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第三章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器设计

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无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计方法MATLAB

无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计方法MATLAB

数字信号处理实验指导实验四、 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法（一） 实验目的加深对无限冲激响应（ IIR ）数字滤波器的常用指标和设计过程的理解。

（二） 实验内容常用函数介绍：1、Matlab 信号处理工具箱中提供了设计巴特沃思模拟滤波器的函数buttord 、buttap 和butter ，格式如下：（1）[,](,,,,C P S P S N W buttord W W R R s ='')用于计算巴特沃思模拟低通滤波器的阶N 和3dB 截止频率Wc (即本书中的符号c Ω)。

其中，Wp 和Ws 分别是滤波器的通带截止频率p Ω和阻止截止频率s Ω，单位为rad/s ；Rp 和Rs 分别是通带最大衰减系数p α和阻带最小衰减系数s α，单位为dB 。

（2）[,,]()z p G buttap N =用于计算N 阶巴特沃思归一化（c Ω=1）模拟低通滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N 的向量z 和p 分别给出N 个零点和极点，G 是滤波器增益。

得到的滤波器系统函数形式如下：1212()()()()()()()()()a N a a N Q s s z s z s z H s G P s s p s p s p ---==--- 其中，k z 和k p 分别是向量z 和p 的第k 个元素。

如果要从零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B 和A ，可以调用结构转换函数（3）[,]2(,,)B A zp tf z p G =，结构转换后系统函数的形式为111111()()()M M M a N N Nb s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 其中，M 是向量B 的长度，N 是向量A 的长度，k k b a 和分别是向量B 和A 的第k 个元素。

（3）[,](,,,)C B A butter N W ftype s =''''用于计算巴特沃思模拟滤波器系统函数中分子和分母多项式系数向量B 和A ，其中N 和C W 分别是滤波器的阶和3dB 截止频率c Ω，返回向量B 和A 中的元素k a 和k b 分别是上面的()a H s 表示式中的分母和分子系数。

第3章无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计第四节-26页精选文档

第3章无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计第四节-26页精选文档
0~~0 0~0~0
0 ~ ， ~
的变化范围为 2 ,故 N=2
又 g(1)=1, 所以，全通函数取正号。
由以上分析得变换关系：
u1g(z1)rz2z22r1rz1z1 1r21
（1）
或
ej re2e2j2jr1er1ejjr21
确定 ：
把变换关系 c c 带入（2）式 ，有：
ejc 1ejcejc
得
sin 式的 ~ 频率关系，如图1(b)
LP-LP频率变换
c c
图1(b) LP-LP频率变换特性
§3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换 （Z平面变换法）
上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方 法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行。
DF低通原型函数 Hp(z)变 换各种DF的 H（z）
这种变换是由 个映射变换。
H p (Z)
所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一
G ( z 1 ) 的所有零点 1/i* 都是其极点的共轭倒数
N：全通函数的阶数。
0 变化时，相位函数 的变化量为N 。
不同的N和 i 对应 各类不同的变换。
下面具体讨论几种原型变换：
① 低通——低通（LP）
LP→LP的变换中，Hp(ej )和 Hej都是低通函
其中 是实数，且 1


0



0
c
图1(a) LP-LP变换（有对称性）
将 zej及 uej代入上式，可得到上述变换所反映的频率
变换关系：
ej 1ejej
（2）
由此得
12sin
arctan

无限长单位脉冲响应滤波器设计剖析

无限长单位脉冲响应滤波器设计剖析

实验四无限长单位脉冲响应滤波器设计一、实验目的1.掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的具体设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通IIR数字滤波器的计算机编程。

2.观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频率特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。

3.熟悉巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的频率特性。

二、实验原理(1)实验中有关变量的定义：fc通带边界频率，fr阻带边界频率，tao通带波动，at 最小阻带衰减，fs采样频率，t采样周期。

(2)设计一个数字滤波器一般包括以下两步：a.按照任务要求，确定滤波器性能指标b.用一个因果稳定的离散时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求(3)数字滤波器的实现：对于IIR滤波器，其逼近问题就是寻找滤波器的各项系数，使其系统函数逼近一个所要求的特性。

先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足约定指标的数字滤波器。

用双线形变换法设计IIR数字滤波器的过程：a.将设计性能指标中的关键频率点进行“预畸”b.利用“预畸”得到的频率点设计一个模拟滤波器。

c.双线形变换，确定系统函数三、实验内容1、设计一切比雪夫高通滤波器，性能指标如下：通带边界频率f c=0.4kHz，通带波动δ=0.5dB，阻带边界频率f r=0.3kHz，阻带最小衰减At=20dB，采样频率f s=1000Hz，观察其通带波动和阻带衰减是否满足要求。

