初中九年级数学下册小专题七与圆的切线有关的计算与证明作业课件

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初三年级数学学科
与圆的切线有关的证明（上）
一、据已知条件证切线
温习梳理
1、切线的定义:直线和圆有且只有1个公共点时，这条 直线叫圆的切线。
2、切线的性质:圆的切线 垂直 于过切点的半径。 3、切线的判定:
⑴和圆只有 一个公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离等于 半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且 垂直 于这条半径的直线是圆的
(2)解：如图所示，连接BM，OD.
∴∠ODB＝∠OBD.
由(1)得AD＝CD.
∵∠OBD＝∠ABD，
又∵AD＝CM，
∴∠ODB＝∠ABD.
∴CD＝CM，∠DBC＝∠MBC＝∠MDC. ∴OD∥AB.
∵DM⊥BC，
∵BE⊥DE，
∴∠DBC＋∠BDM＝90°.
∴OD⊥DE.
∴∠MDC＋∠BDM＝90°，即∠BDC＝90°∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的直径.
∴DE与⊙O相切.
∴OD＝OB，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1.
作业答案
2.已知：如图，AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线.
求证: AC∥BD
证明：
A
C
∵AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线
O
∴∠CAB＝∠DBA= 90°
∴∠CAB+∠DBA= 180° ∴AC∥BD
∴ PB是⊙O的切线．
3．如图，在 Rt△ ABC 中， C 90 ，AE 是△ ABC 的角平分线. AE 的垂直平分线交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O， 交 AB 于点 F.
求证：BC 是⊙O 的切线.
证明：连接 OE. ∵ AE 的垂直平分线交 AB 于点 O， ∴ OA=OE.

AD 和 过 C 点 切 线 互 相 垂 直 ， 垂 足 为 D.
求证:AC平分∠DAB
证明: 连结OC ∵CD是⊙O的切线∴OC⊥CD 又∵CD⊥AD∴OC∥AD ∴∠1=∠3
D
C
13
2
A
O
B
又∵OA=OC
∴∠2=∠3 ∴ ∠1=∠2 即AC平分∠DAB
小提示：连结圆心与切点是作辅 助线常用的方法之一.
完,AB为⊙O的直径, C为⊙O 上一点,AD⊥CD,AC平分∠DAB.
求证: CD是⊙O的切线
变式2 如图,AB为⊙O的直径, AC平 A 分∠DAB ,CD是⊙O的切线.
求证: AD⊥CD
D
C
13 2
O
B
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6
变式导练
已 知 : 如 图 , AB 是 ⊙ O 的 直 径,⊙O过BE的中点C,CD⊥AE.
圆的切线（习题课）
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1
圆的切线(习题)
诊断补偿
范例提炼
范例变式
变式导练
能力提高
交流评价
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2
诊断补偿
B
1.如图, AB是⊙O的直径,∠ABC=45°,
AB=AC,AC是⊙O的切线吗?为什么？
O
C
A
２.如图,Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3cm， B
BC=4cm,以点C为圆心,2.4cm为半径的圆与
AB有怎样的位置关系?
C
A
３.如图,AB为直径,AC为切线,且BD=DC, 求∠BAD多少?
B
D
O
C
A
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3
切线的性质
❖圆的切线垂直于过切点的直径

4以等腰直角三角形斜边的中点为圆心直角边的一14小结根据判定定理3根据例1圆心到直线的距离等于半径添辅助线的方法连接圆心与交点过圆心作直线的垂线段1已知直线与圆有交点2没有明确的公共点151
【初中数学课件】圆的切线ppt课件
当直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。
O
其中的直线叫做圆的切线。
A
证明：作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D 设小圆的半径为r。
(
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴OD＝OE
又∵AB与大圆相切， ∴OD＝r，∴OE＝r
故由切线判定定理知，AC为小圆切线。
练习1 已知点B在⊙O上。根据下列条件， 能否判定直线AB和⊙O相切？
（1）OB=7，AO=12，AB=5；
（2） ∠O=68.5°， ∠A=21.5°;
∴AB＝10 根据三角形面积公式有：AB·OC＝OA·OB ∴OC＝ 4(cm)，OC是⊙O的半径。 直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于
半径OC所 以AB与 ⊙O相切。
题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半 径”，即可得直线与圆相切。
例4:当圆心到直线的距离等于圆的半径 时，该直线是这个圆的切线
l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
OD是⊙O的半径 OD⊥l于D
l是⊙O的切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和 “垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线 不是圆的切线：
关于切线的判定问题，常见类型 有：
如图，求证：DE是⊙O的切线。
动画演示
分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，

