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粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论共3篇粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论1粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论随着工业生产的不断发展和科学技术的不断进步，粘弹性流体力学在物理、化学、生物医学、石油化工等领域得到了广泛应用。
作为一种特殊的非牛顿流体，粘弹性流体的表现和性质与牛顿流体有很大的区别，因此建立相应的数学模型和理论研究也成为了当今流体力学研究的热点。
粘弹性流体的本质是两种性质不同但相互耦合的物理机制，即粘性和弹性。
其中粘性是指流体呈现由牛顿运动定律描述的黏性阻尼现象，而弹性是指流体分子间的一种内聚力，使其呈现某些固体材料的特征。
在构建粘弹性模型时，需要考虑以上两种机制对流体行为的复杂影响。
Oldroyd模型是一种用于描述粘弹性流体的经典模型，在理论研究和实际应用中具有重要意义。
Oldroyd模型的基本假设是，粘弹性流体的应力张量既包含粘性和弹性的贡献，又与应变率的时间演化有关。
为了解释这一假设，引入了一组中间变量-粘弹性应力张量，并构建了相应的微分方程组。
Oldroyd模型给出了粘弹性流体的基本性质，包括流变特征、时间依赖性、滞后等等。
其中，一个重要的性质是非线性，也就是说，在应变率较高的情况下会出现复杂的非线性效应。
这种非线性效应对于粘弹性流体的流动性质产生了极大的影响，成为目前数学理论研究的一个重要课题。
在数学理论研究中，研究者通过各种数学方法和技巧，对Oldroyd模型进行了深入的探索和研究。
其中，最基本的是方程的解的存在性和唯一性问题。
针对这个问题，Hilbert在20世纪30年代提出了著名的证明方法，后来在流体力学中获得了广泛应用。
除此之外，研究者还针对Oldroyd模型的非线性性质展开了深入的研究。
他们使用了各种数学工具，包括常规分析、代数拓扑学、几何分析、动力系统等等，对方程组的稳定性、动力学行为等问题进行了深入探讨。
随着科学技术的不断发展，现代数学在粘弹性流体力学中的应用也越来越广泛。
Oldroyd-B流体的解耦有限元算法周少玲;侯磊【摘要】建立了求解稳态Oldroyd-B流体模型的有限元算法.为了降低该流体模型的耦合性和有限元方程的求解规模,考虑将Oldroyd-B流体模型解耦为Stokes 方程和本构方程.对于Stokes问题,使用加权最小二乘有限元方法求解;而对于含有对流项的本构方程,则采用具有较好数值稳定性的流线迎风Petrov-Galerkin(SUPG)方法求解.针对本构方程的非线性特点,利用迭代算法将其进行线性化处理.分析了解耦有限元解的先验误差估计.通过粘弹性Oldroy-B流体在管道内的流动问题,验证了算法的有效性和收敛性.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】7页(P323-328,334)【关键词】Oldroyd-B流体;解耦算法;最小二乘有限元方法;SUPG方法【作者】周少玲;侯磊【作者单位】上海大学理学院,上海200444;河北工程大学理学院,河北邯郸056038;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O357.1近几十年来，随着科学技术的发展，非牛顿流体的相关研究已经取得了巨大的进步，尤其在化工、石油、医药等领域. 非牛顿流体的数值模拟始于20世纪70年代[1]，虽然有许多算法已经应用于实际问题，但是依然有很多困难需要解决. 例如随着We数的增大，本构方程的对流占优性和非线性耦合性会逐渐增强. 因此，需要建立有效稳定的算法处理非线性项和数值解的振荡问题[2].最小二乘有限元算法已被广泛应用于粘弹性流体的数值求解[3-6]. 