九年级数学下册第二十七章相似27.1图形的相似课时训练 新人教版

成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

九年级数学下册第二十七章相似[27.1 第1课时 相似图形]一、选择题1．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有()图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组2．在图K －6－2(b)中，由图K －6－2(a)放大或缩小而得到的图形有()图K －6－2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．图K －6－4中与图K －6－3相似的图形是链接听课例题归纳总结()图K －6－3成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－44．下列关于相似图形的说法错误的是( )A ．相似图形的形状一定相同，大小不一定相同B ．全等图形是一种特殊的相似图形C ．同一个人在平面镜和在哈哈镜中的形象是相似图形D ．若甲与乙是相似图形，乙与丙是相似图形，则甲与丙是相似图形二、填空题5．图K －6－5②～⑥中，与图①相似的图形有________(填图形的序号).链接听课例题归纳总结图K －6－56．放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题7．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．如何将图K －6－7中的图形ABCDE放大，使新图形的各个顶点仍在格点上？图K －6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] B 由观察知(a)(b)(c)(e)中的图形是相似图形．故选B.2．[解析] B 由观察知图(b)中的第3个图形与图(a)相似．应选B.[点评] 注意相似的要求是形状相同，这是判断两个图形是不是相似图形的根本标准．3．D 4.C5．③⑤⑥6．[答案] 是不是[解析] 放大镜下的图形与原来的图形形状相同，大小不相等，所以是相似图形；哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同，大小也不相等，所以不是相似图形．7．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形．(2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：[素养提升][解析] 相似图形只要求形状相同，而与位置无关，这样同学们可以有不同的画法，下图中的图形A′B′C′D′E′只是其中的一种．解：答案不唯一，如图所示．[点评]先确定各个顶点在方格图中的位置，然后再依次连接构成新图形．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第27章相似27.1图形的相似一、选择题1.在比例尺为1：50000的地图上量得甲、乙两地的距离为10cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A.500kmB.50kmC.5kmD.0.5km2.如图，AD∥BE∥CF，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则DF的长为（）A.7.5B.6C.4.5D.33.生活中到处可见A黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米4.若，则的值是（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A.菱形都相似B.正六边形都相似C.矩形都相似D.一个内角为80°的等腰三角形都相似6.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似.A.1个B.2个C.3个D.4个7.下列各组线段中是成比例线段的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cmB.1cm，2cm，2cm，4cmC.3cm，5cm，9cm，13cmD.1cm，2cm，2cm，3cm8.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（）A.150°B.105°C.15°D.无法确定大小9.已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为（）A.2B.3C.－3D.3或－310.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A.a=bB.a=2bC.a=2bD.a=4b二、填空题11.若则______.12.顺次连接正方形各边中点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比是_________.13.如图，AB//CD//EF.若CE=2AC，BD=5，则DF=______.14.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是千米.15.如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d=.16.已知，则三、解答题17.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度.18.若,且2a－b+3c=21.试求a∶b∶c.19.已知，求的值.20.已知a,b,c均不为0，且，求的值.21.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.参考答案1.C；2.C；3.A；4.A；5.B；6.C；7.B；8.C；9.B；10.B；.11.1.12.13.1014.3415.3.6.16.3；17.∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.18.a:b:c=4:8:7；19.2.25.20.解：设=k，则①②③由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k④由②＋④，得4b=9k,∴b=，分别代入①，④得，a=,c=.∴.21.解：(1)若设AD=x(x＞0)，则DM=0.5x.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴=.即x=4(舍负).∴AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：=.。

人教版数学九年级下册27.1图形的相似课时练习一、单选题（共15题）1.已知2x =5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A.25x y = B.52x y= C.25x y = D.52x y =答案：B知识点：比例的性质 解析：解答：∵2x=5y ，知识点: 比例的性质 解析：解答: 由3a =2b ，得出23a b =于是可设a =2k ，则b =3k ，代入a b a-=232k kk -=12- 故选：A ．分析: 本题考查了比例的基本性质，是基础题3. 不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab=cd ，改写成比例式错误的是（ ）A ． a dc b = B ． c b ad =C ．d b a c =D ．a c b d=答案：D知识点: 比例的性质． 解析：解答: A 、a dc b=ab cd ⇒=故A 正确B、c ba d=ab cd⇒=故B正确C、d ba c=ab cd⇒=故C正确D、a cb d=ad bc⇒=故D错误故选：D．分析: 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等．4. 如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A．23±B．23C．43D．43±答案:C知识点: 比例线段解析：解答: 根据题意，可知a：b=b：c，b2=ac，当a=3，b=2时22=3c，3c=4，c=4 3故选：C．分析: 比例中项，也叫“等比中项”，即如果a、b、c三个量成连比例，即a：b=b：c，则b叫做a和c的比例中项．据此代数计算得解．5. 比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为（）A．4×105m2 B．4×104m2 C．1.6×105m2D．2×104 m2答案:B知识点:比例线段解析：解答: 设实际面积为x cm2，则400：x=（1：1000）2，解得x=4×108．4×108cm2=4×104m2．故选B．分析: 根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积．6、如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A．2B．C．D2答案:D知识点:比例线段．解析：解答: 连接AC，设AO=x，则BO=x，CO=x，故x，x∴线段AP与AB:22故选：D．分析: 利用已知表示出AC的长，即可得出AP以及AB的长，即可得出答案．7. 下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cmC．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm答案:D知识点:比例线段．解析：解答：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．故选D．分析: 四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．8. 已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC ：AB=（ ）A ．1):2B ．1):2C ．(3:2-D ．(3:2+ 答案:A知识点: 黄金分割．解析：解答: 根据黄金分割的定义，知AC ：AB=1):2故选A ．分析: 此题主要考查了黄金分割比的概念．9. 若P 是线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），设AB=1，则PA 的长约为（ ） A ．0.191 B ．0.382 C ．0.5 D ．0.618 答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: 由于P 为线段AB=1的黄金分割点， 且PA ＞PB ，则PA=0.618×1=0.618． 故选D ．分析: 根据黄金分割点的定义，知PA 是较长线段；则PA=0.618AB ，代入数据即可． 10. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 长为20米，一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点点C 处，则下列结论一定正确的是（ ） ∴AB ：AC=AC ：BC ； ∴AC≈6.18米；∴AC ＝1)米；∴BC ＝米或米． A ．∴∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴ D ．∴ 答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: AB 的黄金分割点为点C 处，若AC ＞BC ，则AB ：AC=AC ：BC ，所以∴不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20-12.36=7.64，所以②错误；若AC 为较长线段时，AC=12AB=10），BC=10（BC 为较长线段时，BC=12AB=10-1），AC=10（），所以③不一定正确，④正确． 故选D ．分析:根据黄金分割的定义和AC 为较长线段或较短线段进行判断．11. 等腰∴ABC 中，AB=AC ，∴A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）∴∴BCD 是等腰三角形；∴点D 是线段AC 的黄金分割点；∴∴BCD∴∴ABC ；∴BD 平分∴ABC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案:D知识点: 黄金分割；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 解析：解答: ∴AB=AC ， ∴∴ABC=∴C=12（180°-∴A ）=12（180°-36°）=72°， ∴AD=BD ， ∴∴DBA=∴A=36°， ∴∴BDC=2∴A=72°， ∴∴BDC=∴C ，∴∴BCD 为等腰三角形，所以∴正确； ∴∴DBC=∴ABC-∴ABD=36°， ∴∴ABD=∴DBC ，∴BD 平分∴ABC ，所以∴正确； ∴∴DBC=∴A ，∴BCD=∴ACB ， ∴∴BCD∴∴ABC ，所以∴正确； ∴BD ：AC=CD ：BD ， 而AD=BD ，∴AD：AC=CD：AD，∴点D是线段AC的黄金分割点，所以∴正确．分析: 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∴ABC=∴C=1 2（180°-∴A）=72°，再计算出∴BDC=72°，∴DBC=36°，则可对∴∴∴进行判断；利用∴BCD∴∴ABC得BD：AC=CD：BD，而AD=BD，则AD：AC=CD：AD，于是根据黄金分割的定义可对∴进行判断．12. 用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（）A．△ABC放大后，是原来的2倍B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍C．△ABC放大后，周长是原来的2倍D．△ABC放大后，面积是原来的4倍答案:A知识点:相似图形解析：解答: ∴放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．故本题选A．分析: 用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变13. