余弦【学习目标】1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明【课前准备】 一、基础知识【问题1】：二、疑难困惑你在预习过程中有哪些问题不能解决？请记录下来，供课堂学习过程中大家讨论。

【课堂学习】 一、重点难点重点: 两角和与差的余弦公式的推导及其应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导.二、知识结构I 、创设情景，揭示课题1．数轴两点间的距离公式：12M N x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==．II 、研探新知两角和的余弦公式的推导（向量法）：两角差的余弦公式: 【说明】：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

【思考】：“用β-代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？ 两角和的余弦公式:三、典型例题例1（教材92P 例1）利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式： （1）ααπsin )2cos(=-； （2）ααπcos )2sin(=-【小结】：例2（教材93P 例2）利用两角和（差）的余弦公式，求000015tan ,15sin ,15cos ,75cos 。

【举一反三】：求值：（1）0195cos （2）000036sin 54sin 36cos 54cos -【小结】：【思考】：你会求① cos105︒、②sin 075、③cos 015、④cos 5πcos103π-sin5πsin103π的值吗?例3（教材93P 例3）已知)23,(,53cos ),,2(,32sin ππββππαα∈-=∈=，求)cos(βα+的值【小结】： 【思考】：在上例中，你能求出)sin(βα+的值吗？ 【举一反三】： 1. 已知cos 53-=α , ),2(ππα∈,求cos )4(απ-的值.2. 已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.提示：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3. 已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π,求cos(α+β)的值四、反馈练习教材94P 练习第2题，第3题五、学法指导本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式()C αβ+的推导，能熟练运用()C αβ±公式，注意()C αβ±公式的逆用。

《3.1.1两角和与差的余弦》教学案●三维目标 1．知识与技能掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式． 教学方案设计●教学建议1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0＜α＜β＜π2探求出cos(α－β)的结果．2．关于公式C (α－β)证明的教学 教学时，建议教师：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式．●教学流程创设问题情境，引出问题：cos α－β＝cos α－cos β为什么错误？⇒引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)． OA →与OB →的夹角是α－β.2．你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3．根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.4．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？ 【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. cos(α＋β)＝cos__αcos_β－sin_αsin_β； cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 这两个公式分别记作C (α＋β)，C (α－β)．课堂互动探究运用公式求值例1 (1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°. 【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 规律方法1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．变式训练求下列各式的值：(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°. 【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.给值求值例2 设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值． 【思路探究】 由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦．只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围．用两角和与差的三角函数公式展开即得结论．【自主解答】 ∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. 又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．变式训练α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求角例3 已知α，β均为锐角，cos α＝1，sin(α＋β)＝53，求角β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值．再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴π2＜α＋β＜π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2， ∴β＝π3. 规律方法解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．互动探究将本题条件改为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，如何求β的值？ 【解】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得 sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3. 易错易误辨析忽略角的范围限制的隐含条件致误典例 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 【错解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角，∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22， 又∵α，β∈(0，π2)， ∴－π2＜α－β＜π2， ∴α－β＝π4或α－β＝－π4.【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系． 【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解．【正解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0. ∴α－β＝－π4.对公式C (α－β)的理解： (1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角．(2)公式C (α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加．当堂双基达标1．下列等式中，正确的个数为________． ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(π2＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；④cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 【解析】 由两角和与差的余弦公式可知②④正确． 【答案】 22．cos 105°＝________.【解析】 cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 【答案】2－643．计算：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝________.【解析】 原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝ cos 60°＝12. 【答案】 124．已知cos α＝－45，α∈(π，32π)，tan β＝－13，β∈(π2，π)，求cos(α＋β)． 【解】 ∵α∈(π，32π)，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵tan β＝－13，β∈(π2，π)， ∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010. 课后知能检测 一、填空题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】 322．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于________．35∴sin(α＋π3)＝35. cos α＝cos[(α＋π3)－π3] ＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】 4＋33103．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于________ 【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 344．已知sin α＝12，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解析】 cos(α－π4)＝cos α·22＋sin α·22＝32·22＋12·22＝6＋24. 【答案】6＋245．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32.【答案】 326．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________. 【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20° ＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3. 【答案】37．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.132∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226. 【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0. ∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝π2或－π2. 【答案】 ±π2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，若sin α＝35，求2cos(α＋34π)的值． 【解】 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴2cos(α＋34π)＝2(cos αcos 34π－sin αsin 34π)＝2(－cos αcos π4－sin αsin π4)＝－cos α－sin α＝45－35＝15.10．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25，∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. 【解】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a －b |＝255， ∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝35×1213－45×(－513)＝5665. 又0<α<π2，∴sin α＝1－cos 2α＝3365.教师备课资源备选例题在△ABC 中，若tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】 将切化成弦，变形后应用差角公式就可得到角A ，B ，C 之间的关系．【自主解答】 ∵tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，∴sin A cos A ＝cos B －cos Csin C －sin B ，∴sin A sin C －sin A sin B ＝cos A cos B －cos A cos C ，即cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos B ＋sin A sin B ，∴cos(A －C )＝cos(A －B )．∵0°＜A ，B ，C ＜180°，∴－180°＜A －C ＜180°，－180°＜A －B ＜180°，∴A －C ＝A －B 或A －C ＝－(A －B )，即B ＝C 或2A ＝B ＋C .若B ＝C ，则△ABC 为等腰三角形；若2A ＝B ＋C ，则2A ＝180°－A ， A ＝60°. 综上所述，△ABC 为等腰三角形或A ＝60°的三角形．规律方法 1．利用和、差角公式判断三角形的形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．2．记住常用结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tanC .备选变式在△ABC 中，已知tan A tan B ＜1，判断△ABC 的形状．【解】 ∵tan A tan B ＜1，∴sin A sin B cos A cos B ＜1，sin A sin B cos A cos B －1＜0，sin A sin B －cos A cos B cos A cos B＜0，－cos A ＋Bcos A cos B ＜0，cos Ccos A cos B ＜0，∴cos A ＜0或cos B ＜0或cos C ＜0，∴A 、B 、C 中有一个钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。