不同于混合有限元方法，其变分问题是通过极小化由所有方程残量构成的二次泛函得到的. 最小二乘有限元方法具有许多理论和计算上的优势，例如有限元空间无需满足LBB条件，并且离散化后的线性方程组总是对称正定的. Bochev和Gunzburger[7]将最小二乘法用于求解Stokes方程，证明了数值解的收敛性. Chen等人[8-9]分别使用加权最小二乘有限元方法求解Carreau流体和Giesekus流体.Oldroyd-B流体运动方程是一类典型的非牛顿流体运动模型，常用来描述聚合物流体、生物流体和悬浊液等的流动现象[10-11]. 在形式上， Oldroyd-B 流体运动方程可以看成是Navier-Stokes方程的一个扰动问题. 由于其本构方程的双曲特性，需要用稳定的算法处理对流项，例如可以考虑流线迎风Petrov-Galerkin(SUPG)方法[12]和Discontinuous Galerkin(DG)方法[13].本文旨在建立求解Oldroyd-B流体模型的有限元算法. 考虑将整个系统解耦成两个子系统，分别使用加权最小二乘有限元算法和SUPG方法求解Stokes方程和本构方程. 利用迭代算法将问题线性化，并分析算法误差.设Ω是R2内的有界区域，Γ为其Lipschitz连续边界. 记Wm,p(Ω)为通常的Sobolev空间，其范数为‖·‖m,p. 当p=2时，Wm,p(Ω)简记为Hm(Ω)，相应的范数为‖·‖m. 显然，H0(Ω)=L2(Ω)，其范数和内积分别为‖·‖和(·,·). 考虑如下稳态的不可压缩Oldroyd流体式中：u和p分别为流体的速度和压强；T为额外应力张量；τ为粘弹应力张量；f为体积力； D(u)=(u+uT)/2 为应变率张量；非负常数λ和α分别为We数和粘度比. 这里且-1≤a≤1. 当a=1时，称为Oldroyd-B流体. 将问题(1)解耦成两个子问题和定义未知量u,p,T和τ的解空间分别为并记X=V×Q×S. 下面将分别采用最小二乘有限元方法和SUPG算法求解上述Stokes问题和本构方程.本节考虑问题(2)的有限元解法. 假设Ω为多边形区域， Th是其上的正则三角剖分，三角单元记为K. 设hK为K的直径，记hK. 定义有限元空间其中， Pl(K)表示定义在K上次数不超过l的多项式函数空间，且记Xh=Vh×Qh×Sh. 定义问题(2)的加权最小二乘泛函为这里非负权重L用来增强数值解的质量守恒性[14]. Stokes问题的最小二乘有限元解(uh,ph,Th)∈Xh定义为由变分原理可得，最小二乘有限元解(uh,ph,Th)需满足下面的Euler-Lagrange方程其中类似于文献[13]中的证明，可得引理 1 如果(u,p,T)是(2)的解，则最小二乘有限元解(uh,ph,Th)满足式中：τh是本构方程(3)的有限元解.本节将使用SUPG算法处理本构方程中的对流项. 引入下面的线性算子当u=v时，算子简记为B(u,τ,σ). 利用分步积分公式，可得令u=v，τ=σ，由式(7)和式(8)，可得B(u,τ,τ)=h‖(u·)τ‖2. 引入检验函数σu=σ+λh(u·)σ，并定义范数‖‖σ‖2+‖λh1/2(u·)σ‖2. 将本构方程(3)与检验函数做内积得定义粘弹应力张量τ的有限元空间为∑h={σ∈Σ;σ|K∈Pl(Ω),∀K∈Th}. 显然有限元解τh满足假设Oldroy-B流体的准确解(u,p,T,τ)足够光滑，即且有则有下面的误差估计成立.定理 1 若τ为本构方程(3)的准确解，τh为满足方程(9)的有限元解. 假设uh,τh∈L∞(Ω)，且如果λ足够小，则有其中，.证明设为τ在有限元空间Σh上的正交投影，即则有下面的误差估计成立[15]显然，准确解τ满足将式(9)减去式(14)，可得令得考虑式(15)等号左边，若h<1，则另外故式(15)等号左边满足下面考虑式(15)等号右边各项. 第一项满足利用式(8)和(13)，得到式(15)等号右端的第三项满足类似地，有式(15)等号右端的最后一项满足由式(17)～(21)得，等式(15)的右端满足综上可得当λ足够小时，有证毕.