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变答案:D知识点:相似图形解析：解答：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．分析: 根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1 个B．2个C．3个D．4个答案: C解析：解答：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．分析: 利用相似图形的性质分别判断得出即可．15. 下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似答案:C知识点:相似图形解析：解答：A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．故选C．分析: 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．二、填空题（共5题）1. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有( )（填序号）．答案: ①②④⑤知识点:相似图形解析：解答: 下列几何图形：∴两个圆；∴两个正方形；∴两个矩形；∴两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有①②④⑤．故答案为：①②④⑤．2. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是（）答案: 1：3知识点:相似图形．解析：解答: 由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3分析：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．3. 若用一个2倍放大镜去看△ABC，则∠A的大小（）；面积大小为（）答案:不变，4倍知识点:相似图形．解析：解答: ∵放大后的三角形与原三角形相似∴∠A的度数不变∵放大前后，两相似三角形的相似比为1：2∴它们的面积比为1：4即放大后面积为原来的4倍．分析: 本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，面积比等于相似比的平方．4、如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙（）答案：相似知识点:相似图形．解析：解答：∵图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，∴图形甲与图形丙相似．故答案为：相似分析:本题考查了相似图形，熟记相似图形具有传递性是解题的关键．5. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b＝（）答案：2知识点:比例线段解析：解答：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=±2（负数舍去）．故答案是：2．分析:根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．三、解答题（共5题）1. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，12ADDB=，DE=4cm，求BC的长答案：12cm知识点:平行线分线段成比例解析：解答: 解：∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，又∵12ADDB=∴13ADAB=，∴413BC=∴BC=12cm．故答案为：12cm．分析：本题考查了平行线分线段成比例定理，找出图中的比例关系是解题的关键．2. 如图，已知AB∴CD∴EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD=6，DF=3，BC=5，求BE的长答案：7.5知识点:平行线分线段成比例．解析：解答：∵AB∥CD∥EF，答案：m=2n+1知识点:平行线分线段成比例；旋转的性质．分析:本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．4.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两边的实际长度答案：都是20m．知识点:比例线段即其他两边的实际长度都是20m．分析: 设其他两边的实际长度分别为x m、y m，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．5.如图，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，求P点的坐标。

人教版数学九年级下册第二十七章相似27．1图形的相似1．( 2019·甘肃定西期中)观察下列每组图形，属于相似图形的是(D)2．(2019·河北沧州月考)下列图形不是相似图形的是(C)A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B．用放大镜看到的放大图案和原有图案C．某人的侧身照片和正面照片D．课本里的中国地图和教室里悬挂的中国地图3．下列各组线段中，成比例的是(D)A．5 cm，6 cm，7 cm，8 cmB．3 cm，6 cm，2 cm，5 cmC．2 cm，4 cm，6 cm，8 cmD．12 cm，8 cm，15 cm，10 cm4．(2019·广东揭阳期末)四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3 cm，c＝8 cm，d＝12 cm，则a＝(A)A．2 cm B．4 cmC．6 cm D．8 cm5．(2018·甘肃白银中考)已知a2＝b3(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(B)A.ab＝23B．2a＝3bC.ba＝32D．3a＝2b6．(2019·江苏镇江月考)如果在比例尺为1∶2 000 000的地图上，测得A，B两地的图上距离是3.4 cm，那么A，B两地的实际距离是__68__km.7．(2019·上海青浦区一模)下列图形中，一定相似的是(A)A．两个正方形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个等腰三角形8．两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)A.23 B.32 C.49 D.949．(2019·广东梅州期末)如图所示的三个矩形中，其中相似的是(B)A．甲与乙B．乙与丙C．甲与丙D．以上都不对10．(教材P26，例改编)(2019·江苏苏州期中)如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，则x＝__12__，y＝__332__，α＝__83°__.11．(教材P28，习题27.1，T6改编)如图，一个矩形广场的长为100 m，宽为80 m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘形成的两个矩形相似？解：当小路内外边缘形成的两个矩形相似时，它们的对应边成比例，即100－3100＝80－2x80，解得x＝1.2.答：当x为1.2时，小路内外边缘形成的两个矩形相似．易错点顺序不确定时，忽视分类讨论造成漏解12．(2019·安徽合肥瑶海区期中)已知三个数2，4，8，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数．解：设添加的数为x.由题意，得①当2×4＝8x时，x＝1；②当2×8＝4x时，x＝4；③当4×8＝2x时，x＝16.所以可以添加的数有1，4，16.13．(2019·四川雅安中考)若a∶b＝3∶4，且a＋b＝14，则2a－b的值是(A)A．4 B．2 C．20 D．1414．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为__2∶2__.15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数，试分别确定α，x的值．解：在图1中，∵△ABC与△A′B′C′相似，∴ACA′C′＝BCB′C′，∠C＝∠C′，即18x＝2mm，α＝40°，∴x＝9.在图2中，∠D＝180°－65°－70°＝45°.∵△ABO与△CDO相似，∴AOOC＝ABCD，∠B＝∠D，即35＝xm，α＝45°，∴x＝35m.16．(2019·山西太原期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC.若矩形ABFE与矩形DEFC相似，且相似比为1∶2，求AD的长．解：∵矩形ABFE与矩形DEFC相似，且相似比为1∶2，∴ABDE＝AEDC＝12.∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，∴4DE＝AE4＝12，∴DE＝8，AE＝2，∴AD＝AE＋DE＝2＋8＝10.17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝3，BC＝4.线段AD，CD，CD，BD是成比例线段吗？写出你的理由．解：线段AD，CD，CD，BD是成比例线段．理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.∵CD⊥AB，∴S△ABC ＝12AB·CD＝12AC·BC，∴CD＝AC·BCAB＝3×45＝2.4.在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝1.8，∴BD＝3.2. ∵AD∶CD＝1.8∶2.4＝3∶4，CD∶BD＝2.4∶3.2＝3∶4，∴AD∶CD＝CD∶BD，∴线段AD，CD，CD，BD是成比例线段．18．如图，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，且矩形ODEF 与矩形ABCO 相似，其相似比为1∶4，矩形ABCO 的边AB ＝4，BC ＝4 3.将矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC ，EA ，AC ，整个旋转过程中△ACE 的最大面积为多少？解：连接OE ，如图．∵矩形ODEF 与矩形ABCO 相似，其相似比为1∶4，AB ＝4，BC ＝43，∴OF ＝3，OD ＝1，∴OE ＝OF 2＋OD 2＝（3）2＋12＝2， ∴点E 的轨迹是以点O 为圆心，以2为半径的圆． 设点O 到AC 的距离为h .∵AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋（43）2＝8，∴8h ＝4×43，解得h ＝23，∴当点E 到AC 的距离为23＋2时，△ACE 的面积有最大值，S 最大值＝12×8×(23＋2)＝83＋8.。

章节测试题1.【题文】如图，矩形ABCD是一幅长3m，宽2m的国画，它的四周镶上宽度相等的一条金边．（1）金边宽度为10cm时，矩形ABCD与矩形EFGH是否相似？为什么？（2）是否存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似？如果存在，求出金边宽度；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）不相似．理由见解答；（2）不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似，理由见解答.【分析】本题考查的是相似多边形的判定、矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题的关键．（1）求出，得出矩形ABCD与矩形EFGH不相似；（2）设金边宽度为x cm，若，则，解得x＝0，即可得出结论．【解答】（1）不相似．理由如下：∵矩形ABCD中，AB＝2 m，AD＝3 m，金边宽度为10 cm＝0.1 m，∴EF＝2+2×0.1＝2.2 m，EH＝3+2×0.1＝3.2 m，∴，∴，∴矩形ABCD与矩形EFGH不相似；（2）不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似，理由如下：设金边宽度为x cm，若，则，解得x＝0，∴不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似．2.【答题】若某个直角三角形的两直角边之比为2：3，则确定了该三角形的（）A. 形状B. 周长C. 面积D. 斜边【答案】A【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵直角三角形的两直角边之比为2：3，∴虽不能确定两直角边的值，但能确定其比值，∴能确定该直角三角形的形状，选A.3.【答题】下列图形中一定是相似形的是（）A. 两个等边三角形B. 两个菱形C. 两个矩形D. 两个直角三角形【答案】A【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，选A．4.【答题】下列命题中，真命题是（）A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似【答案】B【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】A.邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，∴A选项错误；B.邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，∴两矩形相似，故本选项正确；C.对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，∴C选项错误；D.对角线之比相等的两个矩形不一定相似，∴D选项错误；选B．5.【答题】若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（）A. B. 2：3 C. 4：9 D. 16：81【答案】B【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵两个相似多边形的面积之比为4：9，∴两个相似多边形的对应边的比为2：3，∴两个相似多边形的周长的比为2：3，选B．6.【答题】下列四组图形中，不是相似图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】A.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D.