(1)证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°. ∵OA＝OC，∴∠AOC＝60°.∵AF 是⊙O 的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠AFC＝30°. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠DBC＝90°，∴∠D＝∠AFC＝30°，∴∠DAE＝∠ACF＝ 120°，∴△ACF∽△EAD． (2)∵∠ACO＝∠AFC＋∠CAF＝30°＋∠CAF＝60°，∴ ∠CAF＝30°，∴∠CAF＝∠AFC，∠BEA＝30°，∴AC＝CF，∴OC＝CF.∵S△AOC ＝ 43，∴S△ACF＝ 43.∵∠ABC＝∠AFC＝30°，∴AB＝AF.∵在 Rt△ABD 中，∠D＝ 30°，∴AB＝12BD，∴AF＝12BD．∵∠AOC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠BAE＝30°＝∠ BEA，∴AB＝BE＝AF，∴DAFE＝13.
• 5．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB
交⊙M于点C．
• (1)若点A(0,6)、N(0,2)，∠ABN＝30°，求 点B的坐标；
• (2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是 ⊙M的切线．
(1)解：∵A(0,6)、N(0,2)，∴AN＝4.∵NB∥x 轴，∴∠ANB＝90°.∵∠ABN＝30°， ∴AB＝2AN＝8，∴NB＝ AB2－AN2＝4 3，∴B(4 3，2)．
• 证明：连接OC，设AP与CD交于点E.∵OC ＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. ∵∠ODC＝∠P， ∴∠OCD＝∠P.∵CD⊥AB，∴∠PEC＝ 90°，∴∠P＋∠PCE＝90°，∴∠OCD＋ ∠PCE＝90°，即∠OCP＝90°.∵OC是 ⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
3．【2019·江苏盐城中考】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB， 垂足为点 E.

(2)∵∠BAE＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE， ∴∠BAE＝∠DBE. 又∵∠AEB＝∠BED，∴△ABE∽△BDE. ∴DBEE＝ABEE.∴BE2＝AE·DE＝ab. ∴BE＝ ab.
5．(2018·河南)如图，AB 是⊙O 的直径，DO⊥AB 于点 O，连结 DA 交⊙O 于点 C，过点 C 作⊙O 的切线交 DO 于点 E，连结 BC 交 DO 于点 F.
数学 九年级 下册 （华师）
第27章 圆
小专题（十二） 与切线有关的计算与证明
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的 延长线相交于点E，∠ADC＝60°.
(1)求证：△ADE是等腰三角形； (2)若AD＝2 3，求BE的长．
解：(1)证明：连结OD. ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD.∴∠ODC＝90°. ∵∠ADC＝60°，∴∠ODA＝30°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°. ∴∠E＝∠ADC－∠EAD＝60°－30°＝30°＝∠EAD. ∴DA＝DE. ∴△ADE是等腰三角形．
(1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，CE＝2，求EF的长．
解：(1)证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAF＋∠FAC＝90°. ∵∠D＝∠BAF，∠AOD＝∠FAC， ∴∠D＋∠AOD＝90°. ∴∠OAD＝90°. 又∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线．
(2)连结BF， ∵∠FAC＝∠AOD，∠ACE＝∠OCA，∴△ACE∽△OCA. ∴OACC＝OAAE＝CCAE，即A5C＝A5E＝C2A. ∴AC＝AE＝ 10. ∵∠CAE＝∠CBF，∠AEC＝∠BEF， ∴△ACE∽△BFE. ∴ABEE＝CEEF，即 810＝E2F.∴EF＝8 510.