由式(6)和式(12)，解耦算法的有限元解满足下面的误差估计式.定理 2 设(u,p,T,τ)∈V×Q×S×Σ是问题(1)的准确解，如果α和λ足够小，并且uh,τh∈L∞(Ω)，则有限元解(uh,ph,Th,τh)满足本节对粘弹性Oldroyd-B流体在管道内的流动进行数值模拟，计算区域如图1(a)所示(其中x轴为管道的对称轴).假设速度u=[u1,u2]T、压强p和粘弹应力τ具有以下真解[13]模型(1)右端由真解确定. 选取如下边值条件[13]将区域Ω=[0,1]×[0,1]剖分成一致的三角单元(见图1(b))，计算中分别取m=8,12,18,24. 所有未知量均采用分片连续线性多项式进行插值，使用下面的解耦迭代算法计算：1) 由前一次的迭代得到，使用加权最小二乘法求解2) 利用SUPG算法求解式中：由1)求得. 迭代算法的程序流程图如图 2 所示.为了验证算法的收敛性，取流体模型(1)中的参数a=1，α=1/9，λ=0.25. 设定迭代初值=0，迭代终止准则为‖)‖<10-3，最大迭代次数为150. 对于参数L，当L取值较大时，会使得线性方程组的条件数变大；当L取值较小时，不能保证数值解的质量守恒性，故取L=10. 图 3，图 4 给出了使用4种不同网格，解耦有限元算法在x=0.5处的计算结果(u1和τ11).本文研究了流变学中Oldroy-B流体模型的数值求解问题. 考虑到Oldroy-B流体的非线性性，将模型解耦成两个子问题，并利用迭代算法对其进行线性化处理. 对于Stokes问题使用加权最小二乘法求解，并使用SUPG算法消除本构方程中对流项对于数值解的影响. 分析了解耦算法的误差. 通过一算例验证了本文算法的收敛性，且数值解未出现振荡现象，说明算法具有较好的稳定性.。
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
粘弹性流体的数值模拟与应用研究一、前言粘弹性流体作为重要的物质研究对象，具有许多独特的力学特性和广泛的应用领域。
其特性呈现出多尺度和多物理场耦合的特质，给其数值模拟带来了很大的挑战。
本文将介绍近年来该领域的研究进展和一些关键技术应用。
二、基本理论与模型粘弹性流体最早被描述为Maxwell模型，在该模型中，流体被认为是由独立的弹性元件和粘性元素组成的。
由于其在实际应用场景中的复杂性，研究者们又提出了一些更为精细的模型。
（1）Oldroyd模型Oldroyd模型是一种经典的粘弹性流体模型，它引入了两个矢量场来描述流体的运动。
这两个场分别表示流体的应力和滑移。
然而，由于其假设的流体结构存在缺陷，无法很好地描述部分实际应用场景。
（2）FENE-CR模型FENE-CR模型是另一种常用的模型，它能够更好地反映流体的拉伸力和回弹力。
该模型在很多领域有广泛的应用，但是它依然存在参数调节等问题。
三、数值模拟方法为了更好地研究粘弹性流体在不同环境下的行为，研究者们普遍采用数值模拟方法。
数值模拟方法包含了有限元方法、有限差分方法和有限体积方法等。
（1）有限元方法有限元方法是一种在物理意义上更加明确的方法，它通过把大网格分为多个子网格，并在每个网格中建立解析式的方法来模拟流体的行为。
该方法既可以高效地模拟复杂的流体行为，又可以考虑不同尺度上的效应，具有广泛的应用。
（2）有限体积方法有限体积方法是一种基于离散数学理论的方法，它可以在有限的时间和空间内对流体场进行数值求解。
该方法优化了数值计算和分数步算法，同时考虑了边界条件和粘性耗散等关键问题。
四、应用研究粘弹性流体作为重要的物质研究对象，在许多领域都得到了广泛的应用。
（1）化妆品工业化妆品工业是粘弹性流体的重要应用领域之一。
在化妆品的乳化、稳定及流动性等问题中，粘弹性流体起着重要的作用。
比如，在牙膏生产中，压缩机的设计和优化需要对粘弹性流体作出很多的理论分析和实验研究。