形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；选D．7.【答题】若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的______倍．【答案】5【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为5．8.【答题】某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8 cm，最大长度是16 cm；叶片②最大宽度是7 cm，最大长度是14 cm；叶片③最大宽度约为6.5 cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为______cm．【答案】13【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13 cm．故答案为13．9.【答题】如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n﹣1的面积为______．【答案】【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC，∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2，∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2，∴矩形AB1C1C的面积，依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4，∴矩形AB2C2C1的面积，∴矩形AB3C3C2的面积，按此规律第n个矩形的面积为，故答案为．10.【答题】一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是______．【答案】28【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】设另一个多边形的周长是x．依题意，有x：（1+2+3+4+5+6）＝8：6，解得x＝28．故另一个多边形的周长是28．11.【答题】若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于______．【答案】4：9【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵两个相似多边形的相似比为2：3，∴它们的面积比＝22：32＝4：9．故答案为4：9．12.【答题】若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为______．【答案】1【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】设矩形的长是a，宽是b，则AE＝EH＝b，DH＝a﹣2b，∵矩形ABCD∽矩形HDCG，∴，即，整理得a2﹣2ab﹣b2＝0，两边同除以b2，得（）21＝0，解得或（舍去）∴长与宽的比为1，故答案为1．13.【题文】如图，一个矩形广场的长为100 m，宽为80 m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．【答案】1.2.【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．解得x＝1.2.答：当x为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．14.【题文】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（1）α＝______；（2）求边x、y的长度．【答案】（1）83°；（2）x＝12，y．【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，故答案为83°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴，解得x＝12，y．15.【答题】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A. 1：4B. 1：2C. 2：1D. 1：16【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为1：2．选B.16.【答题】沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得两张矩形与原来的矩形纸相似，那么原来那张纸的长和宽的比是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y：1．选A．17.【答题】下列说法正确的是（）A. 所有菱形都相似B. 所有矩形都相似C. 所有正方形都相似D. 所有平行四边形都相似【答案】C【分析】本题考查相似图形的判定.【解答】∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴所有正方形都是相似多边形，选C.18.【答题】如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A. 28cm2B. 27cm2C. 21cm2D. 20cm2【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝x cm，得到，解得x＝4.5，则剩下的矩形面积是4.5×6＝27cm2．选B．19.【答题】矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（）A. B. C. D. 2.5【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵原矩形的长为6，宽为x，∴小矩形的长为x，宽为2，∵小矩形与原矩形相似，∴，解得x＝2，选B．20.【答题】若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A. 增加了10%B. 减少了10%C. 增加了（1+10%）D. 没有改变【答案】D【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B．选D．。

第二十七章 相似27.1 图形的相似基础导练一、填空题1.形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的.2.相似多边形的对应角 ，对应边 ；如果两个多边形的对应角 ，对应边的 比 ，那么这两个多边形相似。

相似多边形对应边的比称为 .3.下面各组中的两个图形， 是形状相同的图形， 是形状不同的图形.4.若(a –b ):b =3:2 ,则a :b = _________.5.已知两个相似园形的相似比是3:4，其中一个园形的半径长为4 cm ，那么另一个园形的半径长为 .6.若四边形ABCD 与四边形D C B A ''''的相似比为3∶2，那么四边形D C B A ''''与四边形ABCD 的相似比为 .7.在比例尺1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm ，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 km. 二、选择题8.下列说法中正确的是（ ）A.两个平行四边形一定相似B.两个菱形一定相似C.两个矩形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似 9.下列说法中正确的是（ ）A.两个直角三角形相似B.两个等腰三角形相似C.两个等边三角形相似D.两个锐角三角形相似 10.下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ）A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，3 11.若四边形ABCD∽四边形D C B A ''''，且AB∶B A ''=1∶2 ，已知BC=8，则C B ''的长是（ ）A.4B.16C.24D.6412.Rt△A BC 的两条直角边分别为3 cm 、4 cm ，与它相似的Rt△C B A '''的斜边为20 cm ，那么Rt△C B A '''的周长为（ ）A.48cmB.28cmC.12cmD.10cm能力提升三、解答题13.证明：任意两个正六边形是相似形.14.在中国地理地图册上，连接上海，香港，台湾三地构成一个三角形，用刻度迟测得他们之间的距离.上海-香港5.4cm，上海-台湾3cm，香港-台湾3.6cm .飞机从台湾直飞到上海的距离为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的空中飞行距离是多少千米?参考答案1.相同放大缩小2.相等成比例相等成比例相似比3.(3)(5) (1)(2)(4)(6)4.5/25.16/36.2：37.80°8. D9. C 10.B 11. B 12. A 13.略14. 3:1286 =(3.6+5.4): X X=3858 千米第二十七章相似27.1 图形的相似基础导练1.下列图形相似的有（）（1）放大镜下的图片与原来的图片；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；（3）天空中两朵白云的照片；（4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.A.4组B.3组C.2组D.1组2.下列说法不一定正确的是（）A.所有的等边三角形都相似B.有一个角是100°的等腰三角形相似C.所有的正方形都相似D.所有的矩形都相似3.一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )A.7.5米B.8米C.14.7米D.15.75米4.两个相似三角形的周长比为4︰9，则面积比为（）A.4︰9B.8︰18C.16︰81D.2︰35.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的一样长D.谁的影子长不确定6.下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是，误的是 .（填序号）7.若a，x，b，y成比例线段，则比例式为；若a=1，x=2，b=2.5，则y= .8.三角形三边之比为3︰5︰7，与它相似的三角形最长边为21cm，那么与它相似的三角形周长为 .9.△ABC2，△A'B'C'的两边为1ABC∽△A'B'C'，则△A'B'C'的笫三边长为________．10.两个相似三角形的面积之比为1∶5，小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为 ___ __．能力提升11.两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm 和14cm ，它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长.参考答案一、填空题1.C2.D3.A4.C5.D 二、选择题6.①，②③7.a bx y三、解答题18．100cm 40cm第二十七章 相似27.1 图形的相似基础导练1.下面各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形，哪些是形状不同的图形.2.观察下面图形，指出（1）~（9）中的图形有没有与给出的图形（a ）、（b ）、（c ）形状相同的?3.请你画一画，试着把下面的两个图形利用给出的格点放大.能力提升4.放大镜下的图形和原来的图形相似图形，哈哈镜中的图形和原来的图形相似图形（填“是”或“不是”）.5.小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上一圈宽3cm的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”，你认为谁说得对？并说明你的理由.6.如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，那么最短边分别为5cm和cm.7.如图：已知A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）（1）求线段AB、BC、AC的长；（2）把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A′、B′、C′的坐标,求A′B′、B′C′、A′C′的长；（3）以上六条线段成比例吗?（4）△ABC与△A′B′C′的形状相同吗?答案 1.（3）、（5）组中的图形形状相同 （1）、（2）、（4）、（6）组中的图形形状不同 2.图形（4）、（8）与图形（a ）形状相同 图形（6）与图形（b ）形状相同 图形（5）与图形（c ）形状相同 3.略4.是 不是5.小颖说的对6.2cm7.解：如图（见原题图）A （0，－2），B （－2，1），C （3，2） （1）由勾股定理得：AB =132322=+，BC =261522=+，AC =2243+=5.（2）由已知得A ′（0，－4），B ′（－4，2），C ′（6，4）. 由勾股定理得：A′B′=1326422=+， B′C′=26221022=+， A′C′=2286+=10.（3）∵21=''=''=''C A AC C B BC B A AB ， ∴这六条线段成比例.（4）△ABC 与△A′B′C′的形状相同.第二十七章 相似27.2 相似三角形基础导练1.下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为 正确的说法的序号都填上).2.如图，在直角坐标系中有两点A (4, 0)、B (0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与i 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至 少写出两个满足条件的点的坐标). 3.下列命题中正确的是（ ）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A.①③B.①④C.①②④D.①③④4如图，D、E分别是A B、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD相似的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD，AB=ACD.AD∶AC=AE∶AB能力提升5.