(2)若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．
1证．明∴(盐：城∠连中接O考OM)A如，E图过，＝点⊙O∠O作是OO△N⊥AEBCACD的于. 又外点接N∵，圆∵，A四ACB边是是形⊙AO⊙B的CD直O是径的正，方∠切形D，C线A∴＝A，∠C平B∴.分∠∠BCCD.AE ＋ ∠ OAE ＝ ∠ CAB ＝ 解解：：9((011))°证证明明∴：：连连∠接接AOACEE，，DO∵E＋O，A∵＝∠AOBCO是，⊙ECEOA＝的＝D直E径，9，∴0∴∠°∠A＝A，E∠BA即＝C∠O∠，AE∠CDD＝CE9E0O＝°∠.＝D.90° ， ∴ OE⊥DE ， ∴ DE 是
(1)证明：过O作OH⊥AB于点H，∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
又证∵明O：D连⊥接AOBM，，(∴2过∠)点∵D＋O作F∠AOAN＝，⊥90CF°D于D，点∴是N∠，A⊙∵CO四O＋边∠形的DACBE切C＝D9线是0°正，，方∴形∴∠，OF∴CGAE＝C＝平90分°F∠，EB∴.C设DOC. ⊥FCGE，＝∴直F线EC＝E是x⊙，O的∴切线OD
数学
九年级下册
第三章 圆
北师版 专题训练(七) 圆的切线的证明的两种类型
1 ． (盐 城 中 考 ) 如 图 ， ⊙ O 是 △ ABC 的 外 接 圆 ， AB是 ⊙ O 的 直 径 ， ∠DCA＝∠B.
(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角 形．
(2)连接 BC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB.
又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADO，∴OACA
＝AADB
，∴23 3AD－AC＝5
3．(湘西州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O 于点E.

l
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7
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r 求证：直线l是⊙O的切线
证明：过点O作OA ⊥l，A为垂足。
O.
OA=d=r
点A在⊙O上
A
l
OA是⊙O的半径 l是⊙O的切线
定理：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直 线是这个圆的切线。
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8
一 判断题
1、经过半径外端的直线是圆的切线。( ╳ )
2、利用切线的判定定理
O
A
l
3、利用例1 证明圆心到直线的距离等于半径
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10
练习一
1、如图，已知点B在⊙O上，根据下列条件，能 否判定直线AB和⊙O相切？
（1）OB=7，AO=12，AB=5；
B
（2）∠O=68.5º，∠A=21º30′；
（3）tgA= 3 3
O
A
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11
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交
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16
5、Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30º，延长斜边AB到D， 使BD等于⊙O的半径，求证：DC是⊙O的切线。
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
30º
O
B
D
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17
6、如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，PC=OC过 ⊙O上一点A，作弦AB⊥CO，垂足为E，∠1=∠2，求证： PA是⊙O的切线。
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B
EC
O
D
l
几何语言
OD是⊙O的半径
OD⊥l于D
2.与半径垂直
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
l是⊙O的切线

与圆的切线有关的证明与计算
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复习提问 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的判定定理： 经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
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类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【例题原型】
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为___1___.
或者“作垂直，证半径”．
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【中考变形】 1．[6·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上
(异于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
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图Z12－5
解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
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∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理，得AC＝4；
(2)证明：如答图，连结OC，
∵AC是∠DAB的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC，
中考变形1答图
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又∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠DCA＝∠CBA， 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC＋∠OBC＝90°， ∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°， ∴直线CD是⊙O的切线．
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【解析】 如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 例题原型答图 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的 半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半 径垂直.

【专题概述】切线的性质和判定是中考的一个必考考点．主要考查切线的 证明，证明的方法有两种：①有切点，连半径，证垂直；②无切点，作垂 直，证半径．
有切点，连半径，证垂直 1．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连接 PA、 PB、AB，已知∠PBA＝∠C.求证：PB 是⊙O 的切线．
证明：连接 OB.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝ 90°.∵OA＝OB.∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C.∴∠PBA＋∠OBA＝∠C ＋∠BAC＝90°，即 PB⊥OB.又∵OB 是⊙O 的半径，∴PB 是⊙O 的切线．
2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD⊥CD， 垂足为点 D，连接 BC，BC 平分∠ABD.求证：CD 为⊙O 的切线．
证明：作 OM⊥CD 于 M，∵AD∥BC，∠C＝90°，OM⊥CD， ∴OM∥AD∥BC.∵O 为 AB 的中点，∴OM＝12(AD＋BC)＝12AB，∴OM 为 ⊙O 的半径，∵OM⊥CD，∴CD 为⊙O 的切线．
5．如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半 径的⊙O 与 BC 相切于点 M，与 AB、AD 分别相交于点 E、F.求证：CD 与 ⊙O 相切．
证明：连接 OD.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝ ∠DFC＝90°.又∵OD 是⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线．
无切点，作垂直，证半径 4．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＋BC＝AB，以 AB 为直径作⊙O，OB＝12AB·OE＝12OB·AO，∴OE＝OBA·BAO＝83 5，即