（绘制对数幅度谱）2、设计一巴特沃思低通滤波器，性能指标如下：通带边界频率f c=0.4kHz，通带波动δ=1dB，阻带边界频率f r=0.6kHz，阻带最小衰减At=40dB，采样频率f s=2000Hz，分别用脉冲响应不变法和双线性变换法进行设计，比较两种方法的优缺点。

（绘制线性幅度谱）3、用双线性变换法设计巴特沃思、切比雪夫和椭圆低通滤波器，其性能指标如下：通带边界频率f c=1.8kHz，通带波动δ≤1dB，阻带边界频率f r=2.6kHz，阻带最小衰减A t≥50dB，采样频率f s=8kHz。

无限脉冲响应IIR滤波器的设计与仿真实现

无限脉冲响应IIR滤波器的设计与仿真实现

无限脉冲响应IIR滤波器的设计与仿真实现目录摘要 (1)ABSTRACT (2)引言 (3)正文 (4)1 实验平台概述 (4)1.1M ATLAB的概述 (4)1.2数字滤波器简介 (4)1.3 数字滤波器的分类 (5)1.4 数字滤波器的设计要求 (7)2 实验设计 (9)2.1IIR滤波器的设计原理 (9)2.2 模拟滤波器的设计方法 (10)2.2.1巴特沃斯的设计方法 (10)2.2.2模拟高通的设计方法 (11)2.2.3 模拟带通的设计方法 (11)2.2.4 模拟带阻的设计方法 (12)2.2.5 ChbyshevI的设计方法 (12)2.3 用脉冲法进行设计 (13)2.4 用双线性法进行设计 (14)3 IIR滤波器的MATLAB实现 (16)3.1 用MATLAB设计一个低通滤波器 (17)3.2 用MATLAB设计一个高通滤波器 (19)结论 (22)参考文献 (23)综述 (25)致谢 (27)摘要目的：随着计算机和微电子技术的广泛应用和大规模集成电路的使用，数字信号处理技术占据了现代信息科学的主要技术领域。

数字信号处理技术的使用大大提高了信息加工处理的能力。

在这些信号的收集输送过程中经常混杂一些并不属于这些信号的杂质噪声，为了得到真实干净的信号以便于进行真正准确的检测与控制，需要借助滤波器来实现。

方法:本篇首先运用IIR数字滤波器的直接法和间接法两种设计方法来对信号进行滤波作用，然后通过Matlab软件进行高级的信号处理加工，得到真实的信号波形，实现滤波器的仿真实现。

结果：经过无限脉冲响应IIR滤波器的设计与应用，对不同频点的信号进行滤除，得到了原本真实的信号。

结论：本篇通过经过改进的设计方法利用模拟滤波器对采集的信号进行数学加工，得到数字滤波器对应的函数。

通过Matlab软件的仿真与实现，更直观的展现出了真实的信号波形。

关键词：模拟滤波器；IIR数字滤波器；FIR数字滤波器；Matlab仿真AbstractKey words:[Objective]With the wide application of computer and micro-electronics technology and the use of large scale integrated circuit, digital signal processing technology to occupy the main technology of modern information science. The use of digital signal processing technology greatly improves the ability of information processing . During the collection of these signals, there is often a mixture of impurity noise that does not belong to these signals, In order to get a real clean signal so that we can actually detect and control, We need a filter to do that.[Methods]This paper first USES the method of direct and indirect method of IIR digital filter to filter the signal, Then the advanced signal processing is processed by Matlab software, and the actual signal waveform is obtained, and the realization of the filter is realized. [Results]Through the design and application of an infinite impulse response IIR filter, the signal of different frequency points is filtered out, and the original real signal is obtained. [Conclusion]This paper, through improved design method, USES analog filters to perform mathematical processing of the collected signals, and the corresponding function of digital filter is obtained. The simulation and implementation of Matlab software are presented to show the real signal waveform.Key words: Analog filter; IIR digital filter; FIR digital filter; Matlab simulation引言当今世界，飞速发展的滤波器技术在信号处理领域中占据了主要地位，并且广泛的存在于科学技术的各个领域。

第三章 无限长单位脉冲响应1

第三章 无限长单位脉冲响应1

N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
1 2 ˆ ( s) Ha Ha s j T m T m ˆ ① 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t )
的拉氏变换
H a (s)
之间的关系。

ˆ ② 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n)的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则 | H (e j ) | ，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 j （与所要求的理想频率响应 | H d (e ) | 的均方 2 误差最小， M
1 i 1 N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha(nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u(n) Ai (e ) u (n)
siT n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He

j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的， 如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率 ΩS/2 以内， 即
数字滤波器的设计步骤：