硕士学位论文粘弹性流体微通道内弹性不稳定流动及其强化混合应用研究STUDY ON THE ELASTIC UNSTABLE FLOW OF VISCOELASTIC FLUID IN MICROCHANNEL AND MIXING ENHANCEMENT黎永耀哈尔滨工业大学2018年6月国内图书分类号：O373 学校代码：10213 国际图书分类号：530 密级：公开工学硕士学位论文粘弹性流体微通道内弹性不稳定流动及其强化混合应用研究硕士研究生：黎永耀导师：蔡伟华副教授申请学位：工学硕士学科：流体机械及工程所在单位：能源科学与工程学院答辩日期：2018年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index:：O373UDC：530Dissertation for the Master Degree in EngineeringSTUDY ON THE ELASTIC UNSTABLE FLOW OF VISCOELASTIC FLUID IN MICROCHANNEL AND MIXING ENHANCEMENTCandidate： Li YongyaoSupervisor： Associate Prof. Cai WeihuaAcademic Degree Applied for：Master of EngineeringSpeciality： Fluid Machinery and Engineering Affiliation： School of Energy Science andEngineeringDate of Defence： June, 2018Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学工学硕士学位论文摘要粘弹性流体是一种典型的非牛顿流体，相较于普通牛顿流体，除了粘性外，其独特地具备弹性效应。
Oldroyd-B黏弹性液滴碰撞过程的数值模拟关新燕;富庆飞;刘虎;杨立军【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2022(54)3【摘要】复杂的流变特性使凝胶推进剂的雾化过程存在一定困难,这制约了它的发展.聚合物胶凝剂的加入使凝胶推进剂具有黏弹性,从而在雾化时会产生黏弹性液滴,因此为了进一步认识凝胶推进剂的雾化机理、提高凝胶推进剂的雾化性能,对黏弹性液滴的碰撞行为进行数值模拟研究.针对凝胶推进剂雾化过程中出现的液滴撞击现象,考虑流体具有的黏弹性效应,采用流体体积法(VOF)、自适应网格细化技术(AMR)和对数构象张量方法相结合,使用Oldroyd-B本构模型描述液滴的黏弹性,对两个相等体积的黏弹性液滴的碰撞过程进行直接数值模拟,主要关注黏弹性液滴的正撞过程,研究了松弛时间、黏度比、韦伯数对液滴正撞的影响,并对不同参数下黏弹性液滴的撞击过程进行能量计算,另外观察了不同偏心度下的液滴碰撞行为.通过改变撞击速度,得到了合并和反弹的碰撞结果,结果表明增大松弛时间有利于合并液滴的挤压和回缩程度,并且延迟液滴的变形过程,这与牛顿流体得到的结果不同.增大黏度比会阻碍合并液滴的振荡行为,碰撞的偏心程度较大时会出现拉伸旋转,偏心度越大时拉伸距离越长,偏心度越小时动能耗散的速率越快,并且耗散的动能越多.【总页数】9页(P644-652)【作者】关新燕;富庆飞;刘虎;杨立军【作者单位】北京航空航天大学宇航学院;北京宇航系统控制研究所【正文语种】中文【中图分类】TQ021.1【相关文献】1.气液旋流器内液滴破碎和碰撞的数值模拟2.凝胶模拟液液滴碰撞的SPH数值仿真3.油水分离过程中液滴碰撞动力学数值模拟4.二元海水液滴对心碰撞过程数值模拟5.气体介质中海水液滴碰撞过程数值模拟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Oldroyd粘弹性流体缝隙流问题的解析解
李健;江体乾
【期刊名称】《力学与实践》
【年(卷),期】1989(011)005
【摘要】本文得到了满足Oldroyd 四参数模型的粘弹性流体的平板Poiseuille 流问题的解析解.利用所得结果计算了共挤出问题——一种新的聚合物加工过程,并得到了解析解.
