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第5节随机事件的概率考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.概率与频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A n为事件A出现的频率.(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝P (A ∪B )＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B ).1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1.( )(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.下列事件中，不是随机事件的是( )A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形B.经过有信号灯的路口，遇上红灯C.下周六是晴天D.一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上答案 A3.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10，40)的频率为()A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65答案 B解析由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，＝0.45.所以样本数据落在区间[10，40)的频率为9204.(易错题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件答案 C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.6.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(A∪B)＝________.答案2 3解析事件A为掷出向上为偶数点，所以P(A)＝12.事件B为掷出向上为3点，所以P(B)＝16，又事件A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝23.考点一随机事件的关系1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件答案 C解析显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.2.设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件.3.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________，互为对立事件的是________________.答案A与B，A与C，B与C，B与D B与D解析由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C，B与D也是互斥事件.综上可得，A与B，A与C，B与C，B与D都是互斥事件.在上述互斥事件中，再根据B，D还满足B∪D为必然事件，故B与D是对立事件.感悟提升判别互斥事件、对立事件要准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.考点二随机事件的频率与概率例1 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，＝0.4；甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100＝0.28.乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40＋25×20－5×20－75×20＝15.100由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28＋30×17＋0×34－70×21＝10.100比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.感悟提升 1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.训练1 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p＝44100＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60 L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.考点三互斥事件与对立事件的概率例2 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.感悟提升求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A－)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.训练2 (1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08(2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________.答案(1)C(2)5 6解析(1)记“抽检的产品是甲级品”为事件A，“乙级品”为事件B，“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.(2)乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率为1 2＋13＝56.1.下列说法正确的是()A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 答案 D解析 由概率的意义知D 正确.2.设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件答案 B解析 因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件.3.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( ) A.0.9 B.0.3 C.0.6 D.0.4答案 D解析 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A ，则事件A 的对立事件A －是“该射手在一次射击中不小于8环”.∵事件A －包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的， ∴P (A －)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P (A )＝1－P (A －)＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.4.(2021·太原模拟)已知随机事件A 和B 互斥，且P (A ∪B )＝0.7，P (B )＝0.2，则P (A －)＝( )A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案 A解析 ∵随机事件A 和B 互斥，且P (A ∪B )＝0.7，P (B )＝0.2，∴P (A )＝P (A ∪B )－P (B )＝0.7－0.2＝0.5，∴P (A －)＝1－P (A )＝1－0.5＝0.5.5.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.17 B.1235 C.1735 D.1 答案 C解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ， 则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥. 由于P (A )＝17，P (B )＝1235.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.6.设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A －，B －，则下列说法正确的是( )A.A 与B －互斥B.A －与B －互斥C.P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D.P (A －＋B －)＝1 答案 C解析 根据互斥事件的定义可知，A 与B －，A －与B －都有可能同时发生，所以A 与B －互斥，A －与B －互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A －与B －既不一定互斥，也不一定对立，所以D 项错误.故选C.7.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( ) A.15% B.20% C.45% D.65%答案 D解析 因为某地区居民血型的分布为O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%，现在能为A 型病人输血的有O 型和A 型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.8.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56答案 C解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13，因为B －表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A 与B －互斥，从而P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23.9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人. 答案 6 912解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人).10.口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A ＝“取出的两个球同色”，B ＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C ＝“取出的两个球至少有一个白球”，D ＝“取出的两个球不同色”，E ＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ∪E )＝1.答案①④解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确.11.某城市2021年的空气质量状况如表所示：污染指数T 3060100110130140概率p 1101613730215130其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________.答案3 5解析由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为p＝110＋16＋13＝35.12.据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________.答案0.9解析法一记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D，而事件D包含事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.法二记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知C与D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.13.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A.10名 B.18名 C.24名D.32名答案 B解析 由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即第二天确保完成新订单1 600份，减去超市每天能完成的1 200份，加上积压的500份，共有1 600－1 200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名). 14.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 答案 D解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0<P （A ）<1，0<P （B ）<1，P （A ）＋P （B ）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得54<a ≤43. 15.(2022·太原调研)一个袋子中装有7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意摸取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.答案 815 1415解析 由于“取得两个同色玻璃球”包含“取得两个红玻璃球”和“取得两个绿玻璃球”，故取得两个同色玻璃球的概率为715＋115＝815.由于事件“至少取得一个红玻璃球”与事件“取得两个绿玻璃球”是对立事件，故至少取得一个红玻璃球的概率为1－115＝1415.16.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，则：(1)该队员只属于一支球队的概率为________； (2)该队员最多属于两支球队的概率为________. 答案 (1)35 (2)910解析 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A ，B ，C .由图知3支球队共有球员20名，则P (A )＝520，P (B )＝320，P (C )＝420. (1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D . 则D ＝A ＋B ＋C ，因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝520＋320＋420＝35.(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E ，则E －为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P (E )＝1－P (E －)＝1－220＝910.。