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条6.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.参考答案1.②③2.（1，0）或（-1，0）3.D4.C5.C6.（1）相似. 理由略 （2）相似. 理由略第二十七章 相似27.2 相似三角形基础导练1．下列图形不一定相似的是（ ）．A.有一个角是120°的两个等腰三角形B.有一个角是60°的两个等腰三角形C.两个等腰直角三角形D.有一个角是45°的两个等腰三角形 2．如图，已知△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点.AD =3cm ，AB =8cm ，AC =10cm.若△ADE ∽△ABC ，则AE 的值为（ ）A.154cm B.415cm 或125cm C. 154cm 或125cm D.512cm第2题图 第4题图 第5题图 3．满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有（ ）．①∠A =60°，AB =5cm ，AC =10cm ；∠A ′=60°，A′B′=3cm ，A′C′=10cm ②∠A =45°，AB =4cm ，BC =6cm ；∠D =45°，DE =2cm ，DF =3cm ③∠C =∠E =30°，AB =8cm ，BC =4cm ；DF =6cm ，FE =3cm ④∠A =∠A′，且AB·A′B′=AC·A′B′4．如图，点D 为△ABC 的AB 边一点（AB >AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（ ）． A ．∠ADC =∠ACB B ．∠ACD =∠B C ．.DC ADAD ACD BC ACAC AB== 5.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图.已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ ） A.0.36π米2B.0.81π米2C.2π米2D.3.24π米26．如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形（阴影部分）•与△ABC 相似的是（ ）．7．已知三角形的三条边长分别为1•使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似：________，________，_______.8．如图，若AC 2=CD·CB，则△_______∽△_______，∠ADC=________．第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AD =8，CD =6，则当BD =______时，△ADC ∽△CDB ，∠ACB =_______°．10．如图，已知AC 与BD 相交于点O ，且AO ：OC =BO ：OD =2：3，AB =5，则CD =______．11．如图，等腰三角形ABC 中，∠A =36°，若BC 2=CD ·CA ，则∠DBC =•_____•°，图中有__ __个等腰三角形．12．如图，为测得一养鱼池的两端A ，B 间的距离，可在平地上取一直接到达A 和B 的点O ，连接AO ，BO 并分别延长到C ，D ，使OC =12OA ，OD =12OB ，如果量得CD =30m ，•那么池塘宽AB =________.能力提升13．如图，已知△ABC 中，AC =10，AB =16，问在AB 边上是否存在这样的点P ，使△APC ∽△ACB ，若存在，求AP 的长；若不存在，请说明理由．14．如图，是利用木杆撬石头的示意图.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起12cm ，已知杠杆的动力臂OA 与阻力臂OB 之比为5：1，求要使这块石头滚动，至少要将杠杆A 端下压多少厘米．15．已知：如图，∠ABE =90°，且AB =BC =CD =DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形?若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．16.如图，在ΔABC 中，BA =BC =20cm ，AC =30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4c m 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x .（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？ （2）当31=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；17.在△ABC中，AE∶EB=1 ∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值.18.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？答案一．选择题1．D 点拨：若45°角在一个三角形中做顶角，在另一个三角形中做底角，则这两个三角形形状不同．2．C 点拨：两个三角形有公共角，只须满足两边对应成比例，则对应边有两种可能． 3．A 点拨：（2），（3）不满足位置关系．4．C 点拨：不能满足位置关系．5．B6．B二．填空题7.答案不唯一，略8．△ACD∽△BCA∠BAC9．9290° 10．7.5 点拨：由题意△AOB ∽△COD ，∴23AB CD =． 11．36° 3个12．60m 三．解答题13．存在，若使△APC ∽△ACB ，则应满足：10025164AP AC AP AC AB =∴==,． 14．15OB OA =，∴12cm×5=60cm，至少要将杠杆A 端下压60cm ． 15.存在，△ACD ∽△ECA ， 设AB =a ，则a ，CE =2a ，22.AE CD CE AC AC CD CE AC∴===∴= 又∵∠ACE =∠ECA ，∴△ACD ∽△ECA ．16. （1）x =730s (2)92 17.6118、（1）48 mm （2）宽是7240mm ，长7480mm. 第二十七章 相似27.2 相似三角形基础导练1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG =，则△EFC 的周长为（ ）A.11B.10C.9D.8第1题图第2题图2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm3．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A.32baB.32abC.43baD.43ab4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）第7题图第8题图5．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为cm．能力提升6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．参考答案一、1.D 2.B 3.C二、4.4s 5.5三、6.解：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，（3）∵=，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，在Rt△AEP′中，P′E==4k，∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠EP′P，又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′，∴=，即=，解得P′A=AB，在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10．第二十七章相似27.3 位似 基础导练1．如图，点O 是四边形ABCD 与A B C D ''''的位似中心，则A B AB''=________＝_______＝______；ABC ∠= _______，O CB '∠= ________．第1题图 第2题图2．如图，2DC AB OA OC =∥，，则OCD △与OAB △的位似比是________． 3．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为_______．4．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________，那么这样的两个图形叫做位似图形．5．位似图形的相似比也叫做________．6．位似图形上任意一对对应点到_______的距离之比等于位似比．能力提升7．画出下列图形的位似中心．8．将四边形ABCD 放大2倍要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部． （2）对称中心在两个图形的同侧． （3）对称中心在两个图形的内部．9．如图，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''′位似，位似比12k =，四边形A B C D ''''和四边形A B C D ''''''''位似，位似比21k =．四边形A B C D ''''''''和四边形ABCD 是位似图形吗？位似比是多少？10．请把如图所示的图形放大2倍．11．请把如图所示的图形缩小2倍．参考答案1．B CBC''，C DCD''，D ADA''；A B C'''∠，OCB∠2．123．254．相交于一点5．位似比6．位似中心7．略．8．略．9．是位似图形，1210．略．11．略．第二十七章相似27.3 位似基础导练1.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm,OB=15 cm，则火焰的长度为________.第1题图第2题图2. 如图，五边形ABCD E 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，且位似比为21. 若五边形A BCDE 的面积为17 cm 2， 周长为20 cm ，那么五边形A ′B ′C ′D ′E ′的面积为________，周长为________.3.已知，如图，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A =4∶3，则△ABC 与________是位似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________.能力提升4.下列说法中正确的是( )A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等5.小明在一块玻璃上画上了一幅画，然后用手电筒照着这块玻璃，将画映到雪白的墙上，这时我们认为玻璃上的画和墙上的画是位似图形.请你再举出一些生活中的位似图形来?并说明一对对应线段的位置关系.6.将有一个锐角为30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.7.一三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.8、经过不同位似中心将同一图形进行放大和缩小，试问放大后的图形和缩小后的图形能否也是位似图形?谈谈你的看法.参考答案1.8 cm2.417cm2 10 cm 3.△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4 4.D 5.略6.1∶3 1∶37.位似中心取点不同,所得D、E、F各点坐标不同，即答案不惟一.8.由放大或缩小猴图形中对应线段与原图形中对应线段互相平行，故而放大后的图形和缩小后的图形的对应线段也互相平行，因而它们也是位似图形.第二十七章相似27.3位似基础导练1. 下列说法不正确的是（）A．位似图形一定是相似图形B. 相似图形不一定是位似图形C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行2. 下列说法正确的是（）A. 分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC,则△ADE是△ABC放大后的图形B. 两位似图形的面积之比等于位似比C. 位似多边形中对应对角线之比等于位似比D.位似图形的周长之比等于位似比的平方3．如图，点D E F，，分别是()ABC AB AC>△各边的中点，下列说法中，错误．．的是（）A. AD平分BAC∠ B.12EF BC=C. EF与AD互相平分D.△DEF是△ABC的位似图形ABEF C4． 用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心 （ ） A. 只能选在原图形的外部 B. 只能选在原图形的内部 C. 只能选在原图形的边上 D ．可以选择任意位置5． 将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法中不正确的是 （ ）A ．菱形的边长扩大到原来的2倍B ．菱形的角的度数不变C ．菱形的面积扩大到原来的2倍D ．菱形的面积扩大到原来的4倍 6．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________． 7. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm ，且较小图形周长为30cm ，则较大图形周长为 .8．如图，DC ∥AB ，OA =2OC ，则OCD △与OAB △的位似比是________．能力提升9．在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和ABC △．（1）请以点O 为位似中心，把ABC △缩小为原来的一半（不改变方向），得到A B C '''△．（2）请用适当的方式描述A B C '''△的顶点A '，B '，C '的位置．OA BCD10．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比12k=，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比21k=．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？参考答案1．D 2．C 3．A 4．D 5．C6．2︰5 7．50cm 8．1︰29．略10．是位似图形，位似比为12．。