【总页数】4页(P17-20)
【作者】李健;江体乾
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O357.1
【相关文献】
1.两种流态区域条件下的井流问题的解析解 [J], 常安定;郭建青
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粘弹性流体物理特性的研究及其在工业化加工中的应用研究第一章粘弹性流体的概念与分类粘弹性流体是指在应力下表现出固体特性和流体特性的一类复杂非牛顿流体，广泛应用于化工、生物医学、食品加工等领域。
粘弹性流体常见的物质有聚合物、胶体、水泥、淀粉等。
根据流变学的分类，粘弹性流体可以分为黏弹性体、黏塑性体、粘弹性液体三类。
第二章粘弹性流体的物理特性2.1 流动行为粘弹性流体与牛顿流体不同，其流动规律不同，随着剪切速率的增加，黏度呈现不同程度的变化，即存在剪切率的效应。
为了描述流体的这种特性，研究者提出了流变学的概念，即研究流体随剪切力的变化而产生的结构演变和性质变化。
2.2 破坏形变当粘弹性流体在剪切场中进行变形时，其分子链会因为外力而断裂，形成流化结构，导致物理性质的改变。
这种流化结构可以随着外力的停止而缓慢恢复，称为“记忆效应”。
2.3 外场响应在外力场的作用下，粘弹性流体内部会产生很大的内应变和相应的能量损失，具有优异的阻尼特性。
因此，在工程实践中可以利用这种特性来制作减震、隔音等工业产品。
第三章粘弹性流体在工业化加工中的应用研究3.1 液压系统液压系统在航空、机械、汽车等领域非常常见，而粘弹性流体的阻尼特性很适合用来制作减震器，提升车辆乘坐的舒适度和行驶的平稳性。
3.2 食品加工粘弹性流体在食品加工中的应用非常广泛，如在果酱、果泥等加工过程中，加入一定量的黏性增稠剂使其提高流动性。
3.3 生物医学在生物医学领域中，粘弹性流体的应用也得到了广泛的关注。
例如，利用粘弹性流体可以制作出仿生材料，来模拟肌肉组织及生物材料的特性。
第四章粘弹性流体应用的优点与不足4.1 优点①显著的阻尼特性：液压减震器、阻尼材料等领域中广泛使用这种特性。
②柔顺的流动性：在食品、化妆品、纺织品等领域中广泛应用于改善质地和流动性。
③增强的粘附性：在油墨、染料等工业中广泛应用，可以有效地提高粘附性。
4.2 不足由于粘弹性流体本身结构复杂，且理论研究尚未完备，因此在实际应用中容易出现应变失稳、流动不稳定等问题。
流体动力学中的黏弹性流体研究引言流体动力学是研究流体运动规律的物理学科，黏弹性流体是其中的一个重要分支。
黏弹性流体具有介于液体和固体之间的特性，既具有流体的流动性，又具有固体的弹性。
在工程领域中，黏弹性流体的研究在物料加工、油田开发、生物医学等多个方面具有重要应用价值。
本文将探讨黏弹性流体的定义、性质、流动行为以及相关研究方法与应用领域。
一、黏弹性流体的定义与分类1.1 定义黏弹性流体是指在外力作用下具有应力和应变关系不仅取决于变形速度和应变量，而且还取决于变形历史的流体。
与牛顿流体和非牛顿流体相比，黏弹性流体展现出了更为复杂的性质。
1.2 分类黏弹性流体按照性质可分为两类：线性黏弹性流体和非线性黏弹性流体。
线性黏弹性流体的应力与应变呈线性关系，而非线性黏弹性流体的应力与应变则不是线性关系。
二、黏弹性流体的性质与特点黏弹性流体具有以下几个基本性质与特点：2.1 弹性本质黏弹性流体具有固体的形变回复能力，即具有弹性本质。
当外力停止作用时，黏弹性流体会恢复到初始状态，这与牛顿流体和非牛顿流体在停止外力作用后无法恢复的特性有所区别。
2.2 流变性黏弹性流体的应力-应变关系与变形速率密切相关，即流体的黏度会随着变形速度的变化而发生变化。
这种特性使得黏弹性流体具有复杂的流变性质。
2.3 液体性质与固体相比，黏弹性流体更接近液体，具有流动性。
黏弹性流体的流动性使得其在流体力学中具有重要地位，并广泛应用于工程领域。
黏弹性流体的流动行为比较复杂，受多个因素的影响。
主要包括应变速率、外力作用、温度等因素。
3.1 应变速率的影响黏弹性流体的黏度随应变速率的变化而变化。
当应变速率较低时，黏弹性流体呈现出较低的黏度值；当应变速率增加时，黏度也会随之增加。
这种应变速率对黏度的敏感性使得黏弹性流体在实际应用中需要进行合适的设定与控制，以满足不同流动条件的要求。
3.2 外力作用的影响外力的作用对黏弹性流体的流动行为具有重要影响。