无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计

无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计

无限长单位脉冲响应IIR 滤波器的设计一．设计目的1．掌握数字滤波器的设计过程；2．了解IIR 的原理和特性；3．熟悉设计IIR 数字滤波器的原理和方法；4．学习IIR 滤波器的DSP 实现原理；5．学习使用CCS 的波形观察窗口观察输入/输出信号波形和频谱变化情况。

二．设计内容1．通过MATLAB 来设计一个低通滤波器，对它进行模拟仿真确定IIR 滤波器系数。

2．用DSP 汇编语言及C 语言进行编程，实现IIR 运算，对产生的合成信号，滤除信号中高频成分，观察滤波前后的波形变化。

三．设计原理IIR 滤波器与FIR 滤波器相比具有相位特性差的特点，但它的结构简单，运算量小，具有经济高效的特点，并且可以用较少的阶数获得很高的选择性，因此也得到了广泛的应用。

IIR 数字滤波器系统的传递函数为：H(z)= NN N N z a z a z b z b b z X z Y ----+⋯⋯+++⋯⋯++=111101)()( 它具有N 个极点和N 个零点，如果任何一个极点在单位圆外，则系统不稳定。

如果系数a j （j=1，… ，N ）全部为0，则滤波器变成非递归的FIR滤波器，系统总是稳定的。

对于IIR滤波器，有系数量化敏感的缺点。

由于系统对序列施加的算法是由加法、乘法和延时的基本运算的组合，所以可以用不同结构的数字滤波器来实现而不影响系统总的传输函数。

四．MATLAB设计IIR滤波器的方法我们所用滤波器设计方法为巴特沃夫Butterworth滤波器设计和切比雪夫Chebyshev滤波器设计。

MATLAB的butter函数可以设计低通、带通、高通和带阻数字滤波器，其特征可以使通带内的幅度响应最大限度的平坦，但会损失截止频率处的下降斜度，使幅度响应衰减较慢，因此butter函数主要用于设计通带平坦的数字滤波器。

如果期望幅度响应下降斜度大，衰减快，可以使用Elliptic(椭圆)或Chebyshev(切比雪夫)滤波器。

第三章 IIR滤波器设计方法.ppt

函数G(z -1) 的特性： 1) G(z -1) 是z -1 的有理函数。 2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求
u的单位圆内部必须对应于z 的单位圆内部。 3）G(z -1) 必须是全通函数。 为使两个函数的频率响应满足一定的变换要求，z 平面的
单位圆应映射到 u 平面的单位圆上，若以 e jθ 和 e jω 分别表 示u平面和z 平面的单位圆，则由上式为
波器为
Ha
(s)

1
1
s
解 首先确定上下边界频率
T 2f
fs
1 2f1 / fs 2 105/ 1000 0.21
2 2f2 / fs 2 95/ 1000 0.19
求中心频率
coso

sin(0.21 0.19 ) sin0.21 sin0.19
解：确定数字频域的上下边带的角频率
1 2f1 / f s 0.55 2 2f 2 / f s 0.45 3 2f 3 / f s 0.6
T 2f
fs
求中心频率：
cos0

sin0.45 0.55
sin 0.45 sin 0.55
0.9695(z2 1.6188z 1) z2 1.5695z 0.9390
17
3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的 频率变换
前面讨论由模拟低通滤波器原型来设计各种数字滤波器 的方法，该设计方法同样也可直接在数字域上进行。
数字低通滤波器 原型函数Hp(z)
变换
各种数字滤 波器的H(z)
2
0.6 0.2
cos(
)
a
2
0.6 0.2

第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法



ˆ H a ( s)



[ha (t ) (t nT )]e
n

st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e

n


h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T

但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。

无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法

4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 的技术指标。（本章主要讨论）
2. 最优化设计法
第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系 统函数的系数。
例如，选择最小均方误差准则,最大误差最小准则等。它
是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …, M)上，所设计 出的实际频率响应幅度|H(ejω)|与所要求的理想频率响
的特点 掌握从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器
的频率变换。 掌握从数字滤波器到各种数字滤波器的频率变
换
引言
1、数字滤波器的定义 用有限精度算法实现的时域离散的线性时不
变系统，用于完成对信号的滤波处理 。
低频系 列滤波
器
说明：
1）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、 预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信 号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数 字信号处理的重要基础。
1. 借助模拟filter的设计方法
1）首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足 预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波 器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数 已经表格化了，设计起来既方便又准确。
2）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；
3）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 系统函数 Ha (s) ； 将 Ha (s) H (z)
滤波器。
模拟滤波器的理想幅频特性
LPAF
H ( j)
c HPAF
c
BPAF
c