九年级数学下册第二十七章相似:图形的相似1．对于四条线段A.B.C.d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d(即ad＝bc)，我们就说这四条线段________．2．(1)相似多边形的性质：相似多边形的________相等，________成比例；(2)相似多边形的判定：如果两个多边形满足________相等，________成比例，那么这两个多边形相似．3．相似多边形________的比叫做相似比．如果五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为k，那么五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为________．4．下列四组图形中，一定相似的是( )A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形5．下列各组线段(单位：cm)中，成比例的线段是( )A．1、2、3、4B．1、2、2、4C．3、5、9、13D．1、2、2、36．下列各组图形中，相似的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④7．已知线段A.B.C.d成比例，且a＝6cm，b＝3cm，32dcm，则线段c的长度为________．8．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为620km，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为多少千米？9．如图，四边形模板ABCD和EFGH相似，求这两块模板中∠α、∠β的度数和x、y、z的值．10．在比例尺为1︰40000的工程示意图上，一段铁路的长度约为54.3cm，它的实际长度约为( )A．0.2172kmB．2.172kmC．21.72kmD．217.2km11．两个相似多边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，则这两个多边形的相似比可能是( )A．34B．56C．1 2D．3 212．已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB︰BC︰CD︰DA＝20︰15︰9︰8．若四边形A′B′C′D′的周长为26，则A′B′的长为( )A．6B．10C．7.5D．813．(1)(2014·柳州)若12ab=，则________a bb+=；(2)若23a ba-=，则________ab=．14．已知三条线段的长度分别为1、2、3，请你再添一条线段，使这四条线段的长度能构成一个比例式，则可添加的线段长度为________．15．如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使点B恰好落在边AD上的点F处，再沿边EF将矩形ABCD剪开，所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似，则原来的矩形ABCD的宽AB与长AD的比值为________．16．如图，在矩形ABCD和矩形A′B′C′D′中，AB＝16，AD＝10，A′D′＝6，矩形A′B′C′D′的面积为57.6，那么这两个矩形相似吗？17．(2014·南通)如图，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG与菱形ABCD相似，连接EB.GD．(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，3AG ，求GD的长．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD．线段EF＝10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH和矩形MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似，令MN＝x．当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？参考答案1．成比例2．(1)对应角对应边(2)对应角对应边3．对应边1 k4．D 5．B 6．B 7．3cm8．设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为xkm ．由题意，得553 3.6 5.46201010x +=⨯，解得x ＝1860．∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为1860km9．∠α＝90°，∠β＝60°，x ＝10.5，y ＝3，z ＝1210．C11．D12．B13．(1)32(2)314或15．16．∵矩形A′B′C′D′的面积为57.6，A′D′＝6，∴A′B′＝9.6．∴1659.63AB A B ==''．根据矩形的性质，知53DC AB D C A B ==''''．同理，10563BC AD B C A D ===''''∴53AB AD DC BC A B A D D C B C ====''''''''．又∵矩形的各内角都是90°，∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似17．(1)∵菱形AEFG 与菱形ABCD 相似，∴∠GAE ＝∠DAB ．∴∠GAE ＋∠GAB ＝∠DAB ＋∠GAB ，即∠EAB ＝∠OAD ．又∵四边形AEFG 和ABCD 是菱形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ．∴△ABE ≌△ADG ．∴EB ＝GD(2)连接BD 交AC 于点O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝2，BO ⊥AC ，1302OAB DAB ∠=∠=︒．在Rt △AOB 中，112BO AB==．∴AO ==EO AE AO AG AO =+=+=．在Rt △BOE 中，BE===GD BE ==18．∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，∴MN MFAD AB=．又∵AB＝2AD，MN＝x，∴MF＝2x．∴EM＝EF－MF＝10－2x．∴22525(102)2102()22S x x x x x=-=-+=--+．∴当52x=时，S有最大值，最大值是25 2．。

第二十七章相似27．1图形的相似01 基础题知识点1相似图形形状相同的图形叫做相似图形．1．下列选项中，哪个才是相似图形的本质属性(C)A．大小不同B．大小相同C．形状相同D．形状不同2．下列各组图形相似的是(B)知识点2比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如ab＝cd，我们就说这四条线段成比例．3．下列各线段的长度成比例的是(D)A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cmB．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmD．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm4．(常州中考)在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是2.8km.知识点3相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边成比例．如：两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，那么四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似．5．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)A.23B.32C.49D.946．如下的各组多边形中，相似的是(B )A ．(1)(2)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(2)7．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm 变成了6 cm ，这次复印的放缩比例是1∶3． 8．如图所示是两个相似四边形，求边x 、y 的长和α的大小．解：∵两个四边形相似，∴AD A′D′＝BC B′C′＝AB A′B′，即416＝6x ＝7y . ∴x ＝24，y ＝28.∵∠B ＝∠B′＝73°， ∴α＝360°－∠A －∠D －∠B ＝83°.易错点 没有分情况讨论导致漏解9．已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2__cm ，22__cm 或22__cm.02 中档题 10．下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形； ②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形； ⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的． 其中正确的说法有(D ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个11．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B )A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A ＝2∠FD ．2∠A ＝3∠F12．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(B )13．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，α＝125°，m ＝12.14．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．解：如图所示．15．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．解：(1)设矩形地砖的长为a cm ，宽为b cm ，由题图可知4b ＝60，即b ＝15.因为a ＋b ＝60，所以a ＝60－b ＝45，所以矩形地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a ＝2×45＝90(cm )，宽为60 cm ，所以长宽＝9060＝32，而a b ＝4515＝31，32≠31，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．所以它们不相似．03 综合题16．(教材9下P 28习题T 6变式)如图：矩形ABCD 的长AB ＝30，宽BC ＝20.(1)如图1，若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似？ 解：(1)不相似，AB ＝30，A′B′＝28，BC ＝20，B′C′＝18，而2830≠1820， 故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似． (2)矩形ABCD 与A′B′C′D′相似， 则A′B′AB ＝B′C′BC 或A′B′BC ＝B′C′AB .则：30－2x 30＝20－220，或30－2x 20＝20－230.解得x ＝1.5或9，故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与A′B′C′D′相似．27.2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 相似三角形的定义和相似比如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似三角形对应边的比叫做相似比．相似用符号“∽”表示．如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，如果∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1，AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝ACA 1C 1，那么△ABC∽△A 1B 1C 1.1．如图所示，△ADE∽△ACB ，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A )A.AD AC ＝AE AB ＝DE BCB.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BCD.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形全等．知识点2 平行线分线段成比例(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则AB BC ＝DE ，AB AC ＝DE ，BC AC ＝EF．图1 图2(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图2，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，则AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ，DB AB ＝ECAC ．3．(杭州中考)如图，已知a∥b∥c，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F.若AB BC ＝12，则DEEF＝(B )A.13B.12C.23D ．14．(成都中考)如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为(B )A ．1B ．2C ．3D ．4知识点3 相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，则△ADE ∽△ABC. 5．(贵阳中考)如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD AB ＝13，BC ＝12.则DE 的长是(B )A ．3B ．4C ．5D ．6第5题图 第6题图6．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF∥BC，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对02 中档题7．(上海中考)如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB ＝3∶5，那么CF∶CB 等于(A )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5第7题图 第8题图8．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对9．(遵义中考)如图，△ABC 中，E 是BC 中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF∥AD 交AC 于点F.若AB ＝11，AC ＝15，则FC 的长为(C )A ．11B ．12C ．13D ．1410．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，连接DE ，线段BE ，CD 相交于点O ，若OD ＝2，则OC ＝4.第10题图 第11题图11．(六盘水中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝169．12．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD ＝2，过点D 作DE∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为6或12．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M 、N 为山的两侧)，工程人员为了计算M 、N 两点之间的直线距离，选择作MN 的平行线BC ，并测得AM ＝900米， AB ＝30米，BC ＝45米，求直线隧道MN 的长．解：∵BC∥MN， ∴△ABC∽△AMN. ∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN . ∴MN ＝1 350米答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG∥BE 交AE 于G ，求证：GF ＝FB.证明：∵GF∥AD， ∴GF AD ＝EF ED. 又FB∥DC，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.03 综合题15．如图，AD∥EG∥BC，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG ，FG 的长．解：∵在△ABC 中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC， ∴EG BC ＝AE AB. ∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5， ∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD，∴EF AD ＝BEAB .∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5， ∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，201 基础题知识点1 相似三角形的判定定理1三边成比例的两个三角形相似．如图，已知△ABC 和△DEF 中，AB DE ＝AC DF ＝BCEF，则△ABC∽△DEF.1．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形(A )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝3cm 时，△ABC∽△DEF.3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由如下：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8， 在Rt△DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8， ∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12， ∴△ABC∽△DEF.4．(教材9下P 42例3变式)(佛山中考)网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC∽△DEF.证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC∽△DEF.知识点2 相似三角形的判定定理2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图，已知△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D ，且AB DE ＝ACDF，则△ABC∽△DEF.5．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(B )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是(C )7．如图AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，当OC ＝185时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C ，D 在线段AB 上，∠A＝∠B，AE ＝3，AD ＝2，BC ＝3，BF ＝4.5，DE ＝5，求CF 的长．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC .又∵∠A ＝∠B，∴△AED∽△BFC， ∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152.易错点 对应边没有确定时容易漏解9．(随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝5或3时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．02 中档题10．(贵阳中考)如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为(C )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 4 11．如图，在△ABC 中，点P 在AB 上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC 2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC 和△ACB 相似的条件有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个第11题图 第12题图12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：AD AB ＝AEAC，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.证明：∵AB∥DE， ∴△ODE∽△OAB. ∴DE AB ＝OE OB. ∵BC∥EF，∴△OEF∽△OBC. ∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC. ∴DF AC ＝OF OC . ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB·CE，∴AB CE ＝DBAB .又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DBAC .∴△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴DQPC＝ADCQ＝21.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.03 综合题16．(宿迁中考改编)如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD 与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．4第3课时相似三角形的判定定理301 基础题知识点1相似三角形的判定定理3两角分别相等的两个三角形相似．如图，已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.1．下列各组图形中有可能不相似的是(A)A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符号连接)4．如图，点B、D、C、F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.证明：∵AB∥EF，AC∥DE，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.∴△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC∽△AED.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD， 即∠BAC ＝∠EAD. 又∵∠C ＝∠D， ∴△ABC∽△AED.知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C ＝90°，∠C′＝90°，AB A′B′＝ACA′C′，则Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.6．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454cm ，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．易错点 对应角没有确定时容易漏解9．如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，0)，B(0，3)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为(－2，0)，(32，0)，(－6，0)时，△BOC 与△AOB 相似．02中档题10．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是(D) A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB第10题图第11题图11．(本溪中考)如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD ＝3，则CF等于(B)A．1 B．2 C．3 D．412．如图，已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？解：①若△ABC∽△ADB，则ABAD＝ACAB.∴AD＝3；②若△ABC∽△DAB，则ABAD＝BCAB.∴AD＝3 2.综上所述，当AD＝3或32时，两直角三角形相似．13．(毕节中考改编)如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC.∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB.又∵∠ABF＝∠BEC，∴△ABF∽△BEC.14．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴△APQ∽△CDQ.(2)当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°.∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，∴△ADC∽△PAD.∴ADPA＝DCAD，∴10PA＝2010，解得PA＝5.∴t＝5.03综合题15．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上高，∴∠ADB＝∠BED＝90°.∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.∴∠EBD＝∠EDA.∴△AED∽△DEB.∴DE2＝AE·BE.又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBG＝∠H.∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.∴EGAE＝BEEH，即EG·EH＝AE·BE.∴DE2＝EG·EH.27.2.2 相似三角形的性质01 基础题知识点1 相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．如图，已知△ABC∽△A 1B 1C 1，其相似比为k ，AD 和A 1D 1分别是BC 和B 1C 1边上的高，CF 和C 1F 1分别是AB和A 1B 1边上的中线，BE 和B 1E 1分别是∠ABC 和∠A 1B 1C 1的平分线，则AD A 1D 1＝CF C 1F 1＝BEB 1E 1＝k.1．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△D EF 对应中线的比为(A )A.34B.43C.916D.1692．若△ABC∽△A′B′C′，AB ＝16 cm ，A′B′＝4 cm ，AD 平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3 cm ，则AD ＝12cm . 3．已知：△ABC∽△A′B′C′，AB ＝4 cm ，A′B′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条高，AE ＝4.8 cm .求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AE A′E′＝AB A′B′.