H ( j)
H ( j) c
BSAF
c
c
H ( j)

c2 c1 c1 c2
数字滤波器的理想幅频特性

第三章无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法

1 H(a s)
12s2s2s3 以 s / c代替其归一化频率，得：
1 H a(s)12(s/ c)2(s/ c)2(s/ c)3
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数，之后以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha(s)。
将 c 2fc 代入，就完成了模拟滤波器的设计
，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤 波变换后代入。
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
c c / 3 e j/6
c / 3 e j/6
H (s )a

s cs c ( 1 j3 )/2s c ( 1 j3 )/2
例1 设采样周期 T25s0 (fs4kh)z,设计一个三阶巴特沃
兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc
=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
第三章无限长单位脉冲响应滤 波器的设计方法
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤 波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
一．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：
1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临 界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成 H(z)（数字滤波器传递函数）
2 2 z 1 1 2 z 1 z 2
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小结
1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性 的，ω ＝Ω Τ ，ω 与Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变 换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。
H (e ) H a ( j)
j
/T
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法 得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。

0
T

0
T
Re(z )


3
T
S 平面
: ~
Z 平面
应指出，Z=esT 的映射关系反映的是Ha(s)的周期延 拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关 系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没 有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关 系，即没有一个S=f(z)代数关系式。 混迭： 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟 滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：
ˆ ② 理想采样 ha (t ) 的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n) 的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。

ˆ H a ( s)



[ha (t ) (t nT )]e
n

st
dt
n
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He

j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤 波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以内，
1 1-δ
1
δ2 0
ω
ωc
ωr
π
通带
过渡带
阻带
数字滤波器的数学描述： 1)差分方程
y (n) ai x(n i ) bi y (n i )
i 0 i 1
N
N
2)系统函数
H (Z )
ai z i
i 0
M
1 bi z i
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
§3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波 器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H（z），这归根到 底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个 基本原则： 1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应 映射到Z平面的单位圆 上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即S平 j 面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。 e
即
H a ( j) 0
s 2
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T

但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器 的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应 不变法。
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到 的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因 此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通， 而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波 器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中
i
设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指 标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简 单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广 到数字域，作为设计数字滤波器的工具。
2）最优化设计方法 分两步： a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使 | H (e j ) | （与所要 设计出的实际频率响应的幅度特性 求的理想频率响应 | H (e j ) | 的均方误差最小，
H ( z ) Ai e si nT z n Ai (e siT z 1 ) n
n 0 i 1 i 1 n 0

N
N

第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，
1 (e z ) siT 1 1 e z
si T
1 k k
必有
(e
si T
z )
1 k
k
s平面
s1平面
z平面
双线性变换法的映射关系
为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T 到π/T 一段上，可通过以下的正切变换实现：
Ω1T Ω c tg( ) 2
这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C， 可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特 性在不同频率点 有对应关系。
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e

n


h(n )e nsT
H ( z)
n


h(n ) z n
s平面与z平面的映射关系
ze
sT
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变 换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先 对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 zeST 的映射 关系映射到 Z 平面上。
第三章 无限长单位脉冲响应 （IIR）滤波器设计
概述: 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要 用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛 的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通 过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法 主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。
s ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 2
的频带，再用脉
冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤 波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响 应时才采用。
二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除 多值性，也就消除了混淆现象。
稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左 半平 面，即 Re[si]＜0 , 那么变换后H(Z)的极点 e siT 也 si T Re ( si )T 都在单位圆以内，即 , e e 1 因此数字滤波器保持稳定。
ST 映射关系 ze ：
令
则
z re
r eT ,
j
ha (t ) Ai e u (t ),
i 1
N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha (nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u (n) Ai (e ) u (n)
si T n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
1
T
3T
模拟滤波器的频率响应为:
2 2 Ha ( j) H ( s ) s j ( j 1)( j 3) (3 2 ) j 4
示于图a
数字滤波器的频率响应为:
0,
所以有
Ai H ( z) si T 1 z i 1 1 e
N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
ˆ ( s) 1 Ha T
2 Ha s j T m m


ˆ ① 理想采样 ha (t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t ) 的拉氏变换H a (s) 之间的关系。
d
H (e
M i 1
j i
) H d (e
j i
)

2

min
此外还有其他多种误差最小准则， b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 bi 通过不断地迭代运算，改变 a 、 bi ，直到 i 满足要求为止。

以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波 器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低 通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是 “模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计 方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方 法的使用也逐渐增多。
下面讨论两种常用的映射变换方法： 一、脉冲响应不变法
利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波 器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤 波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 ① 如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即