∴ 4.8A′E′＝410. ∴A′E′＝12 cm.知识点2 相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k ，则△ABC 与△A′B′C′的周长比为k ． 4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶3，则△ABC 与△A′B′C′周长的比为(A )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE∥BC，且AD ＝13AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为1∶3.知识点3 相似三角形性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k ，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为k 2． 6．(黔西南中考)已知△ABC∽△A′B′C′，且AB A′B′＝12，则S △ABC ∶S △A′B′C′为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶17．(广东中考)若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是4∶9．8．(怀化中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，则S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4．第8题图 第9题图9．(滨州中考)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB ＝22．10．某小区广场有两块相似三角形的草坪，相似比为2∶3，面积差是30 m 2，则小区广场两块相似三角形的草坪面积分别是24__m 2、54__m 2．02 中档题11．(湘西中考)如图，在▱ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长之比是(A )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5第11题图 第12题图12．(黔西南中考)如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，BD ＝2AD ，DE∥BC 交AC 于点E ，则下列结论不正确的是(D )A ．BC ＝3DEB.BD BA ＝CE CAC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ＝13S △ABC13．已知△ABC 与△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC ＝6，AC ＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的斜边上的高为485．14．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，AD ＝4，在AB 上取一点E ，得到△ADE，若这两个三角形相似，则它们的周长之比是4∶9或1∶3．15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，DE∥BC，CF ，EG 分别是△A BC 与△ADE 的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB ＝18 cm ，EG ＝4 cm ，求CF 的长．解：∵AD∶DB ＝4∶3， ∴AD∶AB ＝4∶7. ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∵CF，EG 分别是△ABC 与△ADE 的中线， ∴AD AB ＝EG CF .∴47＝4CF. ∴CF ＝7 cm.16．如图，▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶3，DE 交AC 于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF 与△CD F 的周长之比；(3)如果△CDF 的面积为20 cm 2，求△AEF 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB.∴△AEF∽△CDF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ＝AB.∵AE∶EB ＝2∶3，设AE ＝2k ，则BE ＝3k ，DC ＝5k. 又∵△AEF∽△CDF， ∴C △AEF C △CDF ＝AE DC ＝25. ∴△AEF 与△CDF 的周长之比为2∶5. (3)∵△AEF∽△CDF，∴S △AEF S △CDF ＝(AE DC)2. ∵AE DC ＝25，△CDF 的面积为20 cm 2， ∴△AEF 的面积为165 cm 2.03 综合题17．如图，在△ABC 中，DF∥EG∥BC，且AD ＝DE ＝EB ，△ABC 被DF 、EG 分成三部分，且三部分面积分别为S 1，S 2，S 3，求S 1∶S 2∶S 3的值．解：∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG∽△ABC. 又∵AD ＝DE ＝EB ，∴三个三角形的相似比是1∶2∶3. ∴面积的比是1∶4∶9.设△ADF 的面积是a ，则△AEG 与△ABC 的面积分别是4a ，9a ， ∴S 2＝3a ，S 3＝5a ，则S 1∶S 2∶S 3＝1∶3∶5.小专题15 相似三角形的基本模型(教材变式)模型1X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.教材母题1：(教材九下P58复习题T9)如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？解：△AEF∽△BDF.理由：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF.1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC 等于(D)A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.找出图中的相似三角形，并说明理由．解：△ABO∽△CDO.理由如下：∵AB∥CD，∴∠OCD ＝∠OAB， ∠ODC ＝∠OBA. ∴△ABO∽△CDO.模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE ∽△ABC ；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD ∽△ABC .教材母题2：(教材九下P 35例2)如图，Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD 的长．解：∵ED⊥AB， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.3．如图，点D 是△ABC 的边AC 的上一点，且∠ABD＝∠C.如果AD CD ＝13，求BDBC的值．解：∵∠DAB ＝∠BAC，∠ABD ＝∠C，∴△DAB∽△BAC.∴DABA＝ABAC＝BDBC.∴AB2＝AD·AC.∵ADCD＝13，∴设AD＝a(a＞0)，则CD＝3a.∴AB2＝a(a＋3a)＝4a2.∴AB＝2a.∴BDBC＝DABA＝a2a＝12.模型3双垂直型直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.教材母题3：(教材九下P36练习T2)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.证明：(1)∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.(2)∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD，∴△CBD∽△ABC.4．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)A．36B．15C．95D．3＋35模型4M字型及其变形(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．教材补充：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的长．解：∵AB⊥BD，ED⊥B D，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴ABCD＝BCDE.又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴AB＝4.5．(宿迁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB，且∠DEF ＝∠B， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DEEF .∵∠DEF ＝∠B ＝∠C，∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE，即FE 平分∠DFC.小专题16 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．(宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE∥BC，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM⊥BM 时，则BC 的长为8.第1题图 第2题图2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为203cm .3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝152.第3题图 第4题图4．(深圳中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝3.5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE∥BC，交CA 延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF.(1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE＝∠B，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．解：(1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC . ∵DE ＝6，∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B，∠B ＝∠D， ∴∠EAF ＝∠D. ∵∠F ＝∠F， ∴△FAE∽△FDA. ∴EF FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA 2EF＝9.类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是135°.第6题图 第7题图7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE＝110°.类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB∥DC，AC 与BD 交于点E ，EF∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB等于(B )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25第9题图 第10题图10．(桂林中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AO AE 的值为724.类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE∽△ABC； (2)DF·BF＝EF·CF.证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ， ∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF·BF ＝EF·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DFCF ＝BC AC.证明：∵∠ACB ＝90°，CD⊥AB，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 中点， ∴AE ＝CE ＝ED. ∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF， ∴∠FCD ＝∠BDF. 又∠F 为公共角， ∴△FDB∽△FCD. ∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到C ，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C 的坐标为(B )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)第13题图 第14题图14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AO B 相似，则点C 的坐标为(－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．27.2.3 相似三角形应用举例01基础题知识点1利用相似三角形测量物高1．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是(D)A．3 cm B．2.5 cmC．2.3 cm D．2.1 cm第1题图第2题图2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为10米．3．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN ＝23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米．第3题图第4题图4．(黔南中考)如图是小明设计用手电来测量都匀南沙洲古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是8米(平面镜的厚度忽略不计)．知识点2利用相似三角形测量宽度5．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)A．60 m B．40 mC．30 m D．20 m第5题图第6题图6．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为(C)A．25 m B．30 mC．36 m D．40 m7．(教材9下P40例6变式)如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．第7题图第8题图8．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为30 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是20cm.02中档题9．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m．当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B升高(B) A．2 m B．4 mC．4.5 m D．8 m第9题图第10题图10．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5mm.11．(遵义中考)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝1.05里．12．(陕西中考)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园，小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED ＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．解：由题意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF.∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.∴ABED＝BCDC，ABGF＝BFFH.∴AB1.5＝BC2，AB1.65＝BC＋16＋22.5.解得AB＝99.∴“望月阁”的高AB为99米．03综合题13．(绍兴中考)课本中有一道作业题：如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算；(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．解：(1)设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即2y120＝80－y80.解得y ＝2407.∴PN ＝2407×2＝4807(mm )．答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807 mm.(2)设PN ＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC， ∴PN BC ＝AE AD .即x 120＝80－PQ80. 解得PQ ＝80－23x.∴S ＝PN·PQ ＝x (80－23x )＝－23x 2＋80x＝－23(x －60)2＋2 400.∴S 的最大值为2 400 mm 2，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm ).。

人教版九年级下册27.1 图形的相像课时练（人教版）九年级下第二十七章图形的相像课时练（锦州中学）学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1.以下图形中 ,不是相像图形的有 ()A. 0组B.1组C.2组D. 3组2. 假如一个矩形与它的一半矩形是相像形,那么大矩形与小矩形的相像比是()A. ∶ 1B. ∶2C. 2∶1D. 1∶23. 以下各组中的四条线段成比率的是( )A. 4 cm,2 cm,1 cm,3 cmB. 1 cm,2 cm,3 cm,5 cmC. 3 cm,4 cm,5 cm,6 cmD. 1 cm,2 cm,2 cm,4 cm4.要做甲、乙两个形状同样 (相像 )的三角形框架 ,已知三角形框架甲的三边分别为50 cm,60 cm,80 cm, 三角形框架乙的一边长为20 cm,那么切合条件的三角形框架乙共有()A. 1种B.2种C.3种D. 4种5.如图 ,用放大镜将图形放大 ,应当属于 ()A. 相像变换B. 平移变换C. 对称变换D. 旋转变换6. 假如两个相像多边形的面积比为9∶ 4,那么这两个相像多边形的相像比为( )A. 9∶4B. 2∶3C. 3∶2D. 81∶167. 如图 ,六边形 ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为2∶1,则以下结论正确的选项是()1 / 8A. ∠E=2∠KB. BC=2HIC. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D. S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL8.手工制作课上，小盈利用一些花布的边角料，剪裁后装修手工画，下边四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形，等边三角形，正方形，矩形花边，此中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边沿所围成的几何图形不相像的是()A. B.C. D.9.在研究相像问题时，甲、乙同学的看法以下：甲：将边长为3， 4， 5 的三角形按图①的方式向外扩充，获得新三角形，它们的对应边间距均为 1，则新三角形与原三角形相像.乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图②的方式向外扩充，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相像.．第2页共8页人教版九年级下册27.1 图形的相像课时练关于两人的看法，以下说法正确的选项是()A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对10. 若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是()-A.2B.-2C.3D.-3评卷人得分二、填空题11. 如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ,则∠1=,AD =.12. 已知 a,b,c,d 是成比率线段 ,此中 a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则 d= cm.13.2小芳的房间有一面积为 3 m 的玻璃窗 ,她站在室内离窗子 4 m 的地方向外看 ,她能看到窗前面一幢楼房的面积有m2 (楼之间的距离为 20 m).14. 在比率尺为1∶200 的地图上 ,测得 A,B 两地间的图上距离为 4.5 cm,则 A,B 两地间的实质距离为m.15. 若一个三角形的各边长扩大为本来的 5 倍 ,则此三角形的周长扩大为本来的倍 .16. 如图 ,已知 P 是线段 AB 的黄金切割点 ,且 PA>PB,若 S1表示 PA 为一边的正方形的面积,S2表示长是 AB ,宽是 PB 的矩形的面积 ,则 S1 S2.( 填“ >”“或=“”<”)3 / 817. 以下图,一般书籍的纸张是在原纸张多次对开后获得.矩形 ABCD 沿 EF 对开后 ,再把矩形EFCD 沿 MN 对开 ,挨次类推 .假如各样开本的矩形都相像,那么=.评卷人得分三、解答题18. 已知四条线段a,b,c,d 的长度 ,试判断它们能否成比率:(1)a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;(2)a=8 cm,b=5 cm, c=6 cm,d=10 cm.19. 已知矩形ABCD中,AD =3,AB =1.若EF把矩形分红两个小的矩形,以下图,此中矩形ABEF与矩形 ABCD 相像 .求 AF∶ AD 的值 .20.在平面直角坐标系中，已知点A(－ 2， 0)，点 B(0， 4)，点 E 在 OB 上，且∠ OAE ＝∠ OBA.(1)如图①，求点 E 的坐标(2)如图②，将△AEO沿x轴向右平移获得△ A′E′O′，连结A′B，BE′.222 2①设 AA′＝ m，此中 0<m<2，试用含 m 的式子表示 A′B ＋ BE′，并求出使 A′B ＋ BE′获得最小值时点 E′的坐标；②当 A′B＋ BE′获得最小值时，求点E′的坐标 (直接写出结果即可).第4页共8页人教版九年级下册27.1 图形的相像课时练参照答案1.【答案】 B【分析】此题考察了相像图形 .①②④的形状同样，是相像图形，③不是相像图形 .2. 【答案】A【分析】依据相像比的定义,相像多边形对应边的比称为相像比,由题可知 ,面积比为 2∶1,因此相像比为∶1.3.【答案】 D【分析】各数据比较可知 ,只有 D 中四条线段 ,1∶ 2=2∶ 4,能成比率 .4.【答案】 C【分析】三角形相像 ,则边长的比同样 ,均为 5∶ 6∶ 8,乙三角形 20 cm 的边能够当最短边、最长边和中间大小的边,因此共有 3 种状况 .应选 C.5.【答案】 A 【分析】依据相像图形的定义可知 ,用放大镜将图形放大 ,属于图形的形状同样、大小不同样 ,因此属于相像变换 .应选 A .6.【答案】 C【分析】此题考察了相像多边形 .面积比等于相像比的平方，因此相像比等于面积比的算术平方根，应选 C.7.【答案】 B【分析】∵六边形 ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,∴∠ E=∠ K,故 A 选项错误 ;∵六边形ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为 2∶ 1,∴ BC =2HI ,故 B 选项正确 ;∵六边形ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为 2∶1,∴六边形 ABCDEF 的周长 =六边形 GHIJKL 的周长×2,故 C 选项错误 ; ∵六边形 ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为 2∶ 1,∴ S六边形ABCDEF =4 S六边形GHIJKL ,故 D 选项错误 .8.【答案】 D【分析】由相像的性质知选 D.9.【答案】 A 【分析】图①中，新三角形和原三角形保持了三内角不变，依据两组角对应相等的两三角形相像，得新三角形和原三角形相像，图②中，原矩形的长宽比为，而新矩形的长宽比为，因此变化前后的矩形不相像 .5 / 810. 【答案】B【分析】设2a= 3b= 4c= 12k(k≠0),则有a= 6k,b= 4k,c= 3k,因此-=-= -=- 2.11.【答案】 70° 28【分析】∵四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D' ,∴∠ 1=∠ B=70 °,即,解得 AD=28 .12.【答案】 4【分析】此题考察了比率线段.由题知= ,即 = ,解得 d=4.13. 【答案】108【分析】依据题意 ,她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应当相像,且相像比为2 ==6,故面积的比为 36.故她能看到窗前面一幢楼房的面积为36×3=108(m ).故答案为 :108.14. 【答案】9【分析】设 A,B 两地间的实质距离为 x cm,由题意得 ,1∶∶x,解得 x= 900 cm.故 A,B 两地间的实质距离为 900 cm, 即 9 m.15.【答案】 5【分析】∵一个三角形的各边长扩大为本来的 5 倍 ,∴扩大后的三角形与原三角形相像.∵相像三角形的周长的比等于相像比,∴这个三角形的周长也扩大为本来的 5 倍 .故答案为 :5.16. 【答案】=【分析】依据黄金切割的定义获得2PA =PB·AB,2再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA ,S2=PB·AB,进而可得 S1=S2.17.【答案】【分析】设∵各开本的矩形都相像,因此有矩形ABCD 与矩形 BFEA 相像 ,即第6页共8页人教版九年级下册 27.1 图形的相像课时练=,∴ AB ·AB=AD ·BF. 又∵ BF= AD,22∴ AD=AB,∴ = = .18.(1) 【答案】 ∵ 8×10=80,16 ×5=80, ∴ bd=ac.∴能够成比率 .(2) 【答案】 ∵ 8×6=48,10 5=50,×∴不可以够成比率 .19. 【答案】 设 AF=x ,∵矩形 ABEF 与矩形 ABCD 相像 ,且 AD= 3,AB= 1,∴对应边成比率 ,即=,即 = ,解得 x= ,∴ AF ∶AD= ∶3= 1∶9.20.(1) 【答案】 ∵点 A 的坐标为 (－ 2， 0),点 B 的坐标为 (0， 4)，∴ OA ＝ 2， OB ＝ 4，∵∠ OAE ＝∠ OBA ，∠ EOA ＝∠ AOB ＝ 90°， ∴△ OAE ∽△ OBA ，有＝ ，即 ＝，解得 OE ＝ 1.∴点 E 的坐标为 (0， 1).(2) 【答案】 ①如图，连结 EE ′，由题设 AA ′＝ m ，则 A ′O ＝2－ m.222在 Rt △ A ′BO 中，由 A ′B ＝ A ′O ＋ BO ，2222得 A ′B ＝ (2－ m) ＋ 4 ＝ m －4m ＋ 20.∵△ A ′E ′O ′是将 △ AEO 沿 x 轴向右平移获得的， ∴ EE ′∥ AA ′，且 EE ′＝ AA ′. 有∠ BEE ′＝ 90°， EE ′＝ m.又 BE ＝ OB － OE ＝3，222 2于是，在＝ E ′E＋ BE ＝ m ＋ 9.Rt △ BE ′E 中， BE ′7 / 822 2∴A′B ＋ BE′＝ 2m －4m＋29(0< m<2).2 2 2配方，得 A′B ＋ BE′＝ 2(m－ 1) ＋ 27，2 2当 m＝ 1 时， A′B ＋BE′能够获得最小值，∴当 E′的坐标为 (1， 1).②当 E′的坐标为 ( ， 1).第8页共8页。